Войти
Иллюстрация теоремы Дезарга, результат Евклидова и проективная геометрия Геометрия (от древнегреческого : γεωμετρία; гео- «земля», -метрон «измерение»), с арифметикой, является одним из старейших разделов математики. Это пространство касается пространства, связанного с расстояниями, размером и относительным положением фигур. Математика, работающего в области геометрии, называют геометром.
До 19 века геометрия была почти исключительно посвящена евклидовой геометрии, которая включает в себя понятия , линия, плоскость точки, расстояние, угол, поверхность и кривая, как фундаментальные понятия.
В течение 19 века несколько открытий резко расширили рамки геометрии. Одним из старейших таких открытий явл яется Гаусс 'теорема Egregium (замечательная теорема), которая примерно утверждает, что гауссова кривизна поверхность не зависит от какой-либо конкретной встраивание в евклидово пространство. Это означает, что на поверхности можно изучать отдельные пространства, и это было расширено до теории без многообразий и римановой геометрии.
Позже в 19 веке доказано, что геометрия постулата параллельности (неевклидовы геометрии ) можно развить без введения каких-либо противоречий. Геометрия, лежащая в основе общей теории относительности, является приложением неевклидовой геометрии.
С тех пор области применения геометрии значительно расширилась, и поле было разделено на множество подполей, которые зависят от лежащих в основе методов: дифференциальная геометрия, алгебраическая геометрия, вычислительная геометрия, алгебраическая топология, дискретная геометрия (также известная как комбинаторная геометрия) и т. Д. - или свойства евклидовых пространств, не принимаются во внимание - проективная геометрия, учитывающая только выравнивание точек, но не расстояние и параллельность, аффинная геометрия, которые не используют понятия угла и расстояния, конечная геометрия, в которой не учитываются непрерывность и т. д.
Геометрия, часто применяемая ко всему использованию физического физического мира, применяется почти всем наукам, а также к искусству, архитектура и другие действия, связанные с графикой. У геометрии также есть приложения в областях математики, которые, по-видимому, не связаны между собой. Например, методы алгебраической геометрии являются фундаментальными для доказательства Уайлса Великой теоремы Ферма, проблемы, которая была сформулирована в терминах элемента арной арифметики и осталась неявенной до нескольких веков.
A Европеец и араб практиковал геометрию в 15-м век Самые ранние зарегистрированные истоки геометрии можно проследить до древней Месопотамии и Египта во 2-м тысячелетии до нашей эры. Ранняя геометрия представляет собой набор эмпирических открытых принципов, стандартов, пространств и помещений, которые были разработаны для некоторых практических возможностей в геодезии, строительства, астрономии и разные поделки. Самыми ранними известными текстами по геометрии являются Египетский Папирус Ринда (2000–1800 гг. До н.э.) и Московский Папирус (ок. 1890 г. до н.э.), вавилонский глиняные таблички, такие как Плимптон 322 (1900 г. до н.э.). Например, Московский папирус дает формулу для расчета усеченной пирамиды или усеченной пирамиды. Более поздние глиняные таблички (350–50 до н.э.) демонстрируют, что вавилонские астрономы реализовали процедуры трапеции для вычисления положения Юпитера и движения в пространстве времени-скорости. Эти геометрические процедуры предвосхитили Oxford Calculators, включая теорему о средней скорости, на 14 веков. К югу от Египта древние нубийцы установили систему геометрии, включающую ранние версии солнечных часов.
В 7 веке до нашей эры греческий математик Фалес из Милет использовал геометрию для решения таких задач, как вычисление высоты пирамид и расстояния кораблей от берега. Его приписывают первое применение дедуктивного мышления в геометрии, выведя четыре следствия из теоремы Фалеса. Пифагор основал школу Пифагора, которой приписывают первое доказательство теоремы Пифагора, хотя утверждение теоремы имеет долгую историю. Евдокс (408) –C. 355 г. до н.э.) разработал метод исчерпания, который позволил вычислить площади и объемы криволинейных фигур, который позволил избежать проблем несоизмеримых величин, что обеспечило последующим геометрическим значительным успехов. Около 300 г. до н. Э. Геометрия произвела революцию благодаря Евклиду, чьи Элементы, широко считавшиеся самым успешным и влиятельным учебником всех времен, вводили математическую строгость с помощью акоматсиического метода и самым ранним примером формата, который до сих пор используется в математике: определения, аксиомы, теоремы и доказательства. Хотя большая часть элементов Элементов уже была известна, Евклид организовал их в единую логическую структуру. Элементы были известны всем образованным людям на Западе до середины 20 века, и их содержание до сих пор преподается в классах геометрии. Архимед (ок. 287–212 до н.э.) Сиракузы использовал метод исчерпания для вычислений площади под дугой параболы с суммированием бесконечного ряда, и дал удивительно точные приближения Pi. Он изучил спираль, носящую его имя, и получил его формулы для томов поверхности вращения.
Женщина, обучающая геометрия. Иллюстрация в начале средневекового перевода Элементов Евклида, (ок. 1310). Индийские математики также внесли важный вклад в геометрию. Сатапатха Брахман (3 век до н.э.) содержит правила ритуальных геометрических построений, которые аналогичны Сульба Сутрам. Согласно (Hayashi 2005, p. 363), Шульба-сутры содержат «самое раннее сохранившееся словесное выражение теоремы Пифагора в мире, хотя оно уже было древним вавилонянам. Они содержат списки Пифагоровы тройки, которые являются частными случаями диофантовых уравнений. В рукописи Бахшали есть несколько геометрических (включая задачи об объемах нерегулярных твердых тел). В рукописи Бахшали также «используется десятичная система значений с точкой для нуля». Арьябхата Арьябхатия (499) включает вычисление площадей и мер. Брахмагупта написал свой астрономический труд Брахма Сфуна Сиддханта в 628 году. Глава 12, содержащая 66 санскритских стихов, была разделена на два раздела: «основные операции» (включая кубические корни, дроби, соотношение и пропорции, и бартер) и «практическая математика» (включая смеси, математические ряды, плоские фигуры, укладку брикетов, распиловка древесины, укладка зерна). В последнем разделе он сформулировал свою знаменитую теорему ооналя вписанного четырехугольника. Глава 12 также включает формулу площади вписанного четырехугольника (обобщение формулы Герона ), а также полное описание рациональных треугольников (т.е. треугольников с рациональными сторонами и рациональностью
В Средние века, математика в средневековом исламе внесла свой вклад в развитие геометрии, особенно алгебраической геометрии. Аль-Махани (стр. 853) придумал идею геометрических задач, таких как дублирование куба, к задачам по алгебре. Табит ибн Курра (известный как Фабит на латыни ) (836–901) имели дело с арифметическими операциями, применяемыми к отношениям геометрических величин, способствующих развитию аналитической геометрии. Омар Хайям (1048–1131) геометрические решения нашел кубических уравнений. Теоремы Ибн аль-Хайсама (Альхазен), Омара Хайяма и Насира ад-Дина ат-Туси о четырехугольнике, включа я четырехугольник Ламберта и четырехугольник Саккери, были ранними результатами в гиперболической геометрии, и вместе с их альтернативными постулатами, такими как аксиома Плейфэра, эти работы оказали значительное влияние на развитие неевклидовой геометрии среди более поздних европейских геометров, включая Витело (ок. 1230 - ок. 1314), Герсонид (1288–1344), Альфонсо, Джон Уоллис и Джованни Джироламо Саккери.
В начале 17 века в геометрии произошли два важное развитие. Первым было создание аналитической геометрии или геометрии с координатами и уравнениями Рене Декартом (1596–1650) и Пьером де Ферма (1601–1665). Это было необходимо предшественником исчисления и точной количественной физики. Вторым геометрическим развитием этого периода было систематическое изучение проективной геометрии, проведенное Жираром Дезаргом (1591–1661). Проективная геометрия изучает свойства форм, которые остаются неизменными в проекциях и разделах, особенно в, что касается художественной перспективы.
Два развития в геометрии в 19 веке изменили путь это было изучено ранее. Это были открытие неевклидовой геометрии Николаем Ивановичем Лобачевским, Яношом Бойяи и Карлом Фридрихом Гауссом и формулировка симмет как центральные особенности в Эрлангенской программе <>из 304 Феликс Клейн (в котором обобщены евклидова и неевклидова геометрии). Двумя мастерами геометрии того времени были Бернхард Риман (1826–1866), которые работали в основном с инструментами из математического анализа и вводили риманову поверхность, и Анри Пуанкаре, основоположник алгебраической топологии и геометрической теории динамических систем. В результате этих серьезных изменений в концепции геометрии понятие «пространство» стало чем-то богатым и разнообразным, и естественным фоном для таких различных теорий, как комплексный анализ и классическая механика.
Ниже приведены некоторые из наиболее важных концепций в геометрии.
Иллюстрация к постулату параллельности Евклида Евклид взял абстрактный подход к геометрии в его Элементы, одной из самых влиятельных книг, когда-либо написанных. Евклид ввел верх аксиомы или постулаты, выражающие первичные или самоочевидные свойства точек, линий и плоскостей. Он приступил к строгому выводу других свойств с помощью математических рассуждений. Характерной чертой подход Евклида к геометрии была его строгость, и она стала известна как аксиоматическая или синтетическая геометрия. В начале XIX века открытие неевклидовой геометрии Николаем Ивановичем Лобачевским (1792–1856), Яношом Бойяи (1802–1860), Карл Фридрих Гаусс (1777–1855) и другие возродили интерес к этой дисциплине, и в 20 веке Дэвид Гильберт (1862–1943) применил аксиоматические рассуждения в попытке современных основ геометрии.
Точки фундаментальными объектами в евклидовой геометрии. Они были по-разному, включая определение Евклида как «то, что не имеет», и с помощью алгебры или вложенных множеств. Во многих областях геометрии, таких как аналитическая геометрия, дифференциальная геометрия и топология, все объекты построенными из точек. Тем не менее, некоторые исследования геометрии проводились без привязки к точкам.
Евклид ал линию как «длину без описны», которая «лежит одинаково по отношению к точкам на самой себе». В множестве способов современной математики, включает в себя совокупность средств современной математики, соединенных со способом описания геометрии. Например, в аналитической геометрии линия на координате плоскости часто определяется как набор точек, которые удовлетворяют заданному линейному уравнению, но в более абстрактной настройке, такой как геометрия падения, линия может быть объектом, отличным от множества точек, лежащих на ней. В дифференциальной геометрии геодезическая - это обобщение понятия линии на искривленные пространства.
A >- это плоская двумерная поверхность, которая простирается бесконечно далеко.. Плоскости используются во всех областях геометрии. Например, плоскости можно изучать как топологическую поверхность без привязки к расстояниям или углам; его можно изучать как аффинное пространство, где можно изучать коллинеарность и отношения, но не расстояния; его можно изучить как комплексную плоскость, используя методы комплексного анализа ; и так далее.
Евклид определяют плоскость угол как наклон друг к другу в плоскости двух прямых, которые встречаются с другом и не лежат друг относительно друг друга. Говоря современным языком, угол - это фигура, образованная двумя лучами , имеющими общую конечную точку, называемую вершиной угла.
Острый (а), тупой (б) и прямой (в) углы. Острый и тупой углы также известны как косые углы. В евклидовой геометрии углы используются для изучения многоугольников и треугольников, а также формирование самостоятельного объекта исследования. Изучение углов треугольника или углов в единичной окружности составляет основу тригонометрии.
В дифференциальной геометрии и исчислении, углы между плоскими кривыми или пространственными кривыми или поверхностями можно рассчитать с помощью производной.
A кривая является 1-мерный объект, который может быть прямым (как линия) или нет; кривые в 2-мерном пространстве называются плоскими кривыми, а кривые в 3-мерном пространстве - пространственными кривыми.
В топологии кривая функция из интервала действительных чисел в другом месте. В дифференциальной геометрии используется то же определение, но определяющая функция должна быть дифференцируемой. Алгебраическая геометрия изучает алгебраические кривые, которые определяют как алгебраические разновидности с размерностью один.
Сфера - это поверхность, которая может быть определена параметрически (x = r sin θ cos φ, y = r sin θ sin φ, z = r cos θ) или неявно (на x + y + z - r = 0.) A поверхность - это двумерный объект, например сфера или параболоид. В дифференциальной геометрии и топологии поверхности представлены описанными двумерными «фрагментами» (или набегами ), которые собраны с помощью диффеоморфизмов или гомеоморфизмы соответственно. В алгебраической геометрии поверхности представлены полиномиальными уравнениями.
A многообразие обобщением понятий кривой и поверхности. В топологии многообразие - это топологическое пространство, где точка имеет заметность которая, гомеоморфна евклидову пространству. В дифференциальной геометрии дифференцируемое многообразие - это пространство, где новая размноженность диффеоморфна евклидову пространству.
Многообразия широко используется в физике, в том числе в общей теории относительности и теории струн.
Длина, площадь и объем описывают размер или экстент объекта в одном измерении, двух измерений и трех измерений соответственно.
В евклидовой геометрии и аналитической геометрии длина отрезка линии могут быть вычислены по теореме Пифагора.
Площадь и объем могут быть определены как фундаментальные величины, Длина от, или они могут быть отдельно и вычислены в терминах на плоскости или в трехмерном пространстве. Математики совокупность явных формул для площади и для объема различных геометрических объектов. В исчислении площадь и объем могут быть определены в терминах интегралов, таких как интеграл Римана или интеграл Лебега.
Визуальная проверка теоремы Пифагора для (3, 4, 5) треугольника как в Чжуби Суаньцзин 500–200 до н.э. Теорема Пифагора является следствием евклидовой метрики.. Понятие длины или расстояния может быть обобщено, что приводит к идее метрики. Например, евклидова метрика измеряет расстояние между точками в евклидовой плоскости, а гиперболическая метрика измеряет расстояние в гиперболической плоскости. Другие важные примеры метрик включают метрику Лоренца в специальной теории относительности и полу- римановы метрики из общей теории относительности.
. В другом направлении, концепции длины, площади и объема расширены теорией измерения, которая изучает методы присвоения размера или меры наборам, где меры следуют правилам, аналогичным правилам классической области и
Конгруэнтность и подобие - это концепции, которые описывают, когда две формы имеют схожие характеристики. В евклидовой геометрии сходство используется для описания объектов, имеющих одинаковую форму, в то время как конгруэнтность используется для описания объектов, одинаковых как по размеру, так и по форме. Гильберт в своей работе по созданию более строгого основания для геометрии конгруэнтность трактуется как неопределенный термин, свойства которого определяются аксиомами.
Конгруэнтность и подобие обобщаются в геометрии преобразования, которая изучает свойства геометрических объектов, которые сохраняются различными видами преобразования.
Классические геометры уделяли особое внимание построению геометрических объектов, которые были описаны иным образом. Классически единственными инструментами, разрешенными для геометрических построений, являются компас и линейка. Кроме того, каждая конструкция должна была быть завершена за конечное число шагов. Однако некоторые проблемы оказалось трудно или невозможно решить только этими средствами, и были найдены гениальныеконструкции с использованием парабол и других кривых, а также механические устройства.
Снежинка Коха с фрактальной размерностью = log4 / log3 и топологическим измерением =1Там, где традиционная геометрия допускала размеры 1 (a строка ), 2 (плоскость ) и 3 (наш окружающий мир задуман как трехмерное пространство ), математики и физики использовали высшие измерения на почти двух столетий. Одним из примеров математического использования более высоких измерений является конфигурационное пространство физическая система, размерность которого равна степеням свободы системы. Например, конфигурацию винта можно описать пятью координатами.
В общей топологии понятие размерности было расширено с натуральных чисел до бесконечности размерность (гильбертовы пространства, например) и положительные действительные числа (в фрактальной геометрии ). В алгебраической геометрии измерение алгебраической разновидности получило ряд явно различных определений, которые в большинстве случаев эквивалентны.
A мозаика гиперболической плоскости Тема симметрии в геометрии почти так же стара, как и сама наука геометрия. Симметричные формы, такие как круг, правильные многоугольники и платоновые тела, имели глубокое значение для многих древних философов и были подробно исследованы до времен Евклида. Симметричные узоры встречаются в природе и были художественно воспроизведены во множестве форм, включая графику да Винчи, M.C. Эшер и другие. Во второй половине XIX века отношения между симметрией и геометрией стали предметом пристального внимания. Программа Erlangen Феликса Клейна провозгласила, что в очень точном смысле симметрия, выраженная через понятие группы преобразований , определяет, что такое геометрия. Симметрия в классической евклидовой геометрии представлена конгруэнциями и жесткими движениями, тогда как в проективной геометрии аналогичную роль играют коллинеации, геометрические преобразования, превращающие прямые в прямые. Однако именно в новой геометрии Бойяи и Лобачевского, Римана, Клиффорда и Кляйна и Софуса Ли идея Кляйна «определить геометрию через ее группу симметрии 'нашел свое вдохновение. И дискретные, и непрерывные симметрии играют роль в геометрии: первая - в топологии и геометрической теории групп, вторая - в теории Ли и римановой геометрии.
Другой тип симметрии - это принцип двойственности в проективной геометрии среди других областей. Этот мета-феномен можно примерно описать следующим образом: в любой теореме точка обмена с плоскостью, соединение с встречей, лежит внутри, содержит, результатом является одинаково верная теорема. Аналогичная и связанная форма двойности существует между векторным пространством и его двойным пространством.
Евклидова геометрия - это геометрия в его классической геометрии смысл. Он использует пространство научных исследований, он используется во многих областях, таких как механика, астрономия, кристаллография и многих технических областей, таких как инженерия, архитектура, геодезия, аэродинамика и навигация. Обязательная образовательная программа самых стран включает изучение евклидовых понятий, таких как точек, линий, плоскостей, углов, треугольники, конгруэнтность, сходство, твердые фигуры, круги и аналитическая геометрия.
Дифференциальная геометрия использует инструменты из исчисления для изучения проблем, связанных с кривизной. Дифференциальная геометрия использует методы исчисления и линейной алгебры изучать задачи по геометрии. Он имеет приложение, в частности, в физике, эконометрике и биоинформатике.
В особенности, отличная геометрия важна для математической физики из-за общей теории относительности Альберта Эйнштейна, согласно которой Вселенная - это изогнутый. Геометрическая структура регулируется римановой метрикой, которая определяет, как измеряются расстояния около каждой точки), или внешними ( где изучаемый объект является частью некоторого окружающего плоского евклидова пространства).
Евклидова геометрия была не единственной исторической формой изучаемой геометрии. Сферическая геометрия давно используется астрономами, астрологами и мореплавателями.
Иммануил Кант утвержден, что существует только одна, абсолютная геометрия, которая априори известна внутренняя способность ума: Евклидова геометрия была синтетической априори. Эта точка зрения сначала была несколько оспорена такими мыслителями, как Саккери, а затем окончательно опровергнута революционным открытием неевклидовой геометрией в работах Бойя, Лобачевского и Гаусса (который никогда не опубликовал свою теорию). Они применили, что обычное евклидово пространство - лишь одна из возможностей развития геометрии. Широкое видение предметарии было затем выражено Риманом в его инаугурационной лекции 1867 года Uber die Hypothesen, welche der Geometrie zu Grunde liegen (О гипотезах, на которых основана геометрия), опубликованной только после его смерти.. Новая идея Римана о представлении оказалась решающей в общей теории относительности Альберта Эйнштейна . Риманова геометрия, которая рассматривает очень общие пространства, в которых определено понятие геометрии, является опорой современной теории.
Утолщение узла-трилистника Топология - это область, связанная со свойствами непрерывных отображений, и ее можно рассматривать как обобщение евклидовой геометрии. На практике топология часто означает работу с крупномасштабными структурами, такими как связность и компактность.
Область топологии, получившая массовое развитие в 20-м веке, находится в технической области. смысл типа геометрии преобразования, в которой преобразования являются гомеоморфизмами. Это часто выражается в форме поговорки «топология - это геометрия резинового листа». Подполя топологии включает геометрическую топологию, дифференциальную топологию, алгебраическую топологию и общую топологию.
Quintic Calabi– Тройное построение Яу Область алгебраической геометрии возникла из декартовой геометрии координат. Онерпевал периодические периоды развития, сопровождаясь созданием и изучением проективной геометрии, бирациональной геометрии, алгебраических разновидностей и коммутативной алгебры, среди других тем. С конца 1950-х до середины 1970-х годов он претерпел существенное развитие, во многом благодаря работам Жан-Пьера Серра и Александра Гротендика. Это привело к введению схем и большему вниманию к топологическим методам, включая теории когомологий. Одна из семи задач Премии тысячелетия, гипотеза Ходжа, относится к алгебраической геометрии. Доказательство Уайлса Великой теоремы Ферма использует передовые методы алгебраической геометрии для решения давней проблемы теории чисел.
В общем, алгебраическая геометрия изучает геометрию с помощью таких понятий в коммутативной алгебре, как многомерных многочленов. Он приложения во многих областях, включая криптографию и теорию струн.
Сложная геометрия изучает природу геометрических структур, смоделированных или возникающих из комплексная плоскость. Сложная геометрия находится на пересечении дифференциальной геометрии, алгебраической геометрии и анализа нескольких комплексных чисел и нашла применение в теории струн и зеркальной симметрии.
Сложной геометрии впервые появилась как отдельная область в работе Бернхарда Римана в его исследовании римановых поверхностей. Работы в духе Римана были выполнены итальянской школой алгебраической геометрии в начале 1900-х годов. Современное рассмотрение сложной геометрии началось с работ Жан-Пьера Серра, который представил предметное понятие пучков и осветил взаимосвязь между сложной геометрией и алгебраической геометрией. Основными объектами изучения комплексной геометрии являются комплексные многообразия, комплексные алгебраические пучки, комплексные аналитические многообразия и голоморфные данные расслоения и когерентные пучки над этим пространствами. Специальные примеры пространств, изучаемые в сложной геометрии, включают в себя множество пространств Калаби-Яу, и эти пространства находят применение в теории струн. В частности, мировые таблицы струн моделируются римановыми поверхностями, а теория суперструн предсказывает, что дополнительные 6 измерений 10-мерного пространства-времени могут быть смоделированы Калаби-Яу. коллекторы.
включает изучение различных сферических упаковок.Дискретная геометрия является предметом, который имеет тесные связи с выпуклой геометрией. В основном это касается вопросов взаимного расположения простых геометрических объектов, таких как точки, линии и окружности. Примеры включают <изучение38>упаковки сфер, триангуляций, гипотезы Кнезера-Поульсена и т. Д. Она разделяет многие методы и принципы с комбинаторикой.
Вычислительная геометрия имеет дело с алгоритмами и их реализациями для управления геометрическими объектами. Исторически важные проблемы включали в себя задачу коммивояжера, минимальные остовные деревья, удаление скрытых строк и линейное программирование.
. в области геометрии, он имеет множество приложений в компьютерном зрении, обработке изображений, автоматизированном проектировании, медицинской визуализации и т. д.
Граф Кэли свободной группы на двух образующих a и b Геометрическая теория групп использует крупномасштабные геометрические методы для изучения конечно порожденные группы. Это тесно связано с низкоразмерной топологией, например, в Григорий Перельман в доказательстве гипотезы о геометризации, которое включало доказательство Гипотеза Пуанкаре, проблема Премии тысячелетия.
Геометрическая теория групп часто вращается вокруг графа Кэли, который представляет собой геометрическое представление группы. Другие важные темы включают квазиизометрии, гиперболические группы Громова и прямоугольные группы Артина.
Выпуклая геометрия исследует выпуклые формы в евклидовом пространстве и его более абстрактные аналоги, часто с использованием методов реального анализа и дискретной математики. Он тесно связан с выпуклым анализом, оптимизацией и функциональным анализом, а также важными приложениями в теории чисел.
Выпуклая геометрия восходит к древности. Архимед дал первое известное точное определение выпуклости. Изопериметрическая задача, повторяющаяся концепция в выпуклой геометрии, также изучалась греками, в том числе Зенодором. Архимед, Платон, Евклид, а позже Кеплер и Кокстер - все изучали выпуклые многогранники и их свойства. Начиная с XIX века математики изучали другие области выпуклой математики, включая многомерные многогранники, объем и площадь поверхности выпуклых тел, гауссову кривизну, алгоритмы, мозаики. и решетки.
Геометрия нашла применение во многих областях, некоторые из которых описаны ниже.
Медресе Бу Инания, Фес, Марокко, мозаичные плитки зеллидж, образующие сложные геометрические мозаики. Математика и искусство связаны разными способами. Например, теория перспективы показала, что геометрия - это нечто большее, чем просто метрические свойства фигур: перспектива - это источник проективной геометрии.
Художники давно использовали концепции пропорция в дизайне. Витрувий разработал сложную теорию идеальных пропорций человеческой фигуры. Эти концепции использовались и адаптировались художниками от Микеланджело до современных художников комиксов.
золотое сечение - особая пропорция, которая сыграла противоречивую роль в искусстве.. Часто утверждается, что это наиболее эстетически приятное соотношение длин, но часто утверждается, что оно включено в известные произведения искусства, хотя самые надежные и недвусмысленные примеры были намеренно созданы художниками, знающими эту легенду.
Тилинг, или мозаики, использовались в искусстве на протяжении всей истории. Исламское искусство часто использует мозаику, как и искусство Эшера. В своей работе Эшер также использовал гиперболическую геометрию.
Сезанн выдвинул теорию о том, что все изображения могут быть построены из сферы, конуса и цилиндр. Это все еще используется в теории искусства сегодня, хотя точный список форм варьируется от автора к автору.
Геометрия имеет множество приложений в архитектуре. Фактически, было сказано, что геометрия лежит в основе архитектурного дизайна. Применение геометрии в архитектуре включает использование проективной геометрии для создания принудительная перспектива, использование конических секций конических секций, использование мозаики и использование симметрии.
Область астрономии, особенно когда она занимается с картированием положений звезд и планет на небесной сфере и описывающие взаимосвязь между движениями небесных тел, служили важным элементом геометрических проблем на протяжении всей истории.
Риманова геометрия и псевдориманова геометрия используются в общей теории относительности. Теория струн использует несколько вариантов геометрии, как и квантовая теория информации.
Пайт хагорейцы появляются, что треугольника иметь могут несоизмеримую длина. Исчисление находится под сильным течением геометрии. Например, введение координаты Рене Декартом и одновременное развитие алгебры ознаменовали новый этап для геометрии, как геометрические фигуры, такие как плоскость кривые могут быть аналитически в виде функций и ресурсов. Это сыграло ключевую роль в появлении исчисления бесконечно малых в 17 веке. Аналитическая геометрия продолжает оставаться учебным программам по предварительному исчислению и математическому анализу.
Другой областью применения является теория чисел. В Древней Греции пифагорейцы рассматривали роль чисел в геометрии. Однако открытие несоизмеримых длин противоречило их философским взглядам. С XIX века геометрия использовалась для решения задач теории чисел, например, с помощью геометрии чисел или в последнее время, теории схем, которая используется в Доказательство Уайлса Великой теоремы Ферма.
 | В Викиучебнике есть дополнительная информация по теме: Геометрия |
«Геометрия». Encyclopædia Britannica. 11(11-е изд.). 1911. С. 675–736.
