Сложные проценты

Сумма сложного процента, выплачиваемая за использование денег Эффективные процентные ставки Влияние получения 20% годовых на первоначальная инвестиция в размере 1000 долларов США с различной частотой начисления сложных процентов

Сложный процент - это добавление процентов к основной сумме ссуды или депозита, или, другими словами, процентов по интерес. Это результат реинвестирования процентов, а не их выплаты, так что проценты в следующем периоде затем начисляются на основную сумму плюс ранее накопленные проценты. Сложные проценты являются стандартными в финансах и экономике.

Сложные проценты противопоставляются простым процентам, где ранее накопленные проценты не добавляются к основной сумме текущего периода, так что нет никакого компаундирования. Простая годовая процентная ставка - это сумма процентов за период, умноженная на количество периодов в году. Простая годовая процентная ставка также известна как номинальная процентная ставка (не путать с процентной ставкой без поправки на инфляцию, которая определяется тем же название).

• 1 Частота начисления сложных процентов
• 2 Годовая эквивалентная ставка
• 3 Примеры
• 4 Дисконтные инструменты
• 5 Расчет
  • 5.1 Периодическое начисление сложных процентов
    • 5.1.1 Пример 1
    • 5.1.2 Пример 2
  • 5.2 Функция накопления
  • 5.3 Непрерывное начисление сложных процентов
  • 5.4 Сила процентов
  • 5.5 Основа начисления процентов
  • 5.6 Ежемесячные амортизированные выплаты по ссуде или ипотеке
    • 5.6.1 Точная формула для ежемесячных платеж
    • 5.6.2 Примерная формула для ежемесячного платежа
    • 5.6.3 Пример ипотечного платежа
  • 5.7 Инвестирование: ежемесячные депозиты
• 6 История
• 7 См. также
• 8 Ссылки

Частота начисления сложных процентов - это количество раз в год (или, реже, в другую единицу времени), накопленные проценты выплачиваются или капитализируются (зачисляются на счет) на регулярной основе. Периодичность может быть годовой, полугодовой, ежеквартальной, ежемесячной, еженедельной, ежедневной или непрерывно (или вообще не до срока погашения).

Например, ежемесячная капитализация с процентами, выраженными в виде годовой ставки, означает, что частота начисления сложных процентов равна 12, а периоды времени измеряются в месяцах.

Эффект начисления сложных процентов зависит от:

1. применяемой номинальной процентной ставки и
2. периодичности начисления процентов.

номинальной Ставку нельзя напрямую сравнивать между кредитами с разной частотой начисления сложных процентов. И номинальная процентная ставка, и частота начисления сложных процентов необходимы для сравнения процентных финансовых инструментов.

Чтобы помочь потребителям более объективно и легко сравнивать розничные финансовые продукты, многие страны требуют от финансовых учреждений раскрывать годовую сложную процентную ставку по депозитам или авансам на сопоставимой основе. Процентная ставка на основе годового эквивалента может по-разному именоваться на разных рынках как эффективная годовая процентная ставка (EAPR), годовая эквивалентная ставка (AER), эффективная процентная ставка., эффективная годовая ставка, годовая процентная доходность и другие условия. Эффективная годовая ставка - это общая сумма накопленных процентов, подлежащих выплате до конца года, деленная на основную сумму.

Обычно есть два аспекта правил, определяющих эти ставки:

1. Ставка - это годовая ставка сложного процента, и
2. Могут взиматься другие сборы, помимо процентов. Могут быть включены эффекты сборов или налогов, взимаемых с покупателя и непосредственно связанных с продуктом. То, какие именно сборы и налоги включены или исключаются, зависит от страны, может быть или не быть сопоставимым в разных юрисдикциях, поскольку использование таких терминов может быть несовместимым и варьироваться в зависимости от местной практики.

• 1000 бразильских реалов (BRL) переводится на бразильский сберегательный счет с ежегодной выплатой 20% годовых. В конце года на счет зачисляется 1000 x 20% = 200 реалов. Затем счет за второй год зарабатывает 1200 x 20% = 240 реалов.
• Ставка 1% в месяц эквивалентна простой годовой процентной ставке (номинальной ставке) в 12%, но с учетом эффекта при начислении сложных процентов годовая эквивалентная сложная ставка составляет 12,68% годовых (1,01 - 1).
• Процентная ставка по корпоративным и государственным облигациям обычно выплачивается дважды в год. Сумма выплачиваемых процентов (каждые шесть месяцев) - это раскрытая процентная ставка, деленная на два и умноженная на основную сумму. Годовая комбинированная ставка выше, чем раскрытая.
• Канадские ипотечные ссуды обычно дополняются раз в полгода с ежемесячными (или более частыми) платежами.
• США ипотечные кредиты используют амортизируемую ссуду, а не сложные проценты. Для этих кредитов используется график погашения, чтобы определить, как применять платежи в счет основной суммы долга и процентов. Проценты, полученные по этим займам, не добавляются к основной сумме, а выплачиваются ежемесячно по мере начисления платежей.
• Иногда это проще математически, например, при оценке деривативов, чтобы использовать непрерывное начисление процентов, которое является пределом, поскольку период начисления процентов приближается к нулю. Постоянное увеличение стоимости этих инструментов является естественным следствием исчисления Itō, где производные финансовые инструменты оцениваются с постоянно увеличивающейся частотой до тех пор, пока не будет достигнут предел, а производные финансовые инструменты будут оцениваться непрерывно.

• ГКО США и Канады (краткосрочный государственный долг) имеют разные правила. Их проценты рассчитываются на основе дисконта как (100 - P) / Pbnm, где P - уплаченная цена. Вместо того, чтобы нормализовать его до года, проценты пропорциональны количеству дней t: (365 / t) × 100. (См. соглашение о подсчете дней ).

Периодическое сложение

Общее накопленное значение, включая основную сумму $P\; \{\backslash \; displaystyle\; P\}$плюс сложный процент $I\; \{\backslash \; displaystyle\; I\}$, определяется по формуле:

$P\; \prime \; =\; P\; (1\; +\; rn)\; nt\; \{\backslash \; displaystyle\; P\; \text{'}=\; P\; \backslash \; left\; (1+\; \{\backslash \; frac\; \{r\}\; \{n\}\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{nt\}\}$

где:

P - исходная основная сумма

P '- новая основная сумма

r - номинальная годовая процентная ставка

n - частота начисления сложных процентов

t - общий период времени, в течение которого начисляются проценты (выражается с использованием тех же единиц времени, что и r, обычно в годах).

Суммарный сложный процент представляет собой окончательное значение за вычетом первоначального основного долга:

$I\; =\; P\; (1\; +\; rn)\; nt\; -\; P\; \{\backslash \; displaystyle\; I\; =\; P\; \backslash \; left\; (1\; +\; \{\backslash \; frac\; \{r\}\; \{n\; \}\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{nt\}\; -P\}$

Пример 1

Предположим, что основная сумма в размере 1500 долларов размещена в банке с годовой процентной ставкой 4,3%, начисляемой ежеквартально.. Затем остаток через 6 лет ars находится по приведенной выше формуле с P = 1500, r = 0,043 (4,3%), n = 4 и t = 6:

$P\; \prime \; =\; 1\; 500\; \times \; (1\; +\; 0,043\; 4)\; 4\; \times \; 6\; \approx \; 1\; 938.84\; \{\backslash \; displaystyle\; P\; \text{'}=\; 1\; \backslash ,\; 500\; \backslash \; times\; \backslash \; left\; (1\; +\; \{\backslash \; frac\; \{0.043\}\; \{4\}\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{4\; \backslash \; times\; 6\}\; \backslash \; приблизительно\; 1\; \backslash ,\; 938.84\}$

Итак новый принципал $P\; \text{'}\{\backslash \; displaystyle\; P\text{'}\}$через 6 лет составляет примерно 1 938,84 доллара.

Вычитание первоначальной основной суммы из этой суммы дает сумму полученных процентов:

$1\; 938,84\; -\; 1\; 500\; =\; 438,84\; \{\backslash \; displaystyle\; 1\; \backslash ,\; 938.84-1\; \backslash ,\; 500\; =\; 438,84\}$

Пример 2

Предположим, что одна и та же сумма в размере 1500 долларов начисляется каждые два года (каждые 2 года). (На практике это очень необычно.) Затем баланс через 6 лет определяется с помощью формулы, приведенной выше, с P = 1500, r = 0,043 (4,3%), n = 1/2 (проценты начисляются каждые два года) и t = 6:

$P\; \prime \; =\; 1\; 500\; \times \; (1\; +\; (0,043\; \times \; 2))\; 6\; 2\; \approx \; 1\; 921,24\; \{\backslash \; displaystyle\; P\; \text{'}=\; 1\; \backslash ,\; 500\; \backslash \; times\; \backslash \; left\; (1+\; (0,043\; \backslash \; times\; 2)\; \backslash \; right)\; ^\; \{\backslash \; frac\; \{6\}\; \{2\}\}\; \backslash \; приблизительно\; 1\; \backslash ,\; 921,24\}$

Таким образом, баланс через 6 лет составляет примерно 1 921,24 доллара.

Сумма полученных процентов может быть рассчитана путем вычитания основной суммы из этой суммы.

$1\; 921,24\; -\; 1\; 500\; =\; 421,24\; \{\backslash \; displaystyle\; 1\; \backslash ,\; 921.24-1\; \backslash ,\; 500\; =\; 421,24\}$

Процентная ставка меньше по сравнению с предыдущим случаем из-за более низкой частоты начисления сложных процентов.

Функция накопления

Поскольку главный P является просто коэффициентом, его часто опускают для простоты, и вместо него используется результирующая функция накопления . Функция накопления показывает, до чего вырастет 1 доллар через любой промежуток времени.

Функции накопления для простых и сложных процентов:

$a\; (t)\; =\; 1\; +\; rt\; \{\backslash \; displaystyle\; a\; (t)\; =\; 1\; +\; rt\; \backslash ,\}$

$a\; (t)\; =\; (1\; +\; rn)\; nt\; \{\backslash \; displaystyle\; a\; (t)\; =\; \backslash \; left\; (1\; +\; \{\backslash \; frac\; \{r\}\; \{n\}\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{nt\}\}$

Если $nt\; =\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; nt\; =\; 1\; \}$, то эти две функции одинаковы.

Непрерывное начисление сложных процентов

Поскольку n, количество периодов начисления сложных процентов в год, неограниченно увеличивается, случай известен как непрерывное начисление сложных процентов, и в этом случае эффективная годовая ставка приближается к верхнему пределу e - 1, где e - математическая константа ,, которая является основанием натурального логарифма.

Непрерывное сложение можно рассматривать как деление периода сложения бесконечно малым. взяв предел , когда n переходит в бесконечность. См. определения экспоненциальной функции для математического доказательства этого предела. Сумма после t периодов непрерывного начисления сложных процентов может быть выражена в терминах начального количества P 0 как

$P\; (t)\; =\; P\; 0\; e\; r\; t.\; \{\backslash \; displaystyle\; P\; (t)\; =\; P\_\; \{0\}\; e\; ^\; \{rt\}.\}$

Сила интереса

Как количество периодов сложения $n\; \{\backslash \; displaystyle\; n\}$достигает бесконечности при непрерывном начислении сложных процентов, непрерывная сложная процентная ставка называется силой процента $\delta \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; delta\}$.

В математике функции накопления часто выражаются в виде e, основание натурального логарифма. Это облегчает использование исчисления для управления формулами процентов.

Для любой непрерывно дифференцируемой накопительной функции a (t) интересующая сила или, в более общем смысле, логарифмический или непрерывно сложенный доход является функцией времени, определяемой как следующим образом:

$\delta \; T\; =\; a\; \text{'}(t)\; a\; (t)\; =\; ddt\; ln\; \; a\; (t)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; delta\; \_\; \{t\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{a\text{'}\; (t)\}\; \{a\; (t)\; \}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{d\}\; \{dt\}\}\; \backslash \; ln\; a\; (t)\}$

Это логарифмическая производная функции накопления.

И наоборот:

$a\; (t)\; =\; e\; \int \; 0\; t\; \delta \; sds,\; \{\backslash \; displaystyle\; a\; (t)\; =\; e\; ^\; \{\backslash \; int\; \_\; \{0\}\; ^\; \{t\}\; \backslash \; delta\; \_\; \{s\}\; \backslash ,\; ds\}\; \backslash ,\}$(поскольку $a\; (0)\; =\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; a\; (0)\; =\; 1\}$; это можно рассматривать как частный случай a интеграл произведения ).

Когда приведенная выше формула записана в формате дифференциального уравнения, тогда интересующая сила - это просто коэффициент величины изменения:

$da\; (t)\; =\; \delta \; ta\; (t)\; dt\; \{\backslash \; displaystyle\; da\; (t)\; =\; \backslash \; delta\; \_\; \{t\}\; a\; (t)\; \backslash ,\; dt\; \backslash ,\}$

Для сложных процентов с постоянной годовой процентной ставкой r сила процента является постоянной, а функция накопления сложного процента интерес с точки зрения силы интереса представляет собой простую степень е:

$\delta \; =\; ln\; \; (1\; +\; r)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; delta\; =\; \backslash \; ln\; (1\; +\; r)\; \backslash ,\}$or

$a\; (t)\; =\; et\; \delta \; \{\backslash \; displaystyle\; a\; (t)\; =\; e\; ^\; \{t\; \backslash \; delta\}\; \backslash ,\}$

Сила процента меньше годовой эффективной процентной ставки, но больше годовой эффективной ставки дисконтирования. Это величина, обратная времени электронного складывания. См. Также обозначение процентных ставок.

Способ моделирования силы инфляции - это формула Стодли: $\delta \; t\; =\; p\; +\; s\; 1\; +\; rsest\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; delta\; \_\; \{t\}\; =\; p\; +\; \{s\; \backslash \; over\; \{1+\; rse\; ^\; \{st\}\}\}\}$где p, r и s оцениваются.

Основа начисления сложных процентов

Чтобы преобразовать процентную ставку с одной основы начисления на другую основу начисления процентов, используйте

$r\; 2\; =\; [(1\; +\; r\; 1\; n\; 1)\; n\; 1\; n\; 2\; -\; 1\; ]\; n\; 2,\; \{\backslash \; displaystyle\; r\_\; \{2\}\; =\; \backslash \; left\; [\backslash \; left\; (1\; +\; \{\backslash \; frac\; \{r\_\; \{1\}\}\; \{n\_\; \{1\}\}\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{\backslash \; frac\; \{n\_\; \{1\}\}\; \{\; n\_\; \{2\}\}\}\; -\; 1\; \backslash \; right]\; \{n\_\; \{2\}\},\}$

где r 1 - процентная ставка с частотой начисления сложных процентов n 1, а r 2 - процентная ставка с частотой начисления процентов n 2.

Если процентная ставка непрерывно начисляется, используйте

$\delta \; =\; n\; ln\; \; (1\; +\; rn),\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; delta\; =\; n\; \backslash \; ln\; \{\backslash \; left\; (1\; +\; \{\backslash \; frac\; \{r\}\; \{n\}\}\; \backslash \; right)\},\}$

где $\delta \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; delta\}$- процентная ставка по непрерывная основа начисления сложных процентов, а r - заявленная процентная ставка с частотой начисления процентов n.

Ежемесячные амортизированные выплаты по ссуде или ипотеке

Амортизируемые проценты по ссудам и ипотечным кредитам, т. Е. Имеют плавный ежемесячный платеж до погашения ссуды, часто начисляются ежемесячно. Формула выплат находится из следующих аргументов.

Точная формула для ежемесячного платежа

Точная формула для ежемесячного платежа ($c\; \{\backslash \; displaystyle\; c\}$):

$c\; =\; P\; r\; 1\; -\; 1\; (1\; +\; r)\; n\; \{\backslash \; displaystyle\; c\; =\; \{\backslash \; frac\; \{Pr\}\; \{1\; -\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{(1\; +\; r)\; ^\; \{n\}\}\}\}\}\}$

или эквивалентно

$с\; =\; п\; р\; 1\; -\; е\; -\; n\; пер\; \; (1\; +\; г)\; \{\backslash \; displaystyle\; c\; =\; \{\backslash \; frac\; \{Pr\}\; \{1-e\; ^\; \{-\; n\; \backslash \; ln\; (1\; +\; r)\}\}\}\}$

где:

$c\; \{\backslash \; displaystyle\; c\}$= ежемесячный платеж

$P\; \{\backslash \; displaystyle\; P\}$= основная сумма

$r\; \{\backslash \; displaystyle\; r\}$= ежемесячная процентная ставка

$n\; \{\backslash \; displaystyle\; n\}$= количество периодов выплат

Это можно получить, посчитав, сколько еще осталось выплатить после каждого месяца.. Основная сумма, оставшаяся после первого месяца, равна

$P\; 1\; =\; (1\; +\; r)\; P\; -\; c,\; \{\backslash \; displaystyle\; P\_\; \{1\}\; =\; (1\; +\; r)\; Pc,\}$

то есть начальная сумма плюс проценты за вычетом платежа.. Если вся ссуда погашается через месяц, то

$P\; 1\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; P\_\; \{1\}\; =\; 0\}$, поэтому $P\; =\; c\; 1\; +\; r\; \{\backslash \; displaystyle\; P\; =\; \{\backslash \; frac\; \{c\}\; \{1\; +\; r\}\}\}$

После второго месяца $P\; 2\; =\; (1\; +\; r)\; P\; 1\; -\; c\; \{\backslash \; displaystyle\; P\_\; \{2\}\; =\; (1\; +\; r)\; P\_\; \{1\}\; -c\}$осталось, поэтому

$P\; 2\; =\; (1\; +\; r)\; ((1\; +\; r)\; P\; -\; c)\; -\; c\; \{\backslash \; displaystyle\; P\_\; \{2\}\; =\; (1\; +\; r)\; ((1\; +\; r)\; Pc)\; -c\}$

Если весь кредит был погашен через два месяца,

$P\; 2\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; P\_\; \{2\}\; =\; 0\}$, поэтому $P\; =\; c\; 1\; +\; r\; +\; c\; (1\; +\; r)\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; P\; =\; \{\backslash \; frac\; \{c\}\; \{1\; +\; r\}\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{c\}\; \{(1\; +\; r)\; ^\; \{2\}\}\}\}$

Это уравнение обобщает срок в n месяцев, $P\; =\; c\; \sum \; j\; =\; 1\; n\; 1\; (1\; +\; r)\; j\; \{\backslash \; displaystyle\; P\; =\; c\; \backslash \; sum\; \_\; \{j\; =\; 1\; \}\; ^\; \{n\}\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{(1\; +\; r)\; ^\; \{j\}\}\}\}$. Это геометрический ряд, который имеет сумму

$P\; =\; cr\; (1-1\; (1\; +\; r)\; n)\; \{\backslash \; displaystyle\; P\; =\; \{\backslash \; frac\; \{c\}\; \{r\}\}\; \backslash \; left\; (\; 1\; -\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{(1\; +\; r)\; ^\; \{n\}\}\}\; \backslash \; right)\}$

который можно переставить так, чтобы получить

$c\; =\; P\; r\; 1\; -\; 1\; (1\; +\; r)\; n\; =\; П\; р\; 1\; -\; е\; -\; n\; пер\; \; (1\; +\; r)\; \{\backslash \; displaystyle\; c\; =\; \{\backslash \; frac\; \{Pr\}\; \{1\; -\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{(1\; +\; r)\; ^\; \{n\}\}\}\}\}\; =\; \{\; \backslash \; frac\; \{Pr\}\; \{1-e\; ^\; \{-\; n\; \backslash \; ln\; (1\; +\; r)\}\}\}\}$

Формула электронной таблицы

В электронных таблицах используется функция PMT () . Синтаксис:

PMT (процент_платежей, количество_платежей, текущее_значение, будущее_значение, [Тип])

См. Excel, Номера Mac, LibreOffice, Откройте Office, Google Таблицы для получения дополнительных сведений.

Например, для процентной ставки 6% (0,06 / 12), 25 лет * 12 в год, PV равняется 150 000 долларов США, FV 0, тип 0 дает:

= PMT (0,06 / 12, 25 * 12, -150000, 0, 0)

= 966,45 долл. США

Приблизительная формула для ежемесячного платежа

Формулу с точностью до нескольких процентов можно найти, отметив, что для типичная ставка банкнот США (и условия $T\; \{\backslash \; displaystyle\; T\}$= 10–30 лет), месячная ставка нот мала по сравнению с 1: , так что $ln\; \; (1\; +\; r)\; \approx \; r\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; ln\; (1\; +\; r)\; \backslash \; приблизительно\; r\}$, что дает упрощение так, что

$c\; \approx \; P\; r\; 1\; -\; e\; -\; nr\; =\; P\; nnr\; 1\; -\; e\; -\; nr\; \{\backslash \; displaystyle\; c\; \backslash \; приблизительно\; \{\backslash \; frac\; \{Pr\}\; \{1-e\; ^\; \{-\; nr\}\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{P\}\; \{n\}\}\; \{\backslash \; frac\; \{nr\}\; \{1-e\; ^\; \{-\; nr\}\}\}\}$

который предлагает определить вспомогательные переменные

$Y\; \equiv \; nr\; =\; IT\; \{\backslash \; displaystyle\; Y\; \backslash \; Equiv\; nr\; =\; IT\}$

$c\; 0\; \equiv \; P\; n\; \{\backslash \; displaystyle\; c\_\; \{0\}\; \backslash \; Equiv\; \{\backslash \; frac\; \{P\}\; \{n\}\}\}$.

Здесь $c\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; c\_\; \{0\}\}$- это ежемесячный платеж, необходимый для беспроцентной ссуды, выплаченной в $п\; \{\backslash \; disp\; laystyle\; n\}$в рассрочку. В терминах этих переменных можно записать приближение

$c\; \approx \; c\; 0\; Y\; 1\; -\; e\; -\; Y,\; \{\backslash \; displaystyle\; c\; \backslash \; приблизительно\; c\_\; \{0\}\; \{\backslash \; frac\; \{Y\}\; \{1-e\; ^\; \{-\; Y\}\}\; \},\}$

Функция $f\; (Y)\; \equiv \; Y\; 1\; -\; e\; -\; Y\; -\; Y\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; (Y)\; \backslash \; Equiv\; \{\backslash \; frac\; \{Y\}\; \{1-e\; ^\; \{-\; Y\}\}\; \}\; -\; \{\backslash \; frac\; \{Y\}\; \{2\}\}\}$является четным:

$f\; (Y)\; =\; f\; (-\; Y)\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; (Y)\; =\; f\; (-Y)\}$

, подразумевая, что он может быть расширен до четных степеней $Y\; \{\backslash \; displaystyle\; Y\}$.

Отсюда сразу следует, что $Y\; 1\; -\; e\; -\; Y\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{Y\}\; \{1-e\; ^\; \{-\; Y\}\}\}\}$можно разложить в четных степенях $Y\; \{\backslash \; displaystyle\; Y\}$плюс один член: $Y\; /\; 2.\; \{\backslash \; displaystyle\; Y\; /\; 2.\}$

Тогда будет удобно определить

$X\; =\; 1\; 2\; Y\; =\; 1\; 2\; IT\; \{\backslash \; displaystyle\; X\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\; Y\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\; \}\; \{2\}\}\; IT\}$

так, чтобы

$c\; \approx \; c\; 0\; 2\; X\; 1\; -\; e\; -\; 2\; X\; \{\backslash \; displaystyle\; c\; \backslash \; приблизительно\; c\_\; \{0\}\; \{\backslash \; frac\; \{2X\}\; \{1-e\; ^\; \{-\; 2X\}\}\}\}$

который может быть расширен:

$c\; \approx \; c\; 0\; (1\; +\; X\; +\; X\; 2\; 3-1\; 45\; X\; 4\; +....)\; \{\backslash \; Displaystyle\; c\; \backslash \; приблизительно\; c\_\; \{0\}\; \backslash \; left\; (1\; +\; X\; +\; \{\backslash \; frac\; \{X\; ^\; \{2\}\}\; \{3\}\}\; -\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{45\}\}\; X\; ^\; \{\; 4\}\; +...\; \backslash \; right)\}$

где многоточием обозначены члены более высокого порядка по четной степени $X\; \{\backslash \; displaystyle\; X\}$. Расширение

$P\; \approx \; P\; 0\; (1\; +\; X\; +\; X\; 2\; 3)\; \{\backslash \; displaystyle\; P\; \backslash \; приблизительно\; P\_\; \{0\}\; \backslash \; left\; (1\; +\; X\; +\; \{\backslash \; frac\; \{X\; ^\; \{2\}\}\; \{3\}\}\; \backslash \; right)\}$

действительно до 1% при условии $X\; \le \; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; X\; \backslash \; leq\; 1\}$.

Пример выплаты по ипотеке

Для ипотеки в размере 10 000 долларов США сроком на 30 лет и ставка примечания 4,5%, выплачиваемая ежегодно, мы находим:

$T\; =\; 30\; \{\backslash \; displaystyle\; T\; =\; 30\}$

$I\; =\; 0,045\; \{\backslash \; displaystyle\; I\; =\; 0,045\}$

, что дает

$X\; =\; 1\; 2\; IT\; =\; 0,675\; \{\backslash \; displaystyle\; X\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\; IT\; =\; 0,675\}$

, так что

$P\; \approx \; P\; 0\; (1\; +\; X\; +\; 1\; 3\; X\; 2)\; =\; \$\; 333,33\; (1\; +\; 0,675\; +\; 0,675\; 2/3)\; =\; \$\; 608.96\; \{\backslash \; displaystyle\; P\; \backslash \; приблизительно\; P\_\; \{0\}\; \backslash \; left\; (1\; +\; X\; +\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{3\}\}\; X\; ^\; \{2\}\; \backslash \; right)\; =\; \backslash \; 333,33\; доллара\; (1\; +\; 0,675\; +\; 0,675\; ^\; \{2\}\; /\; 3)\; =\; \backslash \; 608,96\; доллара\}$

Точная сумма платежа составляет $P\; =\; 608,02\; доллара\; \{\backslash \; displaystyle\; P\; =\; \backslash \; 608,02\; доллара\}$Так что приблизительное значение завышено примерно на шестую долю процента.

Инвестирование: ежемесячные депозиты

При наличии основного (начального) депозита и повторяющегося депозита общий доход от инвестиций можно рассчитать через сложные проценты, полученные за единицу времени. При необходимости проценты по дополнительным единовременным и повторяющимся депозитам также можно определить по той же формуле (см. Ниже).

$P\; \{\backslash \; displaystyle\; P\}$= Основной депозит

$r\; \{\backslash \; displaystyle\; r\}$= Ставка доходности (ежемесячно)

$M\; \{\backslash \; displaystyle\; M\}$= Ежемесячный депозит и

$t\; \{\backslash \; displaystyle\; t\}$= Время в месяцах

$M\; (1\; +\; r)\; t\; -\; 1\; r\; +\; P\; (1\; +\; r)\; t\; \{\backslash \; displaystyle\; M\; \{\backslash \; frac\; \{(1\; +\; r)\; ^\; \{t\}\; -1\}\; \{r\}\; \}\; +\; P\; (1\; +\; r)\; ^\; \{t\}\}$

Если используются два или более типа вкладов (повторяющиеся или разовые), полученные сложные проценты могут быть представлены как

$M\; (r\; +\; 1)\; t\; -\; 1\; р\; +\; п\; (г\; +\; 1)\; t\; +\; К\; (г\; +\; 1)\; t\; -\; Икс\; -\; 1\; р\; +\; С\; (г\; +\; 1)\; t\; -\; y\; \{\backslash \; displaystyle\; M\; \{\backslash \; frac\; \{(r\; +\; 1)\; ^\; \{\; t\}\; -1\}\; \{r\}\}\; +\; P\; (r\; +\; 1)\; ^\; \{t\}\; +\; k\; \{\backslash \; frac\; \{(r\; +\; 1)\; ^\; \{tx\}\; -1\}\; \{r\}\}\; +\; C\; (r\; +\; 1)\; ^\; \{ty\}\}$

где C и k - разовые и повторяющиеся депозиты, соответственно, а x и y - разница во времени между новым депозитом и любой переменной $t\; \{\backslash \; displaystyle\; t\}$занимается моделированием.

Compou а проценты когда-то считались худшим видом ростовщичества и строго осуждались римским правом и общим правом многих других стран.

Флорентийский купец Франческо Бальдуччи Пеголотти представил таблицу сложных процентов в своей книге Pratica della mercatura примерно на 1340. В ней процентная ставка составляет 100 лир, за Ставки от 1% до 8%, сроком до 20 лет. Сумма арифметики для Лука Пачоли (1494) дает Правило 72, в котором говорится, что количество лет для инвестиций по сложным процентам должно удвоиться, следует разделить процентную ставку на 72.

Книга Ричарда Витта «Арифметические вопросы», опубликованная в 1613 году, стала вехой в истории сложных процентов. Он был полностью посвящен этой теме (ранее называвшейся анатоцизм ), тогда как предыдущие авторы обычно кратко рассматривали сложные проценты всего в одной главе учебника математики. В книге Витта приведены таблицы, основанные на 10% (максимальная допустимая процентная ставка по ссудам на тот момент) и на других ставках для различных целей, таких как оценка стоимости аренды имущества. Витт был лондонским математиком, и его книга известна своей ясностью выражения, глубиной понимания и точностью вычислений, содержащими 124 рабочих примера.

Джейкоб Бернулли открыл константу $e\; \{\backslash \; displaystyle\; e\}$ в 1683 г., изучая вопрос о сложных процентах.

В XIX веке и, возможно, раньше персидские купцы использовали слегка модифицированную линейную аппроксимацию Тейлора для формулы ежемесячных платежей, которую можно было легко вычислить в их голове.

Wikiquote содержит цитаты, относящиеся к: Сложные проценты

Найдите процент в Викисловаре, бесплатном словаре.

• Экспоненциальный рост
• Уравнение Фишера
• Процентная ставка
• Процентная ставка
• Норма прибыли
• Норма прибыли на инвестиции
• Реальная стоимость по сравнению с номинальной (экономика)
• Кривая доходности