Интеграл продукта

редактировать

A Интеграл продукта - это любой продукт, аналог обычной суммы на основе продукта на основе интеграла из исчисления. Первый интеграл произведения (тип I ниже) был разработан математиком Вито Вольтерра в 1887 году для решения систем линейных дифференциальных уравнений. Другими примерами интегралов произведения являются геометрический интеграл (тип II ниже), бигеометрический интеграл (тип III ниже) и некоторые другие интегралы неньютоновского исчисления.

Производные интегралы нашли применение в областях от эпидемиологии (оценка Каплана – Мейера ) до стохастической динамики населения с использованием интегралов умножения (множителей), анализа и квантовой механики. геометрический интеграл вместе с геометрической производной полезен в анализе изображений и при изучении явлений роста / спада (например, в экономических рост, рост бактерий и радиоактивный распад ). бигеометрический интеграл вместе с бигеометрической производной полезен в некоторых приложениях фракталов и в теории эластичности в экономике.

В этой статье используется обозначение «продукт» $∏ {\ displaystyle \ prod}$ $\ prod$ для интеграции продукта вместо «интегрального» $∫ {\ displaystyle \ int}$ $\ int$ (обычно заменяется наложенным символом «раз» или буквой P), одобренный Вольтеррой и другими. Также принята произвольная классификация типов, чтобы навести некоторый порядок в поле.

Содержание

1 Основные определения
- 1.1 Тип I: интеграл Вольтерра
- 1.2 Тип II: геометрический интеграл
- 1.3 Тип III: бигеометрический интеграл
2 Результаты
3 Продукт типа Лебега -интегралы
- 3.1 Тип I: интеграл Вольтерра
- 3.2 Тип II: геометрический интеграл
4 См. также
5 Ссылки
6 Внешние ссылки

Основные определения

Классический Интеграл Римана функции $f: [a, b] → R {\ displaystyle f: [a, b] \ to \ mathbb {R}}$ $f: [a, b] \ to {\ mathbb {R}}$ может быть определено соотношением

∫ abf (x) dx = lim Δ x → 0 ∑ f (xi) Δ x, {\ displaystyle \ int _ {a} ^ {b} f (x) \, dx = \ lim _ {\ Delta x \ to 0} \ sum f (x_ {i}) \, \ Delta x,}

\ int _ {a} ^ {b} f (x) \, dx = \ lim _ {{\ Delta x \ to 0}} \ sum f (x_ {i}) \, \ Delta x,

где предел берется для всех разделов из интервала $[a, b] {\ displaystyle [a, b]}$ $[a, b ]$ , нормы которого приближаются к нулю.

Грубо говоря, интегралы произведений аналогичны, но берут предел для произведения вместо предела для суммы. Их можно рассматривать как «непрерывные » версии «дискретных » продуктов.

Самыми популярными интегралами продукта являются следующие:

Тип I : Интеграл Вольтерра

∏ ab (1 + f (x) dx) = lim Δ x → 0 ∏ (1 + f (xi) Δ x). {\ displaystyle \ prod _ {a} ^ {b} {\ big (} 1 + f (x) \, dx {\ big)} = \ lim _ {\ Delta x \ to 0} \ prod {\ big ( } 1 + f (x_ {i}) \, \ Delta x {\ big)}.}

{\ displaystyle \ prod _ {a} ^ {b} {\ big (} 1 + f (x) \, dx {\ big)} = \ lim _ {\ Delta x \ to 0} \ prod {\ big (} 1 + f (x_ {i}) \, \ Delta x {\ big)}.}

Интеграл произведения типа I соответствует исходному определению Volterra. Для скалярных функций $f: [a, b] → R {\ displaystyle f: [a, b] \ to \ mathbb {R}}$ ${\ displaystyle f: [a, b] \ to \ mathbb {R}}$ :

ab (1 + е (Икс) dx) знак равно ехр ⁡ (∫ abf (x) dx), {\ displaystyle \ prod _ {a} ^ {b} {\ big (} 1 + f (x) \, dx {\ big) } = \ exp \ left (\ int _ {a} ^ {b} f (x) \, dx \ right),}

{\ displaystyle \ prod _ {a} ^ {b} {\ big (} 1 + f (x) \, dx { \ big)} = \ exp \ left (\ int _ {a} ^ {b} f (x) \, dx \ right),}

что не является мультипликативным оператором. (Таким образом, понятия интеграла продукта и мультипликативного интеграла не совпадают).

Интеграл произведения Вольтерра наиболее полезен при применении к функциям с матричными значениями или функциям со значениями в банаховой алгебре, где последнее равенство больше не выполняется (см. Ссылки ниже).

При применении к скалярам, принадлежащим некоммутативному полю, матрицам и операторам, то есть к математическим объектам, которые не коммутируются, интеграл Вольтерра разделяется на два определения

Левый продукт интеграл

P (A, D) = ∏ i = m 1 (1 + A (ξ i) Δ ti) = (1 + A (ξ m) Δ tm)... (1 + A (ξ 1) Δ T 1) {\ Displaystyle P (A, D) = \ prod _ {i = m} ^ {1} (\ mathbb {1} + A (\ xi _ {i}) \ Delta t_ {i}) = (\ mathbb {1} + A (\ xi _ {m}) \ Delta t_ {m})... (\ mathbb {1} + A (\ xi _ {1}) \ Delta t_ {1})}

{\ displaystyle P (A, D) = \ prod _ {i = m} ^ {1} (\ mathbb {1} + A (\ xi _ {i}) \ Delta t_ {i}) = (\ mathbb {1} + A (\ xi _ {m}) \ Delta t_ {m})... (\ mathbb {1} + A (\ xi _ {1}) \ Delta t_ {1})}

С обозначением левых продуктов (т. Е. Нормальные продукты, нанесенные слева)

∏ ab (1 + A (t) dt) = lim max Δ ti → 0 P (A, D) {\ displaystyle \ prod _ {a} ^ {b} (\ mathbb {1} + A (t) dt) = \ lim _ {max \ Delta t_ {i} \ to 0} P (A, D) }

{\ displaystyle \ prod _ {a} ^ {b} (\ mathbb {1} + A (t) dt) = \ lim _ {max \ Delta t_ {i} \ to 0} P (A, D)}

Правый продуктный интеграл

P (A, D) ∗ = ∏ i = 1 m (1 + A (ξ i) Δ ti) = (1 + A (ξ 1) Δ t 1)... (1 + A (ξ m) Δ tm) {\ displaystyle P (A, D) ^ {*} = \ prod _ {i = 1} ^ {m} (\ mathbb {1} + A (\ xi _ { i}) \ Delta t_ {i}) = (\ mathbb {1} + A (\ xi _ {1}) \ Delta t_ {1})... (\ mathbb {1} + A (\ xi _ { m}) \ Delta t_ {m})}

{\ displaystyle P (A, D) ^ {*} = \ prod _ {i = 1} ^ {m} (\ mathbb {1} + A (\ xi _ {i}) \ Delta t_ {i}) = (\ mathbb {1} + A (\ xi _ {1}) \ Delta t_ {1})... (\ mathbb {1} + A (\ xi _ {m}) \ Delta t_ {m})}

С обозначением правильных произведений (т.е. нанесенным справа)

(1 + A (t) dt) ∏ ab = lim max Δ ti → 0 P (A, D) ∗ {\ Displaystyle (\ mathbb {1} + A (t) dt) \ prod _ {a} ^ {b} = \ lim _ {max \ Delta t_ {i} \ to 0} P (A, D) ^ {*}}

{\ displaystyle (\ mathbb {1} + A (t) dt) \ prod _ {a} ^ {b} = \ lim _ {max \ Delta t_ {i} \ to 0 } P (A, D) ^ {*}}

Где $1 {\ displaystyle \ mathbb {1}}$ ${\ mathbb {1}}$ - это единичная матрица, а D - это разбиение интервала [a, b] в матрице Римана смысл, т.е. предел превышает максимальный интервал в разделе. Обратите внимание, как в этом случае упорядочение по времени становится очевидным в определениях.

Для скалярных функций производная в системе Вольтерра - это логарифмическая производная, поэтому система Вольтерра не является мультипликативным исчислением и не является неньютоновской. исчисление.

Тип II: геометрический интеграл

∏ abf (x) dx = lim Δ x → 0 ∏ f (xi) Δ x = exp ⁡ (∫ ab ln ⁡ f (x) dx), {\ Displaystyle \ prod _ {a} ^ {b} е (х) ^ {dx} = \ lim _ {\ Delta x \ to 0} \ prod {f (x_ {i}) ^ {\ Delta x}} = \ exp \ left (\ int _ {a} ^ {b} \ ln f (x) \, dx \ right),}

{\ displaystyle \ prod _ {a} ^ {b } f (x) ^ {dx} = \ lim _ {\ Delta x \ to 0} \ prod {f (x_ {i}) ^ {\ Delta x}} = \ exp \ left (\ int _ {a} ^ {b} \ пер е (х) \, dx \ вправо),}

, который называется геометрическим интегралом и является мультипликативный оператор.

Это определение интеграла произведения является непрерывным аналогом дискретного произведения оператора

∏ я знак равно ab {\ displaystyle \ prod _ {i = a} ^ {b}}

\ prod _ {{i = a}} ^ {b}

(с $я, a, b ∈ Z {\ displaystyle i, a, b \ in \ mathbb {Z }}$ $i, a, b \ in {\ mathbb {Z}}$ ) и мультипликативный аналог (нормальный / стандартный / аддитивный ) интеграл

∫ abdx {\ displaystyle \ int _ { a} ^ {b} dx}

\ int _ {a} ^ {b} dx

(с $x ∈ [ a, b] {\ displaystyle x \ in [a, b]}$ $x \ in [ a, b]$ ):

	аддитивный	мультипликативный
дискретный	$∑ i = abf (i) {\ displaystyle \ сумма _ {я = а} ^ {b} е (я)}$ $\ sum _ {{i = a}} ^ {b} f (i)$	$∏ я = abf (я) {\ displaystyle \ prod _ {я = а} ^ {b} f (я)}$ $\ prod _ {{i = a}} ^ {b} f (i)$
непрерывно	$∫ abf (x) dx {\ displaystyle \ int _ {a} ^ {b} f (x) \, dx}$ $\ int _ {a} ^ {b} f (x) \, dx$	$∏ abf (x) dx {\ displaystyle \ prod _ {a} ^ { b} f (x) ^ {dx}}$ ${\ displaystyle \ prod _ {a} ^ {b} f (x) ^ {dx}}$

Это очень полезно в стохастике, где логарифм правдоподобия (т.е. логарифм интеграла произведения независимых случайных величин ) равняется интегралу от логарифма этих ( бесконечно много) случайные величины :

ln ⁡ ∏ abp (x) dx = ∫ ab ln ⁡ p (x) dx. {\ displaystyle \ ln \ prod _ {a} ^ {b} p (x) ^ {dx} = \ int _ {a} ^ {b} \ ln p (x) \, dx.}

{\ Displaystyle \ ln \ prod _ {a} ^ {b} p (x) ^ {dx} = \ int _ {a} ^ {b} \ ln p (x) \, dx.}

Тип III : большой геометрический интеграл

∏ abf (x) d (ln ⁡ x) = exp ⁡ (∫ rs ln ⁡ f (ex) dx), {\ displaystyle \ prod _ {a} ^ {b} f (x) ^ {d (\ ln x)} = \ exp \ left (\ int _ {r} ^ {s} \ ln f (e ^ {x}) \, dx \ right),}

{\ displaystyle \ prod _ { a} ^ {b} f (x) ^ {d (\ ln x)} = \ exp \ left (\ int _ {r} ^ {s} \ ln f (e ^ {x}) \, dx \ right),}

где r = ln a, и s = ln b.

Интеграл произведения типа III называется бигеометрическим интегралом и представляет собой мультипликативный оператор.

Результаты

Основные результаты

Следующие результаты относятся к интегралу произведения типа II (геометрический интеграл). Другие типы дают другие результаты.

∏ abcdx = cb - a, {\ displaystyle \ prod _ {a} ^ {b} c ^ {dx} = c ^ {ba},}

{\ displaystyle \ prod _ {a} ^ {b} c ^ {dx} = c ^ {ba},}

∏ abxdx = bbaaea - b, {\ displaystyle \ prod _ {a} ^ {b} x ^ {dx} = {\ frac {b ^ {b}} {a ^ {a}}} {\ rm {e}} ^ {ab},}

{\ displaystyle \ prod _ {a} ^ {b} x ^ {dx} = {\ frac {b ^ {b}} {a ^ {a}}} {\ rm {e }} ^ {ab},}

∏ 0 bxdx = bbe - b, {\ displaystyle \ prod _ {0} ^ {b} x ^ {dx} = b ^ {b} {\ rm {e}} ^ {- b},}

{\ displaystyle \ prod _ {0} ^ {b} x ^ {dx} = b ^ {b} {\ rm {e}} ^ {- b},}

∏ ab (е (х) к) dx знак равно (∏ abf (x) dx) к, {\ displaystyle \ prod _ {a} ^ {b} \ left (f (x) ^ {k} \ right) ^ {dx} = \ left (\ prod _ {a} ^ {b} f (x) ^ {dx} \ right) ^ {k},}

{\ displaystyle \ prod _ {a} ^ {b} \ left (f (x) ^ {k} \ right) ^ {dx} = \ left (\ pro d _ {a} ^ {b} f (x) ^ {dx} \ right) ^ {k},}

∏ ab (cf (x)) dx = c ∫ abf (x) dx, {\ displaystyle \ prod _ {a} ^ {b} \ left (c ^ {f (x)} \ right) ^ {dx} = c ^ {\ int _ {a} ^ {b} f (x) \, dx},}

{\ displaystyle \ prod _ {a} ^ {b} \ left (c ^ { е (х)} \ право) ^ {dx} = c ^ {\ int _ {a} ^ {b} f (x) \, dx},}

Геометрический интеграл (тип II выше) играет центральную роль в геометрическом исчислении, которое является мультипликативным исчислением.

Основная теорема

∏ abf ∗ (x) dx = ∏ ab exp ⁡ (f ′ (x) f (x) dx) = f (b) f (a), {\ displaystyle \ prod _ { a} ^ {b} f ^ {*} (x) ^ {dx} = \ prod _ {a} ^ {b} \ exp \ left ({\ frac {f '(x)} {f (x)}) } \, dx \ right) = {\ frac {f (b)} {f (a)}},}

\prod _{a}^{b}f^{*}(x)^{dx}=\prod _{a}^{b}\exp \left({\frac {f'(x)}{f(x)}}\,dx\right)={\frac {f(b)}{f(a)}},

где $f ∗ (x) {\ displaystyle f ^ {*} (x)}$ $f ^ {*} (x)$ - геометрическая производная.

Правило продукта

(f g) ∗ = f ∗ g ∗. {\ displaystyle (fg) ^ {*} = f ^ {*} g ^ {*}.}

{\ displaystyle (fg) ^ {*} = f ^ {*} g ^ {*}.}

Правило частных

(f / g) ∗ = f ∗ / g ∗. {\ displaystyle (f / g) ^ {*} = f ^ {*} / g ^ {*}.}

{\ displaystyle (f / g) ^ {*} = f ^ {*} / g ^ {*}.}

Закон больших чисел

X 1 X 2 ⋯ X nn ⟶ n → ∞ ∏ x X d F (x), {\ displaystyle {\ sqrt [{n}] {X_ {1} X_ {2} \ cdots X_ {n}}} {\ underset {n \ to \ infty} {\ longrightarrow}} \ prod _ {x} X ^ {dF (x)},}

{\ displaystyle {\ sqrt [{n}] {X_ {1} X_ {2} \ cdots X_ {n}}} {\ underset {n \ to \ infty} {\ longrightarrow}} \ prod _ {x} X ^ {dF (x)},}

где X - случайная величина с распределением вероятностей F (x).

Сравните со стандартным законом больших чисел :

X 1 + X 2 + ⋯ + X n n ⟶ n → ∞ ∫ X d F (x). {\ displaystyle {\ frac {X_ {1} + X_ {2} + \ cdots + X_ {n}} {n}} {\ underset {n \ to \ infty} {\ longrightarrow}} \ int X \, dF (x).}

{\ displaystyle {\ frac {X_ {1} + X_ {2} + \ cdots + X_ {n}} { n}} {\ underset {n \ to \ infty} {\ longrightarrow}} \ int X \, dF (x).}

интегралы-произведения типа Лебега

Так же, как версия (классических) интегралов Лебега, можно вычислить интегралы-произведения, аппроксимируя их интегралами-произведениями простые функции. Каждый тип интеграла продукта имеет различную форму для простых функций.

Тип I: интеграл Вольтерра

Поскольку простые функции обобщают ступенчатые функции, в чем Далее мы будем рассматривать только частный случай простых функций, которые являются ступенчатыми функциями. Это также упростит сравнение определения Лебега с определением Римана.

Учитывая ступенчатую функцию $f: [a, b] → R { \ displaystyle f: [a, b] \ to \ mathbb {R}}$ ${\ displaystyle f: [a, b] \ to \ mathbb {R}}$ с соответствующим partition $a = y 0 < y 1 < ⋯ < y m {\displaystyle a=y_{0}$ ${\ displaystyle a = y_ {0} <y_ {1} <\ dots <y_{m}}$ и a разделение с тегами

a = x 0 < x 1 < ⋯ < x n = b, x 0 ≤ t 0 ≤ x 1, x 1 ≤ t 1 ≤ x 2, …, x n − 1 ≤ t n − 1 ≤ x n, {\displaystyle a=x_{0}

{\ displaystyle a = x_ {0} <x_ {1} <\ dots <x_ {n} = b, \ quad x_ {0} \ leq t_ {0} \ leq x_ {1}, x_ {1} \ leq t_ {1} \ leq x_ {2}, \ dots, x_ {n-1} \ leq t_ {n-1} \ leq x_ {n},}

одно приближение «определения Римана» интеграла продукта типа I дается как

∏ k = 0 n - 1 [(1 + f (tk)) ⋅ (xk + 1 - xk)]. {\ displaystyle \ prod _ {k = 0} ^ {n-1} \ left [{\ big (} 1 + f (t_ {k}) {\ big)} \ cdot (x_ {k + 1} -x_) {k}) \ right].}

{\ Displaystyle \ prod _ {k = 0} ^ {n-1} \ left [{\ big (} 1 + f (t_ {k}) {\ big)} \ cdot (x_ {k + 1} -x_ {k}) \ справа].}

Интеграл продукта (типа I) был определен как, грубо говоря, предел этих продуктов от Людвига Шлезингера в статье 1931 года.

Еще одно приближение «определения Римана» интеграла продукта типа I определяется как

∏ k = 0 n - 1 exp ⁡ (f (tk) ⋅ ( хк + 1 - хк)). {\ Displaystyle \ prod _ {к = 0} ^ {п-1} \ ехр {\ big (} е (t_ {k}) \ cdot (x_ {k + 1} -x_ {k}) {\ big) }.}

{\ displaystyle \ prod _ {k = 0} ^ {n-1 } \ exp {\ big (} е (t_ {k}) \ cdot (x_ {k + 1} -x_ {k}) {\ big)}.}

Когда $f {\ displaystyle f}$ $f$ является постоянной функцией, предел первого типа приближения равен второму типу приближения. Обратите внимание, что в общем случае для ступенчатой функции значение второго типа приближения не зависит от разбиения, пока разбиение является уточнением разбиения, определяющего ступенчатую функцию, тогда как значение первого типа приближения действительно зависит от степени точности разбиения, даже если это уточнение разбиения, определяющее ступенчатую функцию.

Оказывается, что для любой интегрируемой по произведению функции $f {\ displaystyle f}$ $f$ предел первого типа приближения равен пределу второго типа приближения.. Поскольку для ступенчатых функций значение второго типа аппроксимации не зависит от тонкости разбиения для разбиений «достаточно мелких», имеет смысл определить «интеграл произведения Лебега (тип I)» ступенчатой функции как

∏ ab (1 + f (x) dx) = def ∏ k = 0 m - 1 exp ⁡ (f (sk) ⋅ (yk + 1 - yk)), {\ displaystyle \ prod _ {a} ^ {b} {\ big (} 1 + f (x) \, dx {\ big)} {\ overset {def} {=}} \ prod _ {k = 0} ^ {m-1} \ exp { \ big (} f (s_ {k}) \ cdot (y_ {k + 1} -y_ {k}) {\ big)},}

{\ display style \ prod _ {a} ^ {b} {\ big (} 1 + f (x) \, dx {\ big)} {\ overset {def} {=}} \ prod _ {k = 0} ^ { m-1} \ exp {\ big (} е (s_ {k}) \ cdot (y_ {k + 1} -y_ {k}) {\ big)},}

где $y 0 < a = s 0 < y 1 < ⋯ < y n − 1 < s n − 1 < y n = b {\displaystyle y_{0}$ ${\ displaystyle y_ {0} <a = s_ { 0} <у_ {1} <\ точки <y_{n-1}<s_{n-1}<y_{n}=b}$ - раздел с тегами, и снова $a = y 0 < y 1 < ⋯ < y m {\displaystyle a=y_{0}$ ${\ displaystyle a = y_ {0} <y_ {1} <\ dots <y_{m}}$ - это раздел, соответствующий ступенчатой функции $f {\ displaystyle f}$ $f$ . (Напротив, соответствующая величина не может быть однозначно определена с использованием первого типа приближения.)

Это легко обобщается на произвольные пространства измерений. Если $X {\ displaystyle X}$ $X$ - это пространство меры с measure $μ {\ displaystyle \ mu}$ $\ mu$ , то для любого продукта - интегрируемая простая функция $f (x) = ∑ k = 1 nak IA k (x) {\ displaystyle f (x) = \ sum _ {k = 1} ^ {n} a_ {k} I_ {A_ {k }} (x)}$ ${\ displaystyle f (x) = \ sum _ {k = 1} ^ {n} a_ {k} I_ {A_ {k}} (x)}$ (т.е. коническая комбинация из индикаторных функций для некоторых непересекающихся измеримых множеств $A 0, A 1,…, A m - 1 ⊆ X {\ displaystyle A_ {0}, A_ {1}, \ dots, A_ {m-1} \ substeq X}$ ${\ displaystyle A_ {0}, A_ {1}, \ dots, A_ {m-1} \ substeq X}$ ), его интеграл от произведения типа I определяется как

∏ X (1 + f (x) d μ (x)) = def ∏ k = 0 m - 1 exp ⁡ (ak μ (A k)), {\ displaystyle \ prod _ {X} {\ big (} 1 + f (x) \, d \ mu (x) {\ big)} {\ overset {def} {=}} \ prod _ {k = 0} ^ {m-1} \ exp {\ big (} a_ {k} \ mu (A_ {k}) {\ big)},}

{\ displaystyle \ prod _ {X} {\ big (} 1 + f (x) \, d \ mu (x) {\ big)} {\ overset {def} {=}} \ prod _ {k = 0} ^ {m-1} \ exp { \ big (} a_ {k} \ mu (A_ {k}) {\ big)},}

поскольку $ak {\ displaystyle a_ {k}}$ $a_ {k}$ - значение $f {\ displaystyle f}$ $f$ в любой точке $A k {\ displaystyle A_ {k}}$ $A_ {k}$ . В особом случае, когда $X = R {\ displaystyle X = \ mathbb {R}}$ $X = \ mathbb {R}$ , $μ {\ displaystyle \ mu}$ $\ mu$ равно мера Лебега, и все из измеримых множеств $A k {\ displaystyle A_ {k}}$ $A_ {k}$ являются интервалами, можно проверить, что это равно определению, данному выше для этого особого случая. Аналогично теории (классических) интегралов Лебега, интеграл произведения Вольтерра любой интегрируемой по произведению функции $f {\ displaystyle f}$ $f$ может быть записывается как предел возрастающей последовательности интегралов-произведений Вольтерра интегрируемых по произведению простых функций.

Взяв логарифм обеих сторон приведенного выше определения, можно получить, что для любой интегрируемой с продуктом простой функции $f {\ displaystyle f}$ $f$ :

ln ⁡ (∏ X ( 1 + f (x) d μ (x))) = ln ⁡ (∏ k = 0 m - 1 exp ⁡ (ak μ (A k))) = ∑ k = 0 m - 1 ak μ (A k) = ∫ Икс е (Икс) d μ (Икс) ⟺ {\ Displaystyle \ ln \ left (\ prod _ {X} {\ big (} 1 + f (x) \, d \ mu (x) {\ big)} \ right) = \ ln \ left (\ prod _ {k = 0} ^ {m-1} \ exp {\ big (} a_ {k} \ mu (A_ {k}) {\ big)} \ right) = \ sum _ {k = 0} ^ {m-1} a_ {k} \ mu (A_ {k}) = \ int _ {X} f (x) \, d \ mu (x) \ iff}

{\ displaystyle \ ln \ left (\ prod _ {X} {\ big (} 1 + f (x) \, d \ mu (x) {\ big)} \ right) = \ ln \ left (\ prod _ {k = 0} ^ {m-1} \ exp {\ big (} a_ {k} \ mu (A_ {k}) {\ big)} \ right) = \ сумма _ {k = 0} ^ {m-1} a_ {k} \ mu (A_ {k}) = \ int _ {X} f (x) \, d \ mu (x) \ iff}

∏ Икс (1 + е (Икс) d μ (Икс)) знак равно ехр ⁡ (∫ Икс е (Икс) d μ (х)), {\ Displaystyle \ prod _ {X} {\ big (} 1+ f (x) \, d \ mu (x) {\ big)} = \ exp \ left (\ int _ {X} f (x) \, d \ mu (x) \ right),}

{\ Displaystyle \ prod _ {X} {\ big (} 1 + f (x) \, d \ mu (x) {\ big)} = \ exp \ left (\ int _ {X} f (x) \, d \ mu (x) \ right),}

где мы использовали определение интеграла для простых функций. Более того, поскольку непрерывные функции, такие как $exp {\ displaystyle \ exp}$ $\ exp$ , могут быть заменены ограничениями, а интеграл произведения любой интегрируемой по произведению функции $f {\ displaystyle f}$ $f$ равно пределу интегралов произведения простых функций, отсюда следует, что соотношение

∏ X (1 + f (x) d μ (x)) = exp ⁡ (∫ X е (Икс) d μ (Икс)) {\ Displaystyle \ prod _ {X} {\ big (} 1 + F (x) \, d \ mu (x) {\ big)} = \ exp \ left (\ int _ {X} f (x) \, d \ mu (x) \ right)}

{\ displaystyle \ prod _ {X} {\ big (} 1 + f (x) \, d \ mu (x) {\ big)} = \ exp \ left (\ int _ {X} f (x) \, d \ mu (x) \ right)}

обычно выполняется для любого интегрируемого продукта $f {\ displaystyle f}$ $f$ . Это явно обобщает свойство , упомянутое выше.

Интеграл произведения Вольтерра является мультипликативным как функция набора, которая может быть показана с использованием указанного выше свойства. Более конкретно, учитывая интегрируемую с продуктом функцию $f {\ displaystyle f}$ $f$ , можно определить функцию набора $V f {\ displaystyle {\ cal {V}} _ {f}}$ ${\ displaystyle {\ cal {V}} _ {f}}$ путем определения для каждого измеримого множества $B ⊆ X {\ displaystyle B \ substeq X}$ ${\ displaystyle B \ substeq X}$ ,

V f (B) = def ∏ B (1 + f (x) d μ (x)) знак равно def ∏ Икс (1 + (е ⋅ IB) (x) d μ (x)), {\ displaystyle {\ cal {V}} _ {f} (B) {\ overset {def} {=} } \ prod _ {B} {\ big (} 1 + f (x) \, d \ mu (x) {\ big)} {\ overset {def} {=}} \ prod _ {X} {\ big (} 1+ (е \ cdot I_ {B}) (x) \, d \ mu (x) {\ big)},}

{\ displaystyle {\ cal {V}} _ {f} (B) {\ overset {def} {=}} \ prod _ {B} {\ big (} 1 + f (x) \, d \ mu (x) {\ big)} {\ overset {def} {=}} \ prod _ {X} {\ big (} 1+ (f \ cdot I_ {B}) (x) \, d \ mu (x) {\ big)},}

где $IB (x) {\ displaystyle I_ {B} ( x)}$ ${\ displaystyle I_ {B} (x)}$ обозначает индикаторную функцию для $B {\ displaystyle B}$ $B$ . Тогда для любых двух непересекающихся измеримых множеств $B 1, B 2 {\ displaystyle B_ {1}, B_ {2}}$ ${\ displaystyle B_ {1}, B_ {2}}$ один имеет

V f (B 1 ⊔ B 2) = ∏ B 1 ⊔ B 2 (1 + f (x) d μ (x)) = exp ⁡ (∫ B 1 ⊔ B 2 f (x) d μ (x)) = exp ⁡ (∫ B 1 f (x) d μ (x) + ∫ B 2 f (x) d μ (x)) = exp ⁡ (∫ B 1 f (x) d μ (x)) exp ⁡ (∫ B 2 f (x) d μ (x)) = ∏ B 1 (1 + f (x) d μ (x)) ∏ B 2 (1 + f (x) d μ (x)) = V f (B 1) V f ( БИ 2). {\ displaystyle {\ begin {align} {\ cal {V}} _ {f} (B_ {1} \ sqcup B_ {2}) = \ prod _ {B_ {1} \ sqcup B_ {2}} { \ big (} 1 + f (x) \, d \ mu (x) {\ big)} \\ = \ exp \ left (\ int _ {B_ {1} \ sqcup B_ {2}} f (x) \, d \ mu (x) \ right) \\ = \ exp \ left (\ int _ {B_ {1}} f (x) \, d \ mu (x) + \ int _ {B_ {2 }} f (x) \, d \ mu (x) \ right) \\ = \ exp \ left (\ int _ {B_ {1}} f (x) \, d \ mu (x) \ right) \ exp \ left (\ int _ {B_ {2}} f (x) \, d \ mu (x) \ right) \\ = \ prod _ {B_ {1}} (1 + f (x) d \ mu (x)) \ prod _ {B_ {2}} (1 + f (x) \, d \ mu (x)) \\ = {\ cal {V}} _ {f} (B_ {1 }) {\ cal {V}} _ {f} (B_ {2}). \ end {align}}}

{\ displaystyle {\ begin {align} {\ cal {V}} _ {f} (B_ {1} \ sqcup B_ {2}) = \ prod _ {B_ {1} \ sqcup B_ {2}} {\ big (} 1 + f (x) \, d \ mu (x) {\ big)} \\ = \ exp \ left (\ int _ {B_ {1} \ sqcup B_ {2}} f (x) \, d \ mu (x) \ right) \\ = \ exp \ left (\ int _ {B_ {1}} f (x) \, d \ mu (x) + \ int _ {B_ {2}} f (x) \, d \ mu (x) \ right) \\ = \ exp \ left (\ int _ {B_ {1}} f (x) \, d \ mu (x) \ right) \ exp \ left (\ int _ {B_ {2}} f (x) \, d \ mu (x) \ right) \\ = \ prod _ {B_ {1}} (1 + f (x) d \ mu (x)) \ prod _ {B_ {2}} (1 + f (x) \, d \ mu (x)) \\ = {\ cal {V}} _ {f} (B_ {1}) {\ cal {V}} _ {f} (B_ {2}). \ end {align}}}

Это свойство можно сравнить с мерами, которые являются аддитивными набор функций.

Однако интеграл произведения Вольтерра не является мультипликативным в качестве функционала. Учитывая две интегрируемые с продуктом функции $f, g {\ displaystyle f, g}$ ${\ displaystyle f, g}$ и измеримое множество $A {\ displaystyle A}$ $A$ , обычно это случай, что

∏ A (1 + (fg) (x) d μ (x)) ≠ ∏ A (1 + f (x) d μ (x)) ∏ A (1 + g (x) d μ ( Икс)). {\ Displaystyle \ prod _ {A} {\ big (} 1+ (fg) (x) \, d \ mu (x) {\ big)} \ neq \ prod _ {A} {\ big (} 1+ f (x) \, d \ mu (x) {\ big)} \ prod _ {A} {\ big (} 1 + g (x) \, d \ mu (x) {\ big)}.}

{\ displaystyle \ prod _ {A} {\ big (} 1+ (fg) (x) \, d \ mu (x) {\ big)} \ neq \ prod _ {A} {\ big ( } 1 + f (x) \, d \ mu (x) {\ big)} \ prod _ {A} {\ big (} 1 + g (x) \, d \ mu (x) {\ big)}.}

Тип II: геометрический интеграл

Если $X {\ displaystyle X}$ $X$ является мерой пространства с мерой $μ {\ displaystyle \ mu}$ $\ mu$ , то для любой интегрируемой по продукту простой функции $f (x) = ∑ k = 1 nak IA k (x) {\ displaystyle f (x) = \ sum _ {k = 1} ^ {n} a_ {k} I_ {A_ {k}} (x)}$ ${\ displaystyle f (x) = \ sum _ {k = 1} ^ {n} a_ {k} I_ {A_ {k}} (x)}$ (т.е. коническая комбинация индикаторные функции для некоторых непересекающихся измеримых множеств $A 0, A 1,…, A m - 1 ⊆ X {\ displaystyle A_ {0}, A_ {1}, \ dots, A_ {m-1} \ substeq X}$ ${\ displaystyle A_ {0}, A_ {1}, \ dots, A_ {m-1} \ substeq X}$ ), его интеграл произведения типа II определяется как

∏ X f (x) d μ (x) = def ∏ k = 0 m - 1 ak μ (A k). {\ Displaystyle \ prod _ {X} е (х) ^ {d \ mu (x)} {\ overset {def} {=}} \ prod _ {k = 0} ^ {m-1} a_ {k} ^ {\ mu (A_ {k})}.}

{\ displaystyle \ prod _ {X} f (x) ^ {d \ mu (x)} {\ overset {def} {=}} \ prod _ {k = 0} ^ {m-1} a_ {k} ^ {\ mu (A_ {k}) }.}

Это можно увидеть как обобщающее определение, данное выше.

Взяв логарифм с обеих сторон, мы видим, что для любой интегрируемой по продукту простой функции $f {\ displaystyle f}$ $f$ :

ln ⁡ (∏ X f (x) d μ (x)) = ∑ k = 0 m - 1 ln ⁡ (ak) μ (A k) = ∫ X ln ⁡ f (x) d μ (x) ⟺ ∏ X f (x) d μ (Икс) знак равно ехр ⁡ (∫ Икс пер ⁡ е (Икс) d μ (х)), {\ Displaystyle \ пер \ влево (\ prod _ {X} е (х) ^ {д \ му (х) } \ right) = \ sum _ {k = 0} ^ {m-1} \ ln (a_ {k}) \ mu (A_ {k}) = \ int _ {X} \ ln f (x) \, d \ mu (x) \ iff \ prod _ {X} f (x) ^ {d \ mu (x)} = \ exp \ left (\ int _ {X} \ ln f (x) \, d \ mu (x) \ right),}

{\ displaystyle \ ln \ left (\ prod _ {X} f (x) ^ {d \ mu (x)} \ right) = \ sum _ {k = 0} ^ {m-1} \ ln (a_ {k}) \ mu (A_ {k}) = \ int _ {X} \ ln f (x) \, d \ mu (x) \ iff \ prod _ {X} f (x) ^ {d \ mu (x) } = \ ехр \ влево (\ int _ {X} \ ln е (x) \, d \ mu (x) \ right),}

где мы использовали определение интеграла Лебега для простых функций. Это наблюдение, аналогичное уже сделанному выше, позволяет полностью свести «теорию Лебега геометрических интегралов » к теории Лебега (классические) интегралы. Другими словами, поскольку непрерывные функции, такие как $exp {\ displaystyle \ exp}$ $\ exp$ и $ln {\ displaystyle \ ln}$ $\ ln$ , могут быть заменены ограничениями, а интеграл произведения любой интегрируемой по продукту функции $f {\ displaystyle f}$ $f$ равен пределу некоторой возрастающей последовательности интегралы-произведения простых функций, следует, что соотношение

∏ X f (x) d μ (x) = exp ⁡ (∫ X ln ⁡ f (x) d μ (x)) { \ Displaystyle \ prod _ {X} е (х) ^ {d \ mu (x)} = \ exp \ left (\ int _ {X} \ ln f (x) \, d \ mu (x) \ right) }

{ \ Displaystyle \ prod _ {X} е (х) ^ {d \ му (х)} = \ ехр \ влево (\ int _ {X} \ ln е (х) \, д \ му (х) \ вправо) }

обычно выполняется для любого интегрируемого с продуктом $f {\ displaystyle f}$ $f$ . Это обобщает свойство геометрических интегралов, упомянутых выше.

См. Также

Ссылки

^V. Вольтерра, Б. Hostinský, Операции Infinitésimales Linéaires, Готье-Виллар, Париж (1938).
^ А. Славик, Интеграция продуктов, ее история и применения, ISBN 80-7378-006-2, Матфизпресс, Прага, 2007.
^ М. Гроссман, Р. Кац, Неньютоновское исчисление, ISBN 0-912938-01-3, Lee Press, 1972.
^Майкл Гроссман. Первая нелинейная система дифференциального и интегрального исчисления, ISBN 0977117006, 1979.
^ Майкл Гроссман. Бигеометрическое исчисление: система с безмасштабной производной, ISBN 0977117030, 1983.
^Люк Флорак и Ханс ван Ассен. «Мультипликативное исчисление в биомедицинских образах. анализ », Journal of Mathematical Imaging and Vision, doi : 10.1007 / s10851-011-0275-1, 2011.
^Люк Флорак. « Регуляризация положительно определенных матричных полей на основе мультипликативного исчисления ", Ссылка 9, Пространство шкалы и вариационные методы в компьютерном зрении, Лекционные заметки по информатике, том 6667/2012, страницы 786–796, doi : 10.1007 / 978-3-642-24785-9_66, Springer, 2012.
^Люк Флорак. «Регуляризация полей положительно определенных матриц на основе мультипликативного исчисления», Третья международная конференция по масштабному пространству и вариационным методам компьютерного зрения, курорт Эйн-Геди, Мертвое море, Израиль, конспект лекций по компьютерным наукам: 6667, ISBN 978-3-642-24784-2, Springer, 2012.
^Иоахим Вейкерт и Лоран Хельтген. Университетский курс: «Анализ за пределами Ньютона и Лейбница», Саарландский университет в Германии, группа математического анализа изображений, лето 2012 года.
^Диана Андрада Филип и Сирил Пятецкий. «Неньютоновское исследование теории экзогенного экономического роста», CNCSIS - UEFISCSU Архивировано 06.01.2009 на Wayback Machine (номер проекта PNII IDEI 2366/2008) и LEO Архивировано 8 февраля 2010 г. на Wayback Machine, 2010.
^Диана Андрада Филип и Сирил Пятецкий. «Обзор неньютоновского исчисления и его потенциальных приложений в экономике», Прикладная математика - Журнал китайских университетов, том 28, Китайское общество промышленной и прикладной математики, Springer, 2014.
^Агамирза. Э. Баширов, Эмине Мисирли, Юджел Тандогду и Али Озяпичи. «О моделировании мультипликативными дифференциальными уравнениями», Прикладная математика - Журнал китайских университетов, Том 26, номер 4, страницы 425–428, doi : 10.1007 / s11766-011-2767-6, Springer, 2011.
^Диана Андрада Филип и Сирил Пятецки. «В защиту неньютоновского экономического анализа», http://www.univ-orleans.fr/leo/infer/PIATECKI.pdf, CNCSIS - UEFISCSU (Babes- Bolyai University of Cluj-Napoca, Румыния) и LEO (Орлеанский университет, Франция), 2013.
^Войбор Войчнски. «Неньютоновское исчисление для динамики случайных фрактальных структур: линейное и нелинейное», семинар в Государственном университете Кливленда 2 мая 2012 г.
^Войбор Войчнски. «Дробное исчисление для случайных фракталов», семинар в Университете Кейс Вестерн Резерв 3 апреля 2013 г.
^Мартин Остоя-Старзевски. «Внутренняя работа фрактальных материалов», Media-Upload, Университет Иллинойса в Урбана-Шампейн.
^Марек Рыбачук. «Критический рост фрактальных структур в биологических системах», Acta of Bioengineering and Biomechanics, Volume 1, Number 1, Wroclaw University of Technology, 1999.
^Марек Рыбачук, Алисия Кедзия и Витольд Зелински (2001) «Концепция физической и фрактальной размерности II. Дифференциальное исчисление в размерных пространствах», Хаос, солитоны и фракталы, том 12, выпуск 13, октябрь 2001 г., страницы 2537–2552.
^Анишевска, Дорота (октябрь 2007 г.). «Мультипликативные методы Рунге – Кутты». Нелинейная динамика. 50(1–2): 265–272. doi : 10.1007 / s11071-006-9156-3.
^Дорота Анишевска и Марек Рыбачук (2005) «Анализ мультипликативной системы Лоренца», Хаос, Солитоны и Фракталы Том 25, выпуск 1, июль 2005 г., страницы 79–90.
^Анишевская, Дорота; Рыбачук, Марек (2008). «Устойчивость типа Ляпунова и показатель Ляпунова для примерных мультипликативных динамических систем». Нелинейная динамика. 54(4): 345–354. doi : 10.1007 / s11071-008-9333-7..
^M. Рыбачук и П. Стоппель (2000) «Фрактальный рост усталостных дефектов в материалах», International Journal of Fracture, Volume 103, Number 1 / May, 2000.
^Фернандо Кордова-Лепе. «Мультипликативная производная как мера эластичности в экономике», TMAT Revista Latinoamericana de Ciencias e Ingeniería, Volume 2, Number 3, 2006.
^Фернандо Кордова-Лепе. «От операции частного к пропорциональному исчислению», Международный журнал математики, том 18, номер 6, страницы 527-536, 2009.
^Мурат Кириши. «Топологические структуры неньютоновских метрических пространств», Электронный журнал математического анализа и приложений, том 5, номер 2, ISSN: 2090-729X (онлайн), 2017.
^J. Д. Доллард, К. Н. Фридман, Интеграция продуктов с приложениями к дифференциальным уравнениям, издательство Addison Wesley Publishing Company, 1979.
^F. Р. Гантмахер (1959) Теория матриц, тома 1 и 2.
^Линии Вильсона в квантовой теории поля [1]
^Майкл Гроссман. Первая нелинейная система дифференциального и интегрального исчисления, ISBN 0977117006, 1979.
^A. Э. Баширов, Э. М. Курпынар, А. Озяпичи. Мультипликативное исчисление и его приложения, Журнал математического анализа и приложений, 2008.
^А. Славик, Интеграция продуктов, ее история и применение, стр. 65. Матфизпресс, Прага, 2007. ISBN 80-7378-006-2.
^A. Славик, Интеграция продуктов, ее история и применение, стр. 71. Матфизпресс, Прага, 2007. ISBN 80-7378-006-2.
^A. Славик, Интеграция продуктов, ее история и применение, стр. 72. Матфизпресс, Прага, 2007. ISBN 80-7378-006-2.
^A. Славик, Интеграция продуктов, ее история и применение, стр. 80. Матфизпресс, Прага, 2007. ISBN 80-7378-006-2
^Гилл, Ричард Д., Сорен Йохансен. «Обзор интеграции продуктов с точки зрения применения в анализе выживаемости». Анналы статистики 18, вып. 4 (декабрь 1990 г.): 1501–555, с. 1503.

У. П. Дэвис, Дж. А. Чатфилд, Относительно интегралов и экспонент от произведений, Труды Американского математического общества, Vol. 25, No. 4 (август 1970 г.), стр. 743–747, doi : 10.2307 / 2036741.
J. Д. Доллард, К. Н. Фридман, Интегралы-произведения и уравнение Шредингера, Journ. Математика. Phys. 18 # 8, 1598–1607 (1977).
J. Д. Доллард, К. Н. Фридман, Интеграция продуктов с приложениями к дифференциальным уравнениям, Addison Wesley Publishing Company, 1979.

Внешние ссылки

Веб-сайт неньютоновского исчисления
Ричард Гилл, Интеграция продуктов
Ричард Gill, Product Integral Symbol
Дэвид Манура Product Calculus
Tyler Neylon Простые границы для n!
Введение в Multigral (Product) и исчисление без Dx
Примечания к уравнению Лакса
Антонин Славик, Введение в интеграцию продуктов
Антонин Славик, Интеграция продуктов Хенстока – Курцвейла и МакШейна