Фрактальная производная

редактировать

Обобщение производная от фракталов

В прикладной математике и математическом анализе фрактальная производная или производная Хаусдорфа не является Ньютоновское обобщение производной, имеющее отношение к измерению фракталов, определенных во фрактальной геометрии. Фрактальные производные были созданы для изучения аномальной диффузии, с помощью которой традиционные подходы не учитывают фрактальную природу среды. Фрактальная мера t масштабируется согласно t. Такая производная является локальной, в отличие от аналогично применяемой дробной производной.

Содержание

1 Физические данные
2 Определение
- 2.1 Мотивация
3 Свойства
- 3.1 Коэффициенты расширения
- 3.2 Связь с производной
4 Применение в аномальной диффузии
5 Фрактально-дробное исчисление
6 См. Также
7 Ссылки
8 Внешние ссылки

Физический фон

Пористая среда, водоносные горизонты, турбулентность и другие среды обычно проявляют фрактальные свойства. Классические физические законы, такие как законы диффузии Фика, закон Дарси и закон Фурье, больше не применимы для таких сред, поскольку они основаны на Евклидова геометрия, которая не применяется к средам с не целым числом фрактальной размерностью. Необходимо переопределить основные физические концепции, такие как расстояние и скорость во фрактальных средах; шкалы для пространства и времени должны быть преобразованы в соответствии с (x, t). Элементарные физические понятия, такие как скорость в a (x, t), можно переопределить следующим образом:

v ′ = dx ′ dt ′ = dx β dt α, α, β>0 {\ displaystyle v '= {\ frac { dx '} {dt'}} = {\ frac {dx ^ {\ beta}} {dt ^ {\ alpha}}} \,, \ quad \ alpha, \ beta>0}

v' = \frac{dx'}{dt'}=\frac{dx^\beta}{dt^\alpha}\,,\quad \alpha,\beta>0

где S представляет фрактальное пространство-время с индексами масштабирования α и β. Традиционное определение скорости не имеет смысла в недифференцируемом фрактальном пространстве-времени.

Определение

Основываясь на приведенном выше обсуждении, концепция фрактальной производной функции u (t) относительно фрактальной меры t был введен следующим образом:

∂ f (t) ∂ t α = lim t 1 → tf (t 1) - f (t) t 1 α - T α, α>0 {\ Displaystyle {\ frac {\ partial f (t)} {\ partial t ^ {\ alpha}}} = \ lim _ {t_ {1} \ rightarrow t} {\ frac {f (t_ {1}) - f (t)} {t_ {1} ^ {\ alpha} -t ^ {\ alpha}}} \,, \ quad \ alpha>0}

$\frac{\partial f(t)}{\partial t^\alpha}=\lim_{t_1 \rightarrow t}\frac{f(t_1)-f(t)}{t_1^\alpha-t^\alpha}\, \quad \alpha>0$ ,

Более общее определение дает

∂ β е (t) ∂ T α знак равно lim t 1 → tf β (t 1) - f β (t) t 1 α - t α, α>0, β>0 {\ displaystyle {\ frac {\ partial ^ {\ beta} f (t)} {\ partial t ^ {\ alpha}}} = \ lim _ {t_ {1} \ rightarrow t} {\ frac {f ^ {\ beta} (t_ {1})) -f ^ {\ beta} (t)} {t_ {1} ^ {\ alpha} -t ^ {\ alpha}}} \,, \ quad \ alpha>0, \ beta>0}

\frac{\partial^\beta f(t)}{\partial t^\alpha}=\lim_{t_1 \rightarrow t}\frac{f^\beta (t_1)-f^\beta (t)}{t_1^\alpha-t^\alpha}\, \quad\alpha>0, \ beta>0

Мотивация

производные функции f могут быть определены в терминах коэффициентов a k в разложении ряда Тейлора :

$F (Икс) знак равно ∑ К знак равно 1 ∞ ак ⋅ (Икс - Икс 0) К знак равно ∑ К = 1 ∞ 1 К! dkfdxk (Икс 0) ⋅ (Икс - Икс 0) К знак равно е (Икс 0) + F '(Икс 0) ⋅ (Икс - Икс 0) + о (Икс - Икс 0) {\ Displaystyle F (x) = \ sum _ {k = 1} ^ {\ infty} a_ {k} \ cdot (x-x_ {0}) ^ {k} = \ sum _ {k = 1} ^ {\ infty} {1 \ over k! } {d ^ {k} f \ over dx ^ {k}} (x_ {0}) \ cdot (x-x_ {0}) ^ {k} = f (x_ {0}) + f '(x_ { 0}) \ cdot (x-x_ {0}) + o (x-x_ {0})}$ $f(x)=\sum _{k=1}^{\infty }a_{k}\cdot (x-x_{0})^{k}=\sum _{k=1}^{\infty }{1 \over k!}{d^{k}f \over dx^{k}}(x_{0})\cdot (x-x_{0})^{k}=f(x_{0})+f'(x_{0})\cdot (x-x_{0})+o(x-x_{0})$

Из этого подхода можно напрямую получить:

$f ′ (x 0) = f (x) - е (Икс 0) - о (Икс - Икс 0) Икс - Икс 0 = lim x → Икс 0 F (Икс) - F (Икс 0) Икс - Икс 0 {\ Displaystyle F '(x_ {0}) = { f (x) -f (x_ {0}) - o (x-x_ {0}) \ over x-x_ {0}} = \ lim _ {x \ to x_ {0}} {f (x) - f (x_ {0}) \ over x-x_ {0}}}$ $f'(x_{0})={f(x)-f(x_{0})-o(x-x_{0}) \over x-x_{0}}=\lim _{x\to x_{0}}{f(x)-f(x_{0}) \over x-x_{0}}$

Это можно обобщить, аппроксимируя f функциями (x- (x 0)):

$f (x) = ∑ k = 1 ∞ Bk ⋅ (Икс α - Икс 0 α) К знак равно е (Икс 0) + b 1 ⋅ (Икс α - Икс 0 α) + о (Икс α - Икс 0 α) {\ Displaystyle F (x) = \ сумма _ {k = 1} ^ {\ infty} b_ {k} \ cdot (x ^ {\ alpha} -x_ {0} ^ {\ alpha}) ^ {k} = f (x_ {0}) + b_ { 1} \ cdot (x ^ {\ alpha} -x_ {0} ^ {\ alpha}) + o (x ^ {\ alpha} -x_ {0} ^ {\ alpha})}$ ${\ displaystyle f (x) = \ sum _ {k = 1} ^ {\ infty} b_ {k} \ cdot (x ^ {\ alpha} -x_ {0} ^ {\ alpha}) ^ {k} = f (x_ {0}) + b_ {1} \ cdot (x ^ {\ alpha} -x_ {0}) ^ {\ alpha}) + o (x ^ {\ alp ha} -x_ {0} ^ {\ alpha})}$

примечание: самый низкий коэффициент порядка по-прежнему должен быть b 0 = f (x 0), так как он все еще t Постоянная аппроксимация функции f в точке x 0.

Снова можно напрямую получить:

$b 1 = lim x → x 0 f (x) - f (x 0) x α - x 0 α = defdfdx α (x 0) {\ displaystyle b_ {1} = \ lim _ {x \ to x_ {0}} {f (x) -f (x_ {0}) \ over x ^ {\ alpha} -x_ {0} ^ { \ alpha}} {\ overset {\ underset {\ mathrm {def}} {}} {=}} {df \ over dx ^ {\ alpha}} (x_ {0})}$ ${\ displaystyle b_ {1} = \ lim _ {x \ to x_ {0}} {f (x) -f (x_ { 0}) \ over x ^ {\ alpha} -x_ {0} ^ {\ alpha}} {\ overset {\ underset {\ mathrm {def}} {}} {=}} {df \ over dx ^ {\ альфа}} (x_ {0})}$

Свойства

Коэффициенты разложения

Как и в разложении в ряд Тейлора, коэффициенты b k могут быть выражены через фрактальные производные порядка k от f:

$bk = 1 k ! (ddx α) kf (x = x 0) {\ displaystyle b_ {k} = {1 \ over k!} {\ biggl (} {d \ over dx ^ {\ alpha}} {\ biggr)} ^ {k } f (x = x_ {0})}$ ${\ displaystyle b_ {k} = {1 \ over k!} {\ Biggl (} {d \ over dx ^ {\ alpha}} {\ biggr)} ^ {k} f (x = x_ {0 })}$

Идея доказательства: предположим, что $(ddx α) kf (x = x 0) {\ textstyle ({d \ over dx ^ {\ alpha}}) ^ { k} f (x = x_ {0})}$ ${\ textstyle ({d \ over dx ^ {\ alpha}}) ^ {k} f (x = x_ {0})}$ существует, b k можно записать как $bk = ak ⋅ (ddx α) kf (x = x 0) {\ textstyle b_ {k} = a_ {k} \ cdot ({d \ over dx ^ {\ alpha}}) ^ {k} f (x = x_ {0})}$ ${\ textstyle b_ {k} = a_ {k} \ cdot ({d \ over dx ^ {\ alpha}}) ^ {k} f (x = x_ {0})}$

теперь можно использовать $f (x) = (x α - x 0 α) n ⇒ (ddx α) kf (x = x 0) = п! δ nk {\ textstyle f (x) = (x ^ {\ alpha} -x_ {0} ^ {\ alpha}) ^ {n} \ Rightarrow ({d \ over dx ^ {\ alpha}}) ^ {k } f (x = x_ {0}) = n! \ delta _ {n} ^ {k}}$ ${\ textstyle f (x) = (x ^ {\ alpha} -x_ {0} ^ {\ alpha}) ^ {n} \ Rightarrow ({d \ over dx ^ {\ alpha}}) ^ {k} f (x = x_ {0}) = n! \ Delta _ {n} ^ {k}}$ и поскольку $bn =! 1 ⇒ a n = 1 n! {\ textstyle b_ {n} {\ overset {\ underset {\ mathrm {!}} {}} {=}} 1 \ Rightarrow a_ {n} = {1 \ over n!}}$ ${\ textstyle b_ {n} {\ overset { \ underset {\ mathrm {!}} {}} {=}} 1 \ Rightarrow a_ {n} = {1 \ over n!}}$

Связь с производной

Если для данной функции f существует и производная Df, и фрактальная производная D α f, можно найти аналог цепного правила:

$dfdx α = dfdxdxdx α = 1 α Икс 1 - α dfdx {\ displaystyle {df \ over dx ^ {\ alpha}} = {df \ over dx} {dx \ over dx ^ {\ alpha}} = {1 \ over \ alpha} x ^ {1 - \ alpha} {df \ over dx}}$ ${\ displaystyle {df \ over dx ^ {\ alpha}} = {df \ over dx} {dx \ over dx ^ {\ alpha} } = {1 \ over \ alpha} x ^ {1- \ alpha} {df \ over dx}}$

Последний шаг мотивирован теоремой о неявной функции, которая при соответствующих условиях дает нам dx / dx = (dx / dx)

Аналогично для более общего определения:

$d β fd α x = d (f β) d α x = 1 α x 1 - α β f β - 1 (x) f ′ (x) {\ displaystyle {d ^ {\ beta} f \ over d ^ {\ alpha} x} = {d (f ^ {\ beta}) \ over d ^ {\ alpha} x} = {1 \ over \ alpha} x ^ { 1- \ alpha} \ beta f ^ {\ beta -1} (x) f '(x)}$ ${d^{\beta }f \over d^{\alpha }x}={d(f^{\beta }) \over d^{\alpha }x}={1 \over \alpha }x^{1-\alpha }\beta f^{\beta -1}(x)f'(x)$

Фрактальная производная для функции f (t) = t, с порядком производной α ∈ (0,1]

Применение при аномальной диффузии

В качестве альтернативы В подходе к классическому второму закону Фика фрактальная производная используется для вывода линейного уравнения аномального переноса-диффузии, лежащего в основе процесса аномальной диффузии,

du (x, t) dt α = D ∂ ∂ x β (∂ u (x, t) ∂ x β), - ∞ < x < + ∞, ( 1) {\displaystyle {\frac {du(x,t)}{dt^{\alpha }}}=D{\frac {\partial }{\partial x^{\beta }}}\left({\frac {\partial u(x,t)}{\partial x^{\beta }}}\right),-\infty

\ frac {du (x, t)} {dt ^ \ alpha} = D \ frac {\ partial} {\ partial x ^ \ beta} \ left (\ frac {\ partial u (x, t)} {\ partial x ^ \ beta} \ right), - \ infty <Икс <+ \ infty \, \ quad (1)

u (x, 0) = δ (x). {\ displaystyle u (x, 0) = \ delta (x).}

u (x, 0) = \ delta (x).

где 0 < α < 2, 0 < β < 1, and δ(x) is the дельта-функция Дирака.

Чтобы получить фундаментальное решение, мы применяем преобразование переменные

t ′ = t α, x ′ = x β. {\ displaystyle t '= t ^ {\ alpha} \,, \ quad x' = x ^ {\ beta}.}

t'=t^\alpha\,,\quad x'=x^\beta.

тогда уравнение (1) становится уравнением нормальной диффузионной формы, решением (1) имеет растянутую гауссову форму:

u (x, t) = 1 2 π t α e - x 2 β 4 t α {\ displaystyle u (x, t) = {\ frac {1 } {2 {\ sqrt {\ pi t ^ {\ alpha}}}}} e ^ {- {\ frac {x ^ {2 \ beta}} {4t ^ {\ alpha}}}}}

u (x, t) = \ frac {1} {2 \ sqrt {\ pi t ^ \ alpha}} e ^ {- \ frac {x ^ {2 \ beta}} {4t ^ \ alpha}}

среднеквадратичное смещение вышеуказанного уравнения диффузии с фрактальной производной имеет асимптоту :

⟨x 2 (t)⟩ ∝ t (3 α - α β) / 2 β. {\ displaystyle \ left \ langle x ^ {2} (t) \ right \ rangle \ propto t ^ {(3 \ alpha - \ alpha \ beta) / 2 \ beta}.}

\ left \ langle x ^ 2 (t) \ right \ rangle \ propto t ^ {(3 \ alpha- \ alpha \ beta) / 2 \ beta}.

Фрактально-дробное исчисление

Фрактальная производная связана с классической производной, если существует первая производная исследуемой функции. В этом случае

∂ f (t) ∂ t α = lim t 1 → tf (t 1) - f (t) t 1 α - t α = df (t) dt 1 α t α - 1, α>0 {\ displaystyle {\ frac {\ partial f (t)} {\ partial t ^ {\ alpha}}} = \ lim _ {t_ {1} \ rightarrow t} {\ frac {f (t_ {1}) -f (t)} {t_ {1} ^ {\ alpha} -t ^ {\ alpha}}} \ = {\ frac {df (t)} {dt}} {\ frac {1} {\ alpha t ^ {\ alpha -1}}}, \ quad \ alpha>0}

{\frac {\partial f(t)}{\partial t^{\alpha }}}=\lim _{t_{1}\rightarrow t}{\frac {f(t_{1})-f(t)}{t_{1}^{\alpha }-t^{\alpha }}}\ ={\frac {df(t)}{dt}}{\frac {1}{\alpha t^{\alpha -1}}},\quad \alpha>0

Однако из-за свойства дифференцируемости целых дробные производные дифференцируемы, поэтому была введена следующая новая концепция

Следующие дифференциальные операторы были введены и применены совсем недавно. Предположим, что y (t) непрерывна и фрактально дифференцируема на (a, b) с порядком β, несколько определений фрактально-дробной производной y (t) справедливы с порядком α в в смысле Римана – Лиувилля:

Имея ядро степенного типа:

$FFPD 0, t α, β (y (t)) = 1 Γ (м - α) ddt β ∫ 0 T (t - s) m - α - 1 y (s) ds {\ displaystyle ^ {FFP} D_ {0, t} ^ {\ alpha, \ beta} {\ Big (} y (t) {\ Big)} = {\ dfrac {1} {\ Gamma (m- \ alpha)}} {\ dfrac {d} {dt ^ {\ beta}}} \ int _ {0 } ^ {t} (ts) ^ {m- \ alpha -1} y (s) ds}$ ${\ displaystyle ^ {FFP} D_ {0, t} ^ {\ alpha, \ beta} {\ Big (} y (t) {\ Big)} = {\ dfrac {1} {\ Gamma (m- \ альфа)}} {\ dfrac {d} {dt ^ {\ beta}}} \ int _ {0} ^ {t} (ts) ^ {m- \ alpha -1} y (s) ds}$

Имея ядро экспоненциально убывающего типа:

$FFED 0, t α, β (y (t)) = M (α) 1 - α ddt β ∫ 0 T ехр ⁡ (- α 1 - α (t - s)) y (s) ds {\ displaystyle ^ {FFE} D_ {0, t} ^ {\ alpha, \ beta } {\ Big (} y (t) {\ Big)} = {\ dfrac {M (\ alpha)} {1- \ alpha}} {\ dfrac {d} {dt ^ {\ beta}}} \ int _ {0} ^ {t} \ exp {\ Big (} - {\ dfrac {\ alpha} {1- \ alpha}} (ts) {\ Big)} y (s) ds}$ ${\ displaystyle ^ {FFE} D_ {0, t} ^ {\ alpha, \ beta} {\ Big (} y (t) {\ Big)} = {\ dfrac {M (\ alpha)} {1- \ alpha}} {\ dfrac {d} {dt ^ {\ beta}}} \ int _ {0} ^ {t} \ exp {\ Big (} - {\ dfrac {\ alpha} {1- \ alpha}} (ts) {\ Big)} y (s) ds}$ ,

Обобщив Mittag -Ядро типа Леффлера:

$a FFMD t α f (t) = AB (α) 1 - α ddt β ∫ atf (τ) E α (- α (t - τ) α 1 - α) d τ. {\ displaystyle {} _ {a} ^ {FFM} D_ {t} ^ {\ alpha} f (t) = {\ frac {AB (\ alpha)} {1- \ alpha}} {\ frac {d} {dt ^ {\ beta}}} \ int _ {a} ^ {t} f (\ tau) E _ {\ alpha} \ left (- \ alpha {\ frac {\ left (t- \ tau \ right) ^ {\ alpha}} {1- \ alpha}} \ right) \, d \ tau \,.}$ ${ \ displaystyle {} _ {a} ^ {FFM} D_ {t} ^ {\ alpha} f (t) = {\ frac {AB (\ alpha)} {1- \ alpha}} {\ frac {d} { dt ^ {\ beta}}} \ int _ {a} ^ {t} f (\ tau) E _ {\ alpha} \ left (- \ alpha {\ frac {\ left (t- \ tau \ right) ^ { \ alpha}} {1- \ alpha}} \ right) \, d \ tau \,.}$

Каждый из вышеуказанных дифференциальных операторов имеет связанный фрактально-дробный интегральный оператор, а именно:

Тип степенного закона ядро:

$FFPJ 0, t α, β (y (t)) = β Γ (α) ∫ 0 t (t - s) α - 1 s β - 1 y (s) ds {\ displaystyle ^ {FFP } J_ {0, t} ^ {\ alpha, \ beta} {\ Big (} y (t) {\ Big)} = {\ dfrac {\ beta} {\ Gamma (\ alpha)}} \ int _ { 0} ^ {t} (ts) ^ {\ alpha -1} s ^ {\ beta -1} y (s) ds}$ ${\ displaystyle ^ {FFP} J_ {0, t} ^ {\ alpha, \ beta} {\ Big (} y (t) {\ Big)} = {\ dfrac {\ beta} {\ Gamma (\ alpha)}} \ int _ {0} ^ {t} (ts) ^ {\ alpha -1} s ^ {\ бета -1} y (s) ds}$

Ядро экспоненциально убывающего типа:

$FFEJ 0, t α, β (y (T)) знак равно α β M (α) ∫ 0 ts α - 1 y (s) ds + β (1 - α) t β - 1 y (t) M (α) {\ displaystyle ^ {FFE} J_ { 0, t} ^ {\ alpha, \ beta} {\ Big (} y (t) {\ Big)} = {\ dfrac {\ alpha \ beta} {M (\ alpha)}} \ int _ {0} ^ {t} s ^ {\ alpha -1} y (s) ds + {\ dfrac {\ beta (1- \ alpha) t ^ {\ beta -1} y (t)} {M (\ alpha)}} }$ ${\ displaystyle ^ {FFE} J_ {0, t} ^ {\ alpha, \ beta} {\ Big (} y (t) {\ Big)} = {\ dfrac {\ alpha \ beta} {M (\ alpha)}} \ int _ {0} ^ {t} s ^ {\ alpha -1} y (s) ds + {\ dfrac {\ beta (1- \ alpha) t ^ {\ бета -1} y (t)} {M (\ alpha)}}}$ .

Обобщенное ядро типа Миттаг-Леффлера:

$FF MJ 0, t α, β (y (t)) = α β AB (α) ∫ 0 ts α - 1 y (s) (t - s) α - 1 ds + β (1 - α) t β - 1 Y (T) AB (α) {\ Displaystyle ^ {FFM} J_ {0, t} ^ {\ alpha, \ beta} {\ Big (} y (t) {\ Big)} = {\ dfrac {\ alpha \ beta} {AB (\ alpha)}} \ int _ {0} ^ {t} s ^ {\ alpha -1} y (s) (ts) ^ {\ alpha -1} ds + {\ dfrac {\ beta (1- \ alpha) t ^ {\ beta -1} y (t)} {AB (\ alpha)}}}$ ${\ displaystyle ^ {FFM} J_ {0, t} ^ {\ alpha, \ beta} {\ Big (} y (t) {\ Big)} = {\ dfrac {\ alpha \ beta} {AB (\ alpha)}} \ int _ {0} ^ {t} s ^ {\ alpha -1} y (s) (ts) ^ {\ alpha -1} ds + {\ dfrac {\ бета (1- \ альфа) t ^ {\ beta -1} y (t)} {AB (\ alpha)}}}$ . FFM относится к фрактально-дробным с обобщенным ядром Миттаг-Леффлера.