В математике, особенно в исчислении и комплексном анализе, логарифмическая производная функции f определяется формулой
где - производная от f. Интуитивно это и есть бесконечно малое относительное изменение f; то есть бесконечно малое абсолютное изменение f, а именно , масштабируемое текущим значением f.
Когда f является функцией f (x) действительной переменной x и принимает действительные, строго положительные значения, это равно производной ln ( f) или натуральный логарифм числа f. Это непосредственно следует из цепного правила .
Многие свойства действительного логарифма также применяются к логарифмической производной, даже если функция не принимает значения в положительных вещественных числах. Например, поскольку логарифм продукта является суммой логарифмов факторов, мы имеем
Итак, для положительно-вещественных функций логарифмическая производная продукта - это сумма логарифмических производных факторов. Но мы также можем использовать закон Лейбница для производной продукта, чтобы получить
Таким образом, для любой функции верно, что логарифмическая производная продукта является суммой логарифмических производных факторов (когда они определены).
A следствием является то, что логарифмическая производная обратной величины функции является отрицанием логарифмической производной функции:
точно так же, как логарифм обратной величины положительного действительного числа является отрицанием логарифма числа.
В более общем смысле, логарифмическая производная частного - это разность логарифмических производных делимого и делителя:
точно так же, как логарифм частного разность логарифмов делимого и делителя.
Обобщая в другом направлении, логарифмическая производная степени (с постоянным действительным показателем степени) является произведением показателя степени и логарифмической производной основания:
точно так же, как логарифм степени является произведением экспоненты и логарифма основания.
Таким образом, и производные, и логарифмы имеют правило произведения, правило взаимности, правило частного и степень. правило (сравните список логарифмических идентификаторов ); каждая пара правил связана через логарифмическую производную.
Логарифмические производные могут упростить вычисление производных, требующих правила произведения, с получением того же результата. Процедура следующая. Предположим, что ƒ (x) = u (x) v (x) и мы хотим вычислить ƒ '(x). Вместо того, чтобы вычислять его напрямую как ƒ '= u' v + v 'u, мы вычисляем его логарифмическую производную. То есть мы вычисляем:
Умножение на ƒ вычисляет ƒ' :
Этот метод наиболее полезен, когда ƒ является произведение большого количества факторов. Этот метод позволяет вычислить 'путем вычисления логарифмической производной каждого фактора, суммирования и умножения на.
Идея логарифмической производной тесно связана с методом интегрирующих множителей для дифференциальных уравнений первого порядка. В терминах оператора напишите
и пусть M обозначает оператор умножения на некоторую заданную функцию G ( Икс). Тогда
может быть записано (по правилу продукта ) как
где теперь обозначает оператор умножения на логарифмическую производную
На практике нам предоставляется такой оператор, как
, и мы хотим решить уравнения
для функции h, заданной f. Затем это сводится к решению
, которое имеет в качестве решения
с любым неопределенным интегралом из F.
Данная формула может применяться более широко; например, если f (z) является мероморфной функцией, это имеет смысл при всех комплексных значениях z, при которых f не имеет ни нуля, ни полюса. Кроме того, в нуле или на полюсе логарифмическая производная ведет себя таким образом, что это легко анализировать в терминах частного случая
с n целым числом, n 0. Тогда логарифмическая производная равна
, и можно сделать общий вывод, что для мероморфных f особенности логарифмической производной f являются простыми полюсами с вычетом n от нуля порядка n, вычетом −n от полюса заказ n. См. принцип аргумента. Эта информация часто используется в интегрировании контура.
. В области теории Неванлинны важная лемма утверждает, что функция близости логарифмической производной мала по сравнению с характеристикой Неванлинны оригинала. функция, например .
За использованием логарифмической производной лежат два основных факта о GL 1, то есть мультипликативная группа действительных чисел или другое поле . дифференциальный оператор
является инвариантным при «переводе» (замена X на aX для константы). И дифференциальная форма
также инвариантна. Для функций F в GL 1, формула
, следовательно, является откатом инвариантной формы.