Правило взаимности

В исчислении правило взаимности дает производную от обратного функции f через производную f. Обратное правило можно использовать, чтобы показать, что правило степени выполняется для отрицательных показателей, если оно уже было установлено для положительных показателей. Кроме того, можно легко вывести правило частного из правила взаимности и правило произведения.

. Взаимное правило утверждает, что если f дифференцируемо в точках x и f (x) ≠ 0, то g (x) = 1 / f (x) также дифференцируемо в x и

$g\; \prime \; (x)\; =\; ddx\; (1\; f\; (x))\; =\; -\; f\; \prime \; (x)\; f\; (x)\; 2.\; \{\backslash \; displaystyle\; g\; \text{'}(x)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{d\}\; \{dx\}\}\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{f\; (x)\}\}\; \backslash \; right)\; =\; -\; \{\backslash \; frac\; \{f\text{'}\; (x)\}\; \{f\; (x)\; ^\; \{2\}\}\}.\}$

• 1 Доказательство
• 2 Слабое обратное правило, алгебраически вытекающее из правила произведения
• 3 Применение к обобщению правила степени
• 4 Применение к доказательству правила частного
• 5 Применение к дифференцированию тригонометрических функций
• 6 См. Также

Это доказательство основано на предпосылке, что $f\; \{\backslash \; displaystyle\; f\}$дифференцируем в $x,\; \{\backslash \; displaystyle\; x,\}$и по теореме, что $f\; \{\backslash \; displaystyle\; f\}$тогда также обязательно непрерывный там. Применение определения производной от $g\; \{\backslash \; displaystyle\; g\}$в $x\; \{\backslash \; displaystyle\; x\}$с $f\; (x)\; \ne \; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; (x)\; \backslash \; neq\; 0\}$дает

$g\; \prime \; (x)\; =\; ddx\; (1\; f\; (x))\; =\; lim\; h\; \to \; 0\; (1\; f\; (x\; +\; h)\; -\; 1\; f\; (\; x)\; h)\; =\; lim\; h\; \to \; 0\; (f\; (x)\; -\; f\; (x\; +\; h)\; h\; \cdot \; f\; (x)\; f\; (x\; +\; h))\; =\; lim\; h\; \to \; 0\; (-\; f\; (x\; +\; h)\; -\; f\; (\; x)\; h\; \cdot \; 1\; f\; (x)\; f\; (x\; +\; h)).\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; g\; \text{'}(x)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{d\}\; \{dx\}\}\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{f\; (x)\}\}\; \backslash \; right)\; =\; \backslash \; lim\; \_\; \{\; h\; \backslash \; to\; 0\}\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{\{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{f\; (x\; +\; h)\}\}\; -\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{f\; (x)\}\}\}\; \{h\}\}\; \backslash \; right)\; \backslash \; \backslash \; =\; \backslash \; lim\; \_\; \{h\; \backslash \; to\; 0\}\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{f\; (x)\; -f\; (x\; +\; h)\}\; \{h\; \backslash \; cdot\; f\; (x)\; f\; (x\; +\; h)\}\}\; \backslash \; right)\; \backslash \backslash \; =\; \backslash \; lim\; \_\; \{h\; \backslash \; to\; 0\}\; \backslash \; left\; (-\; \{\backslash \; frac\; \{f\; (x\; +\; h)\; -f\; (x)\}\; \{h\}\}\; \backslash \; cdot\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{f\; (x)\; f\; (x\; +\; h)\}\}\; \backslash \; right).\; \backslash \; end\; \{align\}\}\}$

Предел этого продукта существует и равен произведению существующих ограничений его факторов:

$(lim\; h\; \to \; 0\; -\; f\; (x\; +\; h)\; -\; f\; (x)\; h)\; \cdot \; (lim\; h\; \to \; 0\; 1\; f\; (x)\; \cdot \; f\; (x\; +\; h)).\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; left\; (\backslash \; lim\; \_\; \{h\; \backslash \; to\; 0\}\; -\; \{\backslash \; frac\; \{f\; (x\; +\; h)\; -f\; (x)\}\; \{h\}\}\; \backslash \; right)\; \backslash \; cdot\; \backslash \; left\; (\backslash \; lim\; \_\; \{h\; \backslash \; на\; 0\}\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{f\; (x)\; \backslash \; cdot\; f\; (x\; +\; h)\}\}\; \backslash \; right).\}$

Из-за дифференцируемости $f\; \{\backslash \; displaystyle\; f\}$при $x\; \{\backslash \; displaystyle\; x\}$первый предел равен $-\; f\; \text{'}(x),\; \{\backslash \; displaystyle\; -f\text{'}\; (x),\}$и из-за $f\; (x)\; \ne \; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; (x)\; \backslash \; neq\; 0\}$и непрерывности $f\; \{\backslash \; displaystyle\; f\}$на $x\; \{\backslash \; displaystyle\; x\}$второй предел равен $1\; /\; f\; (x)\; 2,\; \{\backslash \; displaystyle\; 1\; /\; f\; (x)\; ^\; \{2\},\}$таким образом что дает

$g\; \prime \; (x)\; =\; -\; f\; \prime \; (x)\; \cdot \; 1\; f\; (x)\; 2\; =\; -\; f\; \prime \; (x)\; f\; (x)\; 2.\; \{\backslash \; displaystyle\; g\; \text{'}(x)\; =\; -\; f\text{'}\; (x)\; \backslash \; cdot\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{f\; (x)\; ^\; \{2\}\}\}\; =\; -\; \{\backslash \; frac\; \{f\; \text{'}(x)\}\; \{f\; (x)\; ^\; \{2\}\}\}.\}$

Можно утверждать, что, поскольку

$f\; (x)\; \cdot \; 1\; f\; (x)\; =\; 1,\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; (x)\; \backslash \; cdot\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{f\; (x)\}\}\; =\; 1,\}$

приложение правила продукта говорит, что

$f\; \text{'}(x)\; (1\; f)\; (Икс)\; +\; е\; (Икс)\; (1\; е)\; \prime \; (Икс)\; =\; 0,\; \{\backslash \; Displaystyle\; F\; \text{'}(х)\; \backslash \; влево\; (\{\backslash \; гидроразрыва\; \{1\}\; \{f\}\}\; \backslash \; вправо)\; (х)\; +\; F\; (х)\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{f\}\}\; \backslash \; right)\; \text{'}(x)\; =\; 0,\}$

, и это можно алгебраически переставить так:

$(1\; f)\; \prime \; (x)\; =\; -\; f\; \prime \; (Х)\; f\; (x)\; 2.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{f\}\}\; \backslash \; right)\; \text{'}(x)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{-f\text{'}\; (x)\}\; \{f\; (x)\; ^\; \{2\}\}\}.\}$

Однако это не доказывает, что 1 / f дифференцируема в точке x; это действительно только тогда, когда дифференцируемость 1 / f в точке x уже установлена. Таким образом, это более слабый результат, чем доказанное выше правило взаимности. Однако в контексте дифференциальной алгебры, в которой нет ничего недифференцируемого и в которой производные не определены ограничениями, именно таким образом действует правило взаимности и более общее правило частного. установлено.

Часто правило мощности, утверждающее, что $ddx\; (xn)\; =\; nxn\; -\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; tfrac\; \{d\}\; \{dx\}\}\; (x\; ^\; \{n\})\; =\; nx\; ^\; \{n-1\}\}$, доказывается методами, которые действительны только тогда, когда n - неотрицательное целое число. Это можно расширить до отрицательных целых чисел n, допустив $n\; =\; -\; m\; \{\backslash \; displaystyle\; n\; =\; -m\}$, где m - положительное целое число.

$ddxxn\; =\; ddx\; (1\; xm)\; =\; -\; ddxxm\; (xm)\; 2,\; по\; обратному\; правилу\; =\; -\; mxm\; -\; 1\; x\; 2\; m,\; по\; правилу\; мощности,\; примененному\; к\; положительному\; целому\; числу\; m,\; =\; -\; mx\; -\; m\; -\; 1\; =\; nxn\; -\; 1,\; подставив\; обратно\; n\; =\; -\; m.\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; \{\backslash \; frac\; \{d\}\; \{dx\}\}\; x\; ^\; \{n\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{d\}\; \{dx\}\}\; \backslash ,\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{x\; ^\; \{m\}\}\}\; \backslash \; right)\; \backslash \backslash \; =\; -\; \{\backslash \; frac\; \{\{\backslash \; frac\; \{d\}\; \{dx\}\}\; x\; ^\; \{m\}\}\; \{(x\; ^\; \{m\})\; ^\; \{2\}\}\},\; \{\backslash \; text\; \{по\; правилу\; взаимности\}\}\; \backslash \backslash \; =\; -\; \{\backslash \; frac\; \{mx\; ^\; \{m-1\}\}\; \{x\; ^\; \{2m\}\}\},\; \{\backslash \; text\; \{по\; правилу\; степени,\; примененному\; к\; положительному\; целому\; числу\}\}\; m,\; \backslash \backslash \; =\; -\; mx\; ^\; \{-\; m-1\}\; =\; nx\; ^\; \{n-1\},\; \{\backslash \; text\; \{путем\; обратной\; замены\}\}\; n\; =\; -m.\; \backslash \; end\; \{align\}\}\}$

Правило взаимности является частным случаем правила частного, которое утверждает, что если f и g дифференцируемы в x и g (x) ≠ 0, то

$ddx\; [f\; (x)\; g\; (x)]\; =\; g\; (x)\; f\; \prime \; (x)\; -\; f\; (x)\; g\; \prime \; (x)\; [g\; (x)]\; 2.\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{d\}\; \{dx\}\}\; \backslash ,\; \backslash \; left\; [\{\backslash \; frac\; \{f\; (x)\}\; \{g\; (x)\}\}\; \backslash \; right]\; =\; \{\backslash \; frac\; \{g\; (x)\; f\; \backslash ,\; \text{'}\; (x)\; -f\; (x)\; g\; \text{'}(x)\}\; \{[g\; (x)]\; ^\; \{2\}\}\}.\}$

Правило частного можно доказать, написав

$f\; (x)\; g\; (x)\; знак\; равно\; е\; (Икс)\; \cdot \; 1\; г\; (Икс)\; \{\backslash \; Displaystyle\; \{\backslash \; гидроразрыва\; \{е\; (х)\}\; \{г\; (х)\}\}\; =\; е\; (х)\; \backslash \; CDOT\; \{\backslash \; гидроразрыва\; \{1\}\; \{г\; (х)\}\; \}\}$

, а затем сначала примените правило произведения, а затем примените правило взаимности ко второму фактору.

$ddx\; [f\; (x)\; g\; (x)]\; =\; ddx\; [f\; (x)\; \cdot \; 1\; g\; (x)]\; =\; f\; \prime \; (x)\; \cdot \; 1\; g\; (x)\; +\; f\; (x)\; \cdot \; ddx\; [1\; g\; (x)]\; =\; f\; \prime \; (x)\; \cdot \; 1\; g\; (x)\; +\; f\; (x)\; \cdot \; [-\; g\; \prime \; (x)\; g\; (x)\; 2]\; =\; f\; \prime \; (x)\; g\; (x)\; -\; f\; (x)\; g\; \prime \; (x)\; [g\; (x)]\; 2\; =\; f\; \prime \; (x)\; g\; (x)\; -\; f\; (x)\; g\; \prime \; (x)\; [g\; (x)]\; 2.\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; \{\backslash \; frac\; \{d\}\; \{dx\}\}\; \backslash \; left\; [\{\backslash \; frac\; \{f\; (x)\}\; \{g\; (x)\}\}\; \backslash \; right]\; =\; \{\backslash \; frac\; \{d\}\; \{\; dx\}\}\; \backslash \; left\; [f\; (x)\; \backslash \; cdot\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{g\; (x)\}\}\; \backslash \; right]\; \backslash \backslash \; =\; f\; \text{'}(x)\; \backslash \; cdot\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{g\; (x)\; \}\}\; +\; f\; (x)\; \backslash \; cdot\; \{\backslash \; frac\; \{d\}\; \{dx\}\}\; \backslash \; left\; [\{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{g\; (x)\}\}\; \backslash \; right]\; \backslash \backslash \; =\; f\; \text{'}(x)\; \backslash \; cdot\; \{\; \backslash \; frac\; \{1\}\; \{g\; (x)\}\}\; +\; f\; (x)\; \backslash \; cdot\; \backslash \; left\; [\{\backslash \; frac\; \{-g\; \text{'}(x)\}\; \{g\; (x)\; ^\; \{2\}\}\}\; \backslash \; right]\; \backslash \backslash \; =\; \{\backslash \; frac\; \{f\; \text{'}(x)\}\; \{g\; (x)\}\}\; -\; \{\backslash \; frac\; \{f\; (x)\; g\text{'}\; (x)\}\; \{[g\; (x)]\; ^\; \{2\}\}\}\; \backslash \backslash \; =\; \{\backslash \; frac\; \{f\; \text{'}(x)\; g\; (x)\; -f\; (x)\; g\text{'}\; (x)\}\; \{[g\; (x)]\; ^\; \{2\}\}\}.\; \backslash \; end\; \{align\}\}\}$

Используя правило взаимности, можно найти производную секущей и косекансной функций.

Для функции секанса:

$ddx\; sec\; \; x\; =\; ddx\; (1\; cos\; \; x)\; =\; -\; ddx\; cos\; \; x\; cos\; 2\; \; x\; =\; sin\; \; x\; cos\; 2\; \; x\; =\; 1\; cos\; \; x\; \cdot \; грех\; \; х\; соз\; \; х\; =\; сек\; \; х\; загар\; \; х.\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; \{\backslash \; frac\; \{d\}\; \{dx\}\}\; \backslash \; sec\; x\; =\; \{\backslash \; frac\; \{d\}\; \{dx\}\}\; \backslash ,\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{\backslash \; cos\; x\}\}\; \backslash \; right)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{-\; \{\backslash \; frac\; \{d\}\; \{dx\}\}\; \backslash \; cos\; x\}\; \{\backslash \; cos\; ^\; \{2\}\; x\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; sin\; x\}\; \{\backslash \; cos\; ^\; \{2\}\; x\; \}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{\backslash \; cos\; x\}\}\; \backslash \; cdot\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; sin\; x\}\; \{\backslash \; cos\; x\}\}\; =\; \backslash \; sec\; x\; \backslash \; tan\; x.\; \backslash \; end\; \{align\}\}\}$

косеканс обрабатывается аналогично:

$ddx\; csc\; \; x\; =\; ddx\; (1\; sin\; \; x)\; =\; -\; ddx\; sin\; \; x\; sin\; 2\; \; x\; =\; -\; cos\; \; x\; sin\; 2\; \; x\; =\; -\; 1\; sin\; \; x\; \cdot \; cos\; \; x\; sin\; \; x\; =\; -\; csc\; \; x\; детская\; кроватка\; \; x.\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; \{\backslash \; frac\; \{d\}\; \{dx\}\}\; \backslash \; csc\; x\; =\; \{\backslash \; frac\; \{d\}\; \{dx\}\}\; \backslash ,\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{\backslash \; sin\; x\}\}\; \backslash \; right)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{-\; \{\backslash \; frac\; \{d\}\; \{dx\}\}\; \backslash \; sin\; x\}\; \{\backslash \; sin\; ^\; \{2\}\; x\}\}\; =\; -\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; cos\; x\}\; \{\backslash \; sin\; ^\; \{2\}\; x\}\}\; =\; -\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{\backslash \; sin\; x\}\}\; \backslash \; cdot\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; cos\; x\}\; \{\backslash \; sin\; x\}\}\; =\; -\; \backslash \; csc\; x\; \backslash \; cot\; x.\; \backslash \; end\; \{align\}\}\}$

• Правило продукта
• Правило коэффициента
• Правило цепочки
• Коэффициент разности