Принцип аргумента

Простой контур C (черный), нули f (синий) и полюса f (красный). Здесь $1\; 2\; \pi \; i\; \oint \; C\; \; f\; \prime \; (z)\; f\; (z)\; dz\; =\; 4–5.\; \{\backslash \; Displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\; \backslash \; pi\; i\}\}\; \backslash \; oint\; \_\; \{C\}\; \{f\; \text{'}(z)\; \backslash \; over\; f\; (z)\}\; \backslash ,\; dz\; =\; 4-5.\}$

В комплексном анализе принцип аргумента (или принцип Коши принцип аргумента ) связывает разницу между числом нулей и полюсов в мероморфной функции с контурным интегралом логарифмической производной функции .

В частности, если f (z) - мероморфная функция внутри и на некотором замкнутом контуре C, и f не имеет нулей или полюсов на C, то

$1\; 2\; \pi \; i\; \oint \; C\; \; f\; \prime \; (z)\; f\; (\; z)\; dz\; знак\; равно\; Z\; -\; P\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\; \backslash \; pi\; i\}\}\; \backslash \; oint\; \_\; \{C\}\; \{f\; \text{'}(z)\; \backslash \; over\; f\; (z)\}\; \backslash ,\; dz\; =\; ZP\}$

где Z и P обозначают, соответственно, количество нулей и полюсов f (z) внутри контура C, причем каждый ноль и полюс подсчитываются столько раз, сколько его кратность и порядок, соответственно указываем. Это утверждение теоремы предполагает, что контур C простой, то есть без самопересечений, и что он ориентирован против часовой стрелки.

В более общем смысле, предположим, что f (z) - мероморфная функция на открытом множестве Ω в комплексной плоскости и что C - замкнутая кривая в Ω, которая избегает всех нулей и полюсов f и стягивается до точки внутри Ω. Для каждой точки z ∈ Ω пусть n (C, z) будет числом поворота C вокруг z. Тогда

$1\; 2\; \pi \; я\; \oint \; C\; \; f\; \prime \; (z)\; f\; (z)\; dz\; =\; \sum \; an\; (C,\; a)\; -\; \sum \; bn\; (C,\; b)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\; \backslash \; pi\; i\}\}\; \backslash \; oint\; \_\; \{C\}\; \{\backslash \; frac\; \{f\; \text{'}(z)\}\; \{f\; (z)\}\}\; \backslash ,\; dz\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{a\}\; n\; (C,\; a)\; -\; \backslash \; sum\; \_\; \{b\}\; n\; (C,\; b)\}$

где первое суммирование ведется по всем нулям a из f с учетом их кратностей, а второе суммирование по полюсам b из f с учетом их порядков.

• 1 Интерпретация контурного интеграла
• 2 Доказательство принципа аргумента
• 3 Приложения и последствия
• 4 Принцип обобщенного аргумента
• 5 История
• 6 См. Также
• 7 Ссылки
• 8 Внешние ссылки

контурный интеграл $\oint \; C\; f\; \prime \; (z)\; f\; (z)\; dz\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; oint\; \_\; \{C\}\; \{\backslash \; frac\; \{f\; \text{'}(z)\}\; \{f\; (z)\}\}\; \backslash ,\; dz\}$можно интерпретировать как 2πi, умноженное на число витков пути f (C) вокруг происхождение, используя замену w = f (z):

$\oint \; C\; f\; \prime \; (z)\; f\; (z)\; dz\; =\; \oint \; f\; (C)\; 1\; wdw\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; oint\; \_\; \{C\}\; \{\backslash \; frac\; \{f\; \text{'}\; (z)\}\; \{f\; (z)\}\}\; \backslash ,\; dz\; =\; \backslash \; oint\; \_\; \{f\; (C)\}\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{w\}\}\; \backslash ,\; dw\}$

То есть это в i раз больше общего изменение аргумента функции f (z) при перемещении z вокруг C, объясняя название теоремы; это следует из

$ddz\; log\; \; (f\; (z))\; =\; f\; \prime \; (z)\; f\; (z)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{d\}\; \{dz\}\}\; \backslash \; log\; (f\; (z))\; =\; \{\backslash \; frac\; \{f\; \text{'}(z)\}\; \{f\; (z)\}\}\}$

и связь между аргументами и логарифмами.

Пусть z Z будет нулем f. Мы можем записать f (z) = (z - z Z) g (z), где k - кратность нуля, и, таким образом, g (z Z) ≠ 0. Мы получить

$е\; \prime \; (z)\; знак\; равно\; К\; (z\; -\; z\; Z)\; к\; -\; 1\; g\; (z)\; +\; (z\; -\; z\; Z)\; kg\; \prime \; (z)\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; \text{'}(z)\; =\; k\; (z-z\_\; \{Z\})\; ^\; \{k-1\}\; g\; (z)\; +\; (z-z\_\; \{Z\})\; ^\; \{k\}\; g\; \text{'}(z)\; \backslash ,\; \backslash !\}$

и

$f\; \prime \; (z)\; f\; (z)\; =\; kz\; -\; z\; Z\; +\; g\; \prime \; (z)\; g\; (z).\; \{\backslash \; displaystyle\; \{f\; \text{'}(z)\; \backslash \; over\; f\; (z)\}\; =\; \{k\; \backslash \; over\; z-z\_\; \{Z\}\}\; +\; \{g\text{'}\; (z)\; \backslash \; over\; g\; (z)\}.\}$

Поскольку g ( z Z) ≠ 0, отсюда следует, что g '(z) / g (z) не имеет сингулярностей в z Z, и, следовательно, является аналитическим в z Z, что означает, что остаток f '(z) / f (z) в z Z равен k.

Пусть z P - полюс f. Мы можем записать f (z) = (z - z P) h (z), где m - порядок полюса, а h (z P) ≠ 0. Тогда,

$f\; \prime \; (z)\; =\; -\; m\; (z\; -\; z\; P)\; -\; m\; -\; 1\; h\; (z)\; +\; (z\; -\; z\; P)\; -\; mh\; \prime \; (z).\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; \text{'}(z)\; =\; -\; m\; (z-z\_\; \{P\})\; ^\; \{-\; m-1\}\; h\; (z)\; +\; (z-z\_\; \{P\})\; ^\; \{-\; m\}\; h\text{'}\; (z)\; \backslash ,\; \backslash \; !.\}$

и

$f\; \prime \; (z)\; f\; (z)\; =\; -\; mz\; -\; z\; P\; +\; h\; \prime \; (z)\; h\; (z)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{f\; \text{'}(z)\; \backslash \; over\; f\; (\; z)\}\; =\; \{-\; m\; \backslash \; over\; z-z\_\; \{P\}\}\; +\; \{h\; \text{'}(z)\; \backslash \; over\; h\; (z)\}\}$

аналогично тому, как указано выше. Отсюда следует, что h ′ (z) / h (z) не имеет особенностей в z P, поскольку h (z P) ≠ 0, и, следовательно, он аналитичен в z P. Мы находим, что вычет f ′ (z) / f (z) в точке z P равен −m.

Соединяя их вместе, каждый ноль z Z кратности k функции f создает простой полюс для f ′ (z) / f (z) с остатком k, а каждый полюс z P порядка m функции f создает простой полюс для f '(z) / f (z) с вычетом -m. (Здесь под простым полюсом мы понимаем полюс первого порядка.) Кроме того, можно показать, что f ′ (z) / f (z) не имеет других полюсов, а значит, и других вычетов.

По теореме о вычетах мы имеем, что интеграл относительно C является произведением 2πi и суммы вычетов. Вместе сумма k для каждого нуля z Z представляет собой количество нулей, считающих кратности нулей, а также для полюсов, и поэтому мы получили наш результат.

Принцип аргумента может использоваться для эффективного определения на компьютере нулей или полюсов мероморфных функций. Даже с ошибками округления выражение $1\; 2\; \pi \; i\; \oint \; C\; f\; \text{'}(z)\; f\; (z)\; dz\; \{\backslash \; displaystyle\; \{1\; \backslash \; over\; 2\; \backslash \; pi\; i\}\; \backslash \; oint\; \_\; \{C\}\; \{f\text{'}\; (z)\; \backslash \; over\; f\; (z)\}\; \backslash ,\; dz\}$даст результаты, близкие к целому числу; путем определения этих целых чисел для различных cont