Уравнение Фишера

Уравнение Фишера в оценках финансовой математики и экономики соотношение между номинальной и реальной процентной ставкой при инфляции. Он назван в честь Ирвинга Фишера, который прославился своими работами по теории интереса. В финансах уравнение Фишера в основном используется в расчетах доходности к погашению для облигаций или IRR расчетов инвестиций. В экономике это уравнение используется для прогнозирования поведения номинальной и реальной процентной ставки.

Пусть r обозначает реальную процентную ставку, i обозначает номинальную процентную ставку, и пусть π обозначает уровень инфляции, a линейное приближение, но уравнение Фишера часто записывается как равенство:

$i\; =\; r\; +\; \pi \; \{\backslash \; displaystyle\; i\; =\; r\; +\; \backslash \; pi\}$

Уравнение Фишера можно использовать в любом ex -анте (до) или пост (после) анализа. Постфактум его можно использовать для описания реальной покупательной способности ссуды:

$r\; =\; i\; -\; \pi \; \{\backslash \; displaystyle\; r\; =\; i-\; \backslash \; pi\}$

преобразовано в уравнение Фишера, дополненное ожиданиями, и дано желаемое реальная норма доходности и ожидаемый уровень инфляции π (с надстрочным индексом e, означающим «ожидаемый») в течение периода ссуды, ее можно использовать в качестве предварительной версии для определения номинальной ставки, которая должна взиматься по ссуде. :

$i\; =\; r\; +\; \pi \; e\; \{\backslash \; displaystyle\; i\; =\; r\; +\; \backslash \; pi\; ^\; \{e\}\}$

Это уравнение существовало до Фишера, но Фишер предложил лучшее приближение, которое приведено ниже. Приближение может быть получено из точного уравнения:

$1\; +\; i\; =\; (1\; +\; r)\; (1\; +\; \pi ).\; \{\backslash \; displaystyle\; 1\; +\; i\; =\; (1\; +\; r)\; (1+\; \backslash \; pi).\}$

• 1 Вывод
• 2 Приложения
  • 2.1 Анализ затрат и выгод
  • 2.2 Облигации с индексом инфляции
  • 2.3 Денежно-кредитная политика
• 3 См. Также
• 4 Ссылки
• 5 Дополнительная литература

Хотя временные индексы иногда опускаются, интуиция, лежащая в основе уравнения Фишера, - это связь между номинальные и реальные процентные ставки через инфляция и процентное изменение уровня цен между двумя периодами времени. Итак, предположим, что кто-то покупает облигацию на 1 доллар в период t, когда процентная ставка i t. В случае погашения в период t + 1 покупатель получит (1 + i t) долларов. Однако, если ожидается, что уровень инфляции в момент t + 1 составит π t + 1, то приведенная стоимость выручки от облигации составит (1 + i t) / ( 1 + π t + 1), что эквивалентно реальному росту в момент t + 1, заданному формулой (1 + r t + 1). Следовательно,

$(1\; +\; rt\; +\; 1)\; =\; 1\; +\; it\; 1\; +\; \pi \; t\; +\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; (1\; +\; r\_\; \{t\; +\; 1\})\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\; +\; i\_\; \{t\}\}\; \{1+\; \backslash \; pi\; \_\; \{t\; +\; 1\}\}\}\}$

Отсюда можно рассчитать номинальную процентную ставку.

$1\; +\; it\; =\; (1\; +\; rt\; +\; 1)\; (1\; +\; \pi \; t\; +\; 1)\; =\; 1\; +\; rt\; +\; 1\; +\; \pi \; t\; +\; 1\; +\; rt\; +\; 1\; \pi \; t\; +\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; 1\; +\; i\_\; \{t\}\; =\; \backslash \; left\; (1\; +\; r\_\; \{t\; +\; 1\}\; \backslash \; right)\; \backslash \; left\; (1+\; \backslash \; pi\; \_\; \{t\; +\; 1\}\; \backslash \; right)\; \backslash \backslash \; =\; 1\; +\; r\_\; \{t\; +\; 1\}\; +\; \backslash \; pi\; \_\; \{t\; +\; 1\}\; +\; r\_\; \{t\; +\; 1\}\; \backslash \; pi\; \_\; \{t\; +\; 1\}\; \backslash \; end\; \{align\}\}\}$

Следовательно,

$it\; =\; rt\; +\; 1\; +\; \pi \; t\; +\; 1\; +\; rt\; +\; 1\; \pi \; t\; +\; 1\; \approx \; rt\; +\; 1\; +\; \pi \; t\; +\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; i\_\; \{t\}\; =\; r\_\; \{t\; +\; 1\}\; +\; \backslash \; pi\; \_\; \{t\; +\; 1\}\; +\; r\_\; \{t\; +1\}\; \backslash \; pi\; \_\; \{t\; +\; 1\}\; \backslash \backslash \; \backslash \; приблизительно\; r\_\; \{t\; +\; 1\}\; +\; \backslash \; pi\; \_\; \{t\; +\; 1\}\; \backslash \; end\; \{align\}\}\}$

Последняя строка следует из предположения, что оба реальные процентные ставки и уровень инфляции довольно малы (возможно, порядка нескольких процентов, хотя это зависит от приложения), поэтому r t + 1 + π t + 1 равно намного больше, чем r t + 1 π t + 1, и поэтому r t + 1 π t + 1 можно отбросить.

Более формально это линейное приближение дается с использованием двух разложений Тейлора 1-го порядка, а именно:

$1\; 1\; +\; x\; \approx \; 1\; -\; x,\; (1\; +\; x)\; (1\; +\; y)\; \approx \; 1\; +\; x\; +\; y.\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{1\; +\; x\}\}\; \backslash \; приблизительно\; 1-x,\; \backslash \backslash \; (1\; +\; x)\; (1\; +\; y)\; \backslash \; приблизительно\; 1\; +\; x\; +\; y.\; \backslash \; конец\; \{выровнено\}\}\}$

Их объединение дает приближение:

$1\; +\; r\; =\; 1\; +\; i\; 1\; +\; \pi \; \approx \; (1\; +\; i)\; (1\; -\; \pi )\; \approx \; 1\; +\; i\; -\; \pi ,\; \{\backslash \; displaystyle\; 1\; +\; r\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\; +\; i\}\; \{1+\; \backslash \; pi\}\}\; \backslash \; приблизительно\; (1\; +\; i)\; (1-\; \backslash \; pi)\; \backslash \; приблизительно\; 1\; +\; i-\; \backslash \; pi,\}$

и, следовательно,

$r\; \approx \; я\; -\; \pi .\; \{\backslash \; displaystyle\; r\; \backslash \; приблизительно\; i-\; \backslash \; pi.\}$

Эти приближения, действительные только для небольших изменений, могут быть заменены равенствами, действительными для любых изменений размера, если используются логарифмические единицы.

Анализ затрат и выгод

Как подробно описано Стивом Ханке, Филипом Карвером и Полом Баггом (1975), рентабельность Анализ может быть сильно искажен, если не применять точное уравнение Фишера. Цены и процентные ставки должны прогнозироваться в реальном или номинальном выражении.

В целях анализа затрат и выгод инфляцию можно последовательно обрабатывать одним из двух способов. Во-первых, при расчете приведенной стоимости ожидаемой чистой прибыли цены и процентные ставки могут быть рассчитаны в реальном выражении. То есть ни в цены, ни в процентные ставки не учитываются инфляционные компоненты. Второй подход включает инфляцию как в расчет цены, так и в расчет процентной ставки; расчеты производятся в номинальном выражении. Как подробно описано ниже, оба подхода эквивалентны, если и цены, и процентные ставки прогнозируются в реальном выражении или оба прогнозируются в номинальном выражении.

Например, предположим, что Z i представляет недисконтированную ожидаемую чистую прибыль на конец года t, оцененную в постоянных ценах, а R t, I t и r t - реальная процентная ставка, ожидаемый уровень инфляции и номинальная процентная ставка за год t, t = 1,..., n, соответственно. Приведенная стоимость ожидаемой чистой прибыли PVNB определяется как

$PVNB\; =\; Z\; 1\; 1\; +\; R\; 1\; +\; Z\; 2\; (1\; +\; R\; 1)\; (1\; +\; R\; 2)\; +\; \cdots \; +\; Z\; n\; (1\; +\; R\; 1)\; \cdots \; (1\; +\; R\; n)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; text\; \{PVNB\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{Z\_\; \{1\}\}\; \{1\; +\; R\_\; \{1\}\}\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{Z\_\; \{2\}\}\; \{(1\; +\; R\_\; \{1\})\; (1\; +\; R\_\; \{2\})\}\}\; +\; \backslash \; cdots\; +\; \{\backslash \; frac\; \{Z\_\; \{n\}\}\; \{(1\; +\; R\_\; \{1\})\; \backslash \; cdots\; (1\; +\; R\_\; \{n\})\}\}\}$

, где компоненты инфляции не включены ни в цены, ни в процентную ставку. В качестве альтернативы приведенная стоимость ожидаемой чистой прибыли определяется как

$PVNB\; =\; Z\; 1\; (1\; +\; I\; 1)\; 1\; +\; r\; 1\; +\; Z\; 2\; (1\; +\; I\; 1)\; (1\; +\; I\; 2)\; (1\; +\; r\; 1).\; (1\; +\; r\; 2)\; +\; \cdots \; +\; Z\; N\; (1\; +\; I\; 1)\; \cdots \; (1\; +\; I\; n)\; (1\; +\; r\; 1)\; \cdots \; (1\; +\; rn)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; text\; \{PVNB\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{Z\_\; \{1\}\; (1\; +\; I\_\; \{1\})\}\; \{1\; +\; r\_\; \{1\}\}\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{Z\_\; \{2\}\; (1\; +\; I\_\; \{1\})\; (1\; +\; I\_\; \{2\})\}\; \{\; (1\; +\; r\_\; \{1\})\; (1\; +\; r\_\; \{2\})\}\}\; +\; \backslash \; cdots\; +\; \{\backslash \; frac\; \{Z\_\; \{n\}\; (1\; +\; I\_\; \{1\})\; \backslash \; cdots\; (1\; +\; I\_\; \{n\})\}\; \{\; (1\; +\; r\_\; \{1\})\; \backslash \; cdots\; (1\; +\; r\_\; \{n\})\}\}\}$

или посредством отношения, продиктованного точным уравнением Фишера

$PVNB\; =\; Z\; 1\; (1\; +\; I\; 1)\; (1\; +\; R\; 1)\; (1\; +\; I\; 1)\; +\; Z\; 2\; (1\; +\; I\; 1)\; (1\; +\; I\; 2)\; (1\; +\; R\; 1)\; (1\; +\; R\; 2)\; (1\; +\; I\; 1)\; (1\; +\; I\; 2)\; +\; \cdots \; \cdots \; +\; Z\; N\; (1\; +\; I\; 1)\; \cdots \; (1\; +\; I\; n)\; (1\; +\; R\; 1)\; \cdots \; (1\; +\; R\; n)\; (1\; +\; I\; 1)\; \cdots \; (1\; +\; I\; n)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{\; выровнено\}\; \{\backslash \; text\; \{PVNB\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{Z\_\; \{1\}\; (1\; +\; I\_\; \{1\})\}\; \{(1\; +\; R\_\; \{1\})\; (1\; +\; I\_\; \{1\})\}\}\; +\; \{\backslash \; гидроразрыв\; \{Z\_\; \{2\}\; (1\; +\; I\_\; \{1\})\; (1\; +\; I\_\; \{2\})\}\; \{(1\; +\; R\_\; \{1\})\; (1\; +\; R\_\; \{2\})\; (1\; +\; I\_\; \{1\})\; (1\; +\; I\_\; \{2\})\}\}\; +\; \backslash \; cdots\; \backslash \backslash \; [8pt]\; \{\}\; \backslash \; qquad\; \backslash \; cdots\; +\; \{\backslash \; frac\; \{Z\_\; \{n\}\; (1\; +\; I\_\; \{1\})\; \backslash \; cdots\; (1\; +\; I\_\; \{n\})\; \}\; \{(1\; +\; R\_\; \{1\})\; \backslash \; cdots\; (1\; +\; R\_\; \{n\})\; (1\; +\; I\_\; \{1\})\; \backslash \; cdots\; (1\; +\; I\_\; \{n\})\}\}\; \backslash \; end\; \{a\; ligned\}\}\}$

Из приведенных выше уравнений становится ясно, что приведенная стоимость чистых выгод, полученных с помощью любого уравнения, будет идентична. Это снимает вопрос о том, проводить ли анализ затрат и выгод в постоянных или номинальных ценах.

Облигации, индексированные по инфляции

Уравнение Фишера имеет важные последствия при торговле облигациями, индексированными по инфляции, где изменения купонных выплат являются результатом изменений в процентных ставках. даже инфляция, реальные процентные ставки и номинальные процентные ставки.

Денежно-кредитная политика

Уравнение Фишера играет ключевую роль в гипотезе Фишера, которая утверждает, что реальная процентная ставка не зависит от денежно-кредитной политики и, следовательно, не зависит от ожидаемого уровня инфляции. При фиксированной реальной процентной ставке данное процентное изменение ожидаемого уровня инфляции, согласно уравнению, обязательно будет встречаться с равным процентным изменением номинальной процентной ставки в том же направлении.

• Реальная стоимость по сравнению с номинальной (экономика)
• Доходность
• Кривая доходности
• Процентная ставка
• Инфляция

• Барро, Роберт Дж. (1997), Макроэкономика (5-е изд.), Кембридж: MIT Press, ISBN 0-262-02436-5.
• Фишер, Ирвинг ( 1977) [1930]. Теория интереса. Филадельфия: Porcupine Press. ISBN 0-87991-864-0.