Константа Эйлера – Маскерони

редактировать

γ ≈ 0,5772, предел разницы между гармоническим рядом и натуральным логарифмом

Площадь синего область сходится к константе Эйлера – Маскерони.

Константа Эйлера – Маскерони (также называемая константой Эйлера ) - это математическая константа, повторяющаяся в анализ и теория чисел, обычно обозначаемые строчной греческой буквой гамма (γ).

Он определяется как предельная разность между гармоническим рядом и натуральным логарифмом :

γ = lim n → ∞ (- ln ⁡ n + ∑ К знак равно 1 N 1 К) знак равно ∫ 1 ∞ (- 1 Икс + 1 ⌊ Икс ⌋) dx. {\ Displaystyle {\ begin {align} \ gamma = \ lim _ {n \ to \ infty} \ left (- \ ln n + \ sum _ {k = 1} ^ {n} {\ frac {1} {k }} \ right) \\ [5px] = \ int _ {1} ^ {\ infty} \ left (- {\ frac {1} {x}} + {\ frac {1} {\ lfloor x \ rfloor }} \ right) \, dx. \ end {align}}}

{\ displaystyle {\ begin {align} \ gamma = \ lim _ {n \ to \ infty} \ left (- \ ln n + \ sum _ {k = 1} ^ {n} {\ frac {1} {k}} \ right) \\ [5px] = \ int _ {1} ^ {\ infty} \ left (- { \ frac {1} {x}} + {\ frac {1} {\ lfloor x \ rfloor}} \ right) \, dx. \ end {align}}}

Здесь $⌊ x ⌋ {\ displaystyle \ lfloor x \ rfloor}$ $\ lfloor x \ rfloor$ представляет функцию floor.

Числовое значение константы Эйлера – Маскерони с точностью до 50 знаков после запятой:

0,57721566490153286060651209008240243104215933593992... (последовательность A001620 в OEIS )

Нерешенная математическая задача :. Является ли постоянная Эйлера иррациональной? Если да, то трансцендентна ли она? (больше нерешенных задач в математике)

Двоичная	0,10010011110001000110011110001101111101...
Десятичная	0,5772156649015328606065120900824024310421 Шестнадцатеричная <... 746>0.93C467E37DB0C7A4D1BE3F810152CB56A1CECC3A...
Непрерывная дробь	[0; 1, 1, 2, 1, 2, 1, 4, 3, 13, 5, 1, 1, 8, 1, 2, 4, 1, 1,...]. (Неизвестно, составляет ли эта непрерывная дробь конечный, бесконечный периодический или бесконечный непериодический.. Показано в линейном представлении ). Источник: Sloane ошибка harvnb: нет цели: CITEREFSloane (help )

Содержание

1 История
2 Появления
3 Свойства
- 3.1 Связь с гамма-функцией
- 3.2 Связь с дзета-функцией
- 3.3 Интегралы
- 3.4 Расширения в ряды
- 3.5 Асимптотические разложения
- 3.6 Экспоненциальные
- 3.7 Непрерывная дробь
4 Обобщения
5 Опубликованные цифры
6 Примечания
7 Ссылки
8 Дополнительная литература
9 Внешние ссылки

История

Впервые константа появилась в статье 1734 г. швейцарский математик Леонард Эйлер, названный De Progressionibusharmonicis Наблюдения (Индекс Энестрома 43). Эйлер использовал обозначения C и O для константы. В 1790 г. итальянский математик Лоренцо Маскерони использовал обозначения A и a для константы. Обозначение γ нигде не встречается в трудах Эйлера или Маскерони и было выбрано позднее, возможно, из-за связи константы ion в гамма-функцию. Например, немецкий математик Карл Антон Бретшнайдер использовал обозначение γ в 1835 году (Bretschneider 1837, «γ = c = 0,577215 664901 532860 618112 090082 3.. "на стр. 260 ) и Огастес Де Морган использовал его в учебнике, опубликованном частями с 1836 по 1842 год (Де Морган 1836–1842,» γ "на стр. 578 )

Внешний вид

Константа Эйлера-Маскерони появляется, среди прочего, в следующем ('*' означает, что эта запись содержит явное уравнение):

Выражения, включающие экспоненциальный интеграл *
Преобразование Лапласа * натурального логарифма
Первый член разложения ряда Лорана для Дзета-функция Римана *, где это первая из констант Стилтьеса *
Вычисления дигамма-функции
Формула произведения для гамма-функции
Асимптотическое разложение гамма-функции для малых аргументов.
Неравенство для функция Эйлера
Скорость роста функции делителя
В размерной регуляризации диаграмм Фейнмана в квантовой теории поля
вычисление постоянной Мейселя – Мертенса
Третья из теорем Мертенса *
Решение второго рода уравнения Бесселя
В регуляризации / перенормировке гармонического ряда как конечное значение
среднее распределения Гамбеля
информационная энтропия распределения Вейбулла и Леви и, неявно, распределения хи-квадрат для одной или двух степеней свободы.
Ответ на проблема коллекционера купонов *
В некоторых формулировках закона Ципфа
Определение интеграла косинуса *
Нижняя граница простого промежутка
Верхняя граница Энтропия Шеннона в квантовой теории информации (Caves Fuchs 1996)

Properties

Число γ не было доказано алгебраическим или трансцендентным. Фактически, даже не известно, является ли γ иррациональным. Используя анализ непрерывной дроби, Папаниколау показал в 1997 году, что если γ рационально, его знаменатель должен быть больше 10. Повсеместность γ, выявленная большим количеством приведенных ниже уравнений, делает иррациональность γ - главный открытый вопрос математики. Также см. (Sondow 2003a).

Однако некоторый прогресс был достигнут. Курт Малер показал в 1968 году, что число $π 2 Y 0 (2) J 0 (2) - γ {\ displaystyle {\ frac {\ pi} {2}} {\ frac {Y_ {0} (2) } {J_ {0} (2)}} - \ gamma}$ ${\ displaystyle {\ frac {\ pi} {2}} {\ frac {Y_ {0} (2)} {J_ {0} (2)}} - \ gamma}$ трансцендентно ( $J α (x) {\ displaystyle J _ {\ alpha} (x)}$ $J _ {\ alpha} (x)$ и $Y α (x) {\ displaystyle Y _ {\ alpha} (x)}$ ${\ displaystyle Y _ {\ alpha} (x)}$ являются функциями Бесселя ). В 2009 году Александр Аптекарев доказал, что по крайней мере одна из константы Эйлера – Маскерони $γ {\ displaystyle \ gamma}$ $\ gamma$ и постоянной Эйлера – Гомперца $δ {\ displaystyle \ delta}$ $\ del та$ иррационально. Этот результат был улучшен в 2012 году Танги Ривуалом, где он доказал, что по крайней мере один из них является трансцендентным.

В 2010 году М. Рам Мурти и Н. Сарадха рассмотрели бесконечный список чисел, содержащий $γ 4 {\ displaystyle {\ frac {\ gamma} {4}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {\ gamma} {4}}}$ , и показали, что все, кроме одного из них должны быть трансцендентными.

Связь с гамма-функцией

γ связана с дигамма-функцией Ψ, и, следовательно, производной гамма-функция Γ, когда обе функции оцениваются как 1. Таким образом:

- γ = Γ ′ (1) = Ψ (1). {\ displaystyle - \ gamma = \ Gamma '(1) = \ Psi (1).}

-\gamma =\Gamma '(1)=\Psi (1).

Это равно пределам:

- γ = lim z → 0 (Γ (z) - 1 z) = lim z → 0 (Ψ (z) + 1 z). {\ Displaystyle {\ begin {align} - \ gamma = \ lim _ {z \ to 0} \ left (\ Gamma (z) - {\ frac {1} {z}} \ right) \\ = \ lim _ {z \ to 0} \ left (\ Psi (z) + {\ frac {1} {z}} \ right). \ end {align}}}

{\ displaystyle {\ begin {align} - \ gamma = \ lim _ {z \ to 0} \ left (\ Gamma (z) - {\ frac {1} {z}} \ right) \\ = \ lim _ {z \ to 0} \ left (\ Psi (z) + {\ frac {1} { z}} \ right). \ end {align}}}

Дальнейшие результаты по ограничению (Krämer 2005):

lim z → 0 1 z (1 Γ (1 + z) - 1 Γ (1 - z)) = 2 γ lim z → 0 1 z (1 Ψ (1 - z) - 1 Ψ (1 + z)) знак равно π 2 3 γ 2. {\ displaystyle {\ begin {align} \ lim _ {z \ to 0} {\ frac {1} {z}} \ left ({\ frac {1} {\ Gamma (1 + z)}} - {\ frac {1} {\ Gamma (1-z)}} \ right) = 2 \ gamma \\\ lim _ {z \ to 0} {\ frac {1} {z}} \ left ({\ frac { 1} {\ Psi (1-z)}} - {\ frac {1} {\ Psi (1 + z)}} \ right) = {\ frac {\ pi ^ {2}} {3 \ gamma ^ {2}}}. \ End {align}}}

{\ displaystyle {\ begin {align} \ lim _ {z \ to 0} {\ frac {1} {z}} \ left ({\ frac {1} {\ Gamma (1 + z)}} - { \ frac {1} {\ Gamma (1-z)}} \ right) = 2 \ gamma \\\ lim _ {z \ to 0} {\ frac {1} {z}} \ left ({\ frac {1} {\ Psi (1-z)}} - {\ frac {1} {\ Psi (1 + z)}} \ right) = {\ frac {\ pi ^ {2}} {3 \ gamma ^ {2}}}. \ End {align}}}

Ограничение, связанное с бета-функцией (выраженное в терминах гамма-функций ), составляет

γ = lim n → ∞ (Γ (1 n) Γ (n + 1) n 1 + 1 n Γ (2 + n + 1 n) - n 2 n + 1) = lim m → ∞ ∑ k = 1 m (mk) ( - 1) kk ln ⁡ (Γ (k + 1)). {\ Displaystyle {\ begin {align} \ gamma = \ lim _ {n \ to \ infty} \ left ({\ frac {\ Gamma \ left ({\ frac {1} {n}} \ right) \ Gamma) (n + 1) \, n ^ {1 + {\ frac {1} {n}}}} {\ Gamma \ left (2 + n + {\ frac {1} {n}} \ right)}} - { \ frac {n ^ {2}} {n + 1}} \ right) \\ = \ lim \ limits _ {m \ to \ infty} \ sum _ {k = 1} ^ {m} {m \ choose k} {\ frac {(-1) ^ {k}} {k}} \ ln {\ big (} \ Gamma (k + 1) {\ big)}. \ end {align}}}

{\ Displaystyle {\ begin {align} \ gamma = \ lim _ {n \ to \ infty} \ left ({\ frac {\ Gamma \ le ft ({\ frac {1} {n}} \ right) \ Gamma (n + 1) \, n ^ {1 + {\ frac {1} {n}}}} {\ Gamma \ left (2 + n + {\ frac {1} {n}} \ right)}} - {\ frac {n ^ {2}} {n + 1}} \ right) \\ = \ lim \ limits _ {m \ to \ infty } \ sum _ {k = 1} ^ {m} {m \ choose k} {\ frac {(-1) ^ {k}} {k}} \ ln {\ big (} \ Gamma (k + 1) {\ big)}. \ end {align}}}

Отношение в дзета-функцию

γ также можно выразить как бесконечную сумму, члены которой включают дзета-функцию Римана, вычисленную в положительных целых числах:

γ = ∑ m = 2 ∞ (- 1) m ζ (m) m = ln ⁡ 4 π + ∑ m = 2 ∞ (- 1) m ζ (m) 2 м - 1 м. {\ displaystyle {\ begin {align} \ gamma = \ sum _ {m = 2} ^ {\ infty} (- 1) ^ {m} {\ frac {\ zeta (m)} {m}} \\ = \ ln {\ frac {4} {\ pi}} + \ sum _ {m = 2} ^ {\ infty} (- 1) ^ {m} {\ frac {\ zeta (m)} {2 ^ {m-1} m}}. \ end {align}}}

{ \ Displaystyle {\ begin {align} \ gamma = \ sum _ {m = 2} ^ {\ infty} (- 1) ^ {m} {\ frac {\ zeta (m)} {m}} \\ = \ ln {\ frac {4} {\ pi}} + \ sum _ {m = 2} ^ {\ infty} (- 1) ^ {m} {\ frac {\ z эта (м)} {2 ^ {м-1} м}}. \ end {выравнивается}}}

Другие серии, связанные с дзета-функцией, включают:

γ = 3 2 - ln ⁡ 2 - ∑ m = 2 ∞ (- 1) мм - 1 m (ζ (m) - 1) = lim n → ∞ (2 n - 1 2 n - ln ⁡ n + ∑ k = 2 n (1 k - ζ (1 - k) nk)) = lim n → ∞ (2 ne 2 n m знак равно 0 ∞ 2 mn (m + 1)! ∑ t = 0 m 1 t + 1 - n ln 2 + O (1 2 ne 2 n)). {\ displaystyle {\ begin {align} \ gamma = {\ tfrac {3} {2}} - \ ln 2- \ sum _ {m = 2} ^ {\ infty} (- 1) ^ {m} \, {\ frac {m-1} {m}} {\ big (} \ zeta (m) -1 {\ big)} \\ = \ lim _ {n \ to \ infty} \ left ({\ frac {2n-1} {2n}} - \ ln n + \ sum _ {k = 2} ^ {n} \ left ({\ frac {1} {k}} - {\ frac {\ zeta (1-k) } {n ^ {k}}} \ right) \ right) \\ = \ lim _ {n \ to \ infty} \ left ({\ frac {2 ^ {n}} {e ^ {2 ^ {n }}}} \ sum _ {m = 0} ^ {\ infty} {\ frac {2 ^ {mn}} {(m + 1)!}} \ sum _ {t = 0} ^ {m} {\ frac {1} {t + 1}} - n \ ln 2 + O \ left ({\ frac {1} {2 ^ {n} \, e ^ {2 ^ {n}}}} \ right) \ right). \ end {align}}}

{\ displaystyle {\ begin {align} \ gamma = {\ tfrac {3} {2}} - \ ln 2- \ sum _ {m = 2} ^ {\ infty} (- 1) ^ {m} \, {\ frac {m-1} {m }} {\ big (} \ zeta (m) -1 {\ big)} \\ = \ lim _ {n \ to \ infty} \ left ({\ frac {2n-1} {2n}} - \ ln n + \ sum _ {k = 2} ^ {n} \ left ({\ frac {1} {k}} - {\ frac {\ zeta (1-k)} {n ^ {k}}} \ right) \ right) \\ = \ lim _ {n \ to \ infty} \ left ({\ frac {2 ^ {n}} {e ^ {2 ^ {n}}}}} \ sum _ {m = 0 } ^ {\ infty} {\ frac {2 ^ {mn}} {(m + 1)!}} \ sum _ {t = 0} ^ {m} {\ frac {1} {t + 1}} - n \ ln 2 + O \ left ({\ frac {1} {2 ^ {n} \, e ^ {2 ^ {n}}}} \ right) \ right). \ end {align}}}

Погрешность в последнем уравнении является быстро убывающей функцией n. В результате формула хорошо подходит для эффективного вычисления постоянной с высокой точностью.

Другими интересными ограничениями, равными постоянной Эйлера – Маскерони, являются антисимметричный предел (Sondow 1998):

γ = lim s → 1 + ∑ n = 1 ∞ (1 нс - 1 sn) знак равно lim s → 1 (ζ (s) - 1 s - 1) = lim s → 0 ζ (1 + s) + ζ (1 - s) 2 {\ displaystyle {\ begin {align} \ gamma = \ lim _ {s \ to 1 ^ {+}} \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} \ left ({\ frac {1} {n ^ {s}}} - {\ frac {1}) {s ^ {n}}} \ right) \\ = \ lim _ {s \ to 1} \ left (\ zeta (s) - {\ frac {1} {s-1}} \ right) \\ = \ lim _ {s \ to 0} {\ frac {\ zeta (1 + s) + \ zeta (1-s)} {2}} \ end {align}}}

{\ displaystyle {\ begin {align} \ gamma = \ lim _ {s \ to 1 ^ {+}} \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} \ left ({\ frac {1 } {n ^ {s}}} - {\ frac {1} {s ^ {n}}} \ right) \\ = \ lim _ {s \ to 1} \ left (\ zeta (s) - { \ frac {1} {s-1}} \ righ t) \\ = \ lim _ {s \ to 0} {\ frac {\ zeta (1 + s) + \ zeta (1-s)} {2}} \ end {align}}}

и de формула Ла Валле-Пуссена

γ = lim n → ∞ 1 n ∑ k = 1 n (⌈ nk ⌉ - nk) {\ displaystyle \ gamma = \ lim _ {n \ to \ infty} {\ frac {1} {n}} \, \ sum _ {k = 1} ^ {n} \ left (\ left \ lceil {\ frac {n} {k}} \ right \ rceil - {\ frac {n} { k}} \ right)}

{\ displaystyle \ gamma = \ lim _ {n \ to \ infty} {\ frac {1} {n}} \, \ sum _ {k = 1} ^ {n} \ left (\ left \ lceil {\ frac {n} {k}} \ right \ rceil - {\ frac {n} {k}} \ right)}

где $⌈ ⌉ {\ displaystyle \ lceil \, \ rceil}$ ${\ displaystyle \ lceil \, \ rceil }$ - потолочные скобки.

С этим тесно связано выражение рациональный ряд дзета. Взяв по отдельности несколько первых членов вышеприведенного ряда, можно получить оценку предела классического ряда:

γ = ∑ k = 1 n 1 k - ln ⁡ n - ∑ m = 2 ∞ ζ (m, n + 1) м, {\ displaystyle \ gamma = \ sum _ {k = 1} ^ {n} {\ frac {1} {k}} - \ ln n- \ sum _ {m = 2} ^ {\ infty} {\ frac {\ zeta (m, n + 1)} {m}},}

{\ displaystyle \ gamma = \ sum _ {k = 1} ^ {n} {\ frac {1} {k}} - \ ln n - \ sum _ {m = 2} ^ {\ infty} {\ frac {\ zeta (m, n + 1)} {m}},}

где ζ (s, k) - дзета-функция Гурвица. Сумма в этом уравнении включает номера гармоник, H n. Расширение некоторых членов дзета-функции Гурвица дает:

H n = ln ⁡ (n) + γ + 1 2 n - 1 12 n 2 + 1 120 n 4 - ε, {\ displaystyle H_ {n} = \ ln (n) + \ gamma + {\ frac {1} {2n}} - {\ frac {1} {12n ^ {2}}} + {\ frac {1} {120n ^ {4}}} - \ varepsilon,}

{\ displaystyle H_ {n} = \ ln (n) + \ gamma + {\ frac {1} {2n}} - {\ frac {1} {12n ^ {2}}} + {\ frac {1 } {120n ^ {4}}} - \ varepsilon,}

где 0 < ε < 1/252n.

γ также может быть выражено следующим образом, где A - постоянная Глейшера – Кинкелина :

γ = 12 log ⁡ (A) - log ⁡ (2 π) + 6 π 2 ζ ′ (2) {\ Displaystyle \ gamma = 12 \, \ log (A) - \ log (2 \ pi) + {\ frac {6} {\ pi ^ {2}}} \, \ zeta '(2)}

\gamma =12\,\log(A)-\log(2\pi)+{\frac {6}{\pi ^{2}}}\,\zeta '(2)

γ также можно выразить следующим образом, что можно доказать, выразив дзета-функцию в виде ряда Лорана :

γ = lim n → ∞ ( - N + ζ (N + 1 N)) {\ Displaystyle \ gamma = \ lim _ {n \ to \ infty} {\ biggl (} -n + \ zeta {\ Bigl (} {\ frac {n + 1} { n}} {\ Bigr)} {\ biggr)}}

{\ displaystyle \ gamma = \ lim _ { n \ to \ infty} {\ biggl (} -n + \ zeta {\ Bigl (} {\ frac {n + 1} {n}} {\ Bigr)} {\ biggr)}}

Интегралы

γ равны значению числа определенных интегралов :

γ = - ∫ 0 ∞ e - x ln ⁡ xdx = - ∫ 0 1 ln ⁡ (ln ⁡ 1 x) dx = ∫ 0 ∞ (1 ex - 1 - 1 x ⋅ ex) dx = ∫ 0 1 (1 ln ⁡ x + 1 1 - x) dx = ∫ 0 ∞ (1 1 + xk - е - x) dxx, k>0 = 2 ∫ 0 ∞ e - x 2 - e - xxdx, = ∫ 0 1 H xdx, {\ displaystyle {\ begin {align} \ gamma = - \ int _ {0} ^ {\ infty} e ^ {- x} \ ln x \, dx \\ = - \ int _ {0} ^ {1} \ ln \ left (\ ln {\ frac {1} {x}} \ справа) dx \\ = \ int _ {0} ^ {\ infty} \ left ({\ frac {1} {e ^ {x} -1}} - {\ frac {1} {x \ cdot e ^ {x}}} \ right) dx \\ = \ int _ {0} ^ {1} \ left ({\ frac {1} {\ ln x}} + {\ frac {1} {1-x} } \ right) dx \\ = \ int _ {0} ^ {\ infty} \ left ({\ frac {1} {1 + x ^ {k}}} - e ^ {- x} \ right) { \ frac {dx} {x}}, \ quad k>0 \\ = 2 \ int _ {0} ^ {\ infty} {\ frac {e ^ {- x ^ {2}} - e ^ {- x}} {x}} \, dx, \\ = \ int _ {0} ^ {1} H_ {x} \, dx, \ end {align}}}

{\begin{aligned}\gamma =-\int _{0}^{\infty }e^{-x}\ln x\,dx\\=-\int _{0}^{1}\ln \left(\ln {\frac {1}{x}}\right)dx\\=\int _{0}^{\infty }\left({\frac {1}{e^{x}-1}}-{\frac {1}{x\cdot e^{x}}}\right)dx\\=\int _{0}^{1}\left({\frac {1}{\ln x}}+{\frac {1}{1-x}}\right)dx\\=\int _{0}^{\infty }\left({\frac {1}{1+x^{k}}}-e^{-x}\right){\frac {dx}{x}},\quad k>0 \\ = 2 \ int _ {0} ^ {\ infty} {\ frac {e ^ {- x ^ {2}} - e ^ {- x}} {x}} \, dx, \\ = \ int _ {0} ^ {1} H_ {x} \, dx, \ end {align}}

где H x - дробный номер гармоники.

Определенные интегралы, в которых появляется γ, включают:

∫ 0 ∞ e - x 2 ln ⁡ xdx = - (γ + 2 ln ⁡ 2) π 4 ∫ 0 ∞ e - x ln 2 ⁡ xdx = γ 2 + π 2 6. {\ displaystyle {\ begin {align} \ int _ {0} ^ {\ infty} e ^ {- x ^ {2}} \ ln x \, dx = - {\ frac {(\ gamma +2 \ ln 2) {\ sqrt {\ pi}}} {4}} \\\ int _ {0} ^ {\ infty} e ^ {- x} \ ln ^ {2} x \, dx = \ gamma ^ {2} + {\ frac {\ pi ^ {2}} {6}}. \ end {align}}}

{\ displaystyle {\ begin {align} \ int _ {0} ^ {\ infty} e ^ {- x ^ {2}} \ ln x \, dx = - {\ frac {(\ gamma +2 \ ln 2) {\ sqrt {\ pi}}} {4}} \\\ int _ {0} ^ {\ infty} e ^ {- x} \ ln ^ {2} x \, dx = \ gamma ^ {2} + {\ frac {\ pi ^ {2}} {6}}. \ end {align}}}

Можно выразить γ, используя специальный случай формулы Хаджикостаса как двойное интеграл (Sondow 2003a) и (Sondow 2005) с эквивалентным рядом:

γ = ∫ 0 1 ∫ 0 1 x - 1 (1 - xy) ln ⁡ xydxdy знак равно ∑ n = 1 ∞ (1 n - ln ⁡ n + 1 n). {\ Displaystyle {\ begin {align} \ gamma = \ int _ {0} ^ {1} \ int _ {0} ^ {1} {\ frac {x-1} {(1-xy) \ ln xy }} \, dx \, dy \\ = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} \ left ({\ frac {1} {n}} - \ ln {\ frac {n + 1} { n}} \ right). \ end {align}}}

{\ displaystyle {\ begin { выровнено} \ gamma = \ int _ {0} ^ {1} \ int _ {0} ^ {1} {\ frac {x-1} {(1-xy) \ ln xy}} \, dx \, dy \\ = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} \ left ({\ frac {1} {n}} - \ ln {\ frac {n + 1} {n}} \ right). \ конец {выровнено}}}

Интересное сравнение (Sondow 2005) - это двойной интеграл и чередующийся ряд

ln ⁡ 4 π = ∫ 0 1 ∫ 0 1 x - 1 (1 + xy) ln ⁡ xydxdy = ∑ n = 1 ∞ ((- 1) n - 1 (1 n - ln ⁡ n + 1 n)). {\ displaystyle {\ begin {align} \ ln {\ frac {4} {\ pi}} = \ int _ {0} ^ {1} \ int _ {0} ^ {1} {\ frac {x- 1} {(1 + xy) \ ln xy}} \, dx \, dy \\ = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} \ left ((- 1) ^ {n-1} \ left ({\ frac {1} {n}} - \ ln {\ frac {n + 1} {n}} \ right) \ right). \ end {align}}}

{\ displaystyle {\ begin {align} \ ln {\ frac {4} {\ pi}} = \ int _ {0 } ^ {1} \ int _ {0} ^ {1} {\ frac {x-1} {(1 + xy) \ ln xy}} \, dx \, dy \\ = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} \ left ((- 1) ^ {n-1} \ left ({\ frac {1} {n}} - \ ln {\ frac {n + 1} {n}} \ right) \ справа). \ конец {выровнено}}}

Он показывает, что ln 4 / π можно рассматривать как «переменную постоянную Эйлера».

Две константы также связаны парой рядов (Сондоу 2005a)

γ = ∑ n = 1 ∞ N 1 (n) + N 0 (n) 2 n (2 n + 1) пер ⁡ 4 π знак равно ∑ N знак равно 1 ∞ N 1 (N) - N 0 (N) 2 N (2 N + 1), {\ Displaystyle {\ begin {выровнено} \ gamma = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {N_ {1} (n) + N_ {0} (n)} {2n (2n + 1)}} \\\ ln {\ frac {4} {\ pi }} = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {N_ {1} (n) -N_ {0} (n)} {2n (2n + 1)}}, \ end { выровнен}}}

{\ displaystyle {\ begin {align} \ gamma = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {N_ {1} (n) + N_ {0} (n)} {2n (2n + 1)}} \\\ ln {\ frac {4} {\ pi}} = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {N_ {1} (n) -N_ {0} (п)} {2n (2n + 1)}}, \ конец {выровнено}}}

где N 1 (n) и N 0 (n) - количество единиц и нулей, соответственно, в base 2 расширение числа n.

У нас также есть интеграл каталонского 1875 г. (см. Sondow Zudilin 2006)

γ = ∫ 0 1 (1 1 + x ∑ n = 1 ∞ Икс 2 N - 1) dx, {\ Displaystyle \ gamma = \ int _ {0} ^ {1} \ left ({\ frac {1} {1 + x}} \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} x ^ {2 ^ {n} -1} \ right) \, dx.}

{\ displaystyle \ gamma = \ int _ {0} ^ {1} \ left ({\ frac {1} {1 + x}} \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} x ^ {2 ^ {n} -1} \ right) \, dx.}

Разложения в ряд

В общем,

γ = lim n → ∞ (1 1 + 1 2 + 1 3 +… + 1 N - ln ⁡ (n + α)) ≡ lim n → ∞ γ n (α) {\ displaystyle \ gamma = \ lim _ {n \ to \ infty} \ left ({\ frac {1} {1}} + {\ frac {1} {2}} + {\ frac {1} {3} } + \ ldots + {\ frac {1} {n}} - \ ln (n + \ alpha) \ right) \ Equiv \ lim _ {n \ to \ infty} \ gamma _ {n} (\ alpha)}

{\ displaystyle \ gamma = \ lim _ {n \ to \ infty} \ left ({\ frac {1} {1}} + {\ frac {1} {2}} + {\ frac {1} {3}} + \ ldots + {\ frac {1} {n}} - \ ln (n + \ alpha) \ right) \ Equiv \ lim _ {n \ to \ infty} \ gamma _ {n} (\ alpha)}

для любого $α>- n {\ displaystyle \ alpha>-n}$ $\alpha>-n$ . Однако скорость сходимости этого расширения существенно зависит от $α {\ displaystyle \ alpha}$ $\ alpha$ . В частности, $γ n (1/2) {\ displaystyle \ gamma _ {n} (1/2)}$ ${ \ displaystyle \ gamma _ {n} (1/2)}$ демонстрирует гораздо более быструю сходимость, чем обычное расширение $γ n (0) {\ displaystyle \ gamma _ {n} (0)}$ ${\ displaystyle \ gamma _ {n } (0)}$ (DeTemple 1993 ; Havil 2003, стр. 75–78). Это потому, что

1 2 (n + 1) < γ n ( 0) − γ < 1 2 n, {\displaystyle {\frac {1}{2(n+1)}}<\gamma _{n}(0)-\gamma <{\frac {1}{2n}},}

{\ displaystyle {\ frac {1} {2 (n + 1)}} <\ gamma _ {n} (0) - \ gamma <{\ frac {1} {2n}},}

, а

1 24 (n + 1) 2 < γ n ( 1 / 2) − γ < 1 24 n 2. {\displaystyle {\frac {1}{24(n+1)^{2}}}<\gamma _{n}(1/2)-\gamma <{\frac {1}{24n^{2}}}.}

{\ displaystyle {\ frac {1} {24 (n + 1) ^ {2}}} <\ gamma _ {n} (1/2) - \ gamma <{\ frac {1} {24n ^ {2}}}.}

Даже в этом случае существуют другие разложения в ряд, которые сходятся быстрее, чем это; некоторые из них обсуждаются ниже.

Эйлер показал, что следующий бесконечный ряд приближается к γ:

γ = ∑ k = 1 ∞ (1 k - ln ⁡ (1 + 1 k)). {\ displaystyle \ gamma = \ sum _ {k = 1} ^ {\ infty} \ left ({\ frac {1} {k}} - \ ln \ left (1 + {\ frac {1} {k}}) \ right) \ right).}

{\ displaystyle \ gamma = \ sum _ {k = 1} ^ {\ infty} \ left ({\ frac {1} {k}} - \ ln \ left (1 + {\ frac {1} {k}} \ right) \ right).}

Ряд для γ эквивалентен ряду Nielsen, найденному в 1897 году (Krämer 2005, Blagouchine 2016):

γ = 1 - ∑ k = 2 ∞ (- 1) k ⌊ журнал 2 ⁡ k ⌋ k + 1. {\ displaystyle \ gamma = 1- \ sum _ {k = 2} ^ {\ infty} (- 1) ^ {k} {\ frac {\ left \ lfloor \ log _ {2} k \ right \ rfloor} { k + 1}}.}

{\ displaystyle \ gamma = 1- \ sum _ {k = 2} ^ {\ infty} (- 1) ^ {k} {\ frac {\ left \ lfloor \ log _ {2} k \ right \ rfloor} {к + 1}}.}

В 1910 году Vacca обнаружил тесно связанный ряд (Vacca 1910 ошибка harvnb: нет цели: CITEREFVacca1910 (help ), Глейшер 1910, Харди 1912, Vacca 1925 ошибка harvnb: нет цели: CITEREFVacca1925 (help ), Kluyver 1927, Krämer 2005, Blagouchine 2016)

γ = ∑ k = 2 ∞ (- 1) k ⌊ log 2 ⁡ k ⌋ k = 1 2 - 1 3 + 2 (1 4 - 1 5 + 1 6 - 1 7) + 3 (1 8 - 1 9 + 1 10 - 1 11 + ⋯ - 1 15) + ⋯, {\ displaystyle {\ begin {align} \ gamma = \ sum _ { k = 2} ^ {\ infty} (- 1) ^ {k} {\ frac {\ left \ lfloor \ log _ {2} k \ right \ rfloor} {k}} \\ [5pt] = {\ tfrac {1} {2}} - {\ tfrac {1} {3}} + 2 \ left ({\ tfrac {1} {4}} - {\ tfrac {1} {5}} + {\ tfrac { 1} {6}} - {\ tfrac {1} {7}} \ right) +3 \ left ({\ tfrac {1} {8}} - {\ tfrac {1} {9}} + {\ tfrac {1} {10}} - {\ tfrac {1} {11}} + \ cdots - {\ tfrac {1} {15}} \ right) + \ cdots, \ end {align}}}

{\ displaystyle {\ begin {align} \ gamma = \ sum _ {k = 2} ^ {\ infty} (- 1) ^ {k} {\ frac {\ left \ lfloor \ log _ {2} k \ right \ rfloor} {k}} \\ [5pt] = {\ tfrac {1} {2}} - {\ tfrac {1} {3}} + 2 \ left ({\ tfrac {1} {4}} - {\ tfrac {1} {5}} + {\ tfrac {1} {6}} - {\ tfrac {1} {7}} \ right) +3 \ left ({\ tfrac {1} { 8}} - {\ tfrac {1} {9}} + {\ tfrac {1} {10}} - {\ tfrac {1} {11}} + \ cdots - {\ tfrac {1} {15}} \ right) + \ cdots, \ end {align}}}

где log 2 - это логарифм до ba se 2 и ⌊ ⌋ - это функция пола.

В 1926 году он нашел вторую серию:

γ + ζ (2) = ∑ k = 2 ∞ (1 ⌊ k ⌋ 2 - 1 k) = ∑ k = 2 ∞ k - ⌊ k ⌋ 2 k ⌊ k ⌋ 2 = 1 2 + 2 3 + 1 2 2 ∑ k = 1 2 ⋅ 2 kk + 2 2 + 1 3 2 ∑ k = 1 3 ⋅ 2 kk + 3 2 + ⋯ {\ displaystyle {\ begin {align} \ gamma + \ zeta (2) = \ sum _ {k = 2} ^ {\ infty} \ left ({\ frac {1} {\ left \ lfloor {\ sqrt {k}} \ right \ rfloor ^ {2}}} - {\ frac {1} {k}} \ right) \\ [5pt] = \ sum _ {k = 2} ^ { \ infty} {\ frac {k- \ left \ lfloor {\ sqrt {k}} \ right \ rfloor ^ {2}} {k \ left \ lfloor {\ sqrt {k}} \ right \ rfloor ^ {2} }} \\ [5pt] = {\ frac {1} {2}} + {\ frac {2} {3}} + {\ frac {1} {2 ^ {2}}} \ sum _ {k = 1} ^ {2 \ cdot 2} {\ frac {k} {k + 2 ^ {2}}} + {\ frac {1} {3 ^ {2}}} \ sum _ {k = 1} ^ {3 \ cdot 2} {\ frac {k} {k + 3 ^ {2}}} + \ cdots \ end {align}}}

{\ displaystyle {\ begin {align} \ gamma + \ zeta (2) = \ sum _ {k = 2} ^ {\ infty} \ left ({\ frac {1} {\ left \ lfloor {\ sqrt {k}} \ right \ rfloor ^ {2}}} - {\ frac {1} {k}} \ right) \\ [5pt] = \ sum _ {k = 2} ^ {\ infty } {\ frac {k- \ left \ lfloor {\ sqrt {k}} \ right \ rfloor ^ {2}} {k \ left \ lfloor {\ sqrt {k}} \ right \ rfloor ^ {2}}} \\ [5pt] = {\ frac {1} {2}} + {\ frac {2} {3}} + {\ frac {1} {2 ^ {2}}} \ sum _ {k = 1 } ^ {2 \ cdot 2} {\ frac {k} {k + 2 ^ {2}}} + {\ frac {1} {3 ^ {2}}} \ sum _ {k = 1} ^ {3 \ cdot 2} {\ frac {k} {k + 3 ^ {2}}} + \ cdots \ end {align}}}

Из Мальмстена - Куммера логарифма гамма-функции (Blagouchine 2014) получаем:

γ = ln ⁡ π - 4 ln ⁡ (Γ (3 4)) + 4 π ∑ k = 1 ∞ (- 1) к + 1 ln ⁡ (2 к + 1) 2 к + 1. {\ displaystyle \ gamma = \ ln \ pi -4 \ ln \ left (\ Gamma ({\ tfrac {3} {4}}) \ right) + {\ frac {4} {\ pi}} \ sum _ { k = 1} ^ {\ infty} (- 1) ^ {k + 1} {\ frac {\ ln (2k + 1)} {2k + 1}}.}

{\ displaystyle \ gamma = \ ln \ pi -4 \ ln \ left (\ Gamma ({\ tfrac {3} {4}}) \ right) + {\ frac {4} {\ pi}} \ sum _ {k = 1} ^ {\ infty} (- 1) ^ {k + 1} {\ frac {\ ln (2k + 1)} {2k + 1}}.}

Необходимо важное разложение для постоянной Эйлера в Fontana и Mascheroni

γ = ∑ n = 1 ∞ | G n | п знак равно 1 2 + 1 24 + 1 72 + 19 2880 + 3 800 + ⋯, {\ displaystyle \ gamma = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {| G_ {n} |} { n}} = {\ frac {1} {2}} + {\ frac {1} {24}} + {\ frac {1} {72}} + {\ frac {19} {2880}} + {\ frac {3} {800}} + \ cdots,}

{\ displaystyle \ gamma = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {| G_ {n} |} {n}} = {\ frac {1} {2}} + {\ frac {1} {24}} + {\ frac {1} {72}} + { \ frac {19} {2880}} + {\ frac {3} {800}} + \ cdots,}

где G n - коэффициенты Грегори (Krämer 2005, Blagouchine 2016, Blagouchine 2018) Эта серия является частным случаем $k = 1 {\ displaystyle k = 1}$ $k = 1$ расширений

γ = H k - 1 - лн ⁡ К + ∑ N знак равно 1 ∞ (N - 1)! | G n | k (k + 1) ⋯ (k + n - 1) = H k - 1 - ln ⁡ k + 1 2 k + 1 12 k (k + 1) + 1 12 k (k + 1) (k + 2) + 19 120 К (К + 1) (К + 2) (К + 3) + ⋯ {\ Displaystyle {\ begin {align} \ gamma = H_ {k-1} - \ ln k + \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {(n-1)! | G_ {n} |} {k (k + 1) \ cdots (k + n-1)}} \\ = H_ {k -1} - \ ln k + {\ frac {1} {2k}} + {\ frac {1} {12k (k + 1)}} + {\ frac {1} {12k (k + 1) (k + 2)}} + {\ frac {19} {120k (k + 1) (k + 2) (k + 3)}} + \ cdots \ end {align}}}

{\ displaystyle {\ begin {align} \ gamma = H_ {k-1} - \ ln k + \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {(n-1)! | G_ {n} |} {k (k + 1) \ cdots (k + n-1)}} \\ = H_ {k-1} - \ ln k + {\ frac {1} {2k}} + { \ frac {1} {12k (k + 1)}} + {\ frac {1} {12k (k + 1) (k + 2)}} + {\ frac {19} {120k (k + 1) ( k + 2) (k + 3)}} + \ cdots \ end {align}}}

сходящаяся для $k = 1, 2,… {\ displaystyle k = 1,2, \ ldots}$ $k = 1,2, \ ldots$

Аналогичный ряд с числами Коши второго рода C n равен (Blagouchine 2016 ; Alabdulmohsin 2018, pp. 147–148)

γ = 1 - ∑ n = 1 ∞ C nn (n + 1)! = 1 - 1 4 - 5 72 - 1 32 - 251 14400 - 19 1728 -… {\ displaystyle \ gamma = 1- \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {C_ {n}} { n \, (n + 1)!}} = 1 - {\ frac {1} {4}} - {\ frac {5} {72}} - {\ frac {1} {32}} - {\ frac {251} {14400}} - {\ frac {19} {1728}} - \ ldots}

{\ displaystyle \ gamma = 1- \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {C_ {n}} {n \, (n + 1)!}} = 1 - {\ frac {1} { 4}} - {\ frac {5} {72}} - {\ frac {1} {32}} - {\ frac {251} {14400}} - {\ frac {19} {1728}} - \ ldots }

Благушин (2018) нашел интересное обобщение ряда Фонтана-Маскерони

γ = ∑ n = 1 ∞ ( - 1) N + 1 2 N {ψ N (a) + ψ N (- a 1 + a)}, a>- 1 {\ displaystyle \ gamma = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} { \ frac {(-1) ^ {n + 1}} {2n}} {\ Big \ {} \ psi _ {n} (a) + \ psi _ {n} {\ Big (} - {\ frac { a} {1 + a}} {\ Big)} {\ Big \}}, \ quad a>-1}

\gamma =\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{2n}}{\Big \{}\psi _{n}(a)+\psi _{n}{\Big (}-{\frac {a}{1+a}}{\Big)}{\Big \}},\quad a>-1

где ψ n (a) - полином Бернулли второго рода, которые определяются производящей функцией

z (1 + z) s ln ⁡ (1 + z) = ∑ n = 0 ∞ zn ψ n (s), | z | < 1, {\displaystyle {\frac {z(1+z)^{s}}{\ln(1+z)}}=\sum _{n=0}^{\infty }z^{n}\psi _{n}(s),\qquad |z|<1,}

{\ displaystyle {\ frac {z (1 + z) ^ {s}} {\ ln (1 + z)}} = \ сумма _ {n = 0} ^ {\ infty} z ^ {n} \ psi _ {n} (s), \ qquad | z | <1,}

Для любого рационального a этот ряд содержит только рациональные члены. Например, при a = 1 он стал omes

γ = 3 4 - 11 96 - 1 72 - 311 46080 - 5 1152 - 7291 2322432 - 243 100352 -… {\ displaystyle \ gamma = {\ frac {3} {4}} - {\ frac {11 } {96}} - {\ frac {1} {72}} - {\ frac {311} {46080}} - {\ frac {5} {1152}} - {\ frac {7291} {2322432}} - {\ frac {243} {100352}} - \ ldots}

{\ displaystyle \ gamma = {\ frac {3} {4}} - {\ frac {11} {96}} - {\ frac {1} {72}} - {\ frac {311} {46080}} - {\ frac {5} {1152}} - {\ frac {7291} {2322432}} - {\ frac {243} {100352}} - \ ldots}

см. OEIS : A302120 и OEIS : A302121. Другие серии с такими же многочленами включают эти примеры:

γ = - ln ⁡ (a + 1) - ∑ n = 1 ∞ (- 1) n ψ n (a) n, ℜ (a)>- 1 {\ displaystyle \ gamma = - \ ln (a + 1) - \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {(-1) ^ {n} \ psi _ {n} (a)} {n }}, \ qquad \ Re (a)>- 1}

\gamma =-\ln(a+1)-\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}\psi _{n}(a)}{n}},\qquad \Re (a)>-1

γ = - 2 1 + 2 a {ln ⁡ Γ (a + 1) - 1 2 ln ⁡ (2 π) + 1 2 + ∑ N знак равно 1 ∞ (- 1) n ψ N + 1 (a) n}, ℜ (a)>- 1 {\ displaystyle \ gamma = - {\ frac {2} {1 + 2a}} \ left \ {\ ln \ Gamma (a + 1) - {\ frac {1} {2}} \ ln (2 \ pi) + {\ frac {1} {2}} + \ sum _ {n = 1} ^ { \ infty} {\ frac {(-1) ^ {n} \ psi _ {n + 1} (a)} {n}} \ right \}, \ qquad \ Re (a)>- 1}

\gamma =-{\frac {2}{1+2a}}\left\{\ln \Gamma (a+1)-{\frac {1}{2}}\ln(2\pi)+{\frac {1}{2}}+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}\psi _{n+1}(a)}{n}}\right\},\qquad \Re (a)>-1

где Γ (a) - гамма-функция (Blagouchine 2018).

Ряд, связанный с алгоритмом Акияма-Танигава, равен

γ = ln ⁡ (2 π) - 2-2 ∑ n = 1 ∞ (- 1) n G n (2) n = ln ⁡ (2 π) - 2 + 2 3 + 1 24 + 7 540 + 17 2880 + 41 12600 +… {\ displaystyle \ gamma = \ ln (2 \ pi) -2-2 \ sum _ {n = 1} ^ { \ infty} {\ frac {(-1) ^ {n} G_ {n} (2)} {n}} = \ ln (2 \ pi) -2 + {\ frac {2} {3}} + { \ frac {1} {24}} + {\ frac {7} {540}} + {\ frac {17} {2880}} + {\ frac {41} {12600}} + \ ldots}

{\ displaystyle \ gamma = \ ln (2 \ pi) -2-2 \ sum _ {n = 1} ^ { \ infty} {\ frac {(-1) ^ {n} G_ {n} (2)} {n}} = \ ln (2 \ pi) -2 + {\ frac {2} {3}} + { \ frac {1} {24}} + {\ frac {7} {540}} + {\ frac {17} {2880}} + {\ frac {41} {12600}} + \ ldots}

где G n (2) - коэффициенты Грегори второго порядка (Blagouchine 2018).

Серия простых чисел :

γ = lim n → ∞ (ln ⁡ n - ∑ p ≤ n ln ⁡ p p - 1). {\ displaystyle \ gamma = \ lim _ {n \ to \ infty} \ left (\ ln n- \ sum _ {p \ leq n} {\ frac {\ ln p} {p-1}} \ right). }

{\ displaystyle \ gamma = \ lim _ {n \ to \ infty} \ left ( \ ln n- \ sum _ {p \ leq n} {\ frac {\ ln p} {p-1}} \ right).}

Асимптотическое разложение

γ равно следующим асимптотическим формулам (где H n - номер n-й гармоники ):

γ ∼ H n - ln ⁡ n - 1 2 n + 1 12 n 2-1 120 n 4 + ⋯ {\ displaystyle \ gamma \ sim H_ {n} - \ ln n - {\ frac {1} {2n}} + {\ frac {1 } {12n ^ {2}}} - {\ frac {1} {120n ^ {4}}} + \ cdots}

{\ displaystyle \ gamma \ sim H_ {n} - \ ln n - {\ frac {1} {2n}} + {\ frac {1} {12n ^ {2}}} - {\ frac {1} {120n ^ {4}}} + \ cdots}

(Эйлер)

γ ∼ H n - ln ⁡ (n + 1 2 + 1 24 n - 1 48 n 3 + ⋯) {\ displaystyle \ gamma \ sim H_ {n} - \ ln \ left ({n + {\ frac {1} {2}} + {\ frac {1}) {24n}} - {\ frac {1} {48n ^ {3}}} + \ cdots} \ right)}

{\ displaystyle \ gamma \ sim H_ {n} - \ ln \ left ({n + {\ frac {1} {2}} + {\ frac {1} {24n}} - {\ гидроразрыв {1} {48n ^ {3}}} + \ cdots} \ right)}

(Negoi)

γ ∼ H n - ln ⁡ n + ln ⁡ (n + 1) 2-1 6 n (n + 1) + 1 30 n 2 (n + 1) 2 - ⋯ {\ displaystyle \ gamma \ sim H_ {n} - {\ frac {\ ln n + \ ln ( n + 1)} {2}} - {\ frac {1} {6n (n + 1)}} + {\ frac {1} {30n ^ {2} (n + 1) ^ {2}}} - \ cdots}

{\ displaystyle \ gamma \ sim H_ {n} - {\ frac {\ ln n + \ ln (n + 1)} {2}} - {\ frac {1} {6n (n + 1)}} + {\ frac {1} {30n ^ {2} (n + 1) ^ {2}}} - \ cdots}

(Чезаро )

Третья формула также называется расширением Рамануджана.

Alabdulmohsin 2018, pp. 147–148 вывел замкнутые выражения для сумм ошибок этих приближений. Он показал, что (теорема A.1):

$∑ n = 1 ∞ log ⁡ n + γ - H n + 1 2 n = log ⁡ (2 π) - 1 - γ 2 {\ displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} \ log n + \ gamma -H_ {n} + {\ frac {1} {2n}} = {\ frac {\ log (2 \ pi) -1- \ gamma} {2} }}$ ${\ displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} \ log n + \ gamma -H_ {n} + { \ frac {1} {2n}} = {\ frac {\ log (2 \ pi) -1- \ gamma} {2}}}$

$∑ N = 1 ∞ журнал ⁡ N (N + 1) + γ - H n = журнал ⁡ (2 π) - 1 2 - γ {\ displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty } \ log {\ sqrt {n (n + 1)}} + \ gamma -H_ {n} = {\ frac {\ log (2 \ pi) -1} {2}} - \ gamma}$ ${\ displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} \ log {\ sqrt {n (n + 1)}} + \ gamma -H_ {n} = {\ frac {\ log (2 \ pi) -1} {2}} - \ gamma}$

$∑ n знак равно 1 ∞ (- 1) n (журнал ⁡ N + γ - H n) = журнал ⁡ π - γ 2 {\ displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} (- 1) ^ {n} {\ Big (} \ log n + \ gamma -H_ {n} {\ Big)} = {\ frac {\ log \ pi - \ gamma} {2}}}$ ${\ displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} ( -1) ^ {n} {\ Big (} \ log n + \ gamma -H_ {n} {\ Big)} = {\ frac {\ log \ pi - \ gamma} {2}}}$

Exponential

Константа e важен в теории чисел. Некоторые авторы обозначают эту величину просто как γ ′. e равно следующему пределу, где p n - n-е простое число :

e γ = lim n → ∞ 1 ln ⁡ pn ∏ i = 1 npipi - 1. {\ displaystyle e ^ {\ gamma} = \ lim _ {n \ to \ infty} {\ frac {1} {\ ln p_ {n}}} \ prod _ {i = 1} ^ {n} {\ frac {p_ {i}} {p_ {i} -1}}.}

{\ displaystyle e ^ {\ gamma} = \ lim _ {n \ to \ infty} {\ frac {1} {\ ln p_ {n}}} \ prod _ {i = 1} ^ {n} {\ frac {p_ {i} } {p_ {i} -1}}.}

Это повторяет третью из теорем Мертенса (Weisstein nd). Числовое значение e:

1.78107241799019798523650410310717954916964521430343... OEIS : A073004.

Другие бесконечные продукты, относящиеся к e, включают:

e 1 + γ 2 2 π знак равно ∏ n знак равно 1 ∞ e - 1 + 1 2 n (1 + 1 n) ne 3 + 2 γ 2 π знак равно ∏ n = 1 ∞ e - 2 + 2 n (1 + 2 n) n. {\ displaystyle {\ begin {align} {\ frac {e ^ {1 + {\ frac {\ gamma} {2}}}} {\ sqrt {2 \ pi}}} = \ prod _ {n = 1 } ^ {\ infty} e ^ {- 1 + {\ frac {1} {2n}}} \ left (1 + {\ frac {1} {n}} \ right) ^ {n} \\ {\ frac {e ^ {3 + 2 \ gamma}} {2 \ pi}} = \ prod _ {n = 1} ^ {\ infty} e ^ {- 2 + {\ frac {2} {n}}} \ left (1 + {\ frac {2} {n}} \ right) ^ {n}. \ end {align}}}

{\ displaystyle {\ begin {align} {\ frac {e ^ {1 + {\ frac {\ gamma}) {2}}}} {\ sqrt {2 \ pi}}} = \ prod _ {n = 1} ^ {\ infty} e ^ {- 1 + {\ frac {1} {2n}}} \ left (1 + {\ frac {1} {n}} \ right) ^ {n} \\ {\ frac {e ^ {3 + 2 \ gamma}} {2 \ pi}} = \ prod _ {n = 1} ^ {\ infty} e ^ {- 2 + {\ frac {2} {n}}} \ left (1 + {\ frac {2} {n}} \ right) ^ {n}. \ End { выровнено}}}

Эти продукты являются результатом G-функции Барнса.

Кроме того,

е γ знак равно 2 1 ⋅ 2 2 1 ⋅ 3 3 ⋅ 2 3 ⋅ 4 1 ⋅ 3 3 4 ⋅ 2 4 ⋅ 4 4 1 ⋅ 3 6 ⋅ 5 5 ⋯ {\ displaystyle e ^ {\ gamma} = { \ sqrt {\ frac {2} {1}}} \ cdot {\ sqrt [{3}] {\ frac {2 ^ {2}} {1 \ cdot 3}}} \ cdot {\ sqrt [{4} ] {\ frac {2 ^ {3} \ cdot 4} {1 \ cdot 3 ^ {3}}}} \ cdot {\ sqrt [{5}] {\ frac {2 ^ {4} \ cdot 4 ^ { 4}} {1 \ cdot 3 ^ {6} \ cdot 5}}} \ cdots}

{\ displaystyle e ^ {\ gamma} = {\ sqrt {\ frac {2} {1}}} \ cdot {\ sqrt [{ 3}] {\ frac {2 ^ {2}} {1 \ cdot 3}}} \ cdot {\ sqrt [{4}] {\ frac {2 ^ {3} \ cdot 4} {1 \ cdot 3 ^ {3}}}} \ cdot {\ sqrt [{5}] {\ frac {2 ^ {4} \ cdot 4 ^ {4}} {1 \ cdot 3 ^ {6} \ cdot 5}}} \ cdots }

где n-й множитель является (n + 1) -м корнем из

∏ k = 0 n (k + 1) (- 1) k + 1 (nk). {\ displaystyle \ prod _ {k = 0} ^ {n} (k + 1) ^ {(- 1) ^ {k + 1} {n \ choose k}}.}

\ prod _ {к = 0} ^ {n} (k + 1) ^ {(- 1) ^ {k + 1} {n \ choose k}}.

Этот бесконечный продукт, впервые обнаруженный Сером в 1926 году, был переоткрыт Сондоу (Sondow 2003) с использованием гипергеометрических функций.

Также верно, что

e π 2 + e - π 2 π e γ = ∏ n = 1 ∞ (е - 1 n (1 + 1 n + 1 2 n 2)). {\ displaystyle {\ frac {e ^ {\ frac {\ pi} {2}} + e ^ {- {\ frac {\ pi} {2}}}} {\ pi e ^ {\ gamma}}} = \ prod _ {n = 1} ^ {\ infty} \ left (e ^ {- {\ frac {1} {n}}} \ left (1 + {\ frac {1} {n}} + {\ frac {1} {2n ^ {2}}} \ right) \ right).}

{\ displaystyle {\ frac {e ^ {\ frac {\ pi} {2}} + e ^ {- {\ frac {\ pi} {2}}}} {\ pi e ^ {\ gamma}}} = \ prod _ {n = 1} ^ {\ infty} \ left (e ^ {- {\ frac {1} {n}}) } \ left (1 + {\ frac {1} {n}} + {\ frac {1} {2n ^ {2}}} \ right) \ right).}

Непрерывная дробь

Разложение непрерывной дроби числа γ имеет вид [0; 1, 1, 2, 1, 2, 1, 4, 3, 13, 5, 1, 1, 8, 1, 2, 4, 1, 1, 40,...] OEIS : A002852, на котором нет видимого рисунка. Известно, что в непрерывной дроби содержится не менее 475 006 членов, и в ней бесконечно много членов тогда и только тогда, когда γ иррационально.

Обобщения

abm (x) = γ −x

Обобщенные константы Эйлера задаются формулой

γ α = lim n → ∞ (∑ k = 1 n 1 k α - ∫ 1 n 1 x α dx), {\ displaystyle \ gamma _ {\ alpha} = \ lim _ {n \ to \ infty} \ left (\ sum _ {k = 1} ^ {n} {\ frac {1} {k ^ { \ alpha}}} - \ int _ {1} ^ {n} {\ frac {1} {x ^ {\ alpha}}} \, dx \ right),}

{\ displaystyle \ gamma _ {\ alpha} = \ lim _ {n \ to \ infty} \ left (\ sum _ {k = 1} ^ {n} {\ frac {1} {k ^ {\ alpha}}} - \ int _ {1} ^ {n} {\ frac {1} {x ^ {\ alpha} }} \, dx \ right),}

для 0 < α < 1, with γ as the special case α = 1 (Havil 2003, стр. 117–118). В дальнейшем это можно обобщить до

cf = lim n → ∞ (∑ k = 1 nf (k) - ∫ 1 nf (x) dx) {\ displaystyle c_ {f} = \ lim _ {n \ to \ infty } \ left (\ sum _ {k = 1} ^ {n} f (k) - \ int _ {1} ^ {n} f (x) \, dx \ right)}

{\ displaystyle c_ {f} = \ lim _ {n \ to \ infty} \ left (\ sum _ {k = 1} ^ {n} f (k) - \ int _ {1} ^ {n} f (x) \, dx \ right)}

для некоторой произвольной убывающей функции f. Например,

fn (x) = (ln ⁡ x) nx {\ displaystyle f_ {n} (x) = {\ frac {(\ ln x) ^ {n}} {x}}}

{\ displaystyle f_ {n} (x) = {\ frac { (\ ln x) ^ {n}} {x}}}

дает начало константам Стилтьеса, а

fa (x) = x - a {\ displaystyle f_ {a} (x) = x ^ {- a}}

f_ {a} (x) = x ^ {- a}

дает

γ fa знак равно (a - 1) ζ (a) - 1 a - 1 {\ displaystyle \ gamma _ {f_ {a}} = {\ frac {(a-1) \ zeta (a) -1} {a- 1}}}

\ gamma _ {f_ {a}} = {\ frac {(a-1) \ zeta ( а) -1} {а-1}}

где снова предел

γ = lim a → 1 (ζ (a) - 1 a - 1) {\ displaystyle \ gamma = \ lim _ {a \ to 1} \ left (\ zeta (a) - появляется {\ frac {1} {a-1}} \ right)}

{\ displaystyle \ gamma = \ lim _ {a \ to 1} \ left (\ zeta ( a) - {\ frac {1} {a-1}} \ right)}

Двумерным предельным обобщением является.

Константы Эйлера – Лемера задаются суммированием обратных чисел в общем классе по модулю (Ram Murty Saradha 2010):

γ (a, q) = lim x → ∞ (∑ 0 < n ≤ x n ≡ a ( mod q) 1 n − ln ⁡ x q). {\displaystyle \gamma (a,q)=\lim _{x\to \infty }\left(\sum _{0

{\ displaystyle \ gamma (a, q) = \ lim _ {x \ to \ infty} \ left (\ sum _ {0 <n \ leq x \ на вершине n \ эквив а {\ pmod {q}}} {\ frac {1} {n}} - {\ frac {\ ln x} {q}} \ right).}

Основные свойства:

γ (0, q) = γ - ln ⁡ qq, ∑ a = 0 q - 1 γ (a, q) = γ, q γ (a, q) знак равно γ - ∑ J знак равно 1 Q - 1 е - 2 π aijq ln ⁡ (1 - е 2 π ijq), {\ displaystyle {\ begin {align} \ gamma (0, q) = {\ frac {\ gamma - \ ln q} {q}}, \\\ sum _ {a = 0} ^ {q-1} \ gamma (a, q) = \ gamma, \\ q \ gamma (a, q) = \ gamma - \ sum _ {j = 1} ^ {q-1} e ^ {- {\ frac {2 \ pi aij} {q}}} \ ln \ left (1-e ^ {\ frac {2 \ pi ij} {q}} \ right), \ end {align}}}

{\ displaystyle {\ begin {align} \ gamma (0, q) = {\ frac {\ gamma - \ ln q} {q}}, \\\ sum _ {a = 0} ^ {q-1} \ gamma (a, q) = \ gamma, \\ q \ gamma (a, q) = \ gamma - \ sum _ {j = 1} ^ {q-1} e ^ {- {\ frac {2 \ pi aij} {q}}} \ ln \ left (1-e ^ {\ frac {2 \ pi ij} {q}} \ right), \ конец {выровненный}}}

и если gcd (a, q) = d, то

q γ (a, q) = qd γ (ad, qd) - пер ⁡ d. {\ displaystyle q \ gamma (a, q) = {\ frac {q} {d}} \ gamma \ left ({\ frac {a} {d}}, { \ frac {q} {d}} \ right) - \ ln d.}

{\ displaystyle д \ гамма (а, д) = {\ frac {q} {d}} \ gamma \ left ({\ frac {a} {d}}, {\ frac {q} {d}} \ right) - \ ln d.}

Опубликованные цифры

Эйлер сначала вычислил значение константы с точностью до 6 знаков после запятой. В 1781 году он вычислил его до 16 знаков после запятой.Маскерони попытался вычислить константу до 32 знаков после запятой, но допустил ошибки в 20–22 и 31–32 знаках после запятой; начиная с 20-й цифры, он вычислил... 181 12090082 39, когда правильное значение -... 065 12090082 40.

Опубликованные десятичные разложения γ
Дата	Десятичные цифры	Автор
1734	5	Леонард Эйлер
1735	15	Леонард Эйлер
1781	16	Леонард Эйлер
1790	32	Лоренцо Маскерони с ошибками 20-22 и 31-32
1809	22	Иоганн Г. фон Зольднер
1811	22	Карл Фридрих Гаусс
1812	40	Фридрих Бернхард Готфрид Николай
1857	34	Кристиан Фредрик Линдман
1861	41	Людвиг Эттингер
1867	49	Уильям Шанкс
1871	99	Джеймс В.Л. Глейшер
1871	101	Уильям Шанкс
1877	262	Дж. К. Адамс
1952	328	Джон Уильям Ренч младший
1961	1050	Гельмут Фишер и Карл Целлер
1962	1271	Дональд Кнут
1962	3566	Дура В. Суини
1973	4879	Уильям А. Бейер и Майкл С. Уотерман
1977	20700	Ричард П. Брент
1980	30100	Ричард П.. Brent Эдвин М. Макмиллан
1993	172000	Джонатан Борвейн
1999	108000000	Патрик Демишель и Ксавье Гурдон
13 марта 2009 г.	29844489545	Александр Дж. Йи и Раймонд Чан
22 декабря 2013 г.	119377958182	Александр Дж. Йи
March 15, 2016	160000000000	Peter Trueb
May 18, 2016	250000000000	Ron Watkins
August 23, 2017	477511832674	Ron Watkins
May 26, 2020	600000000100	Seungmin Kim Ian Cutress

Notes

References

Alabdulmohsin, Ibrahi m M. (2018), Summability Calculus. A Comprehensive Theory of Fractional Finite Sums, Springer-Verlag, ISBN 9783319746487
Blagouchine, Iaroslav V. (2014), "Rediscovery of Malmsten's integrals, their evaluation by contour integration methods and some related results", The Ramanujan Journal, 35(1): 21–110, doi :10.1007/s11139-013-9528-5, S2CID 120943474
Blagouchine, Iaroslav V. (2016), "Expansions of generalized Euler's constants into the series of polynomials in π and into the formal enveloping series with rational coefficients only", J. Number Theory, 158: 365–396, arXiv :1501.00740, doi :10.1016/j.jnt.2015.06.012
Blagouchine, Iaroslav V. (2018), "Three notes on Ser's and Hasse's representations for the zeta-functions", INTEGERS: The Electronic Journal of Combinatorial Number Theory, 18A(#A3): 1–45, arXiv :1606.02044, Bibcode :2016arXiv160602044B
Bretschneider, Carl Anton (1837) [submitted 1835]. "Theoriae logarithmi integralis lineamenta nova". Crelle's Journal (in Latin). 17: 257–285.
Caves, Carlton M. ; Fuchs, Christopher A. (1996). "Quantum information: How much information in a state vector?". The Dilemma of Einstein, Podolsky and Rosen – 60 Years Later. Israel Physical Society. arXiv :quant-ph/9601025. Bibcode :1996quant.ph..1025C. ISBN 9780750303941. OCLC 36922834.
De Morgan, Augustus (1836–1842). The differential and integral calculus. London: Baldwin and Craddoc.
DeTemple, Duane W. (May 1993). "A Quicker Convergence to Euler's Constant". Американский математический ежемесячник. 100(5): 468–470. doi :10.2307/2324300. ISSN 0002-9890. JSTOR 2324300.
Glaisher, James Whitbread Lee (1910). "On Dr. Vacca's series for γ". Q. J. Pure Appl. Математика. 41: 365–368.
Havil, Julian (2003). Gamma: Exploring Euler's Constant. Издательство Принстонского университета. ISBN 978-0-691-09983-5.
Hardy, G. H. (1912). "Note on Dr. Vacca's series for γ". Q. J. Pure Appl. Математика. 43: 215–216.
Kluyver, J.C. (1927). "On certain series of Mr. Hardy". Q. J. Pure Appl. Математика. 50: 185–192.
Krämer, Stefan (2005), Die Eulersche Konstante γ und verwandte Zahlen, Germany: University of Göttingen
Lagarias, Jeffrey C. (October 2013). "Euler's constant: Euler's work and modern developments". Bulletin of the American Mathematical Society. 50(4): 556. arXiv :1303.1856. doi :10.1090/s0273-0979-2013-01423-x. S2CID 119612431.
Papanikolaou, T. (1997). Entwurf und Entwicklung einer objektorientierten Bibliothek für algorithmische Zahlentheorie (Thesis). Universität des Saarlandes.
Ram Murty, M.; Saradha, N. (2010). "Euler–Lehmer constants and a conjecture of Erdos". JNT. 130(12): 2671–2681. doi :10.1016/j.jnt.2010.07.004.
Sloane, N. J. A. (ed.). "Sequence A002852 (Continued fraction for Euler's constant)". The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. OEIS Foundation.
Sondow, Jonathan (1998). "An antisymmetric formula for Euler's constant". Mathematics Magazine. 71. pp. 219–220. Archived from the original on 2011-06-04. Retrieved 2006-05-29.
Sondow, Jonathan (2002). "A hypergeometric approach, via linear forms involving logarithms, to irrationality criteria for Euler's constant". Mathematica Slovaca. 59: 307–314. arXiv :math.NT/0211075. Bibcode :2002math.....11075S.with an Appendix by Sergey Zlobin
Sondow, Jonathan (2003). "An infinite product for e via hypergeometric formulas for Euler's constant, γ". arXiv :math.CA/0306008.
Sondow, Jonathan (2003a), "Criteria for irrationality of Euler's constant", Proceedings of the American Mathematical Society, 131(11): 3335–3344, arXiv :math.NT/0209070, doi :10.1090/S0002-9939-03-07081-3, S2CID 91176597
Sondow, Jonathan (2005), "Double integrals for Euler's constant and ln 4/π and an analog of Hadjicostas's formula", American Mathematical Monthly, 112(1): 61–65, arXiv :math.CA/0211148, doi :10.2307/30037385, JSTOR 30037385
Sondow, Jonathan (2005a), New Vacca-type rational series for Euler's constant and its 'alternating' analog ln 4/π, arXiv :math.NT/0508042
Sondow, Jonathan; Zudilin, Вадим (2006). «Константа Эйлера, q-логарифмы и формулы Рамануджана и Госпера». Журнал Рамануджана. 12 (2): 225–244. arXiv : math.NT / 0304021. DOI : 10.1007 / s11139-006-0075-1. S2CID 1368088.
Вайсштейн, Эрик У. (нет данных). "Константа Мертенса". mathworld.wolfram.com.

Дополнительная литература

Borwein, Jonathan M.; Дэвид М. Брэдли; Ричард Э. Крэндалл (2000). «Вычислительные стратегии для дзета-функции Римана» (PDF). Журнал вычислительной и прикладной математики. 121 (1-2): 11. Bibcode : 2000JCoAM.121..247B. doi : 10.1016 / s0377-0427 (00) 00336-8.Вычисляет γ в виде сумм по дзета-функциям Римана.
Герст И. (1969). «Некоторые ряды для постоянной Эйлера». Амер. Математика. Ежемесячно. 76 (3): 237–275. DOI : 10.2307 / 2316370. JSTOR 2316370.
Глейшер, Джеймс Уитбред Ли (1872 г.). «К истории постоянной Эйлера». Вестник математики. 1 : 25–30. JFM 03.0130.01.
Гурдон, Ксавье; Себах, П. (2002). «Сборник формул для постоянной Эйлера γ».
Гурдон, Ксавье; Себах, П. (2004). «Константа Эйлера: γ».
Карацуба, Э.А. (1991). «Быстрая оценка трансцендентных функций». Пробл. Инф. Трансм. 27 (44): 339–360.
Карацуба, Э.А. (2000). «О вычислении постоянной Эйлера γ». Журнал численных алгоритмов. 24 (1–2): 83–97. DOI : 10.1023 / A: 1019137125281. S2CID 21545868.
Кнут, Дональд (1997). Искусство программирования, Vol. 1 (3-е изд.). Эддисон-Уэсли. ISBN 0-201-89683-4.
Лерх, М. (1897). "Новые выражения де ла константе д'Эулера". Sitzungsberichte der Königlich Böhmischen Gesellschaft der Wissenschaften. 42 : 5.
Маскерони, Лоренцо (1790), Adnotationes ad Calculum Integralem Euleri, in quibus nonnulla problemata ab Eulero proposita resolvuntur, Галеати, Тичини
Лемер, Д.Х.. «Константы Эйлера для арифметических прогрессий» (PDF). Acta Arith. 27 (1): 125–142. doi : 10.4064 / aa-27-1-125-142.
Vacca, G. (1926). "Новая серия для костанте ди Эйлеро, C = 0,577...". Rendiconti, Accademia Nazionale dei Lincei, Roma, Classe di Scienze Fisiche ". Matematiche e Naturali. 6 (3): 19–20.

Внешние ссылки

, Энциклопедия математики, EMS Press, 2001 [1994]
Вайсштейн, Эрик У. «Константа Эйлера – Маскерони». MathWorld.
Джонатан Сондоу.
Fast Алгоритмы и метод FEE, EA Karatsuba (2005)
Дополнительные формулы, использующие константу: Gourdon and Sebah (2004).