Теория множеств Цермело

редактировать

Теория множеств Цермело (иногда обозначается Z ), как изложено в важном документе в 1908 году, автор Эрнст Цермело, является родоначальником современной теории множеств. Он имеет определенные отличия от своих потомков, которые не всегда понимаются и часто цитируются неправильно. В этой статье изложены исходные аксиомы с исходным текстом (переведенным на английский язык) и исходной нумерацией.

Содержание

1 Аксиомы теории множеств Цермело
2 Связь со стандартной теорией множеств
3 Теория множеств Мак-Лейна
4 Цель статьи Цермело
5 Аксиома разделения
6 Теорема Кантора
7 См. Также
8 Ссылки

Аксиомы теории множеств Цермело

Аксиомы теории множеств Цермело сформулированы для объектов, некоторые из которых (но не обязательно все) называются наборами, а остальные объекты являются элементами и не содержат никаких элементов. Язык Цермело неявно включает отношение принадлежности ∈, отношение равенства = (если оно не включено в базовую логику) и унарный предикат, говорящий, является ли объект набором. Более поздние версии теории множеств часто предполагают, что все объекты являются множествами, поэтому нет никаких элементов и нет необходимости в унарном предикате.

АКСИОМА I. Аксиома протяженности (Axiom der Bestimmtheit) «Если каждый элемент множества M также является элементом N, и наоборот... тогда M

≡ {\ displaystyle \ Equiv}

\ Equiv

N. Вкратце, каждый набор определяется своими элементами. "

АКСИОМА II. Аксиома элементарных множеств (Axiom der Elementarmengen) «Существует множество, нулевое множество,, которое не содержит вообще никаких элементов. Если a - это любой объект домена, существует набор {a}, содержащий a и только a as элемент. Если a и b являются любыми двумя объектами домена, всегда существует набор {a, b}, содержащий как элементы a и b, но ни один объект x, отличный от них обоих ». См. Аксиома пар.

АКСИОМА III. Аксиома разделения (Axiom der Aussonderung) "Когда пропозициональная функция - (x) определена для всех элементов множества M, M обладает подмножеством M ', содержащим в качестве элементов именно те элементы x из M, для которых - (x) истинно ".

АКСИОМА IV. Аксиома набора мощности (Axiom der Potenzmenge) «Каждому набору T соответствует набор T ', набор мощности набора T, который содержит в качестве элементов в точности все подмножества T. «

АКСИОМА V. Аксиома объединения (Axiom der Vereinigung)« Каждому множеству T соответствует множество ∪T, объединение T, которое содержит в качестве элементов в точности все элементы элементы Т. "

АКСИОМА VI. Аксиома выбора (Axiom der Auswahl) «Если T - это множество, все элементы которого являются множествами, отличными от ∅ и взаимно не пересекающимися, его объединение ∪T включает по крайней мере одно подмножество S 1 имеющий один и только один элемент, общий с каждым элементом T. "

АКСИОМА VII. Аксиома бесконечности (Axiom des Unendlichen) «В области существует по крайней мере одно множество Z, которое содержит нулевой набор в качестве элемента и составлено таким образом, что каждому из его элементов a соответствует дополнительный элемент форма {a}, другими словами, что с каждым из своих элементов a она также содержит соответствующий набор {a} в качестве элемента. "

Связь со стандартной теорией множеств

Наиболее широко используемые и принятые Теория множеств известна как ZFC, которая состоит из теории множеств Цермело – Френкеля с добавлением аксиомы выбора . Ссылки показывают, где соответствуют аксиомы теории Цермело. Для «элементарных множеств» нет точного соответствия. (Позже было показано, что одноэлементный набор может быть получен из того, что сейчас называется «Аксиомой пар». Если существует, то существуют а и а, значит, существует {a, a}, и поэтому в силу экстенсиональности {a, a} = {a}.) Аксиома пустого множества уже предполагается аксиомой бесконечности и теперь включена как ее часть.

Теория множеств Цермело не включает аксиомы замены и регулярности. Аксиома замещения была впервые опубликована в 1922 г. Абрахамом Френкелем и Торальфом Сколемом, которые независимо обнаружили, что аксиомы Цермело не могут доказать существование множества {Z 0, Z 1, Z 2,...} где Z 0 - это набор натуральных чисел и Z n + 1 - набор мощности для Z n. Оба они поняли, что для доказательства этого нужна аксиома замены. В следующем году Джон фон Нейман указал, что эта аксиома необходима для построения его теории порядковых чисел. Аксиома регулярности была сформулирована фон Нейманом в 1925 году.

В современной системе ZFC «пропозициональная функция», упоминаемая в аксиоме разделения, интерпретируется как «любое свойство, определяемое с помощью первого порядка <61.>формула с параметрами », поэтому аксиома разделения заменяется схемой аксиомы . Понятие «формулы первого порядка» не было известно в 1908 году, когда Цермело опубликовал свою систему аксиом, и позже он отверг эту интерпретацию как слишком ограничительную. Теория множеств Цермело обычно рассматривается как теория первого порядка, в которой аксиома разделения заменена схемой аксиом с аксиомой для каждой формулы первого порядка. Ее также можно рассматривать как теорию в логике второго порядка, где теперь аксиома разделения является всего лишь одной аксиомой. Интерпретация второго порядка теории множеств Цермело, вероятно, ближе к его собственной концепции Цермело и сильнее, чем интерпретация первого порядка.

В обычной кумулятивной иерархии Vαтеории множеств ZFC (для ординалов α) любой из множеств V α для α предельный порядковый номер, больший, чем первый бесконечный порядковый номер ω (такой как V ω · 2) образует модель теории множеств Цермело. Таким образом, непротиворечивость теории множеств Цермело - это теорема теории множеств ZFC. Аксиомы Цермело не предполагают существования ℵ ω или более бесконечных кардиналов, поскольку модель V ω · 2 не содержит таких кардиналов. (Кардиналы должны определяться по-другому в теории множеств Цермело, поскольку обычное определение кардиналов и ординалов работает не очень хорошо: с обычным определением невозможно даже доказать существование ординала ω2.)

аксиома бесконечности теперь обычно модифицируется, чтобы утверждать существование первого бесконечного фон Неймана ординал $ω {\ displaystyle \ omega}$ $\ omega$ ; оригинальные аксиомы Цермело не могут доказать существование этого множества, а модифицированные аксиомы Цермело не могут доказать аксиому Цермело о бесконечности. Аксиомы Цермело (исходные или модифицированные) не могут доказать существование $V ω {\ displaystyle V _ {\ omega}}$ $V _ {{\ omega}}$ как множества, ни какого-либо ранга кумулятивной иерархии множеств с бесконечным индексом.

Цермело допускает существование урэлементов, которые не являются наборами и не содержат элементов; теперь они обычно не включаются в теории множеств.

Теория множеств Мак-Лейна

Теория множеств Мак-Лейна, представленная Мак Лейном (1986), представляет собой теорию множеств Цермело с аксиомой разделения ограниченная формулами первого порядка, в которых каждый квантор ограничен, теория множеств Мак Лейна по силе схожа с теорией топосов с объектом натурального числа или с системой в Principia mathematica. Он достаточно силен, чтобы выполнять почти всю обычную математику, не связанную напрямую с теорией множеств или логикой.

Цель статьи Цермело

Во введении говорится, что самому существованию дисциплины теории множеств «кажется, угрожают определенные противоречия или« антиномии », которые могут быть выведены из ее принципов - принципы, которые обязательно управляют нашим мышлением, как кажется, - и для которых еще не найдено полностью удовлетворительное решение ". Цермело, конечно, имеет в виду «антиномию Рассела ».

Он говорит, что хочет показать, как исходная теория Георга Кантора и Ричарда Дедекинда может быть сведена к нескольким определениям и семи принципам или аксиомам. Он говорит, что ему не удалось доказать, что аксиомы непротиворечивы.

Неконструктивистский аргумент в пользу их последовательности состоит в следующем. Определите V α для α одного из ординалов 0, 1, 2,..., ω, ω + 1, ω + 2,..., ω · 2 следующим образом :

V0- пустое множество.
Для α преемник формы β + 1, V α определяется как совокупность всех подмножеств V β.
Для α предел (например, ω, ω · 2), тогда V α определяется как объединение V β для β <α.

Тогда аксиомы теории множеств Цермело согласованы, потому что они верны в модели V ω · 2. В то время как неконструктивист мог бы рассматривать это как веский аргумент, конструктивист, вероятно, не стал бы: хотя нет никаких проблем с построением множеств до V ω, построение V ω + 1 менее ясен, поскольку нельзя конструктивно определить каждое подмножество V ω. Этот аргумент можно превратить в действительное доказательство в теории множеств Цермело – Френкеля, но это на самом деле не помогает, потому что непротиворечивость теории множеств Цермело-Френкеля менее очевидна, чем непротиворечивость теории множеств Цермело.

Аксиома разделения

Цермело комментирует, что Аксиома III его системы отвечает за устранение антиномий. Оно отличается от первоначального определения Кантора следующим образом.

Множества не могут быть независимо определены каким-либо произвольным логически определимым понятием. Их нужно каким-то образом сконструировать из ранее построенных множеств. Например, они могут быть построены, взяв наборы мощности, или они могут быть разделены как подмножества уже «заданных» наборов. Это, по его словам, устраняет противоречивые идеи, такие как «множество всех множеств» или «множество всех порядковых чисел».

Он избавляется от парадокса Рассела с помощью этой теоремы: «Каждый набор $M {\ displaystyle M}$ $M$ имеет по крайней мере одно подмножество $M 0 {\ displaystyle M_ {0}}$ $M_{0}$ , не являющийся элементом $M {\ displaystyle M}$ $M$ ". Пусть $M 0 {\ displaystyle M_ {0}}$ $M_{0}$ будет подмножеством $M {\ displaystyle M}$ $M$ , для которого AXIOM III отделяет понятие « $x ∉ x {\ displaystyle x \ notin x}$ $x \ notin x$ ». Тогда $M 0 {\ displaystyle M_ {0}}$ $M_{0}$ не может находиться в $M {\ displaystyle M}$ $M$ . Для

Если $M 0 {\ displaystyle M_ {0}}$ $M_{0}$ находится в $M 0 {\ displaystyle M_ {0}}$ $M_{0}$ , то $M 0 {\ displaystyle M_ {0}}$ $M_{0}$ содержит элемент x, для которого x находится в x (то есть $M 0 {\ displaystyle M_ {0}}$ $M_{0}$ сам), что противоречило бы определению $M 0 {\ displaystyle M_ {0}}$ $M_{0}$ .
Если $M 0 {\ displaystyle M_ {0}}$ $M_{0}$ не входит в $M 0 {\ displaystyle M_ {0}}$ $M_{0}$ , и если предположить, что $M 0 {\ displaystyle M_ {0}}$ $M_{0}$ является элементом M, тогда $M 0 {\ displaystyle M_ {0}}$ $M_{0}$ - это элемент M, который удовлетворяет определению « $x ∉ x {\ displaystyle x \ notin x}$ $x \ notin x$ », и поэтому находится в $M 0 {\ displaystyle M_ {0}}$ $M_{0}$ , что является противоречием.

Следовательно, предположение, что $M 0 {\ displaystyle M_ {0}}$ $M_{0}$ является in $M {\ displaystyle M}$ $M$ неверно, доказывая теорему. Следовательно, не все объекты универсальной области B могут быть элементами одного и того же множества. «Это избавляет нас от антиномии Рассела ».

Это оставило проблему «домена B», который, кажется, к чему-то относится. Это привело к идее правильного класса.

Теорема Кантора

Статья Цермело примечательна тем, что может быть первым упоминанием теоремы Кантора явно и по имени. Это строго апеллирует к теоретическим представлениям и, таким образом, не совсем то же самое, что диагональный аргумент Кантора.

теорема Кантора: «Если M - произвольное множество, то всегда M < P(M) [the power set of M]. Every set is of lower cardinality than the set of its subsets".

Цермело доказывает это, учитывая функция φ: M → P (M). По аксиоме III это определяет следующее множество M ':

M' = {m: m ∉ φ (m)}.

Но ни один элемент m 'из M не может соответствуют M ', т.е. такие, что φ (m') = M '. В противном случае мы можем построить противоречие:

1) Если m' находится в M ', то по определению m' ∉ φ (m ') = M', что является первой частью противоречия

2) Если m 'находится не в M', а в M, то по определению m '∉ M' = φ (m '), что по определению означает, что m' находится в M ', что является второй частью противоречия.

поэтому по противоречию m 'не существует. Обратите внимание на близкое сходство этого доказательства с тем, как Цермело устраняет парадокс Рассела.

См. также

S (теория множеств)

Ссылки

Феррейрос, Хосе (2007), Лабиринт мысли: история теории множеств и ее роль в математике matical Thought, Birkhäuser, ISBN 3-7643-8349-6.
Mac Lane, Saunders (1986), Mathematics, form and function, New York: Springer-Verlag, doi : 10.1007 / 978-1-4612-4872-9, ISBN 0-387-96217-4, MR 0816347.
Цермело, Ernst (1908), "Untersuchungen über die Grundlagen der Mengenlehre I", Mathematische Annalen, 65 (2): 261–281, doi : 10.1007 / bf01449999. Английский перевод: Heijenoort, Jean van (1967), «Исследования основ теории множеств», From Frege to Gödel: A Source Book in Mathematical Logic, 1879-1931, Source Books in the История наук, Гарвардский унив. Press, стр. 199–215, ISBN 978-0-674-32449-7.