Вселенная фон Неймана

редактировать

концепция теории множеств

В теории множеств и родственных разделах математики, вселенная фон Неймана или иерархия множеств фон Неймана, обозначенный V, является классом из обоснованных множеств. Этот набор, который формализован теорией множеств Цермело – Френкеля (ZFC), часто используется для интерпретации или мотивации аксиом ZFC.

ранг хорошо обоснованного набора индуктивно определяется как наименьшее порядковое число, превышающее ранги всех членов набора. В частности, ранг пустого набора равен нулю, и каждый порядковый номер имеет ранг, равный самому себе. Наборы в V делятся на трансфинитную иерархию V α, называемую кумулятивной иерархией, в зависимости от их ранга.

Содержание

1 Определение
- 1.1 Конечная и низкая мощность ступеней иерархии
2 Приложения и интерпретации
- 2.1 Приложения V в качестве моделей для теорий множеств
- 2.2 Интерпретация V как " набор всех множеств »
- 2.3 V и аксиома регулярности
- 2.4 Экзистенциальный статус V
3 История
4 Философские перспективы
5 См. также
6 Примечания
7 Ссылки

Определение

Совокупная иерархия - это совокупность наборов V α, индексированных классом порядковых номеров ; в частности, V α - это множество всех наборов, имеющих ранги меньше, чем α. Таким образом, для каждого порядкового числа α существует одно множество V α. V α может быть определен с помощью трансфинитной рекурсии следующим образом:

Пусть V 0 будет пустым множеством :
$V 0: = ∅. {\ displaystyle V_ {0}: = \ varnothing.}$ ${\ displaystyle V_ {0}: = \ varnothing.}$
Для любого порядкового числа β пусть V β + 1 будет набором степеней из V β:
$V β + 1: = P (V β). {\ displaystyle V _ {\ beta +1}: = {\ mathcal {P}} (V _ {\ beta}).}$ $V _ {\ beta +1}: = { \ mathcal {P}} (V _ {\ beta}).$
Для любого предельного порядкового номера λ, пусть V λ будет объединением всех V-этапов на данный момент:
$V λ: = ⋃ β < λ V β. {\displaystyle V_{\lambda }:=\bigcup _{\beta <\lambda }V_{\beta }.}$ $V _ {\ lambda}: = \ bigcup _ {\ beta <\ lambda} V _ {\ beta}.$

Важным фактом этого определения является то, что существует единственная формула φ (α, x) на языке ZFC, который определяет «множество x находится в V α ».

Наборы V α называются ступенями или рангами .

начальным сегментом вселенной фон Неймана. Порядковое умножение противоположно нашему обычному соглашению; см. Порядковая арифметика.

Класс V определяется как объединение всех V-этапов:

V: = ⋃ α V α. {\ displaystyle V: = \ bigcup _ {\ alpha} V _ {\ alpha}.}

V: = \ bigcup _ {\ alpha} V _ {\ alpha}.

Эквивалентное определение устанавливает

V α: = ⋃ β < α P ( V β) {\displaystyle V_{\alpha }:=\bigcup _{\beta <\alpha }{\mathcal {P}}(V_{\beta })}

V _ {\ alpha}: = \ bigcup _ {\ beta <\ alpha} {\ mathcal {P} } (V _ {\ beta})

для каждого порядкового номера α, где $P ( X) {\ displaystyle {\ mathcal {P}} (X) \!}$ ${\ mathcal {P}} (X) \!$ - это powerset из $X {\ displaystyle X}$ $X$ .

Ранг множество S - наименьшее α такое, что $S ⊆ V α. {\ Displaystyle S \ substeq V _ {\ alpha} \,.}$ $S \ substeq V _ {\ alpha} \,.$ Другой способ вычисления ранга:

ранг ⁡ (S) = ⋃ {ранг ⁡ (z) + 1 ∣ z ∈ S } {\ displaystyle \ operatorname {rank} (S) = \ bigcup \ {\ operatorname {rank} (z) +1 \ mid z \ in S \}}

{\ displaystyle \ operatorname {rank} (S) = \ bigcup \ {\ operatorname {rank} (z) +1 \ mid z \ in S \}}

Конечная и низкая мощности ступеней иерархии

Первые пять стадий фон Неймана от V 0 до V 4 могут быть визуализированы следующим образом. (Пустое поле представляет собой пустой набор. Поле, содержащее только пустое поле, представляет набор, содержащий только пустой набор, и так далее.)

Набор V 5 содержит 2 = 65536 элементов. Набор V 6 содержит 2 элемента, что очень существенно превышает количество атомов в известной вселенной. Таким образом, конечные этапы кумулятивной иерархии не могут быть записаны явно после этапа 5. Множество V ω имеет ту же мощность, что и ω. Множество V ω + 1 имеет ту же мощность, что и множество действительных чисел.

Приложения и интерпретации

Приложения V в качестве моделей для теорий множеств

Если ω - это набор натуральных чисел, тогда V ω - это множество, которое является моделью теории множеств без аксиомы бесконечности.

Vω + ω - вселенная "обычного математика », и является моделью теории множеств Цермело. Простым аргументом в пользу адекватности V ω + ω является наблюдение, что V ω + 1 подходит для целых чисел, а V ω + 2 подходит для действительных чисел, и большая часть другой нормальной математики может быть построена как отношения различных видов из этих множеств без необходимости использования аксиомы замены для выхода за пределы V ω + ω.

Если κ является недоступным кардиналом, тогда V κ является моделью самой теории множеств Цермело – Френкеля (ZFC), и V κ + 1 является моделью теории множеств Морса – Келли. (Обратите внимание, что каждая модель ZFC также является моделью ZF, и каждая модель ZF также является моделью Z.)

Интерпретация V как «набор всех наборов»

V не является « набор всех наборов "по двум причинам. Во-первых, это не набор; хотя каждая отдельная ступень V α представляет собой набор, их объединение V является надлежащим классом. Во-вторых, множества в V - это только хорошо обоснованные множества. Аксиома основания (или регулярности) требует, чтобы каждый набор был хорошо обоснован и, следовательно, в V, и, таким образом, в ZFC каждый набор находится в V. Но другие системы аксиом могут опустить аксиому основания или заменить ее на сильное отрицание (пример - аксиома против основания Акцеля ). Эти необоснованные теории множеств обычно не используются, но их все еще можно изучать.

Третье возражение против интерпретации «множества всех множеств» состоит в том, что не все множества обязательно являются «чистыми множествами», которые построены из пустого множества с использованием множеств степеней и объединений. Цермело предложил в 1908 году включение урэлементов, из которых он построил трансфинитную рекурсивную иерархию в 1930 году. Такие урэлементы широко используются в теории моделей, особенно в моделях Френкеля-Мостовски <122.>

V и аксиома регулярности

Формула V = ⋃ αVαчасто считается теоремой, а не определением. Ройтман утверждает (без ссылок), что осознание того, что аксиома регулярности эквивалентна равенству множества ZF кумулятивной иерархии, принадлежит фон Нейману.

Экзистенциальный статус of V

Поскольку класс V можно рассматривать как арену для большей части математики, важно установить, что он «существует» в некотором смысле. Поскольку существование - сложная концепция, обычно вопрос о существовании заменяется вопросом о согласованности, то есть о том, свободна ли концепция от противоречий. Основным препятствием является теоремы Гёделя о неполноте, которые фактически подразумевают невозможность доказательства непротиворечивости теории множеств ZF в самой теории множеств ZF при условии, что она действительно непротиворечива.

Целостность вселенной фон Неймана в основном зависит от целостности порядковых чисел, которые действуют как параметр ранга в конструкции, и целостности трансфинитной индукции, с помощью которой как порядковые числа и Вселенная фон Неймана построены. Можно сказать, что целостность построения порядкового числа опирается на работы фон Неймана 1923 и 1928 годов. Можно сказать, что целостность конструкции V с помощью трансфинитной индукции была затем установлена в статье Цермело 1930 года.

История

Иерархия кумулятивных типов, также известная как вселенная фон Неймана, является по утверждениям Грегори Х. Мура (1982), неточно приписан фон Нейману. Первая публикация вселенной фон Неймана была сделана Эрнстом Цермело в 1930 году.

Существование и уникальность общего трансфинитного рекурсивного определения множеств было продемонстрировано в 1928 году фон Нейманом для обоих Цермело-Френкель. теория множеств и собственная теория множеств Неймана (которая позже превратилась в теорию множеств NBG ). Ни в одной из этих работ он не применил свой трансфинитный рекурсивный метод для построения вселенной всех множеств. Обе презентации вселенной фон Неймана Бернейсом и Мендельсоном отдают должное фон Нейману за метод построения трансфинитной индукции, хотя и не за его применение к построению вселенной обычных множеств.

Обозначение V не является данью имени фон Неймана. Он был использован Пеано для обозначения вселенной множеств в 1889 году, буква V означала «Verum», которую он использовал как логический символ, так и для обозначения класса всех индивидов. Обозначение Пеано V было принято Уайтхедом и Расселом для класса всех множеств в 1910 году. Обозначение V (для класса всех множеств) не использовалось фон Нейманом в его работах 1920-х годов об порядковых числах и трансфинитной индукции. Пол Коэн явно приписывает свое использование буквы V (для класса всех множеств) работе Гёделя 1940 года, хотя Гёдель, скорее всего, получил обозначения из более ранних источников, таких как Уайтхед и Рассел.

Философские перспективы

Существует два подхода к пониманию взаимосвязи вселенной V фон Неймана с ZFC (наряду со многими вариациями каждого подхода и оттенками между ними). Грубо говоря, формалисты склонны рассматривать V как нечто вытекающее из аксиом ZFC (например, ZFC доказывает, что каждое множество находится в V). С другой стороны, реалисты с большей вероятностью будут рассматривать иерархию фон Неймана как нечто непосредственно доступное для интуиции, а аксиомы ZFC как предложения, истинность которых в V мы можем дать прямые интуитивные аргументы на естественном языке. Возможная средняя позиция состоит в том, что ментальная картина иерархии фон Неймана дает аксиомам ZFC мотивацию (так что они не являются произвольными), но не обязательно описывает объекты, существующие в реальности.

См. Также

Примечания

Ссылки

Бернейс, Пол (1991) [1958]. Аксиоматическая теория множеств. Dover Publications. ISBN 0-486-66637-9. CS1 maint: ref = harv (ссылка )
Коэн, Пол Джозеф (2008) [1966 ]. Теория множеств и гипотеза континуума. Mineola, New York: Dover Publications. ISBN 978-0-486-46921-8. CS1 maint: ref = harv ( ссылка )
Гёдель, Курт (1931). «Uber формальные unentscheidbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme, I». Monatshefte für Mathematik und Physik. 38 : 173–198. CS1 maint: ref = harv (link )
Gödel, Kurt (1940). Согласованность аксиомы выбора и обобщенной гипотезы континуума с аксиомами теории множеств. Анналы Математические исследования. 3 . Princeton, NJ: Princeton University Press. CS1 maint: ref = harv (link )
Howard, Paul; Rubin, Jean E. (1998). Последствия аксиомы выбора. Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество. Стр. 175–221. ISBN 9780821809778. CS1 maint: ref = harv (ссылка )
Джеч, Томас (2003). Теория множеств: издание третьего тысячелетия, переработанное и расширенное. Springer. ISBN 3-540-44085-2. CS1 maint: ref = harv (ссылка )
Кунен, Кеннет (1980). Теория множеств: введение в доказательства независимости. Elsevier. ISBN 0-444-86839-9. CS1 maint: ref = harv (ссылка )
Манин, Юрий И. (2010) [1977]. Курс математической логики для математиков. Тексты для выпускников по математике. 53 . Перевод Koblitz, N. (2-е изд.). Нью-Йорк: Springer-Verlag. Стр. 89–96. doi : 10.1007 / 978-1-4419-0615-1. ISBN 978-144-190-6144. CS1 maint: ref = harv (ссылка )
Mendelson, Elliott (1964). Введение в математическую логику. Ван Ностранд Рейнхольд. CS1 maint: ref = harv (ссылка )
Мириманов, Дмитрий (1917). «Антиномии Рассела и Бурали-Форти и проблема фундаментальной теории ансамблей». L'Enseignement Mathématique. 19 : 37–52. CS1 maint: ref = harv (link )
Moore, Gregory H (2013) [1982]. Аксиома Цермело c hoice: Истоки, развитие и влияние. Dover Publications. ISBN 978-0-486-48841-7. CS1 maint: ref = harv (ссылка )
Пеано, Джузеппе (1889). Принципы арифметики: nova methoddo exposita. Fratres Bocca. CS1 maint: ref = harv (link )
Roitman, Judith (2011) [1990]. Введение в Modern Set Теория. Университет Содружества Вирджинии. ISBN 978-0-9824062-4-3. CS1 maint: ref = harv (link )
Рубин, Жан Э. (1967). Теория множеств для математика. Сан-Франциско: Холден-Дэй. ASIN B0006BQH7S. CS1 maint : ref = harv (ссылка )
Smullyan, Raymond M. ; Fitting, Melvin (2010) [пересмотренное и исправленное переиздание работы, первоначально опубликованной в 1996 году Oxford University Press, Нью-Йорк]. Теория множеств и проблема континуума. Довер. ISBN 978-0-486-47484-7. CS1 maint: ref = harv (link )
фон Нейман, Джон (1923). "Zur Einführung der transfiniten Zahlen". Acta litt. Acad. Sc. Szeged X. 1 : 199–208. CS1 maint: ref = harv (ссылка ). Английский перевод: ван Хейеноорт, Жан (1967), «О введении трансфинитных чисел», От Фреге до Гёделя: Справочник по математической логике, 1879-1931, Harvard University Press, стр. 346–354 CS1 maint: несколько имен: список авторов (ссылка )
фон Нейман, Джон (1928a). «Die Axiomatisierung der Mengenlehre». Mathematische Zeitschrift. 27: 669–752. doi : 10.1007 / bf01171122. CS1 maint: ref = harv (ссылка )
фон Нейман, Джон (1928b). "Über die Definition durch transfinite Induktion und verwandte Fragen der allgemeinen Mengenlehre". Mathematische Annalen. 99 : 373–391. doi : 10.1007 / bf01459102. CS1 maint: ref = harv (ссылка )
Уайтхед, Альфред Норт ; Рассел, Бертран (2009) [1910]. Principia Mathematica. Volume One. Merchant Books. ISBN 978-1-60386-182-3. CS1 maint: ref = harv (link )
Zermelo, Ernst (1930). Über Grenzzahlen und Mengenbereiche: Neue Untersuchungen über die Grundlagen der Mengenlehre ". Fundamenta Mathematicae. 16 : 29–47. CS1 maint: ref = harv (ссылка )