Решение уравнений

редактировать
Поиск значений переменных, которые делают уравнение истинным x = - b ± b 2 - 4 ac 2 a {\ displaystyle {\ overset {} {\ underset {} {x = {\ frac {-b \ pm {\ sqrt {b ^ {2} -4ac}}} {2a}}}}}{\ displaystyle {\ overset {} {\ underse t {} {х = {\ гидроразрыв {-b \ pm {\ sqrt {b ^ {2} -4ac}}} {2a}}}}} квадратная формула, символическое решение квадратного уравнения ax + bx + c = 0 Пример использования метода Ньютона – Рафсона для численного решения уравнения f ( x) = 0

В математике для решения уравнения нужно найти его решения, которые являются значениями (числа, функции, задают и т. Д.), Которые удовлетворяют условию, заданному уравнением , состоящим, как правило, из двух выражений, связанных с помощью равно знаку. При поиске решения одна или несколько переменных обозначаются как неизвестные. Решение - это присвоение значений неизвестным переменным, которое делает равенство в уравнении истинным. Другими словами, решение представляет собой значение или набор значений (по одному для каждого неизвестного), так что, когда заменяет на неизвестные, уравнение становится равенством. Решение уравнения часто называют корнем уравнения, в частности, но не только для полиномиальных уравнений. Набор всех решений уравнения - это его набор решений.

Уравнение может быть решено численно или символически. Численное решение уравнения означает, что в качестве решений принимаются только числа. Символьное решение уравнения означает, что выражения могут использоваться для представления решений.

Например, уравнение x + y = 2x - 1 решается относительно неизвестного x с помощью выражения x = y + 1, потому что замена y + 1 вместо x в уравнении приводит к (y + 1) + y = 2 (y + 1) - 1, истинное утверждение. Также можно принять переменную y как неизвестную, и тогда уравнение решается следующим образом: y = x - 1. Или x и y можно рассматривать как неизвестные, и тогда есть много решений уравнения; символическое решение: (x, y) = (a + 1, a), где переменная a может принимать любое значение. Создание символьного решения с конкретными числами всегда дает числовое решение; например, a = 0 дает (x, y) = (1, 0) (то есть x = 1, y = 0), а a = 1 дает (x, y) = (2, 1).

Различие между известными переменными и неизвестными переменными обычно проводится в формулировке задачи с помощью таких фраз, как «уравнение для x и y» или «решить для x и y», которые указывают на неизвестные, здесь x и y. Однако обычно зарезервированы x, y, z,... для обозначения неизвестных и используются a, b, c,... для обозначения известных переменных, которые часто называют параметрами. Обычно это имеет место при рассмотрении полиномиальных уравнений, таких как квадратных уравнений. Однако для некоторых проблем все переменные могут принимать на себя любую роль.

В зависимости от контекста решение уравнения может состоять в поиске любого решения (достаточно найти одно решение), всех решений или решения, которое удовлетворяет дополнительным свойствам, таким как принадлежность к заданному интервал. Когда задача состоит в том, чтобы найти решение, которое является наилучшим по какому-либо критерию, это задача оптимизации . Решение проблемы оптимизации обычно не называют «решением уравнения», поскольку, как правило, методы решения начинаются с конкретного решения для поиска лучшего решения и повторения процесса до нахождения в конечном итоге лучшего решения.

Содержание

  • 1 Обзор
  • 2 Наборы решений
  • 3 Методы решения
    • 3.1 Грубая сила, проб и ошибок, вдохновенное предположение
    • 3.2 Элементарная алгебра
    • 3.3 Системы линейных уравнений
    • 3.4 Полиномиальные уравнения
    • 3.5 Диофантовы уравнения
    • 3.6 Обратные функции
    • 3.7 Факторизация
    • 3.8 Численные методы
    • 3.9 Матричные уравнения
    • 3.10 Дифференциальные уравнения
  • 4 См. Также
  • 5 Ссылки

Обзор

Одна общая форма уравнения:

f (x 1,…, xn) = c, {\ displaystyle f \ left (x_ {1}, \ dots, x_ { n} \ right) = c,}{\ displaystyle f \ left (x_ {1}, \ dots, x_ {n} \ right) = c,}

где f - это функция , x 1,..., x n - неизвестные, и c - постоянная величина. Его решениями являются элементы прообраза

f - 1 (c) = {(a 1,…, an) ∈ D ∣ f (a 1,…, an) = c}, {\ displaystyle f ^ {- 1} (c) = {\ bigl \ {} (a_ {1}, \ dots, a_ {n}) \ in D \ mid f \ left (a_ {1}, \ dots, a_ {n } \ right) = c {\ bigr \}},}{\ displaystyle f ^ {- 1 } (c) = {\ bigl \ {} (a_ {1}, \ dots, a_ {n}) \ in D \ mid f \ left (a_ {1}, \ dots, a_ {n} \ right) = c {\ bigr \}},}

где D - область функции f. Множество решений может быть пустым множеством (нет решений), синглетоном (есть ровно одно решение), конечным или бесконечным (существует бесконечно много решений).

Например, уравнение

3 x + 2 y = 21 z, {\ displaystyle 3x + 2y = 21z,}{\ displaystyle 3x + 2y = 21z,}

с неизвестными x, y и z, может быть помещено в форму выше, вычитая 21z из обеих частей уравнения, чтобы получить

3 x + 2 y - 21 z = 0 {\ displaystyle 3x + 2y-21z = 0}{\ displaystyle 3x + 2y-21z = 0}

В этом конкретном случае не просто одно решение, но бесконечный набор решений, которые можно записать, используя обозначение конструктора множеств ,

{(x, y, z) ∣ 3 x + 2 y - 21 z = 0}. {\ displaystyle {\ bigl \ {} (x, y, z) \ mid 3x + 2y-21z = 0 {\ bigr \}}.}{\ displaystyle {\ bigl \ {} (x, y, z) \ mid 3x + 2y-21z = 0 {\ bigr \}}.}

Одно из конкретных решений: x = 0, y = 0, z = 0. Два других решения: x = 3, y = 6, z = 1 и x = 8, y = 9, z = 2. В трехмерном пространстве существует единственная плоскость ., который проходит через три точки с этими координатами, и эта плоскость представляет собой набор всех точек, координаты которых являются решениями уравнения.

Наборы решений

Набор решений уравнения x / 4 + y = 1 образует эллипс при интерпретации как набор пар декартовых координат.

Набор решений данного набора уравнений или неравенств - это набор всех его решений, решение представляет собой кортеж значений, по одному для каждого неизвестно, удовлетворяющее всем уравнениям или неравенствам. Если набор решений пуст, то нет значений неизвестных, которые удовлетворяют одновременно всем уравнениям и неравенствам.

В качестве простого примера рассмотрим уравнение

x 2 = 2. {\ displaystyle x ^ {2} = 2.}{\ displaystyle x ^ {2} = 2.}

Это уравнение можно рассматривать как диофантово уравнение, то есть уравнение, для которого ищутся только целочисленные решения. В этом случае набором решений является пустой набор, поскольку 2 не является квадратом целого числа. Однако, если искать действительные решения, есть два решения, √2 и –√2; другими словами, набор решений равен {√2, −√2}.

Когда уравнение содержит несколько неизвестных, и когда одно имеет несколько уравнений с большим количеством неизвестных, чем уравнения, набор решений часто бесконечен. В этом случае невозможно перечислить решения. Для их представления часто бывает полезна параметризация , которая заключается в выражении решений в терминах некоторых неизвестных или вспомогательных переменных. Это всегда возможно, когда все уравнения являются линейными.

Такие бесконечные наборы решений могут естественно интерпретироваться как геометрические формы, такие как линии, кривые ( см. рисунок), плоскости и в более общем плане алгебраические многообразия или многообразия. В частности, алгебраическая геометрия может рассматриваться как изучение наборов решений алгебраических уравнений.

Методы решения

Способы решения уравнений обычно зависят от типа уравнения, как вид выражений в уравнении, так и вид значений, которые могут принимать неизвестные. Разнообразие типов уравнений велико, равно как и соответствующих методов. Ниже упомянуты только несколько конкретных типов.

В общем, для данного класса уравнений может не быть известного систематического метода (алгоритм ), который гарантированно работал бы. Это может быть связано с недостатком математических знаний; некоторые проблемы были решены только после столетий усилий. Но это также отражает то, что в общем случае такой метод не может существовать: некоторые проблемы, как известно, неразрешимы с помощью алгоритма, например, десятая проблема Гильберта, которая оказалась неразрешимой в 1970 году..

Для нескольких классов уравнений были найдены алгоритмы их решения, некоторые из которых были реализованы и включены в системы компьютерной алгебры, но часто не требуют более сложной технологии, чем карандаш и бумага. В некоторых других случаях известны эвристические методы , которые часто бывают успешными, но не гарантируют успеха.

Грубая сила, метод проб и ошибок, вдохновленное предположение

Если набор решений уравнения ограничен конечным набором (как в случае уравнений в модульной арифметике, например), или может быть ограничено конечным числом возможностей (как в случае с некоторыми диофантовыми уравнениями ), набор решений можно найти с помощью грубой силы, то есть, проверяя каждое из возможных значений (возможные решения ). Однако может случиться так, что количество возможных вариантов, которые следует рассмотреть, хотя и ограничено, настолько велико, что исчерпывающий поиск практически невозможен; Фактически это требование для надежных методов шифрования.

Как и во всех видах решения проблем, метод проб и ошибок иногда может привести к решению, в частности, когда форма уравнения или его сходство с другим уравнением с известным решением может привести к "вдохновенному предположению" о решении. Если предположение при проверке не может быть решением, рассмотрение того, каким образом оно не удается, может привести к измененному предположению.

Элементарная алгебра

Уравнения, включающие линейные или простые рациональные функции одного действительного неизвестного, например x, например,

8 x + 7 = 4 x + 35 или 4 x + 9 3 Икс + 4 = 2, {\ Displaystyle 8x + 7 = 4x + 35 \ quad {\ text {или}} \ quad {\ frac {4x + 9} {3x + 4}} = 2 \,,}8x + 7 = 4x + 35 \ quad {\ text {или}} \ quad {\ frac {4x + 9} {3x + 4}} = 2 \,,

могут быть решены с использованием методов элементарной алгебры.

Системы линейных уравнений

Меньшие системы линейных уравнений могут быть решены аналогичным образом методами элементарной алгебры. Для решения более крупных систем используются алгоритмы, основанные на линейной алгебре.

Полиномиальные уравнения

Полиномиальные уравнения степени до четырех, которые могут быть решены точно с использованием алгебраических методов, из которых квадратичный формула - самый простой пример. Для полиномиальных уравнений со степенью пять или выше требуются общие численные методы (см. Ниже) или специальные функции, такие как радикалы переноса, хотя некоторые конкретные случаи могут быть решены алгебраически, например

4 x 5 - x 3 - 3 = 0 {\ displaystyle 4x ^ {5} -x ^ {3} -3 = 0}{ \ displaystyle 4x ^ {5} -x ^ {3} -3 = 0}

(с использованием теоремы о рациональном корне ) и

x 6 - 5 x 3 + 6 = 0, {\ displaystyle x ^ {6} -5x ^ {3} + 6 = 0 \,,}{\ displaystyle x ^ {6} -5x ^ {3} + 6 = 0 \,, }

(с помощью замены x = z, которая упрощает это до квадратное уравнение от z).

Диофантовы уравнения

В диофантовых уравнениях решения должны быть целыми числами. В некоторых случаях может использоваться метод грубой силы, как упоминалось выше. В некоторых других случаях, в частности, если уравнение относится к одной неизвестной, можно решить уравнение для рациональных -значных неизвестных (см. Теорема о рациональном корне ), а затем найти решения к диофантову уравнению, ограничивая множество решений целочисленными решениями. Например, полиномиальное уравнение

2 x 5 - 5 x 4 - x 3 - 7 x 2 + 2 x + 3 = 0 {\ displaystyle 2x ^ {5} -5x ^ {4} -x ^ {3} -7x ^ {2} + 2x + 3 = 0 \,}2x ^ {5} -5x ^ {4} -x ^ {3} -7x ^ {2} + 2x + 3 = 0 \,

имеет рациональные решения x = −1/2 и x = 3, и поэтому, рассматриваемое как диофантово уравнение, оно имеет единственное решение x = 3.

В целом, однако, диофантовы уравнения относятся к числу наиболее сложных для решения.

Обратные функции

В простом случае функции одной переменной, скажем, h (x), мы можем решить уравнение вида h (x) = c для некоторой константы c рассматривая так называемую обратную функцию h.

Для функции h: A → B обратная функция, обозначенная h и определенная как h: B → A, является такой функцией, что

h - 1 (h (x)) = h ( ч - 1 (х)) = х. {\ displaystyle h ^ {- 1} {\ bigl (} h (x) {\ bigr)} = h {\ bigl (} h ^ {- 1} (x) {\ bigr)} = x \,.}{\ displaystyle h ^ {- 1} {\ bigl (} h (x) {\ bigr)} = h {\ bigl (} h ^ {- 1} (x) {\ bigr)} = x \,.}

Теперь, если мы применим обратную функцию к обеим сторонам h (x) = c, где c - постоянное значение в B, мы получим

h - 1 (h (x)) = h - 1 ( в) Икс знак равно час - 1 (с) {\ Displaystyle {\ begin {align} h ^ {- 1} {\ bigl (} h (x) {\ bigr)} = h ^ {- 1} (с) \\ x = h ^ {- 1} (c) \\\ end {align}}}{\ displaystyle {\ begin {align} h ^ {- 1} {\ bigl (} h (x) {\ bigr)} = h ^ {- 1} (c) \\ x = h ^ {-1} (c) \\\ конец {выровнено}}}

и мы нашли решение уравнения. Однако, в зависимости от функции, может быть сложно определить обратную функцию, или она может не быть функцией для всего набора B (только для некоторого подмножества) и иметь много значений в какой-то момент.

Если подойдет только одно решение вместо полного набора решений, на самом деле достаточно, если только функциональная идентичность

h (h - 1 (x)) = x {\ displaystyle h \ left ( h ^ {- 1} (x) \ right) = x}{\ displaystyle h \ left (h ^ {- 1} (x) \ right) = x}

выполняется. Например, проекция π1: R→ R, определяемая как π 1 (x, y) = x, не имеет пост-инверсии, но имеет предварительно инверсную π. 1, определенную как π. 1(х) = (х, 0). Действительно, уравнение π 1 (x, y) = c решается следующим образом:

(x, y) = π 1 - 1 (c) = (c, 0). {\ displaystyle (x, y) = \ pi _ {1} ^ {- 1} (c) = (c, 0).}{\ displaystyle (x, y) = \ pi _ {1} ^ {- 1} (c) = (c, 0).}

Примеры обратных функций включают корень n-й степени (обратный x); логарифм (обратный a); обратные тригонометрические функции ; и W-функция Ламберта (обратная xe).

Факторизация

Если выражение в левой части уравнения P = 0 может быть разложено на множители как P = QR, набор решений исходного решения состоит из объединение наборов решений двух уравнений Q = 0 и R = 0. Например, уравнение

tan ⁡ x + cot ⁡ x = 2 {\ displaystyle \ tan x + \ cot x = 2}\ tan x + \ cot x = 2

может можно переписать, используя тождество tan x cot x = 1 как

tan 2 ⁡ x - 2 tan ⁡ x + 1 tan ⁡ x = 0, {\ displaystyle {\ frac {\ tan ^ {2} x-2 \ tan x + 1} {\ tan x}} = 0,}{\ frac {\ tan ^ {2} x-2 \ tan x + 1} {\ tan x}} = 0,

который может быть разложен на

(tan ⁡ x - 1) 2 tan ⁡ x = 0. {\ displaystyle {\ frac {\ left ( \ tan x-1 \ right) ^ {2}} {\ tan x}} = 0.}{\ displaystyle {\ frac {\ left (\ tan x-1 \ right) ^ {2}} {\ tan x}} = 0.}

Таким образом, решения являются решениями уравнения tan x = 1 и, таким образом, являются множеством

x = π 4 + k π, k = 0, ± 1, ± 2,…. {\ displaystyle x = {\ tfrac {\ pi} {4}} + k \ pi, \ quad k = 0, \ pm 1, \ pm 2, \ ldots.}{\ displaystyle x = {\ tfrac { \ pi} {4}} + k \ pi, \ quad k = 0, \ pm 1, \ pm 2, \ ldots.}

Численные методы

С более сложными уравнениями в вещественных или комплексных числах простые методы решения уравнений могут не работать. Часто алгоритмы поиска корней, такие как метод Ньютона – Рафсона, можно использовать для поиска численного решения уравнения, которого для некоторых приложений может быть вполне достаточно для решения некоторой проблемы..

Матричные уравнения

Уравнения, включающие матрицы и векторы из действительных чисел, часто можно решить с помощью методов из линейная алгебра.

Дифференциальные уравнения

Существует огромное количество методов для решения различных видов дифференциальных уравнений, как численно, и аналитически. Конкретный класс проблем, который можно рассматривать как принадлежащий к данной области, - это интегрирование, а аналитические методы для решения такого рода проблем теперь называются символическим интегрированием. Решения дифференциальных уравнений могут быть неявными или явными.

См. Также

Ссылки

Последняя правка сделана 2021-05-19 12:38:22
Содержание доступно по лицензии CC BY-SA 3.0 (если не указано иное).
Обратная связь: support@alphapedia.ru
Соглашение
О проекте