Решение геодезических уравнений

редактировать

Решение геодезических уравнений - это процедура, используемая в математике, особенно римановой геометрии, и в физике, особенно в общая теория относительности, что приводит к получению геодезических. Физически они представляют собой пути (обычно идеальных) частиц без собственного ускорения, их движение удовлетворяет геодезическим уравнениям. Поскольку частицы не подвергаются надлежащему ускорению, геодезические обычно представляют собой самый прямой путь между двумя точками в искривленном пространстве-времени.

Содержание

1 Геодезическое уравнение
2 Эвристика
3 Эффективные потенциалы
4 Методы решения
5 См. Также
6 Ссылки

Геодезическое уравнение

На n-мерном римановом многообразии $M {\ displaystyle M}$ $M$ , геодезическое уравнение, записанное в координатной карте с координатами $xa {\ displaystyle x ^ {a}}$ $x ^ {a}$ , имеет вид:

d 2 xads 2 + Γ bcadxbdsdxcds = 0 {\ displaystyle {\ frac {d ^ {2} x ^ {a}} {ds ^ {2}}} + \ Gamma _ {bc} ^ {a} {\ frac {dx ^ { b}} {ds}} {\ frac {dx ^ {c}} {ds}} = 0}

{\ frac {d ^ {2 } x ^ {a}} {ds ^ {2}}} + \ Gamma _ {{bc}} ^ {{a}} {\ frac {dx ^ {b}} {ds}} {\ frac {dx ^ {c}} {ds}} = 0

где координаты x (s) рассматриваются как координаты кривой γ ( s) в $M {\ displaystyle M}$ $M$ и $Γ bca {\ displaystyle \ Gamma _ {bc} ^ {a}}$ $\ Gamma _ {{bc}} ^ {{a}}$ являются Christoffel символы. Символы Кристоффеля являются функциями метрики и задаются следующим образом:

Γ bca = 1 2 gad (gcd, b + gbd, c - gbc, d) {\ displaystyle \ Gamma _ {bc} ^ {a} = {\ frac {1} {2}} g ^ {ad} \ left (g_ {cd, b} + g_ {bd, c} -g_ {bc, d} \ right)}

\ Gamma _ {{bc}} ^ {a} = { \ frac {1} {2}} g ^ {{ad}} \ left (g _ {{cd, b}} + g _ {{bd, c}} - g _ {{bc, d}} \ right)

где запятая означает частную производную по координатам:

gab, c = ∂ gab ∂ xc {\ displaystyle g_ {ab, c} = {\ frac {\ partial {g_ {ab) }}} {\ partial {x ^ {c}}}}}

g _ {{ab, c}} = {\ frac {\ partial {g _ {{ab}}}}} {\ partial {x ^ {c}} }}

Поскольку многообразие имеет размерность $n {\ displaystyle n}$ $n$ , геодезические уравнения представляют собой систему $n {\ displaystyle n}$ $n$ обыкновенные дифференциальные уравнения для координатных переменных $n {\ displaystyle n}$ $n$ . Таким образом, в сочетании с начальными условиями, система может быть решена в соответствии с теоремой Пикара – Линделёфа. Можно также использовать лагранжев подход к проблеме: определение

L = g μ ν dx μ dsdx ν ds {\ displaystyle L = {\ sqrt {g _ {\ mu \ nu} {\ frac {dx ^ {\ mu }} {ds}} {\ frac {dx ^ {\ nu}} {ds}}}}}

{\ displaystyle L = {\ sqrt {g _ {\ mu \ nu} {\ frac {dx ^ {\ mu}} {ds}} {\ frac {dx ^ {\ nu}} {ds}}}}}

и применяя уравнение Эйлера – Лагранжа.

Эвристика

В качестве законы физики можно записать в любой системе координат, удобно выбрать ту, которая упрощает уравнения геодезических. Математически это означает, что выбрана координатная карта , в которой уравнения геодезических имеют особенно удобную форму.

Эффективные потенциалы

Когда геодезические уравнения можно разделить на члены, содержащие только недифференцированную переменную, и члены, содержащие только ее производную, первые могут быть объединены в эффективный потенциал зависит только от должности. В этом случае применимы многие из эвристических методов анализа, в частности определение точек поворота.

Методы решения

Решение уравнений геодезических означает получение точного решения, возможно даже общего решения уравнений геодезических. В большинстве атак тайно используется точечная группа симметрии системы уравнений геодезических. Это часто дает результат, дающий неявно семейство решений, но во многих примерах действительно дает общее решение в явном виде.

В общей теории относительности для получения временных геодезических часто проще всего начать с пространственно-временной метрики после деления на $ds 2 {\ displaystyle ds ^ {2}}$ $ds ^ {2}$ для получения формы

- 1 = g μ ν x ˙ μ x ˙ ν {\ displaystyle -1 = g _ {\ mu \ nu} {\ dot {x}} ^ {\ mu} {\ dot {x}} ^ {\ nu}}

{\ displaystyle -1 = g _ {\ mu \ nu} {\ dot {x}} ^ {\ mu} {\ dot {x}} ^ {\ nu}}

, где точка представляет дифференциацию относительно $s {\ displaystyle s}$ $s$ . Поскольку времениподобные геодезические максимальны, можно применить уравнение Эйлера – Лагранжа напрямую, и таким образом получить набор уравнений, эквивалентных уравнениям геодезических. Преимущество этого метода заключается в том, что он позволяет обойтись без утомительного вычисления символов Кристоффеля.

См. Также

Ссылки