Войти
В математике конечное топологическое пространство является топологическим пространством , для которого базовый набор точек является конечным. То есть это топологическое пространство, у которого есть только конечное число точек.
Хотя топология в основном разрабатывалась для бесконечных пространств, конечные топологические пространства часто используются для предоставления примеров интересных явлений или контрпримеров к правдоподобным предположениям. Уильям Терстон назвал изучение конечных топологий в этом смысле «странной темой, которая может дать хорошее понимание множества вопросов».
A топология на множестве X определяется как подмножество P (X), степень множество X, которое включает в себя как ∅, так и X, и замкнуто относительно конечных пересечений и произвольных объединений.
Поскольку набор степеней конечного множества конечен, может быть только конечное число открытые множества (и только конечное число закрытых тс ). Следовательно, достаточно проверить, что объединение конечного числа открытых множеств открыто. Это приводит к более простому описанию топологий на конечном множестве.
Пусть X - конечное множество. Топология на X - это подмножество τ в P (X) такое, что
Таким образом, топология на конечном множестве есть не что иное, как подрешетка в (P (X), ⊂), которая включает оба нижних элемента (∅) и верхний элемент (X).
Каждая конечная ограниченная решетка является полной, поскольку пересечение или соединение любого семейства элементов всегда может быть сокращено до пересечения или соединения два элемента. Отсюда следует, что в конечном топологическом пространстве объединение или пересечение произвольного семейства открытых множеств (соответственно замкнутых множеств) открыто (соответственно замкнуто).
Топологии на конечном множестве X находятся во взаимно-однозначном соответствии с предварительными заказами на X. Напомним, что предварительный заказ на X - это бинарное отношение на X, которое является рефлексивным и транзитивным.
. Учитывая (не обязательно конечное) топологическое пространство X, мы можем определить предварительный порядок на X с помощью>x ≤ y тогда и только тогда, когда x ∈ cl {y}
, где cl {y} обозначает закрытие одноэлементного набора {y}. Этот предзаказ называется предзаказом специализации на X. Каждое открытое множество U в X будет верхним множеством относительно ≤ (т.е. если x ∈ U и x ≤ y, то y ∈ U). Теперь, если X конечно, верно и обратное: каждое верхнее множество открыто в X. Итак, для конечных пространств топология на X однозначно определяется значением ≤.
Если пойти в другом направлении, предположим, что (X, ≤) - это предварительно упорядоченный набор. Определим топологию τ на X, взяв открытые множества как верхние множества относительно ≤. Тогда отношение ≤ будет предпорядком специализации (X, τ). Определенная таким образом топология называется топологией Александрова, определяемой ≤.
Эквивалентность предпорядков и конечных топологий можно интерпретировать как версию теоремы Биркгофа о представлении, эквивалентность конечных дистрибутивных решеток (решетки открытых множеств топологии) и частичных порядков ( частичный порядок классов эквивалентности предпорядка). Это соответствие также работает для более широкого класса пространств, называемых конечно порожденными пространствами. Конечно порожденные пространства можно охарактеризовать как пространства, в которых открыто произвольное пересечение открытых множеств. Конечные топологические пространства - это особый класс конечно порожденных пространств.
На пустом наборе ∅ существует уникальная топология. Единственный открытый набор - пустой. В самом деле, это единственное подмножество ∅.
Аналогично, существует уникальная топология на наборе одиночных элементов {a}. Здесь открытыми множествами являются ∅ и {a}. Эта топология является и дискретным, и тривиальным, хотя в некотором смысле лучше думать о ней как о дискретном пространстве, поскольку она имеет больше свойств с семейством конечных дискретных пространств.
Для любого топологического пространства X существует единственная непрерывная функция от ∅ до X, а именно пустая функция. Также существует уникальная непрерывная функция от X до одноэлементного пространства {a}, а именно постоянная функция от до a. На языке теории категорий пустое пространство служит начальным объектом в категории топологических пространств, тогда как одноэлементное пространство служит конечным объектом..
Пусть X = {a, b} будет набором из 2 элементов. На X есть четыре различных топологии:
Вторая и третья топологии выше легко видеть, что оно гомеоморфно. Функция из X в себя, которая меняет местами a и b, является гомеоморфизмом. Топологическое пространство, гомеоморфное одному из них, называется пространством Серпинского., на самом деле, существует только три неэквивалентных топологии на двухточечном множестве: тривиальная, дискретная и топология Серпинского.
Предварительный порядок специализации на пространстве Серпинского {a, b} с { b} open определяется выражением: a ≤ a, b ≤ b и a ≤ b.
Пусть X = {a, b, c} будет набором с 3 элементами. На X 29 различных топологий, но только 9 неэквивалентных топологий:
Последние 5 из них все T0. Первая из них тривиальна, в то время как в 2, 3 и 4 точки a и b топологически неразличимы.
Пусть X = {a, b, c, d} будет набор из 4 элементов. На X имеется 355 различных топологий, но только 33 неэквивалентных топологии:
Последние 16 из них - все T0.
Каждое конечное топологическое пространство компактный, поскольку любая открытая крышка уже должна быть конечной. В самом деле, компактные пространства часто рассматриваются как обобщение конечных пространств, поскольку они обладают многими схожими свойствами.
Каждое конечное топологическое пространство также счетно (существует только конечное число открытых множеств) и отделимо (поскольку само пространство счетно ).
Если конечным топологическим пространством является T1 (в частности, если это Хаусдорф ), то оно фактически должно быть дискретным. Это потому, что дополнение точки является конечным объединением замкнутых точек и, следовательно, замкнутым. Отсюда следует, что каждая точка должна быть открытой.
Следовательно, любое недискретное конечное топологическое пространство не может быть T 1, хаусдорфовым или чем-то более сильным.
Однако недискретное конечное пространство может быть T0. В общем, две точки x и y топологически неразличимы тогда и только тогда, когда x ≤ y и y ≤ x, где ≤ - предпорядок специализации на X. Отсюда следует, что пространство X - это T 0 тогда и только тогда, когда предварительный заказ специализации ≤ на X является частичным порядком. На конечном множестве существует множество частичных порядков. Каждый определяет уникальную топологию T 0.
Аналогично, пробел равен R0 тогда и только тогда, когда предварительный порядок специализации является отношением эквивалентности. Для любого отношения эквивалентности на конечном множестве X соответствующая топология - это топология разбиения на X. Классы эквивалентности будут классами топологически неразличимых точек. Поскольку топология разбиения является псевдометризуемой, конечное пространство является R 0 тогда и только тогда, когда оно полностью регулярное.
Недискретные конечные пространства также могут быть нормальный. Топология исключенных точек на любом конечном множестве представляет собой полностью нормальное T0пространство, которое не является дискретным.
Связность в конечном пространстве X лучше всего понять, рассматривая предпорядок специализации ≤ на X. Мы можем связать с любым предварительно упорядоченным множеством X ориентированный граф Γ с помощью беря точки X как вершины и рисуя ребро x → y всякий раз, когда x ≤ y. Связность конечного пространства X можно понять, рассматривая связность ассоциированного графа Γ.
В любом топологическом пространстве, если x ≤ y, то существует путь от x до y. Можно просто взять f (0) = x и f (t) = y для t>0. Несложно проверить, что f непрерывна. Отсюда следует, что компоненты пути конечного топологического пространства - это в точности (слабо) компоненты связности ассоциированного графа Γ. То есть существует топологический путь от x до y тогда и только тогда, когда существует неориентированный путь между соответствующими вершинами Γ.
Каждое конечное пространство локально линейно связно, поскольку множество
- это линейно связная открытая окрестность точки x, которая содержится в любой другой окрестности. Другими словами, этот единственный набор образует локальную базу в x.
Следовательно, конечное пространство связано тогда и только тогда, когда оно связано по путям. Связанные компоненты - это в точности компоненты пути. Каждый такой компонент является как закрытым, так и открытым в X.
Конечные пространства могут иметь более сильные свойства связности. Конечное пространство X
Например, конкретная точечная топология на конечном пространстве гиперсвязна, а исключенная точечная топология сверхсвязна. Пространство Серпинского - это то и другое.
Конечное топологическое пространство псевдометризуемо тогда и только тогда, когда оно R0. В этом случае один из возможных псевдометрических задается как
где x ≡ y означает, что x и y топологически неразличимы. Конечное топологическое пространство метризуемо тогда и только тогда, когда оно дискретно.
Подобным образом топологическое пространство является униформизируемым тогда и только тогда, когда оно равно R 0. Равномерная структура будет псевдометрической однородностью, вызванной вышеуказанной псевдометрикой.
Возможно, удивительно, что существуют конечные топологические пространства с нетривиальными фундаментальными группами. Простым примером является псевдокружность , которая представляет собой пространство X с четырьмя точками, две из которых открыты, а две - замкнуты. Существует непрерывное отображение единичной окружности S в X, которое является слабой гомотопической эквивалентностью (т.е. оно индуцирует изоморфизм гомотопических групп ). Отсюда следует, что фундаментальная группа псевдокружности бесконечная циклическая.
В более общем плане было показано, что для любого конечного абстрактного симплициального комплекса K существует конечное топологическое пространство X K и слабая гомотопическая эквивалентность f: | K | → X K, где | K | является геометрической реализацией группы K. Отсюда следует, что гомотопические группы | K | и X K изоморфны. Фактически, базовый набор X K может быть взят как сам K, с топологией, связанной с частичным порядком включения.
Как обсуждалось выше, топологии на конечном множестве находятся во взаимно однозначном соответствии с предварительными порядками на множестве и T0топологии находятся во взаимно однозначном соответствии с частичными порядками. Следовательно, количество топологий на конечном множестве равно количеству предварительных заказов, а количество топологий T 0 равно количеству частичных порядков.
В таблице ниже указано количество различных (T 0) топологий в наборе из n элементов. В нем также указано количество неэквивалентных (т.е. негомеоморфных ) топологий.
| n | Различить. топологий | Различить. T0топологий | Неэквивалентные. топологии | Неэквивалентные. T0топологии |
|---|---|---|---|---|
| 0 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| 2 | 4 | 3 | 3 | 2 |
| 3 | 29 | 19 | 9 | 5 |
| 4 | 355 | 219 | 33 | 16 |
| 5 | 6942 | 4231 | 139 | 63 |
| 6 | 209527 | 130023 | 718 | 318 |
| 7 | 9535241 | 6129859 | 4535 | 2045 |
| 8 | 642779354 | 431723379 | 35979 | 16999 |
| 9 | 63260289423 | 44511042511 | 363083 | 183231 |
| 10 | 8977053873043 | 6611065248783 | 4717687 | 2567284 |
| OEIS | A000798 | A001035 | A001930 | A000112 |
Пусть T (n) обозначает количество различных топологий на множестве из n точек. Нет известной простой формулы для вычисления T (n) для произвольного n. Онлайн-энциклопедия целочисленных последовательностей в настоящее время перечисляет T (n) для n ≤ 18.
Количество различных топологий T 0 на множестве из n точек, обозначенное T 0 (n), связано с T (n) по формуле
где S (n, k) обозначает число Стирлинга второй тип.
