Пробел Колмогорова

В топологии и родственных разделах математики, топологическое пространство X - это T0пространство или пространство Колмогорова (назван в честь Андрея Колмогорова ), если для каждой пары различных точек X хотя бы одна из них имеет окрестность, не содержащую другую. В пространстве T 0 все точки топологически различимы.

Это условие, называемое T0условием, является самым слабым из аксиом разделения. Почти все топологические пространства, обычно изучаемые в математике, являются пространствами T 0. В частности, все T1пространства, то есть все пространства, в которых для каждой пары различных точек каждая имеет окрестность, не содержащую другой, являются T 0 пространствами. Сюда входят все T2(или хаусдорфовы) пространства, т. Е. Все топологические пространства, в которых разные точки имеют непересекающиеся окрестности. В другом направлении каждое трезвое пространство (которое может не быть T 1) равно T 0 ; это включает базовое топологическое пространство любой схемы . Для любого топологического пространства можно построить пространство T 0, идентифицируя топологически неразличимые точки.

T0пробелы, которые не являются T 1 пробелами - это именно те пробелы, для которых предзаказ специализации является нетривиальным частичным порядком. Такие пространства естественным образом встречаются в информатике, в частности в денотационной семантике.

• 1 Определение
• 2 Примеры и контрпримеры
  • 2.1 Пространства, не являющиеся T 0
  • 2.2 Пробелы, которые являются T 0, но не T 1
• 3 Работа с T 0 пробелами
• 4 Фактор Колмогорова
• 5 Удаление T 0
• 6 См. Также

A T0пространство - это топологическое пространство, в котором каждая пара различных точек топологически различима. То есть для любых двух разных точек x и y существует открытое множество, которое содержит одну из этих точек, а не другую.

Обратите внимание, что топологически различимые точки автоматически различимы. С другой стороны, если одноэлементные наборы {x} и {y} разделены , то точки x и y должны быть топологически различимы. То есть

разделенный ⇒ топологически различимый ⇒ отличный

Свойство быть топологически различимым, как правило, сильнее, чем быть отличным, но слабее, чем быть разделенным. В пространстве T 0 вторая стрелка вверху меняет направление; точки различны тогда и только тогда, когда они различимы. Вот как аксиома T 0 согласуется с остальными аксиомами разделения.

Почти все топологические пространства, обычно изучаемые в математике, имеют T 0. В частности, все пробелы Хаусдорфа (T 2), T1пробелы и трезвые пробелы являются T 0.

пробелами, которые не являются T 0

• A набором с более чем одним элементом, с тривиальной топологией . Точки не различимы.
• Множество R, где открытые множества являются декартовым произведением открытого множества в R и самого R, т.е. топология продукта из R с обычной топологией и R с тривиальной топологией; точки (a, b) и (a, c) не различимы.
• Пространство всех измеримых функций f от вещественной линии Rдо комплексная плоскость Cтакая, что интеграл Лебега функции | f (x) | по всей действительной строке конечный. Две функции, которые равны почти всюду, неразличимы. См. Также ниже.

Пространства, которые являются T 0, но не T 1

• Топология Зариски на Spec (R), простой спектр коммутативное кольцо R всегда равно T 0, но обычно не T 1. Незамкнутые точки соответствуют простым идеалам, которые не являются максимальными. Они важны для понимания схем .
• конкретной точечной топологией на любом наборе с как минимум двумя элементами является T 0, но не T 1 поскольку конкретная точка не замкнута (ее закрытие - это все пространство). Важным частным случаем является пространство Серпинского, которое является топологией конкретной точки на множестве {0,1}.
• Топология исключенных точек на любом множестве с at минимум два элемента - это T 0, но не T 1. Единственная закрытая точка - это исключенная точка.
• Топология Александрова на частично упорядоченном множестве равна T 0, но не будет T 1, если порядок не дискретный (соответствует равенству). Каждое конечное пространство T 0 относится к этому типу. Это также включает в себя топологии конкретной точки и исключенных точек как особые случаи.
• Топология правильного порядка на полностью упорядоченном множестве является связанным примером.
• Топология интервала перекрытия аналогична топологии конкретной точки, поскольку каждый открытый набор включает 0.
• В общем, топологическое пространство X будет T 0, если и только если предварительный заказ специализации на X является частичным заказом. Однако X будет T 1 тогда и только тогда, когда порядок дискретен (т.е. соответствует равенству). Таким образом, пробелом будет T 0, но не T 1 тогда и только тогда, когда предварительный заказ специализации на X является недискретным частичным порядком.

Работа с T 0 пробелы

Обычно изучаемые примеры топологического пространства: T 0. Действительно, когда математики во многих областях, в частности, в анализе, естественным образом сталкиваются с пробелами, отличными от T 0, они обычно заменяют их пробелами T 0. будет описано ниже. Чтобы мотивировать задействованные идеи, рассмотрим хорошо известный пример. Пространство L(R) должно быть пространством всех измеримых функций f от вещественной прямой Rдо комплексной плоскости Cтаких, что интеграл Лебега из | f (x) | по всей действительной строке конечный. Это пространство должно стать нормированным векторным пространством путем определения нормы || f || быть квадратным корнем из этого интеграла. Проблема в том, что это на самом деле не норма, а только полунорма, потому что есть функции, отличные от нулевой функции, чьи (полу) нормы равны нулю. Стандартным решением является определение L (R ) как набора классов эквивалентности функций вместо набора функций напрямую. Это строит фактор-пространство исходного полунормированного векторного пространства, и это фактор-пространство является нормированным векторным пространством. Он наследует несколько удобных свойств от полунормированного пространства; увидеть ниже.

Как правило, при работе с фиксированной топологией T на множестве X полезно, если эта топология имеет вид T 0. С другой стороны, когда X фиксирован, но T может изменяться в определенных границах, заставить T быть T 0 может быть неудобно, поскольку не -T 0 топологии часто являются важными частными случаями. Таким образом, может быть важно понимать как T 0, так и не-T 0 версии различных условий, которые могут быть помещены в топологическое пространство.

Фактор Колмогорова

Топологическая неразличимость точек - это отношение эквивалентности. Независимо от того, каким топологическим пространством X могло бы быть вначале, фактор-пространство при этом отношении эквивалентности всегда T 0. Это фактор-пространство называется факторпространством Колмогорова пространства X, которое мы будем обозначать KQ (X). Конечно, если X было T 0 для начала, тогда KQ (X) и X естественно гомеоморфны. Категорически пространства Колмогорова являются рефлексивной подкатегорией топологических пространств, а фактор Колмогорова является рефлектором.

Топологические пространства X и Y эквивалентны по Колмогорову, когда их колмогоровские факторы гомеоморфны. Эта эквивалентность сохраняет многие свойства топологических пространств; то есть, если X и Y эквивалентны по Колмогорову, то X обладает таким свойством тогда и только тогда, когда Y имеет. С другой стороны, большинство других свойств топологических пространств подразумевают T 0 -носпособность; то есть, если X имеет такое свойство, то X должен быть T 0. Только несколько свойств, например недискретное пространство, являются исключениями из этого практического правила. Более того, многие структуры, определенные в топологических пространствах, могут передаваться между X и KQ (X). В результате, если у вас есть топологическое пространство не-T 0 с определенной структурой или свойством, то вы обычно можете сформировать пространство T 0 с теми же структурами и свойствами, частное по Колмогорову.

В примере L (R ) показаны эти функции. С точки зрения топологии полунормированное векторное пространство, с которого мы начали, имеет много дополнительной структуры; например, это векторное пространство , у него есть полунорма, и они определяют псевдометрическую и однородную структуру, которые совместимы с топологией. Также есть несколько свойств этих структур; например, полунорма удовлетворяет тождеству параллелограмма , а единообразная структура является полной. Пространство не является T 0, поскольку любые две функции в L (R ), которые равны почти всюду, неотличимы с этой топологией. Когда мы формируем частное Колмогорова, фактическое L (R ), эти структуры и свойства сохраняются. Таким образом, L (R ) также является полным полунормированным векторным пространством, удовлетворяющим тождеству параллелограмма. Но на самом деле мы получаем немного больше, поскольку теперь пространство равно T 0. Полунорма является нормой тогда и только тогда, когда основная топология T 0, поэтому L (R ) на самом деле является полным нормированным векторным пространством, удовлетворяющим тождеству параллелограмма, иначе известному как Гильбертово пространство. И это гильбертово пространство, которое математики (и физики в квантовой механике ) обычно хотят изучать. Обратите внимание, что обозначение L (R ) обычно обозначает фактор Колмогорова, набор классов эквивалентности квадратично интегрируемых функций, которые различаются на множествах нулевой меры, а не просто векторное пространство квадратично интегрируемые функции, которые предполагаются в обозначениях.

Удаление T 0

Хотя нормы исторически определялись первыми, люди также придумали определение полунормы, которое является своего рода не-T 0 версией нормы. В общем, можно определить не-T 0 версии как свойств, так и структур топологических пространств. Сначала рассмотрим свойство топологических пространств, например, Хаусдорф. Затем можно определить другое свойство топологических пространств, определив пространство X таким, чтобы оно удовлетворяло этому свойству тогда и только тогда, когда фактор Колмогорова KQ (X) хаусдорфов. Это разумное, хотя и менее известное свойство; в этом случае такое пространство X называется предрегулярным. (Оказывается, существует даже более прямое определение предрегулярности). Теперь рассмотрим структуру, которую можно разместить в топологическом пространстве, например, метрику . Мы можем определить новую структуру на топологических пространствах, позволив в качестве примера структуры на X быть просто метрикой на KQ (X). Это разумная структура на X; это псевдометрический. (Опять же, есть более прямое определение псевдометрии.)

Таким образом, есть естественный способ удалить T 0 -ость из требований к свойству или структуре. Обычно легче изучать пространства, которые имеют T 0, но также может быть легче позволить структурам, которые не T 0 получить более полную картину. Требование T 0 может быть добавлено или удалено произвольно, используя концепцию частного Колмогорова.

См. Также

• Sober space