Войти
В логике (особенно в ее приложениях к математике и философии ), контрпример является исключением из предложенного общего правила или закона и часто появляется как пример, опровергающий универсальное утверждение. Например, утверждение «все студенты ленивы» - это универсальное утверждение, которое утверждает, что определенное свойство (лень) сохраняется для всех студентов. Таким образом, любой ученик, который не ленив (например, трудолюбив), будет контрпримером к этому утверждению. Контрпример, следовательно, является частным случаем ложности универсальной количественной оценки (утверждение "для всех").
В математике также используется термин "контрпример" (с небольшим злоупотребление), чтобы сослаться на примеры, которые иллюстрируют необходимость полной гипотезы теоремы. Чаще всего это делается, рассматривая случай, когда часть гипотезы не выполняется и вывод теоремы не выполняется.
В математике контрпримеры часто используются для доказательства границы возможных теорем. Используя контрпримеры, чтобы показать, что некоторые предположения ложны, исследователи-математики могут избежать тупика и научиться изменять гипотезы, чтобы получить доказуемые теоремы. Иногда говорят, что математическое развитие состоит прежде всего в поиске (и доказательстве) теорем и контрпримеров.
Предположим, математик изучает геометрию и формирует, и она хочет доказать некоторые теоремы о них. Она предполагает, что «Все прямоугольники являются квадратами », и ее интересует, истинно это утверждение или нет.
В этом случае она может либо попытаться доказать истинность утверждения, используя дедуктивное рассуждение, либо она может попытаться найти контрпример утверждению, если она подозревает, что это ложь. В последнем случае контрпримером может быть прямоугольник, который не является квадратом, например прямоугольник с двумя сторонами длиной 5 и двумя сторонами длиной 7. Однако, несмотря на то, что она нашла прямоугольники, которые не были квадратами, все прямоугольники она сделала У находки было четыре стороны. Затем она выдвигает новую гипотезу «Все прямоугольники имеют четыре стороны». Это логически слабее, чем ее первоначальная гипотеза, поскольку каждый квадрат имеет четыре стороны, но не каждая четырехгранная форма является квадратом.
В приведенном выше примере упрощенно объясняется, как математик может ослабить свою гипотезу перед лицом контрпримеров, но контрпримеры также могут быть использованы для демонстрации необходимости определенных предположений и гипотезы. Например, предположим, что через некоторое время вышеупомянутый математик остановился на новой гипотезе «Все формы, которые являются прямоугольниками и имеют четыре стороны равной длины, являются квадратами». Эта гипотеза состоит из двух частей: форма должна быть «прямоугольником» и иметь «четыре стороны равной длины». Затем математик хотел бы знать, может ли она удалить любое из предположений и при этом сохранить истинность своего предположения. Это означает, что ей необходимо проверить истинность следующих двух утверждений:
Контрпример к (1) уже был приведен выше, а контрпример к (2) - неквадратный ромб. Таким образом, математик теперь знает, что оба допущения действительно были необходимы.
Контрпример к утверждению «все простые числа являются нечетными числами » - это число 2, так как это простое число число, но не нечетное. Ни одно из чисел 7 или 10 не является контрпримером, поскольку ни одно из них не может противоречить утверждению. В этом примере 2 фактически является единственным возможным контрпримером к утверждению, хотя одного этого достаточно, чтобы противоречить утверждению. Аналогичным образом, утверждение «Все натуральные числа либо простые, либо составные » содержит число 1 в качестве контрпримера, поскольку 1 не является ни простым, ни составным..
Гипотеза Эйлера о сумме сил была опровергнута контрпримером. В нем утверждалось, что для суммирования еще n степеней необходимо по крайней мере n n степеней. Это предположение было опровергнуто в 1966 году контрпримером с n = 5; Теперь известны другие n = 5 контрпримеров, а также несколько контрпримеров n = 4.
Контрпример Витсенхаузена показывает, что не всегда верно (для задач управления ), что квадратичный функция потерь и линейное уравнение эволюции переменной состояния подразумевают оптимальные законы управления, которые являются линейными.
Другие примеры включают опровержения гипотезы Зайферта, гипотезы Полиа, гипотезы четырнадцатой проблемы Гильберта, гипотезы Тейта и гипотеза Ганеи.
В философии контрпримеры обычно используются, чтобы доказать, что определенная философская позиция неверна, показывая, что это не так. применяются в определенных случаях. В качестве альтернативы, первый философ может изменить свое утверждение так, чтобы контрпример больше не применялся; это аналогично тому, как математик модифицирует гипотезу из-за контрпримера.
Например, в Платоне Горгиас, Калликл, пытаясь определить, что значит сказать, что некоторые люди «лучше» чем другие, утверждает, что те, кто сильнее, лучше.
Но Сократ отвечает, что из-за их численности класс простой черни сильнее, чем имущий класс дворян, даже несмотря на то, что массы prima facie худшего характера. Таким образом, Сократ предложил контрпример к утверждению Калликла, исследуя область, которую Калликл, возможно, не ожидал, - группы людей, а не отдельных лиц.
Калликл мог бы бросить вызов контрпримеру Сократа, утверждая, что, возможно, обычная чернь действительно лучше, чем дворяне, или что даже в своем большом количестве они все же не сильнее. Но если Калликл принимает контрпример, то он должен либо отозвать свое заявление, либо изменить его так, чтобы контрпример больше не применялся. Например, он может изменить свое утверждение, чтобы относиться только к отдельным лицам, требуя от него думать о простых людях как о совокупности людей, а не как о толпе.
Как это бывает, он изменяет свое утверждение, говоря «мудрее» вместо «сильнее», утверждая, что никакое численное превосходство не может сделать людей мудрее.
Цитаты, связанные с контрпримером в Wikiquote