Войти
В топологии пространство близости, также называемое пространством близости, является аксиоматизацией интуитивного понятия «близость», которое имеет отношение «множество к множеству», в отличие от более известной концепции «точка-множество», характеризующей топологические пространства.
Эта концепция была описана Фриджесом Риссом (1909), но в то время игнорировалась. Он был переоткрыт и аксиоматизирован В. А. Ефремович в 1934 году под названием бесконечно малое пространство, но не опубликовано до 1951. Тем временем А. Д. Уоллес (1941) обнаружил версию той же концепции под названием пространство разделения .
Определение. A пространство близости (X, δ ) - это множество X с отношением δмежду подмножествами X, удовлетворяющим следующим свойствам:
Для всех подмножеств A, B и C X
Близость без первой аксиомы называется квази-близостью (но тогда Аксиомы 2 и 4 должны быть сформулированы двусторонним образом).
Если A δ B, мы говорим, что A находится рядом с B или A и B являются проксимальными; в противном случае мы говорим A и B Мы говорим, что B проксимальная- или δ -окрестность A, записываем A «B, если и только если A и X − B разделены.
Основные свойства это отношение соседства множества, перечисленное ниже, обеспечивает альтернативную аксиоматическую характеристику пространств близости.
Для всех подмножеств A, B, C и D X
Пространство близости называется разделенным, если {x} δ {y} подразумевает x = y.
Карта близости или проксимальная карта - это карта, которая сохраняет близость, то есть при заданном f: (X, δ ) → (X *, δ *), если A δ B в X, затем f [A] δ * f [B] в X *. Эквивалентно, карта является проксимальной, если обратная карта сохраняет проксимальную окрестность. В тех же обозначениях это означает, что если C «* D выполняется в X *, то f [C]« f [D] выполняется в X.
Учитывая пространство близости, можно определить топологию, положив A ↦ {x: {x} δ A} быть оператором замыкания Куратовского. Если пространство близости разделено, результирующая топология будет Hausdorff. Карты близости будут непрерывными между индуцированными топологиями.
Результирующая топология всегда полностью регулярная. Это можно доказать, имитируя обычные доказательства леммы Урысона, используя последнее свойство проксимальных окрестностей для создания бесконечной возрастающей цепочки, используемой при доказательстве леммы.
Для компактного хаусдорфова пространства существует уникальная близость, соответствующая топология которой является данной топологией: A близка к B тогда и только тогда, когда их замыкания пересекаются. В более общем смысле, близости классифицируют компактификации полностью регулярного хаусдорфового пространства.
A равномерное пространство X индуцирует отношение близости, объявляя A близким к B тогда и только тогда, когда A × B имеет непустое пересечение с любым окружением. Равномерно непрерывные карты тогда будут проксимально непрерывными.
| journal =()