Войти
В теории категорий, ветке математики, топологии Гротендика - это структура в категории C, которая заставляет объекты C действовать как открытые наборы топологического пространства . Категория вместе с выбором топологии Гротендика называется сайтом. .
Топологии Гротендика аксиоматизируют понятие открытого покрытия. Используя понятие покрытия, обеспечиваемое топологией Гротендика, становится возможным определить пучки на категории и их когомологии. Впервые это было сделано в алгебраической геометрии и теории алгебраических чисел Александром Гротендиком для определения этальных когомологий схемы . С тех пор он использовался для определения других теорий когомологий, таких как ℓ-адические когомологии, плоские когомологии и кристаллические когомологии. Хотя топологии Гротендика чаще всего используются для определения теорий когомологий, они нашли и другие приложения, такие как Джон Тейт теории жесткой аналитической геометрии.
Есть естественный способ связывают сайт с обычным топологическим пространством, и теория Гротендика в общих чертах рассматривается как обобщение классической топологии. При скудных гипотезах о наборах точек, а именно о трезвости, это полностью верно - можно восстановить трезвое пространство из связанного с ним сайта. Однако простые примеры, такие как недискретное топологическое пространство, показывают, что не все топологические пространства могут быть выражены с использованием топологий Гротендика. И наоборот, есть топологии Гротендика, которые не происходят из топологических пространств.
Значение термина «топология Гротендика» изменилось. В Артине (1962) это означало то, что сейчас называется претопологией Гротендика, и некоторые авторы до сих пор используют это старое значение. Жиро (1964) изменил определение, чтобы использовать сита, а не крышки. В большинстве случаев это не имеет большого значения, поскольку каждая претопология Гротендика определяет уникальную топологию Гротендика, хотя совершенно разные претопологии могут давать одну и ту же топологию.
Знаменитые гипотезы Вейля Андре Вейля предполагают, что определенные свойства уравнений с интегральными коэффициентами следует понимать как геометрические свойства алгебраической разновидности, которую они определяют. Его гипотезы постулировали, что должна существовать теория когомологий алгебраических многообразий, которая дает теоретико-числовую информацию об их определяющих уравнениях. Эта теория когомологий была известна как «когомология Вейля», но, используя имеющиеся у него инструменты, Вейль не смог ее построить.
В начале 1960-х Александр Гротендик ввел этальные отображения в алгебраическую геометрию как алгебраические аналоги локальных аналитических изоморфизмов в аналитической геометрии. Он использовал этальные покрытия для определения алгебраического аналога фундаментальной группы топологического пространства. Вскоре Жан-Пьер Серр заметил, что некоторые свойства этальных покрытий имитируют свойства открытых погружений, и, следовательно, можно создавать конструкции, имитирующие когомологический функтор ЧАС. Гротендик увидел, что можно использовать идею Серра для определения теории когомологий, которая, как он подозревал, будет когомологиями Вейля. Чтобы определить эту теорию когомологий, Гротендику нужно было заменить обычное топологическое понятие открытого покрытия понятием, в котором вместо этого использовались бы этальные покрытия. Гротендик также видел, как абстрактно сформулировать определение покрытия; Отсюда и происходит определение топологии Гротендика.
Классическое определение связки начинается с топологического пространства X. Связка связывает информацию с открытыми наборами X. Эту информацию можно сформулировать абстрактно разрешив O (X) быть категорией, объектами которой являются открытые подмножества U в X, а морфизмы - отображения включения V → U открытых множеств U и V X. Мы будем называть такие отображения открытыми погружениями, как и в контексте схем. Тогда предпучок на X - это контравариантный функтор из O (X) в категорию множеств, а пучок - это предпучок, удовлетворяющий аксиоме склейки (сюда входит аксиома отделимости). Аксиома склейки сформулирована в терминах точечного покрытия, т. Е. 
В топологии Гротендика понятие набора открытых подмножеств U, стабильных относительно включения, заменяется понятием решета. Если c - любой заданный объект в C, то сито на c - это подфунктор функтора Hom (-, c); (это вложение Йонеды, примененное к c). В случае O (X) решето S на открытом множестве U выбирает набор открытых подмножеств U, устойчивых относительно включения. Точнее, предположим, что для любого открытого подмножества V в U, S (V) будет подмножеством Hom (V, U), которое имеет только один элемент, открытое погружение V → U. Тогда V будет считаться «выбранным» на S тогда и только тогда, когда S (V) непусто. Если W - подмножество V, то существует морфизм S (V) → S (W), заданный композицией с включением W → V. Если S (V) непусто, то S (W) не пусто. тоже непустой.
Если S - решето на X, а f: Y → X - морфизм, то левая композиция по f дает решето на Y, называемое откатом ofS вдоль f, обозначаемый fS. Он определяется как расслоенное произведение S × Hom (-, X) Hom (-, Y) вместе с его естественным вложением в Hom (-, Y). Более конкретно, для каждого объекта Z из C fS (Z) = {g: Z → Y | fg 
A Топология Гротендика J на категории C - это совокупность для каждого объекта c из C выделенных решет на c, обозначенных J (c) и называемых покрывающими сита гр. Этот выбор будет зависеть от определенных аксиом, изложенных ниже. Продолжая предыдущий пример, решето S на открытом множестве U в O (X) будет покрывающим решетом тогда и только тогда, когда объединение всех открытых множеств V, для которых S (V) непусто, равно U; другими словами, тогда и только тогда, когда S дает нам набор открытых множеств, которые покрывают U в классическом смысле.
Условия, которые мы накладываем на топологию Гротендика, следующие:
Аксиома замены базы соответствует идее, что если {U i } покрывает U, то {U i ∩ V} должен покрывать U ∩ V. Аксиома локального характера соответствует идее, что если {U i } покрывает U и {V ij}j
Фактически, эти аксиомы можно представить в другой форме, где их геометрический характер более очевиден, если предположить, что основная категория C содержит определенные расслоенные продукты. В этом случае вместо указания сит мы можем указать, что определенные коллекции карт с общим кодоменом должны покрывать их кодомен. Эти коллекции называются охватывающими семействами . Если набор всех покрывающих семейств удовлетворяет определенным аксиомам, то мы говорим, что они образуют претопологию Гротендика . Эти аксиомы следующие:
Для любой претопологии совокупность всех сит, которые содержат покрывающее семейство из претопологии, всегда является топологией Гротендика.
Для категорий с волокнистыми продуктами обратное. Учитывая набор стрелок {X α → X}, мы строим решето S, полагая S (Y) набор всех морфизмов Y → X, которые пропускаются через некоторую стрелку X α → X. Это называется решетом, порожденным {Xα→ X}. Теперь выберите топологию. Скажем, что {X α → X} является покрывающим семейством тогда и только тогда, когда порождаемое им решето является покрывающим решетом для данной топологии. Легко проверить, что это определяет претопологию.
(PT 3) иногда заменяется более слабой аксиомой:
(PT 3) подразумевает (PT 3 '), но не наоборот. Однако предположим, что у нас есть набор покрывающих семейств, который удовлетворяет (PT 0) - (PT 2) и (PT 3 '), но не (PT 3). Эти семейства порождают претопологию. Топология, порожденная исходным набором покрывающих семейств, тогда будет такой же, как топология, порожденная претопологией, потому что решето, порожденное изоморфизмом Y → X, есть Hom (-, X). Следовательно, если мы ограничим наше внимание топологиями, (PT 3) и (PT 3 ') эквивалентны.
Пусть C - категория, а J - топология Гротендика на C. Пара (C, J) называется сайтом .
A предпучком на категории - контравариантный функтор из C в категорию всех множеств. Обратите внимание, что для этого определения C не обязательно должен иметь топологию. Однако связка на сайте должна допускать склейку, как и связки в классической топологии. Следовательно, мы определяем пучок на сайте как предпучок F такой, что для всех объектов X и всех покрывающих решет S на X естественное отображение Hom (Hom (-, X), F) → Hom (S, F), индуцированная включением S в Hom (-, X), является биекцией. На полпути между предварительным пучком и пучком находится понятие разделенного предварительного пучка, где естественная карта, приведенная выше, требуется, чтобы быть только инъекцией, а не биекцией для всех сит S. A морфизм предпучков или пучков является естественным преобразованием функторов. Категория всех пучков на C - это topos, определенная сайтом (C, J).
Используя лемму Йонеды, можно показать, что предпучок в категории O (X) является пучком в топологии, определенной выше, тогда и только тогда, когда он является пучком в классический смысл.
Пучки на претопологии имеют особенно простое описание: для каждого семейства покрытий {X α → X} диаграмма
должен быть эквалайзером. Для разделенного предпучка первая стрелка должна быть инъективной.
Аналогичным образом можно определить предварительные пучки и пучки абелевых групп, колец, модулей и т. Д. Можно потребовать, чтобы предпучок F был контравариантным функтором для категории абелевых групп (или колец, или модулей и т. Д.), Или чтобы F был объектом абелевой группы (кольца, модуля и т. Д.) В категории всех контравариантные функторы из C в категорию множеств. Эти два определения эквивалентны.
Пусть C - любая категория. Чтобы определить дискретную топологию, мы объявляем все сита закрывающими. Если C имеет все расслоенные продукты, это эквивалентно объявлению всех семейств покрывающими. Чтобы определить недискретную топологию, также известную как грубая или хаотическая топология, мы объявляем покрывающими только сита вида Hom (-, X) сита. Недискретная топология порождается претопологией, которая имеет только изоморфизмы покрывающих семейств. Связка на нечетком участке - это то же самое, что и предпучка.
Пусть C - любая категория. Вложение Йонеды дает функтор Hom (-, X) для каждого объекта X из C . каноническая топология - это самая большая (лучшая) топология, такая, что каждый представимый предпучок, то есть предпучок формы Hom (-, X), является пучком. Накрывающее решето или покрывающее семейство для этого узла называется строго универсально эпиморфным, потому что оно состоит из катетов копредела конуса (на полной диаграмме областей его составляющих морфизмов), и эти копределы устойчивы относительно обратных движений вдоль морфизмов в С . Топология менее точная, чем каноническая, то есть, для которой каждое покрывающее решето строго универсально эпиморфно, называется субканонической . Субканонические сайты - это именно те сайты, для которых каждый предпучок вида Hom (-, X) является пучком. Большинство встречающихся на практике сайтов являются субканоническими.
Мы повторяем пример, с которого мы начали выше. Пусть X - топологическое пространство. Мы определили O (X) как категорию, объектами которой являются открытые множества X, а морфизмы - вложения открытых множеств. Обратите внимание, что для открытого множества U и сита S на U множество S (V) содержит либо ноль, либо один элемент для каждого открытого множества V. Покрывающие сита на объекте U из O (X) - это сита S, удовлетворяющие условию следующее условие:
Это понятие покрытия соответствует обычному понятию в топологии точечных множеств.
Эту топологию также можно естественным образом выразить как претопологию. Мы говорим, что семейство включений {V α
Пусть Spc будет категорией всех топологических пространств. Для любого семейства функций {u α : V α → X} мы говорим, что это сюръективное семейство или что морфизмы u α являются совместно сюръективными, если
Зафиксируем топологическое пространство X. Рассмотрим категорию запятых Spc / X топологических пространств с фиксированным непрерывным отображением в X. Топология на Spc индуцирует топологию на Spc / X. Покрывающие сита и покрывающие семейства почти одинаковы; единственное отличие состоит в том, что теперь все задействованные карты коммутируют с фиксированными отображениями в X. Это большой сайт, связанный с топологическим пространством X. Обратите внимание, что Spc - это большой сайт, связанный с пространством одной точки. Это место было впервые рассмотрено Жаном Жиро.
Пусть M - многообразие. M имеет категорию открытых множеств O (M), потому что это топологическое пространство, и оно получает топологию, как в приведенном выше примере. Для двух открытых множеств U и V из M расслоенное произведение U × M V - это открытое множество U ∩ V, которое все еще находится в O (M). Это означает, что топология на O (M) определяется претопологией, той же претопологией, что и раньше.
Пусть Mfd - категория всех многообразий и непрерывных отображений. (Или гладкие многообразия и гладкие отображения, или вещественно аналитические многообразия и аналитические отображения и т. Д.) Mfd является подкатегорией Spc, а открытые погружения непрерывны (или гладкие, или аналитические и т. Д.), Поэтому Mfd наследует топологию от Spc. Это позволяет нам построить большой узел многообразия M как узел Mfd / M. Мы также можем определить эту топологию, используя ту же предтопологию, которую мы использовали выше. Обратите внимание, что для удовлетворения (PT 0) нам нужно проверить, что для любого непрерывного отображения многообразий X → Y и любого открытого подмножества U в Y расслоенное произведение U × Y X находится в Mfd / M. Это просто утверждение, что прообраз открытого множества открыт. Обратите внимание, однако, что не все расслоенные продукты существуют в Mfd, потому что прообраз гладкого отображения при критическом значении не обязательно должен быть многообразием.
Категория схем, обозначенная Sch, имеет огромное количество полезных топологий. Для полного понимания некоторых вопросов может потребоваться проверка схемы с использованием нескольких различных топологий. Все эти топологии связаны с маленькими и большими сайтами. Большой сайт формируется путем взятия всей категории схем и их морфизмов вместе с покрывающими решетами, заданными топологией. Небольшой сайт над данной схемой формируется путем взятия только тех объектов и морфизмов, которые являются частью покрытия данной схемы.
Самая элементарная из них - топология Зарисского. Пусть X - схема. X имеет лежащее в основе топологическое пространство, и это топологическое пространство определяет топологию Гротендика. Топология Зарисского на Sch порождается претопологией, покрывающие семейства которой являются совместно сюръективными семействами теоретико-схемных открытых погружений. Покрывающие сита S для Zar характеризуются следующими двумя свойствами:
Несмотря на внешнее сходство, топология Zar не является ограничением топологии Spc! Это связано с тем, что существуют морфизмы схем, которые являются топологически открытыми погружениями, но не являются открытыми погружениями в теории схем. Например, пусть A будет не- редуцированным кольцом и пусть N будет его идеалом нильпотентов. Фактор-отображение A → A / N индуцирует отображение Spec A / N → Spec A, которое является тождеством на лежащих в основе топологических пространствах. Чтобы быть теоретико-схемным открытым погружением, оно должно также индуцировать изоморфизм на структурных пучках, чего это отображение не делает. По сути, эта карта представляет собой замкнутое погружение.
этальная топология лучше топологии Зарисского. Это была первая топология Гротендика, подвергшаяся тщательному изучению. Его покрывающие семейства являются совместно сюръективными семействами этальных морфизмов. Она тоньше топологии Нисневича, но ни тоньше, ни грубее, чем топологии cdh и l ′.
Существует две плоской топологии : топология fppf и топология fpqc. fppf означает fidèlement plate de présentation finie, и в этой топологии морфизм аффинных схем является накрывающим морфизмом, если он точно плоский, конечного представления и квазиконечный. fpqc расшифровывается как fidèlement plate et quasi-compacte, и в этой топологии морфизм аффинных схем является накрывающим морфизмом, если он точно плоский. В обеих категориях под семейством покрытий понимается семейство, которое является покрытием на открытых подмножествах Зарисского. В топологии fpqc любой строго плоский и квазикомпактный морфизм является покрытием. Эти топологии тесно связаны с спуском. Топология fpqc более тонкая, чем все топологии, упомянутые выше, и очень близка к канонической топологии.
Гротендик ввел кристаллические когомологии для изучения p-торсионной части когомологий характеристических p-многообразий. В кристаллической топологии, которая является основой этой теории, основная категория имеет объекты, заданные бесконечно малыми утолщениями вместе с структурами разделенной власти. Кристаллические сайты - это примеры сайтов без конечного объекта.
Между узлами существует два естественных типа функторов. Они задаются функторами, в определенном смысле совместимыми с топологией.
Если (C, J) и (D, K) - узлы и u: C → D - функтор, то u непрерывен, если для каждый пучок F на D относительно топологии K, предпучок Fu является пучком относительно топологии J. Непрерывные функторы индуцируют функторы между соответствующими топо, отправляя пучок F в Fu. Эти функторы называются переходом вперед . Если 
usдопускает левый сопряженный u называется откатом . Вам не нужно сохранять пределы, даже конечные пределы.
Таким же образом u отправляет решето на объекте X из C сито на объекте uX из D. Непрерывный функтор отправляет покрывающие сита на закрывающие сита. Если J - топология, определенная претопологией, и если u коммутирует с расслоенными произведениями, то u непрерывно тогда и только тогда, когда оно отправляет покрывающие сита на покрывающие сита и тогда и только тогда, когда оно отправляет покрывающие семейства в покрывающие семейства. В общем, для u недостаточно отправить закрывающие сита на закрывающие сита (см. SGA IV 3, пример 1.9.3).
Снова пусть (C, J) и (D, K) - узлы, а v: C → D - функтор. Если X - объект C, а R - решето на vX, то R можно вернуть в решето S следующим образом: морфизм f: Z → X находится в S тогда и только тогда, когда v (f): vZ → vX находится в R. Это определяет решето. v является коконепрерывным тогда и только тогда, когда для каждого объекта X из C и каждого покрывающего решета R из vX обратный вызов S из R является покрывающим решетом на X.
Композиция с v отправляет от предварительного пучка F на D до предварительного пучка Fv на C, но если v является коконепрерывным, это не должно отправлять пучки в пучки. Однако этот функтор в предпучковых категориях, обычно обозначаемый 
Непрерывный функтор u: C → D является морфизмом сайтов D → C (не C → D), если u сохраняет конечные пределы. В этом случае u и u s определяют геометрический морфизм тополей
Частный случай этого случается, когда непрерывный функтор допускает левый сопряженный. Предположим, что u: C → D и v: D → C - функторы с u, сопряженным справа к v. Тогда u непрерывен тогда и только тогда, когда v коконепрерывен, и когда это происходит, u естественным образом изоморфен v и u s естественно изоморфен v *. В частности, u - это морфизм сайтов.
