Пространство Коши

В общей топологии и анализ, пространство Коши является обобщением метрических пространств и равномерных пространств, для которых понятие сходимости Коши все еще делает смысл. Пространства Коши были введены Х. Х. Келлером в 1968 году в качестве аксиоматического инструмента, производного от идеи фильтра Коши, для изучения полноты в топологических пространствах. Категория пространств Коши и непрерывных отображений Коши является декартово замкнутой и содержит категорию пространств близости.

Пространство Коши - это множество X и набор C правильный фильтр в наборе мощности P (X) такой, что

1. для каждого x в X, ультрафильтр в x, U (x), в C.
2. если F находится в C, G - правильный фильтр, а F - подмножество G, то G находится в C.
3. если F и G находятся в C и каждый член F пересекает каждый член G, тогда F ∩ G находится в C.

Элемент C называется фильтром Коши и отображением f между пространствами Коши (X, C) и ( Y, D) является непрерывной функцией Коши, если $\uparrow \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; uparrow\}$f (C) ⊆ D; то есть изображение каждого фильтра Коши в X является базой фильтра Коши в Y.

• 1 Свойства и определения
• 2 Примеры
• 3 Категория пространств Коши
• 4 Ссылки

Любое пространство Коши также является a, где фильтр F сходится к x, если F ∩ U (x) является Коши. В частности, пространство Коши несет естественную топологию .

• Любое однородное пространство (отсюда любое метрическое пространство, топологическое векторное пространство, или топологическая группа ) - пространство Коши; см. определения в фильтр Коши.
• A решеточно-упорядоченная группа несет естественную структуру Коши.
• Любое направленное множество A может быть преобразовано в группу Коши. пробел, объявив фильтр F как фильтр Коши, если для любого элемента n из A, существует элемент U из F такой что U либо синглтон, либо подмножество хвоста {m | m ≥ n}. Тогда для любого другого пространства Коши X непрерывные функции Коши от A до X будут такими же, как сети Коши в X, индексируемые A. Если X полное, то такую ​​функцию можно продолжить до пополнения A, что можно записать как A ∪ {∞}; значение расширения на ∞ будет пределом сети. В случае, когда A - это набор {1, 2, 3,…} натуральных чисел (так что сеть Коши, индексированная A, совпадает с последовательностью Коши ), тогда A получает ту же структуру Коши, что и метрическое пространство {1, 1/2, 1/3,…}.

Естественное понятие морфизма между Пространства Коши - это пространство непрерывной по Коши функции, концепция, которая ранее была изучена для однородных пространств.

• Ева Лоуэн-Коулбандерс (1989). Функциональные классы непрерывных карт Коши. Деккер, Нью-Йорк, 1989.