Нечеткое множество

В математике, нечеткие множества ( так называемый неопределенные наборы) несколько, как наборы, чьи элементы имеют степени членства. Нечеткие множества были введены независимо Лотфи А. Заде и Дитером Клауа  [ де ] в 1965 году как расширение классического понятия множества. В то же время Салий (1965) определил более общий вид структуры, называемой L- соотношением, которую он изучал в абстрактном алгебраическом контексте. Нечеткие отношения, которые сейчас используются во всей нечеткой математике и имеют приложения в таких областях, как лингвистика ( De Cock, Bodenhofer amp; Kerre 2000), принятие решений ( Kuzmin 1982) и кластеризация ( Bezdek 1978), являются частными случаями L- отношений. когда L - единичный интервал [0, 1].

В классической теории множеств принадлежность элементов к набору оценивается в бинарных терминах в соответствии с двухвалентным условием - элемент либо принадлежит, либо не принадлежит набору. Напротив, теория нечетких множеств позволяет постепенно оценивать принадлежность элементов к множеству; это описывается с помощью функции принадлежности, имеющей значение в реальном единичном интервале [0, 1]. Нечеткие множества являются обобщением классических множеств, поскольку индикаторные функции (также известные как характеристические функции) классических множеств являются частными случаями функций принадлежности нечетких множеств, если последние принимают только значения 0 или 1. В теории нечетких множеств классические двухвалентные множества обычно называются хрустящие наборы. Теория нечетких множеств может использоваться в широком диапазоне областей, в которых информация является неполной или неточной, например в биоинформатике.

• 1 Определение
  • 1.1 Четкие множества, относящиеся к нечеткому множеству
  • 1.2 Другие определения
  • 1.3 Операции с нечеткими множествами
  • 1.4 Непересекающиеся нечеткие множества
  • 1.5 Скалярная мощность
  • 1.6 Расстояние и сходство
  • 1.7 L- нечеткие множества
  • 1.8 Нейтрософные нечеткие множества
  • 1.9 Пифагоровы нечеткие множества
• 2 Нечеткая логика
• 3 Нечеткое число и единственное число
• 4 нечеткие категории
• 5 Уравнение нечеткой связи
• 6 Энтропия
• 7 расширений
• 8 См. Также
• 9 ссылки
• 10 Библиография

Нечеткое множество - это пара, в которой - множество (часто требуется, чтобы оно было непустым ) и функция принадлежности. Опорный набор (иногда обозначается или) называется множество суждений, и для каждого значения называется класс членства в. Функция называется функцией принадлежности нечеткого множества. ${\ Displaystyle (U, м)}$${\ displaystyle U}$ ${\ Displaystyle м \ двоеточие U \ rightarrow [0,1]}$${\ displaystyle U}$${\ displaystyle \ Omega}$${\ displaystyle X}$${\ Displaystyle х \ в U,}$${\ Displaystyle м (х)}$${\ displaystyle x}$${\ Displaystyle (U, м)}$${\ displaystyle m = \ mu _ {A}}$${\ Displaystyle А = (U, м)}$

Для конечного множества нечеткое множество часто обозначается как${\ Displaystyle U = \ {x_ {1}, \ dots, x_ {n} \},}$${\ Displaystyle (U, м)}$${\ displaystyle \ {m (x_ {1}) / x_ {1}, \ dots, m (x_ {n}) / x_ {n} \}.}$

Пусть. Затем называется ${\ displaystyle x \ in U}$${\ displaystyle x}$

• не входит в нечеткое множество if (no member),${\ Displaystyle (U, м)}$${\ Displaystyle м (х) = 0}$
• полностью включен, если (полноправный член),${\ Displaystyle м (х) = 1}$
• частично включен if (нечеткий член).${\ Displaystyle 0 lt;м (х) lt;1}$

(Четкое) множество всех нечетких множеств во вселенной обозначается (или иногда просто). ${\ displaystyle U}$${\ Displaystyle SF (U)}$${\ Displaystyle F (U)}$

Четкие множества, относящиеся к нечеткому множеству

Для любого нечеткого множества и следующей определены четкие наборы: ${\ Displaystyle А = (U, м)}$${\ Displaystyle \ альфа \ в [0,1]}$

• ${\ Displaystyle A ^ {\ geq \ alpha} = A _ {\ alpha} = \ {x \ in U \ mid m (x) \ geq \ alpha \}}$называется его α-разрезом (он же α-уровень)
• ${\ Displaystyle A ^ {gt; \ alpha} = A '_ {\ alpha} = \ {x \ in U \ mid m (x)gt; \ alpha \}}$называется его сильным α-разрезом (также известным как сильное множество α-уровня)
• ${\ Displaystyle S (A) = \ OperatorName {Supp} (A) = A ^ {gt; 0} = \ {x \ in U \ mid m (x)gt; 0 \}}$называется его опорой
• ${\ Displaystyle C (A) = \ OperatorName {Core} (A) = A ^ {= 1} = \ {x \ in U \ mid m (x) = 1 \}}$называется его ядром (или иногда ядром).${\ displaystyle \ operatorname {Kern} (A)}$

Обратите внимание, что некоторые авторы понимают «ядро» иначе; см. ниже.

Другие определения

• Нечеткое множество является пустым () тогда и только тогда (если и только если)${\ Displaystyle А = (U, м)}$${\ displaystyle A = \ varnothing}$

${\ displaystyle \ forall}$ ${\ Displaystyle х \ в U: \ му _ {A} (х) = м (х) = 0}$

• Два нечетких множеств и являются равными () тогда и только тогда${\ displaystyle A}$${\ displaystyle B}$${\ displaystyle A = B}$

${\ Displaystyle \ forall x \ in U: \ mu _ {A} (x) = \ mu _ {B} (x)}$

• Нечеткое множество является включено в нечетком множестве () тогда и только тогда${\ displaystyle A}$${\ displaystyle B}$${\ displaystyle A \ substeq B}$

${\ displaystyle \ forall x \ in U: \ mu _ {A} (x) \ leq \ mu _ {B} (x)}$

• Для любого нечеткого множества любой элемент, удовлетворяющий${\ displaystyle A}$${\ displaystyle x \ in U}$

${\ displaystyle \ mu _ {A} (x) = 0,5}$

называется точкой пересечения.

• Для нечеткого множества любое, для которого не пусто, называется уровнем A.${\ displaystyle A}$${\ Displaystyle \ альфа \ в [0,1]}$${\ displaystyle A ^ {= \ alpha} = \ {x \ in U \ mid \ mu _ {A} (x) = \ alpha \}}$
• Набор уровней A - это набор всех уровней, представляющих отдельные разрезы. Это изображение из:${\ Displaystyle \ альфа \ в [0,1]}$ ${\ displaystyle \ mu _ {A}}$

${\ Displaystyle \ Lambda _ {A} = \ {\ alpha \ in [0,1]: A ^ {= \ alpha} \ neq \ varnothing \} = \ {\ alpha \ in [0,1]: {} }$ ${\ Displaystyle \ существует}$ ${\ displaystyle x \ in U (\ mu _ {A} (x) = \ alpha) \} = \ mu _ {A} (U)}$

• Для нечеткого множества его высота определяется выражением${\ displaystyle A}$

${\ Displaystyle \ OperatorName {Hgt} (A) = \ sup \ {\ mu _ {A} (x) \ mid x \ in U \} = \ sup (\ mu _ {A} (U))}$

где обозначает супремум, который существует, потому что не пуст и ограничен сверху числом 1. Если U конечно, мы можем просто заменить супремум на максимум.${\ displaystyle \ sup}$ ${\ displaystyle \ mu _ {A} (U)}$

• Нечеткое множество называется нормализованным тогда и только тогда, когда${\ displaystyle A}$

${\ displaystyle \ operatorname {Hgt} (A) = 1}$

В конечном случае, когда супремум максимален, это означает, что хотя бы один элемент нечеткого множества имеет полное членство. Непустое нечеткое множество может быть нормализовано с результатом делением функции принадлежности нечеткого множества на его высоту: ${\ displaystyle A}$${\ displaystyle {\ tilde {A}}}$

${\ displaystyle \ forall x \ in U: \ mu _ {\ tilde {A}} (x) = \ mu _ {A} (x) / \ operatorname {Hgt} (A)}$

Помимо сходства, это отличается от обычной нормализации тем, что нормализующая константа не является суммой.

• Для нечетких множеств действительных чисел ( U ⊆ ℝ) с ограниченным носителем ширина определяется как${\ displaystyle A}$

${\ displaystyle \ operatorname {Width} (A) = \ sup (\ operatorname {Supp} (A)) - \ inf (\ operatorname {Supp} (A))}$

В случае, когда это конечное множество или, в более общем смысле, замкнутое множество, ширина просто равна ${\ displaystyle \ operatorname {Supp} (A)}$

${\ displaystyle \ operatorname {Width} (A) = \ max (\ operatorname {Supp} (A)) - \ min (\ operatorname {Supp} (A))}$

В n -мерном случае ( U ⊆ ℝ ⁿ) указанное выше можно заменить n -мерным объемом.${\ displaystyle \ operatorname {Supp} (A)}$

В общем, это может быть определено с учетом любой меры на U, например, интегрированием (например, интегрированием Лебега ).${\ displaystyle \ operatorname {Supp} (A)}$

• Вещественное нечеткое множество ( U ⊆ ℝ) называется выпуклым (в нечетком смысле, не путать с четким выпуклым множеством ), если и только если${\ displaystyle A}$

${\ displaystyle \ forall x, y \ in U, \ forall \ lambda \ in [0,1]: \ mu _ {A} (\ lambda {x} + (1- \ lambda) y) \ geq \ min ( \ mu _ {A} (x), \ mu _ {A} (y))}$.

Без ограничения общности мы можем взять x ≤ y, что дает эквивалентную формулировку

${\ displaystyle \ forall z \ in [x, y]: \ mu _ {A} (z) \ geq \ min (\ mu _ {A} (x), \ mu _ {A} (y))}$.

Это определение может быть продлено на один для общего топологического пространства U: мы говорим, что нечеткое множество является выпуклым, если для любого подмножества Z в U, то условие ${\ displaystyle A}$

${\ displaystyle \ forall z \ in Z: \ mu _ {A} (z) \ geq \ inf (\ mu _ {A} (\ partial Z))}$

имеет место, где обозначает границу из Z и обозначает изображение из множества X (здесь) при некоторой функции F (здесь).${\ displaystyle \ partial Z}$ ${\ Displaystyle е (Х) = \ {е (х) \ середина х \ в Х \}}$ ${\ displaystyle \ partial Z}$${\ displaystyle \ mu _ {A}}$

Операции с нечеткими множествами

Основная статья: Операции с нечеткими множествами

Хотя дополнение нечеткого множества имеет единственное наиболее распространенное определение, другие основные операции, объединение и пересечение, действительно имеют некоторую двусмысленность.

• Для данного нечеткого множества его дополнение (иногда обозначаемое как или) определяется следующей функцией принадлежности:${\ displaystyle A}$ ${\ displaystyle \ neg {A}}$${\ displaystyle A ^ {c}}$${\ displaystyle cA}$

${\ displaystyle \ forall x \ in U: \ mu _ {\ neg {A}} (x) = 1- \ mu _ {A} (x)}$.

• Пусть t - t-норма, а s - соответствующая s-норма (также известная как t-конорма). Для пары нечетких множеств их пересечение определяется следующим образом:${\ displaystyle A, B}$ ${\ displaystyle A \ cap {B}}$

${\ Displaystyle \ forall x \ in U: \ mu _ {A \ cap {B}} (x) = t (\ mu _ {A} (x), \ mu _ {B} (x))}$,

и их объединение определяется: ${\ Displaystyle A \ чашка {B}}$

${\ Displaystyle \ forall x \ in U: \ mu _ {A \ cup {B}} (x) = s (\ mu _ {A} (x), \ mu _ {B} (x))}$.

По определению t-нормы мы видим, что объединение и пересечение коммутативны, монотонны, ассоциативны и имеют как нулевой, так и единичный элемент. Для пересечения это ∅ и U соответственно, а для объединения - наоборот. Однако объединение нечеткого множества и его дополнения может не привести к полному универсуму U, а их пересечение может не дать пустого множества ∅. Поскольку пересечение и объединение ассоциативны, естественно определить пересечение и объединение конечного семейства нечетких множеств рекурсивно.

• Если стандартный отрицатель заменен другим сильным отрицателем, разница нечетких множеств может быть обобщена следующим образом:${\ Displaystyle п (\ альфа) = 1- \ альфа, \ альфа \ в [0,1]}$

${\ displaystyle \ forall x \ in U: \ mu _ {\ neg {A}} (x) = n (\ mu _ {A} (x)).}$

• Тройка нечеткого пересечения, объединения и дополнения образует Триплет Де Моргана. То есть на эту тройку распространяются законы Де Моргана.

Примеры нечетких пар пересечений / объединений со стандартным отрицателем можно получить из примеров, приведенных в статье о t-нормах.

Нечеткое пересечение, вообще говоря, не идемпотентно, потому что стандартная t-норма min - единственная, которая обладает этим свойством. Действительно, если арифметическое умножение используется в качестве t-нормы, результирующая операция нечеткого пересечения не будет идемпотентной. То есть итеративное пересечение нечеткого множества с самим собой не является тривиальным. Вместо этого он определяет m -ю степень нечеткого множества, которое можно канонически обобщить для нецелочисленных показателей следующим образом:

• Для любого нечеткого множества и ν-я степень определяется функцией принадлежности:${\ displaystyle A}$${\ Displaystyle \ ню \ ин \ mathbb {R} ^ {+}}$${\ displaystyle A}$

${\ displaystyle \ forall x \ in U: \ mu _ {A ^ {\ nu}} (x) = \ mu _ {A} (x) ^ {\ nu}.}$

Случай экспоненты два достаточно особенный, чтобы дать ему имя.

• Для любого нечеткого множества концентрация определяется${\ displaystyle A}$ ${\ Displaystyle КОН (А) = А ^ {2}}$

${\ Displaystyle \ forall x \ in U: \ mu _ {CON (A)} (x) = \ mu _ {A ^ {2}} (x) = \ mu _ {A} (x) ^ {2}.}$

Взяв, у нас есть и${\ displaystyle 0 ^ {0} = 1}$${\ displaystyle A ^ {0} = U}$${\ displaystyle A ^ {1} = A.}$

• Для нечетких множеств различие нечетких множеств, также обозначаемое, может быть определено напрямую через функцию принадлежности:${\ displaystyle A, B}$ ${\ Displaystyle A \ setminus B}$${\ displaystyle AB}$

${\ displaystyle \ forall x \ in U: \ mu _ {A \ setminus {B}} (x) = t (\ mu _ {A} (x), n (\ mu _ {B} (x))),}$

что означает, например: ${\ Displaystyle A \ setminus B = A \ cap \ neg {B}}$

${\ displaystyle \ forall x \ in U: \ mu _ {A \ setminus {B}} (x) = \ min (\ mu _ {A} (x), 1- \ mu _ {B} (x)).}$

Другое предложение по разнице в наборах может быть следующим:

${\ displaystyle \ forall x \ in U: \ mu _ {A- {B}} (x) = \ mu _ {A} (x) -t (\ mu _ {A} (x), \ mu _ { B} (x)).}$

• Предложения о различиях симметричных нечетких множеств были сделаны Дюбуа и Прад (1980) либо путем взятия абсолютного значения, что дает

${\ Displaystyle \ forall x \ in U: \ mu _ {A \ треугольник B} (x) = | \ mu _ {A} (x) - \ mu _ {B} (x) |,}$

или используя комбинацию только max, min и стандартного отрицания, давая

${\ Displaystyle \ forall x \ in U: \ mu _ {A \ треугольник B} (x) = \ max (\ min (\ mu _ {A} (x), 1- \ mu _ {B} (x)), \ min (\ mu _ {B} (x), 1- \ mu _ {A} (x))).}$

Аксиомы для определения обобщенных симметричных разностей, аналогичные аксиомам для t-норм, t-конорм и отрицателей, были предложены Вемуром и др. (2014) с предшественниками Alsina et. al. (2005) и Bedregal et. al. (2009).

• В отличие от четких множеств, операции усреднения также могут быть определены для нечетких множеств.

Непересекающиеся нечеткие множества

В отличие от общей неоднозначности операций пересечения и объединения, существует ясность для непересекающихся нечетких множеств: два нечетких множества не пересекаются тогда и только тогда, когда ${\ displaystyle A, B}$

${\ displaystyle \ forall x \ in U: \ mu _ {A} (x) = 0 \ lor \ mu _ {B} (x) = 0}$

что эквивалентно

${\ displaystyle \ nexists}$ ${\ displaystyle x \ in U: \ mu _ {A} (x)gt; 0 \ land \ mu _ {B} (x)gt; 0}$

а также эквивалентен

${\ displaystyle \ forall x \ in U: \ min (\ mu _ {A} (x), \ mu _ {B} (x)) = 0}$

Мы помним, что min / max - это пара / s-norm, и любая другая пара здесь также будет работать.

Нечеткие множества не пересекаются тогда и только тогда, когда их носители не пересекаются согласно стандартному определению четких множеств.

Для непересекающихся нечетких множеств любое пересечение даст ∅, а любое объединение даст тот же результат, который обозначается как ${\ displaystyle A, B}$

${\ Displaystyle A \, {\ точка {\ чашка}} ​​\, B = A \ чашка B}$

с его функцией принадлежности, заданной

${\ Displaystyle \ forall x \ in U: \ mu _ {A {\ dot {\ cup}} B} (x) = \ mu _ {A} (x) + \ mu _ {B} (x)}$

Обратите внимание, что только одно из обоих слагаемых больше нуля.

Для непересекающихся нечетких множеств верно следующее: ${\ displaystyle A, B}$

${\ displaystyle \ operatorname {Supp} (A \, {\ dot {\ cup}} \, B) = \ operatorname {Supp} (A) \ cup \ operatorname {Supp} (B)}$

Это можно обобщить на конечные семейства нечетких множеств следующим образом: дано семейство нечетких множеств с индексным множеством I (например, I = {1,2,3,..., n }). Это семейство (попарно) не пересекается тогда и только тогда, когда ${\ Displaystyle A = (A_ {я}) _ {я \ in I}}$

${\ displaystyle {\ text {для всех}} x \ in U {\ text {существует не более одного}} i \ in I {\ text {такое, что}} \ mu _ {A_ {i}} (x) gt; 0.}$

Семейство нечетких множеств не пересекается, если семейство базовых носителей не пересекается в стандартном смысле для семейств четких множеств. ${\ Displaystyle A = (A_ {я}) _ {я \ in I}}$${\ Displaystyle \ OperatorName {Supp} \ circ A = (\ Operatorname {Supp} (A_ {i})) _ {я \ in I}}$

Независимо от пары t / s-норм, пересечение непересекающегося семейства нечетких множеств снова даст ∅, в то время как объединение не имеет двусмысленности:

${\ displaystyle {\ dot {\ bigcup \ limits _ {i \ in I}}} \, A_ {i} = \ bigcup _ {i \ in I} A_ {i}}$

с его функцией принадлежности, заданной

${\ displaystyle \ forall x \ in U: \ mu _ {{\ dot {\ bigcup \ limits _ {i \ in I}}} A_ {i}} (x) = \ sum _ {i \ in I} \ mu _ {A_ {i}} (x)}$

Снова только одно из слагаемых больше нуля.

Для непересекающихся семейств нечетких множеств верно следующее: ${\ Displaystyle A = (A_ {я}) _ {я \ in I}}$

${\ displaystyle \ operatorname {Supp} \ left ({\ dot {\ bigcup \ limits _ {i \ in I}}} \, A_ {i} \ right) = \ bigcup \ limits _ {i \ in I} \ имя оператора {Supp} (A_ {i})}$

Скалярная мощность

Для нечеткого множества с конечным носителем (т. Е. «Конечного нечеткого множества») его мощность (также известная как скалярная мощность или количество сигм) определяется как ${\ displaystyle A}$${\ displaystyle \ operatorname {Supp} (A)}$

${\ displaystyle \ operatorname {Card} (A) = \ operatorname {sc} (A) = | A | = \ sum _ {x \ in U} \ mu _ {A} (x)}$.

В случае, когда само U является конечным множеством, относительная мощность определяется выражением

${\ Displaystyle \ OperatorName {RelCard} (A) = \ | A \ | = \ OperatorName {sc} (A) / | U | = | A | / | U |}$.

Это можно обобщить, чтобы дивизор был непустым нечетким множеством: для нечетких множеств с G ≠ ∅ мы можем определить относительную мощность следующим образом: ${\ displaystyle A, G}$

${\ displaystyle \ operatorname {RelCard} (A, G) = \ operatorname {sc} (A | G) = \ operatorname {sc} (A \ cap {G}) / \ operatorname {sc} (G)}$,

что очень похоже на выражение для условной вероятности. Примечание:

• ${\ displaystyle \ operatorname {sc} (G)gt; 0}$ здесь.
• Результат может зависеть от конкретного выбранного пересечения (t-нормы).
• Ибо результат однозначен и напоминает предыдущее определение.${\ displaystyle G = U}$

Расстояние и сходство

Для любого нечеткого множества функцию принадлежности можно рассматривать как семейство. Последнее представляет собой метрическое пространство с несколькими известными метриками. Метрика может быть получена из нормы (векторной нормы) с помощью ${\ displaystyle A}$${\ displaystyle \ mu _ {A}: U \ to [0,1]}$${\ displaystyle \ mu _ {A} = (\ mu _ {A} (x)) _ {x \ in U} \ in [0,1] ^ {U}}$ ${\ displaystyle d}$ ${\ Displaystyle \ | \, \ |}$

${\ Displaystyle д (\ альфа, \ бета) = \ | \ альфа - \ бета \ |}$.

Например, if конечно, то есть такая метрика может быть определена следующим образом: ${\ displaystyle U}$${\ Displaystyle U = \ {x_ {1}, x_ {2},... x_ {n} \}}$

${\ displaystyle d (\ alpha, \ beta): = \ max \ {| \ alpha (x_ {i}) - \ beta (x_ {i}) |: i = 1,..., n \}}$где и - последовательности действительных чисел от 0 до 1.${\ displaystyle \ alpha}$${\ displaystyle \ beta}$

Для бесконечности максимум можно заменить супремумом. Поскольку нечеткие множества однозначно определяются их функцией принадлежности, эту метрику можно использовать для измерения расстояний между нечеткими множествами в одном и том же юниверсе: ${\ displaystyle U}$

${\ Displaystyle d (A, B): = d (\ mu _ {A}, \ mu _ {B})}$,

что становится в приведенном выше примере:

${\ Displaystyle d (A, B) = \ max \ {| \ mu _ {A} (x_ {i}) - \ mu _ {B} (x_ {i}) |: i = 1,..., п \}}$

Опять же для бесконечности максимум должен быть заменен супремумом. Другие расстояния (например, каноническая 2-норма) могут расходиться, если бесконечные нечеткие множества слишком разные, например, и. ${\ displaystyle U}$${\ displaystyle \ varnothing}$${\ displaystyle U}$

Меры подобия (здесь обозначаемые) могут быть затем получены из расстояния, например, после предложения Коци: ${\ displaystyle S}$

${\ Displaystyle S = 1 / (1 + d (A, B))}$если конечно, иначе,${\ Displaystyle д (А, В)}$${\ displaystyle 0}$

или после Уильямса и Стила:

${\ Displaystyle S = \ ехр (- \ альфа {d (A, B)})}$если конечно, иначе${\ Displaystyle д (А, В)}$${\ displaystyle 0}$

где - параметр крутизны и. ${\ displaystyle \ alphagt; 0}$${\ Displaystyle \ ехр (х) = е ^ {х}}$

Другое определение интервальных (скорее «нечетких») мер сходства дано Бегом и Ашрафом. ${\ displaystyle \ zeta}$

L- нечеткие множества

Иногда используются более общие варианты понятия нечеткого множества, когда функции принадлежности принимают значения в (фиксированной или переменной) алгебре или структуре данного вида; обычно требуется, чтобы она была хотя бы чугуном или решеткой. Их обычно называют L- нечеткими множествами, чтобы отличить их от тех, которые оцениваются на единичном интервале. Обычные функции принадлежности со значениями в [0, 1] тогда называются [0, 1] -значными функциями принадлежности. Подобные обобщения были впервые рассмотрены в 1967 году Джозефом Гогуэном, учеником Заде. Классическое следствие может указывать значения истинности и членства с помощью {f, t} вместо {0, 1}. ${\ displaystyle L}$${\ displaystyle L}$

Расширение нечетких множеств было предоставлено Атанасовым и Баруахом. Интуиционистская нечеткое множество (МФС) характеризуется двумя функциями: ${\ displaystyle A}$

1. - степень принадлежности x${\ Displaystyle \ му _ {А} (х)}$

2. - степень непринадлежности к x${\ Displaystyle \ ню _ {А} (х)}$

с функциями с${\ displaystyle \ mu _ {A}, \ nu _ {A}: U \ mapsto [0,1]}$${\ displaystyle \ forall x \ in U: \ mu _ {A} (x) + \ nu _ {A} (x) \ leq 1}$

Это похоже на ситуацию, когда какой-то человек обозначается голосованием ${\ displaystyle x}$

• для предложения: (),${\ displaystyle A}$${\ Displaystyle \ му _ {А} (х) = 1, \ ню _ {А} (х) = 0}$
• против: (),${\ displaystyle \ mu _ {A} (x) = 0, \ nu _ {A} (x) = 1}$
• или воздержаться от голосования: ().${\ Displaystyle \ му _ {А} (х) = \ ню _ {А} (х) = 0}$

В конце концов, у нас есть процент одобрений, процент отказов и процент воздержавшихся.

Для этой ситуации можно определить специальные «интуитивно нечеткие» отрицатели, t- и s-нормы. С помощью комбинирования обеих функций эта ситуация напоминает особый вид L- нечетких множеств. ${\ Displaystyle D ^ {*} = \ {(\ альфа, \ бета) \ в [0,1] ^ {2}: \ альфа + \ бета = 1 \}}$${\ displaystyle (\ mu _ {A}, \ nu _ {A}): от U \ до D ^ {*}}$

Еще раз, это было расширено путем определения нечетких множеств изображений (PFS) следующим образом: PFS A характеризуется тремя функциями, отображающими U в [0, 1]: «степень положительного членства», «степень нейтрального членства», и «степень отрицательного членства» соответственно и дополнительное условие. Это расширяет приведенную выше выборку голосования за счет дополнительной возможности «отказа в голосовании». ${\ displaystyle \ mu _ {A}, \ eta _ {A}, \ nu _ {A}}$${\ displaystyle \ forall x \ in U: \ mu _ {A} (x) + \ eta _ {A} (x) + \ nu _ {A} (x) \ leq 1}$

Со специальными «нечеткими» отрицателями, t- и s-нормами это похоже на еще один тип L- нечетких множеств. ${\ Displaystyle D ^ {*} = \ {(\ альфа, \ бета, \ гамма) \ в [0,1] ^ {3}: \ альфа + \ бета + \ гамма = 1 \}}$

Нейтрософные нечеткие множества

Некоторые ключевые достижения во введении концепций нечетких множеств.

Концепция IFS была расширена до двух основных моделей. Двумя расширениями IFS являются нейтрософные нечеткие множества и пифагоровы нечеткие множества.

Нейтрософные нечеткие множества были введены Смарандаче в 1998 году. Как и IFS, нейтрософные нечеткие множества имеют две предыдущие функции: одну для принадлежности, а другую - для отсутствия принадлежности. Основное отличие состоит в том, что у нейтрософных нечетких множеств есть еще одна функция: для неопределенных. Это значение указывает на степень неуверенности в том, что объект x принадлежит набору. Эта концепция наличия неопределенного значения может быть особенно полезной, когда нельзя быть очень уверенным в значениях членства или отсутствия членства для элемента x. Таким образом, нейтрософные нечеткие множества связаны со следующими функциями: ${\ Displaystyle \ му _ {А} (х)}$${\ Displaystyle \ ню _ {А} (х)}$${\ displaystyle i_ {A} (x)}$${\ displaystyle i_ {A} (x)}$

1. - степень принадлежности x${\ Displaystyle \ му _ {А} (х)}$

2. - степень непринадлежности к x${\ Displaystyle \ ню _ {А} (х)}$

3. - степень неопределенности значения x${\ displaystyle i_ {A} (x)}$

Пифагоровы нечеткие множества

Другое расширение IFS - это так называемые нечеткие множества Пифагора. Нечеткие множества Пифагора более гибкие, чем IFS. IFS основаны на ограничении, которое в некоторых случаях может считаться слишком строгим. Вот почему Ягер предложил концепцию нечетких пифагоровых множеств. Такие множества удовлетворяют ограничению, напоминающему теорему Пифагора. Нечеткие множества Пифагора могут быть применимы к реальным приложениям, в которых предыдущее условие не выполняется. Однако менее строгие условия могут быть подходящими для большего количества доменов. ${\ Displaystyle \ му _ {А} (х) + \ ню _ {А} (х) \ Leq 1}$${\ displaystyle \ mu _ {A} (x) ^ {2} + \ nu _ {A} (x) ^ {2} \ leq 1}$${\ Displaystyle \ му _ {А} (х) + \ ню _ {А} (х) \ Leq 1}$${\ displaystyle \ mu _ {A} (x) ^ {2} + \ nu _ {A} (x) ^ {2} \ leq 1}$

Основная статья: Нечеткая логика

Как расширение случая многозначной логики, оценки () пропозициональных переменных () в набор степеней принадлежности () можно рассматривать как функции принадлежности, отображающие предикаты в нечеткие множества (или, более формально, в упорядоченный набор нечеткие пары, называемые нечеткими отношениями). С помощью этих оценок многозначная логика может быть расширена, чтобы учесть нечеткие предпосылки, из которых могут быть сделаны дифференцированные выводы. ${\ displaystyle \ mu: {\ mathit {V}} _ {o} \ to {\ mathit {W}}}$ ${\ displaystyle {\ mathit {V}} _ {o}}$${\ displaystyle {\ mathit {W}}}$

Это расширение иногда называют «нечеткой логикой в ​​узком смысле» в отличие от «нечеткой логики в более широком смысле», которая возникла в инженерных областях автоматизированного управления и инженерии знаний и охватывает многие темы, связанные с нечеткими множествами и «приближенными рассуждениями».. "

Промышленные применения нечетких множеств в контексте «нечеткой логики в широком смысле» можно найти в нечеткой логике.

Основная статья: Нечеткое число

Нечеткое число А является нечетким множеством, которое удовлетворяет все следующие условия:

• A нормализовано;
• A - выпуклое множество;
• ${\ Displaystyle \ существует! x ^ {*} \ in A, \ mu _ {A} (x ^ {*}) = 1}$ ;
• Функция принадлежности по крайней мере сегментарно непрерывна.${\ Displaystyle \ му _ {А} (х)}$

Если эти условия не выполняются, то A не является нечетким числом. Ядро этого нечеткого числа - синглтон ; его расположение:

${\ displaystyle \, C (A) = x ^ {*}: \ mu _ {A} (x ^ {*}) = 1}$

При невыполнении условия единственности нечеткое множество характеризуется как нечеткий интервал. Ядром этого нечеткого интервала является четкий интервал с: ${\ Displaystyle {х ^ {*}}}$

${\ Displaystyle \, С (A) = \ влево [\ мин \ {х \ in \ mathbb {R} \ mid \ mu _ {A} (x) = 1 \}; \ max \ {x \ in \ mathbb {R} \ mid \ mu _ {A} (x) = 1 \} \ right]}$.

Нечеткие числа можно сравнить с веселой игрой «Угадай свой вес», где кто-то угадывает вес участника, причем более точные предположения более верны, и где угадывающий «выигрывает», если он или она угадает достаточно близкое к весу участника, с помощью фактический вес полностью правильный (отображение на 1 функцией принадлежности).

Ядро нечеткого интервала определяется как «внутренняя» часть без «исходящих» частей, где значение принадлежности является постоянным до бесконечности. Другими словами, наименьшее подмножество, где константа вне его, определяется как ядро. ${\ Displaystyle К (А) = \ OperatorName {Керн} (А)}$${\ displaystyle A}$${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$${\ Displaystyle \ му _ {А} (х)}$

Однако существуют и другие концепции нечетких чисел и интервалов, поскольку некоторые авторы не настаивают на выпуклости.

Использование принадлежности к множеству в качестве ключевого компонента теории категорий можно обобщить на нечеткие множества. Этот подход, начатый в 1968 году вскоре после введения теории нечетких множеств, привел к развитию категорий Гогена в 21 веке. В этих категориях вместо использования членства в двухзначных множествах используются более общие интервалы, которые могут быть решетками, как в L- нечетких множествах.

Нечеткое уравнение соотношения является уравнением вида A R = B, где и В являются нечеткими множествами, R является нечетким отношением, и R обозначает композицию из А с  R.

Мера нечеткости d для нечетких множеств вселенной должна удовлетворять следующим условиям для всех: ${\ displaystyle U}$${\ displaystyle x \ in U}$

1. ${\ displaystyle d (A) = 0}$если хрустящий набор:${\ displaystyle A}$${\ Displaystyle \ му _ {А} (х) \ в \ {0, \, 1 \}}$
2. ${\ displaystyle d (A)}$ имеет уникальный максимум тогда и только тогда ${\ displaystyle \ forall x \ in U: \ mu _ {A} (x) = 0,5}$
3. ${\ displaystyle \ mu _ {A} \ leq \ mu _ {B} \ iff}$

${\ displaystyle \ mu _ {A} \ leq \ mu _ {B} \ leq 0,5}$

${\ displaystyle \ mu _ {A} \ geq \ mu _ {B} \ geq 0,5}$

что означает, что Б является «четче», чем A.

1. ${\ Displaystyle d (\ neg {A}) = d (A)}$

В этом случае называется энтропией нечеткого множества A. ${\ displaystyle d (A)}$

Для конечного энтропия нечеткого множества определяется выражением ${\ Displaystyle U = \ {x_ {1}, x_ {2},... x_ {n} \}}$${\ displaystyle A}$

${\ displaystyle d (A) = H (A) + H (\ neg {A})}$,

${\ Displaystyle H (A) = - к \ сумма _ {я = 1} ^ {n} \ mu _ {A} (x_ {i}) \ ln \ mu _ {A} (x_ {i})}$

или просто

${\ Displaystyle d (A) = - к \ сумма _ {я = 1} ^ {n} S (\ mu _ {A} (x_ {i}))}$

где - функция Шеннона (функция естественной энтропии) ${\ Displaystyle S (x) = H_ {e} (x)}$

${\ Displaystyle S (\ альфа) = - \ альфа \ пер \ альфа - (1- \ альфа) \ пер (1- \ альфа), \ \ альфа \ в [0,1]}$

и является константой, зависящей от единицы измерения и используемого основания логарифма (здесь мы использовали натуральное основание e ). Физическая интерпретация к является постоянной Больцмана к ^B. ${\ displaystyle k}$

Позвольте быть нечетким множеством с непрерывной функцией принадлежности (нечеткая переменная). потом ${\ displaystyle A}$

${\ Displaystyle H (A) = - к \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} \ operatorname {Cr} \ lbrace A \ geq t \ rbrace \ ln \ operatorname {Cr} \ lbrace A \ geq t \ rbrace \, dt}$

и его энтропия

${\ Displaystyle d (A) = - к \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} S (\ operatorname {Cr} \ lbrace A \ geq t \ rbrace) \, dt.}$

Существует множество математических построений, похожих или более общих, чем нечеткие множества. С тех пор, как в 1965 году были введены нечеткие множества, было разработано много новых математических построений и теорий, касающихся неточностей, неточностей, двусмысленности и неопределенности. Некоторые из этих построений и теорий являются расширениями теории нечетких множеств, в то время как другие пытаются математически моделировать неточность и неопределенность другим способом ( Burgin amp; Chunihin 1997 ; Kerre 2001 ; Deschrijver and Kerre, 2003). ошибка harvnb: цель отсутствует: CITEREFBurginChunihin1997 ( помощь )

• Альтернативная теория множеств
• Дефаззификация
• Нечеткое понятие
• Нечеткая математика
• Операции с нечеткими множествами
• Нечеткая подалгебра
• Интервальный конечный элемент
• Линейная частичная информация
• Мультимножество
• Нейро-нечеткий
• Грубая нечеткая гибридизация
• Грубый набор
• Индекс сходства Соренсена
• Нечеткие множества и системы типа 2
• Неопределенность

• Алхазале С. и Саллех А.Р. Теория нечетких мягких множеств, абстрактный и прикладной анализ, 2012, статья ID 350600, 20 стр.
• Атанасов К.Т. (1983) Интуиционистские нечеткие множества, VII сессия ИТКР, София (депонировано в Центральной научно-технической библиотеке Болгарской академии наук, 1697/84) (на болгарском языке)
• Атанасов К. (1986) Интуиционистские нечеткие множества, нечеткие множества и системы, т. 20, № 1, стр. 87–96.
• Баруа, Хеманта К. (2011) Теория нечетких множеств: убеждения и реальности, Международный журнал энергетики, информации и коммуникаций, том 2, выпуск 2, 1-22.
• Баруа, Хеманта К. (2012) Введение в теорию неточных множеств: математика частичного присутствия, Международный журнал вычислительных и математических наук, Vol. 2, № 2, 110 - 124.
• Бездек, JC (1978). «Нечеткие разбиения и отношения и аксиоматическая основа кластеризации». Нечеткие множества и системы. 1 (2): 111–127. DOI : 10.1016 / 0165-0114 (78) 90012-X.
• Близард, WD (1989) Действительные мультимножества и нечеткие множества, нечеткие множества и системы, т. 33, стр. 77–97.
• Brown, JG (1971) A Note on Fuzzy Sets, Information and Control, v. 18, pp. 32–39.
• Brutoczki Kornelia: Fuzzy Logic (Diploma) - Хотя этот сценарий имеет много странностей и недостатков из-за его неполноты, его можно использовать в качестве шаблона для упражнения по устранению этих проблем.
• Бургин, М. Теория именованных множеств как основа математики, Структуры в математических теориях, Сан-Себастьян, 1990, стр. 417–420.
• Бургин М., Чунихин А. (1997) Именованные множества в анализе неопределенности, в Методологических и теоретических проблемах математики и информатики, Киев, стр. 72–85.
• Джанпьеро Каттанео и Давиде Чуччи, «Алгебры Гейтинга Вайсберга как абстрактная среда, связывающая нечеткие и грубые множества» в JJ Alpigini et al. (Ред.): RSCTC 2002, LNAI 2475, стр. 77–84, 2002. DOI : 10.1007 / 3-540-45813-1_10
• Чаморро-Мартинес, Дж. И др.: Обсуждение нечеткой мощности и количественной оценки. Некоторые приложения в обработке изображений, SciVerse ScienceDirect: Fuzzy Sets and Systems 257 (2014) 85–101, 30 мая 2013 г.
• Чапин, EW (1974) Многозначная теория множеств, I, Нотр-Дам Дж. Формальная логика, т. 15, стр. 619–634
• Чапин, EW (1975) Многозначная теория множеств, II, Нотр-Дам Дж. Формальная логика, т. 16, стр. 255–267
• Крис Корнелис, Мартин Де Кок и Этьен Э. Керр, [Интуиционистские нечеткие грубые множества: на перекрестке несовершенного знания], Expert Systems, т. 20, выпуск 5, стр. 260–270, 2003 г.
• Корнелис, К., Дешрайвер, К., и Керр, Э. (2004) Импликация в интуиционистской и интервальнозначной теории нечетких множеств: построение, классификация, применение, Международный журнал приближенного мышления, т. 35, стр. 55–95.
• Де Кок, Мартина; Боденхофер, Ульрих; Керр, Этьен Э. (1–4 октября 2000 г.). Моделирование лингвистических выражений с помощью нечетких отношений. Материалы 6-й Международной конференции по мягким вычислениям. Иидзука, Япония. С. 353–360. CiteSeerX   10.1.1.32.8117.
• Демирчи, М. (1999) Подлинные множества, нечеткие множества и системы, т. 105, стр. 377–384.
• Deschrijver, G.; Керре, EE (2003). «О связи между некоторыми расширениями теории нечетких множеств». Нечеткие множества и системы. 133 (2): 227–235. DOI : 10.1016 / S0165-0114 (02) 00127-6.
• Дидье Дюбуа, Анри М. Прад, изд. (2000). Основы нечетких множеств. Справочники серии нечетких множеств. 7. Springer. ISBN   978-0-7923-7732-0.
• Фэн Ф. Обобщенные грубые нечеткие множества на основе мягких множеств, Soft Computing, июль 2010 г., том 14, выпуск 9, стр. 899–911
• Gentilhomme, Y. (1968) Les ensembles flous en linguistique, Cahiers Linguistique Theoretique Appliqee, 5, стр. 47–63
• Гоген, Дж. А. (1967) L-нечеткие множества, Journal Math. Приложение для анализа, т. 18, стр. 145–174.
• Готвальд, С. (2006). "Вселенные нечетких множеств и аксиоматизации теории нечетких множеств. Часть I: модельные и аксиоматические подходы". Studia Logica. 82 (2): 211–244. DOI : 10.1007 / s11225-006-7197-8. S2CID   11931230. . Готвальд, С. (2006). "Вселенные нечетких множеств и аксиоматизации теории нечетких множеств. Часть II: Теоретико-категориальные подходы". Studia Logica. 84: 23–50. DOI : 10.1007 / s11225-006-9001-1. S2CID   10453751. препринт. .
• Граттан-Гиннесс, I. (1975) Нечеткое членство, отображаемое на интервал и многозначные величины. Z. Math. Логик. Grundladen Math. 22. С. 149–160.
• Гржимала-Буссе, Дж. Изучение примеров, основанных на грубых мультимножествах, в материалах 2-го Международного симпозиума по методологиям интеллектуальных систем, Шарлотт, Северная Каролина, США, 1987, стр. 325–332
• Гилис Р.П. (1994) Квантовые множества и пучки над квантами, Liet. Матем. Каток, т. 34, № 1, с. 9–31.
• Ульрих Хёле, Стивен Эрнест Родабо, изд. (1999). Математика нечетких множеств: логика, топология и теория меры. Справочники серии нечетких множеств. 3. Springer. ISBN   978-0-7923-8388-8.
• Jahn, KU (1975) Intervall-wertige Mengen, Math.Nach. 68. С. 115–132.
• Кауфманн, Арнольд. Введение в теорию нечетких подмножеств. Vol. 2. Академический пр., 1975.
• Керре, Э.Е. (2001). «Первый взгляд на альтернативы теории нечетких множеств». В Б. Ройше; KH. Темме (ред.). Вычислительный интеллект в теории и практике. Гейдельберг: Physica-Verlag. С. 55–72. DOI : 10.1007 / 978-3-7908-1831-4_4. ISBN   978-3-7908-1357-9. Отсутствует или пусто |title=( справка )
• Джордж Дж. Клир; Бо Юань (1995). Нечеткие множества и нечеткая логика: теория и приложения. Прентис Холл. ISBN   978-0-13-101171-7.
• Кузьмин, В.Б. (1982). «Построение групповых решений в пространствах строгих и нечетких двоичных отношений». Наука, Москва.
• Лейк, Дж. (1976) Множества, нечеткие множества, мультимножества и функции, J. London Math. Soc., II Ser., V. 12, pp. 323–326
• Мэн Д., Чжан X. и Цинь К. Мягкие грубые нечеткие множества и мягкие нечеткие грубые множества, «Computers amp; Mathematics with Applications», т. 62, выпуск 12, 2011 г., стр. 4635–4645
• Миямото, С. Нечеткие мультимножества и их обобщения, в «Обработка мультимножеств», LNCS 2235, стр. 225–235, 2001.
• Молодцов О. (1999) Теория мягких множеств - первые результаты, Вычислительная техника и математика с приложениями, т. 37, № 4/5, стр. 19–31
• Мур, Р. Э. Интервальный анализ, Нью-Йорк, Прентис-Холл, 1966.
• Накамура А. (1988) Нечеткие грубые множества, «Заметки о многозначной логике в Японии», т. 9, стр. 1–8.
• Нариньяни, А.С. Недоопределенные множества - новый тип данных для представления знаний, Препринт 232, Проект ВОСТОК, выпуск 4, Новосибирск, Вычислительный центр АН СССР, 1980
• Pedrycz, W. Затененные множества: представление и обработка нечетких множеств, IEEE Transactions on System, Man, and Cybernetics, Part B, 28, 103–109, 1998.
• Радецки, Т. Уровневые нечеткие множества, «Журнал кибернетики», том 7, выпуск 3–4, 1977 г.
• Радзиковска, AM, Этьен Э. Керр, EE О L-нечетких грубых множествах, искусственном интеллекте и мягких вычислениях - ICAISC 2004, 7-я Международная конференция, Закопане, Польша, 7–11 июня 2004 г., Труды; 01/2004
• Салий, В.Н. (1965). «Бинарные L-отношения». Изв. Выш. Учебн. Завед. Математика. 44 (1): 133–145.
• Рамакришнан, Т.В., и Сабу Себастьян (2010) «Исследование множественных нечетких множеств», Int. J. Appl. Математика. 23, 713–721.
• Сабу Себастьян и Рамакришнан, ТВ (2010) Мульти-нечеткие множества, Int. Математика. Forum 50, 2471–2476.
• Сабу Себастьян и Рамакришнан, TV (2011) Мульти-нечеткие множества: расширение нечетких множеств, Fuzzy Inf.Eng. 1, 35–43.
• Сабу Себастьян и Рамакришнан, ТВ (2011) Многочисленные нечеткие расширения функций, Развитие адаптивного анализа данных 3, 339–350.
• Сабу Себастьян и Рамакришнан, TV (2011) Мульти-нечеткое расширение четких функций с помощью мостовых функций, Ann. Нечеткая математика. Сообщить. 2 (1), 1–8
• Sambuc, R. Fonctions φ-floues: Application a l'aide au Diagnostic en Patologie Thyroidienne, Ph.D. Диссертация Univ. Марсель, Франция, 1975 год.
• Зайзинг, Рудольф: фаззификация систем. Возникновение теории нечетких множеств и ее начальные приложения - разработки до 1970-х годов (Исследования нечеткости и мягких вычислений, том 216), Берлин, Нью-Йорк, [и др.]: Springer 2007.
• Смит, Нью-Джерси (2004) Нечеткость и размытые множества, J. Фил. Логика », 33, с. 165–235.
• Верро, Николас: Нечеткая классификация онлайн-клиентов, Фрибургский университет, Швейцария, 2008 г., Глава 2
• Ягер, Р.Р. (1986) О теории мешков, Международный журнал общих систем, т. 13, стр. 23–37.
• Яо, YY, Комбинация грубых и нечетких множеств на основе наборов α-уровня, в: Rough Sets and Data Mining: Analysis for Imprecise Data, Lin, TY и Cercone, N. (Eds.), Kluwer Academic Publishers, Boston, pp. 301–321, 1997.
• YY Yao, Сравнительное исследование нечетких множеств и грубых множеств, Информационные науки, т. 109, выпуск 1–4, 1998 г., стр. 227 - 242
• Заде, Л. (1975) Концепция лингвистической переменной и ее применение для приближенного рассуждения –I, Информ. Sci., Т. 8, стр. 199–249.
• Ханс-Юрген Циммерманн (2001). Теория нечетких множеств и ее приложения (4-е изд.). Kluwer. ISBN   978-0-7923-7435-0.