Альфред Тарски

редактировать
Американский математик
Альфред Тарски
AlfredTarski1968.jpeg
РодилсяАльфред Тейтельбаум. (1901-01- 14) 14 января 1901 г.. Варшава, Конгресс Польша
Умер26 октября 1983 г. (1983-10-26) (82 года). Беркли, Калифорния, США
НациональностьПольский. Американец
ГражданствоПольский. Американец
ОбразованиеВаршавский университет (доктор философии, 1924 г.)
Известен благодаря
Научная карьера
ОбластиМатематика, логика, формальный язык
Учреждения
Диссертация O wyrazie pierwotnym logistyki (1924)
Докторант Станислав Лесьневский
Докторант
Другие известные студентыЭверт Виллем Бет
ВлиянияЧарльз Сандерс Пирс
Влияли

Альфред Тарски (; 14 января 1901 - 26 октября 1983), родился Альфред Тейтельбаум, был польско-американским логиком и математиком из польско-еврейского спуск. Получив образование в Польше в Варшавском университете, и член Львовско-Варшавской школы логики и Варшавской математической школы, он иммигрировал в США. Штаты в 1939 году, где он стал натурализованным гражданином в 1945 году. Тарский преподавал и проводил исследования в области математики в Калифорнийском университете в Беркли с 1942 года до своей смерти в 1983 году.

Плодотворный автор, наиболее известный своими работами по теории моделей, метаматематике и алгебраической логике, он также внес вклад в абстрактную алгебру, топология, геометрия, теория меры, математическая логика, теория множеств и аналитическая философия.

Его биографы Анита Бурдман Феферман и Соломон Феферман утверждают, что «вместе со своим современником Куртом Гёделем он изменил лицо логики в двадцатом веке, особенно благодаря его работа над концепцией истины и теорией моделей ».

Con палатки

  • 1 Жизнь
  • 2 Математик
  • 3 Логик
  • 4 Истина в формализованных языках
  • 5 Логическое следствие
  • 6 Работа над логическими понятиями
  • 7 Работы
  • 8 См. также
  • 9 Ссылки
  • 10 Дополнительная литература
  • 11 Внешние ссылки

Жизнь

Альфред Тарски родился Альфред Тейтельбаум (польское написание: «Тайтельбаум»), родителям, которые были польскими евреями в комфортных условиях по сравнению с другими евреями в регионе. Впервые он проявил свои математические способности в средней школе Варшавской Школы Мазовецкой. Тем не менее, он поступил в Варшавский университет в 1918 году, намереваясь изучать биологию.

. После восстановления независимости Польши в 1918 году Варшавский университет перешел под руководством Яна Лукасевича, Станислав Лесьневский и Вацлав Серпинский и быстро стал ведущим в мире исследовательским учреждением в области логики, фундаментальной математики и философии математики. Лесьневский признал потенциал Тарского как математика и призвал его отказаться от биологии. Отныне Тарский посещал курсы, которые преподавали Лукасевич, Серпинский, Стефан Мазуркевич и Тадеуш Котарбинский, и в 1924 году стал единственным человеком, когда-либо получившим докторскую степень под руководством Лесьневского. Его диссертация была озаглавлена ​​«О wyrazie pierwotnym logistyki» (О примитивном термине логистики; опубликовано в 1923 г.). Вскоре Тарский и Лесьневский остыли друг к другу. Однако в более поздней жизни Тарский сохранил свои самые горячие похвалы для Котарбинского, на что ему ответили взаимностью.

В 1923 году Альфред Тейтельбаум и его брат Вацлав поменяли фамилию на «Тарский». Братья Тарские также обратились в католицизм, господствующую религию Польши. Альфред поступил так, даже несмотря на то, что он был общепризнанным атеистом.

Став самым молодым человеком, когда-либо получившим докторскую степень в Варшавском университете, Тарский преподавал логику в Польском педагогическом институте, математику и логику в университете, а также работал над Лукасевичем. помощник. Поскольку эти должности были плохо оплачиваемыми, Тарский также преподавал математику в варшавской средней школе; до Второй мировой войны европейские интеллектуалы исследовательского уровня нередко преподавали в средней школе. Следовательно, между 1923 годом и своим отъездом в Соединенные Штаты в 1939 году Тарский не только написал несколько учебников и множество статей, многие из которых были новаторскими, но и сделал это, поддерживая себя, главным образом, преподаванием математики в средней школе. В 1929 году Тарский женился на коллеге-учителе Марии Витковской, поляке католического происхождения. Она работала курьером в армии во время советско-польской войны. У них было двое детей; сын Ян, ставший физиком, и дочь Ина, вышедшая замуж за математика Анджея Эренфойхта.

Тарский подали заявление на кафедру философии в Львовском университете, но Бертран Рассел по рекомендации он был присужден Леону Чвистеку. В 1930 году Тарский посетил Венский университет, читал лекции на коллоквиуме Карла Менгера и встретился с Куртом Гёделем. Благодаря стипендии он смог вернуться в Вену в первой половине 1935 года, чтобы работать с исследовательской группой Менгера. Из Вены он поехал в Париж, чтобы представить свои идеи об истине на первом собрании движения Единство науки, порожденного Венским кружком. В 1937 году Тарский подал заявку на кафедру Познанского университета, но кафедру упразднили. Связи Тарского с движением «Единство науки», вероятно, спасли ему жизнь, потому что они привели к его приглашению выступить на Конгрессе «Единство науки», состоявшемся в сентябре 1939 года в Гарвардском университете. Таким образом, он покинул Польшу в августе 1939 года на последнем корабле, отплывшем из Польши в Соединенные Штаты до немецко-советского вторжения в Польшу и начала Второй мировой войны. Тарский неохотно ушел, потому что Лесьневский умер за несколько месяцев до этого, создав вакансию, которую Тарский надеялся заполнить. Не обращая внимания на нацистскую угрозу, он оставил жену и детей в Варшаве. Он не видел их снова до 1946 года. Во время войны почти вся его большая еврейская семья была убита немецкими оккупационными властями.

Оказавшись в Соединенных Штатах, Тарский занимал ряд временных преподавательских и исследовательских должностей: Гарвардский университет (1939 г.), Городской колледж Нью-Йорка (1940 г.) и благодаря Товарищество Гуггенхайма, Институт перспективных исследований в Принстоне (1942), где он снова встретился с Геделем. В 1942 году Тарский поступил на математический факультет Калифорнийского университета в Беркли, где и провел остаток своей карьеры. Тарский стал американским гражданином в 1945 году. Несмотря на то, что он был заслуженным с 1968 года, он преподавал до 1973 года под руководством доктора философии. кандидаты до его смерти. В Беркли Тарский приобрел репутацию поразительного и требовательного учителя, факт, отмеченный многими наблюдателями:

Его семинары в Беркли быстро стали известными в мире математической логики. Его ученики, многие из которых стали выдающимися математиками, отметили потрясающую энергию, с которой он уговаривал и умасливал их лучшие работы, всегда требуя высочайших стандартов ясности и точности.

Тарский был экстравертом, сообразительным, сильным волевой, энергичный и острый на язык. Он предпочитал, чтобы его исследования были совместными - иногда работая всю ночь с коллегой - и очень требовательно относился к приоритетам.

Харизматичный лидер и учитель, известный своим блестяще точным, но напряженным стилем объяснения, Тарский имел устрашающе высокие стандарты для учеников. но в то же время он мог быть очень обнадеживающим, особенно женщинам - в отличие от общей тенденции. Некоторые студенты были напуганы, но круг учеников остался, многие из которых стали всемирно известными лидерами в этой области.

Библиотека Варшавского университета, со статуями Львова (на колоннах напротив входа). Варшавская школа философы Казимеж Твардовский, Ян Лукасевич, Альфред Тарский Станислав Лесьневский

Тарский руководил двадцатью четырьмя докторами наук. диссертации, в том числе (в хронологическом порядке) Анджей Мостовски, Бьярни Йонссон, Джулия Робинсон, Роберт Воот, Соломон Феферман, Ричард Монтегю, Джеймс Дональд Монк, Хаим Гайфман, Дональд Пигоцци и Роджер Мэддукс, а также Чен Чунг Чанг и Джером Кейслер, авторы Model Theory (1973), классического текста в этой области. Он также сильно повлиял на диссертации Альфреда Линденбаума, Даны Скотта и Стивена Гиванта. Пятеро учеников Тарского были женщинами, что примечательно, учитывая, что в то время мужчины составляли подавляющее большинство аспирантов. Однако у него были внебрачные связи как минимум с двумя из этих студентов. После того, как он показал другую работу своих студенток коллеге-мужчине, коллега опубликовал ее сам, в результате чего она оставила аспирантуру и позже перешла в другой университет и к другому консультанту.

Тарский читал лекции в Университетский колледж, Лондон (1950, 1966), Институт Анри Пуанкаре в Париже (1955), Институт фундаментальных исследований в науке в Беркли (1958–1955). 60), Калифорнийский университет в Лос-Анджелесе (1967) и Папский католический университет Чили (1974–75). Среди множества наград, полученных за свою карьеру, Тарский был избран членом Национальной академии наук США, Британской академии и Королевской Нидерландской академии искусств и наук. в 1958 г. получил почетные степени Папского католического университета Чили в 1975 г., Марсельского 'Университета Поля Сезанна в 1977 г. и Университет Калгари, а также Berkeley Citation в 1981 году. Тарский председательствовал в Ассоциации символической логики, 1944–46, а также в Международном союзе истории и философии науки, 1956–1946 гг. 57. Он также был почетным редактором Algebra Universalis.

Mathematician

Математические интересы Тарского были исключительно широкими. Его собрание статей насчитывает около 2500 страниц, большинство из них по математике, а не логике. Краткий обзор математических и логических достижений Тарского его бывшего ученика Соломона Фефермана см. В «Интерлюдиях I – VI» у Фефермана и Фефермана.

Первая статья Тарского, опубликованная, когда ему было 19 лет, была на теория множеств, к которой он возвращался на протяжении всей своей жизни. В 1924 году он и Стефан Банах доказали, что, если принять Аксиому выбора, шар можно разрезать на конечное число частей, а затем повторно собрать в шар большего размера, или, альтернативно, он может быть повторно собран в два шара, каждый из которых равен размеру исходного шара. Этот результат теперь называется парадоксом Банаха-Тарского.

В методе принятия решений для элементарной алгебры и геометрии Тарский показал методом исключения кванторов, что первого порядка Теория действительных чисел при сложении и умножении разрешима. (Хотя этот результат появился только в 1948 году, он восходит к 1930 году и был упомянут в Tarski (1931).) Это очень любопытный результат, потому что Алонзо Черч доказал в 1936 году, что арифметика Пеано (теория натуральных чисел ) не разрешима. Арифметика Пеано также неполна по теореме Гёделя о неполноте. В своих «Неразрешимых теориях 1953 года» Тарский и др. показал, что многие математические системы, включая теорию решеток, абстрактную проективную геометрию и алгебры замыкания, неразрешимы. Теория абелевых групп разрешима, а теория неабелевых групп - нет.

В 20-30-е годы Тарский часто преподавал в средней школе геометрию. Используя некоторые идеи Марио Пиери, в 1926 году Тарский разработал оригинальную аксиоматизацию для плоскости евклидовой геометрии, значительно более краткую, чем Гильберта. Аксиомы Тарского образуют теорию первого порядка, лишенную теории множеств, индивидуумы которой являются точками и имеют только два примитивных отношения. В 1930 году он доказал, что эта теория разрешима, потому что ее можно отобразить в другую теорию, которую он уже доказал, а именно в его теорию первого порядка действительных чисел.

В 1929 году он показал, что большая часть евклидовой твердой геометрии может быть преобразована в теорию первого порядка, индивиды которой являются сферами (примитивное понятие ), единым примитивным бинарное отношение «содержится в» и две аксиомы, которые, среди прочего, подразумевают, что включение частично упорядочивает сферы. Ослабление требования, чтобы все индивиды были сферами, приводит к формализации мереологии, которую гораздо легче объяснить, чем вариант Лесневского. Ближе к концу своей жизни Тарский написал очень длинное письмо, опубликованное под названием Tarski and Givant (1999), в котором резюмировал свои работы по геометрии.

Кардинальные алгебры изучали алгебры, модели которых включают арифметику кардинальных чисел. Порядковые алгебры представляют собой алгебру для аддитивной теории порядковых типов. Кардинальное, но не порядковое сложение заменяет.

В 1941 году Тарский опубликовал важную статью о бинарных отношениях, положившую начало работе по алгебре отношений и ее метаматематике, которая занимала Тарского и его ученики на протяжении большей части его жизни. Хотя это исследование (и тесно связанная с ним работа Роджера Линдона ) выявило некоторые важные ограничения алгебры отношений, Тарский также показал (Tarski and Givant 1987), что алгебра отношений может выражать большинство аксиоматической теории множеств и Арифметика Пеано. Для введения в алгебру отношений см. Maddux (2006). В конце 1940-х годов Тарский и его ученики разработали цилиндрические алгебры, которые по логике первого порядка соответствуют двухэлементной булевой алгебре по отношению к классической сентенциональная логика. Кульминацией этой работы стали две монографии Тарского, Хенкина и Монка (1971, 1985).

Логик

Ученик Тарского, Воот, оценил Тарского как одного из четырех величайших логиков всех времен - наряду с Аристотелем, Готтлобом Фреге и Куртом Геделем. Однако Тарский часто выражал большое восхищение Чарльзом Сандерсом Пирсом, особенно его новаторской работой в логике отношений.

Тарский создал аксиомы для логического следствия и работал над дедуктивными системами, алгебра логики и теория определимости. Его семантические методы, кульминацией которых стала теория моделей, которую он и ряд его учеников из Беркли разработали в 1950-х и 60-х годах, радикально изменили теоретико-доказательную метаматематику Гильберта.

По мнению [Тарского], метаматематика стала похожа на любую математическую дисциплину. Его концепции и результаты можно не только математизировать, но и интегрировать в математику.... Тарский разрушил грань между метаматематикой и математикой. Он возражал против ограничения роли метаматематики основами математики.

В статье Тарского 1936 года «О концепции логического следствия» утверждалось, что вывод аргумента будет логически следовать из его предпосылок тогда и только тогда, когда каждая модель предпосылок это модель заключения. В 1937 году он опубликовал статью, в которой четко изложил его взгляды на природу и цель дедуктивного метода, а также на роль логики в научных исследованиях. Его преподавание логики и аксиоматики в старших классах и бакалавриате завершилось классическим коротким текстом, опубликованным сначала на польском языке, затем в немецком переводе и, наконец, в английском переводе 1941 года под названием «Введение в логику и методологию дедуктивных наук».

«Истина и доказательство» Тарского 1969 года рассмотрели обе теоремы Гёделя о неполноте и теорему Тарского о неопределенности, а также обдумывали их последствия для аксиоматического метода в математике.

Истина в формализованных языках

В 1933 году Тарский опубликовал очень длинную статью на польском языке под названием «Pojęcie prawdy w językach nauk dedukcyjnych», «Излагая математическое определение истины для формальных языков. " Немецкий перевод 1935 года назывался «Der Wahrheitsbegriff in den formisierten Sprachen», «Концепция истины в формализованных языках», иногда сокращенно до «Wahrheitsbegriff». Английский перевод появился в 1956 году в первом издании тома «Логика, семантика, метаматематика». Этот сборник статей с 1923 по 1938 год является событием в аналитической философии 20 века, вкладом в символическую логику, семантику и философию. языка. Для краткого обсуждения его содержания см. Соглашение T (а также T-schema ).

Некоторые недавние философские дебаты исследуют, в какой степени теория истины Тарского для формализованных языков может рассматриваться как теория истины соответствия. Дебаты сосредоточены на том, как понимать условие материальной адекватности Тарского для истинного определения. Это условие требует, чтобы теория истинности имела следующие теоремы для всех предложений p языка, для которого определяется истина:

"p" истинно тогда и только тогда, когда p.

(где p - пропозиция выражается буквой "p")

Споры сводятся к тому, следует ли читать предложения этой формы, такие как

«Снег белый» истинно тогда и только тогда, когда снег белый

как выражение просто дефляционная теория истины или как воплощающая истину как более существенное свойство (см. Kirkham 1992). Важно понимать, что теория истины Тарского предназначена для формализованных языков, поэтому примеры на естественном языке не являются иллюстрацией использования теории истины Тарского.

Логическое следствие

В 1936 году Тарский опубликовал польскую и немецкую версии лекции, которую он прочитал в предыдущем году на Международном конгрессе научной философии в Париже. Новый английский перевод этой статьи, Тарский (2002), подчеркивает многие различия между немецкой и польской версиями статьи и исправляет ряд неправильных переводов в Тарском (1983).

В этой публикации изложено современное теоретико-модельное определение (семантического) логического следствия или, по крайней мере, его основы. Было ли представление Тарского полностью современным, зависит от того, намеревался ли он допустить модели с различными областями (и, в частности, модели с областями различной мощности ). Этот вопрос является предметом некоторых дискуссий в современной философской литературе. Джон Этчеменди стимулировал большую часть недавних дискуссий о том, как Тарский трактует различные области.

В конце Тарский указывает, что его определение логического следствия зависит от разделения терминов на логические и дополнительные. -логичен, и он выражает некоторый скептицизм по поводу того, что такое объективное разделение произойдет. "Что такое логические понятия?" таким образом, можно рассматривать как продолжение «О концепции логического следствия».

Работа над логическими понятиями

Другая теория, привлекающая внимание Тарского в современной философской литературе, изложена в его книге «Что такое логические понятия?» (Тарский 1986). Это опубликованная версия выступления, которое он произнес первоначально в 1966 году в Лондоне, а затем в 1973 году в Buffalo ; он был отредактирован без его непосредственного участия Джоном Коркораном. Эта статья стала самой цитируемой статьей в журнале History and Philosophy of Logic.

В своем выступлении Тарский предложил отделить логические операции (которые он называет «понятиями») от нелогических. Предлагаемые критерии были взяты из Эрлангенской программы немецкого математика 19 века Феликса Кляйна. Маутнер (в 1946 году) и, возможно, статья португальского математика Себастьяна э Сильва, предвосхитили Тарского в применении программы Эрлангена к логике.

Эта программа классифицировала различные типы геометрии (евклидова геометрия, аффинная геометрия, топология и т. Д.) По типу одно- одна трансформация пространства в себя, которая оставила объекты этой геометрической теории неизменными. (Преобразование «один к одному» - это функциональная карта пространства на себя, так что каждая точка пространства связана с одной другой точкой пространства или отображается на нее. Итак, «поверните на 30 градусов» и «увеличьте в раз. из 2 "являются интуитивно понятными описаниями простых однородных преобразований типа" один-один ".) Непрерывные преобразования порождают объекты топологии, преобразования подобия объектам евклидовой геометрии и так далее.

По мере того, как диапазон допустимых преобразований становится шире, диапазон объектов, которые можно различить как сохраненные путем применения преобразований, сужается. Преобразования подобия довольно узкие (они сохраняют относительное расстояние между точками) и, таким образом, позволяют нам различать относительно многие вещи (например, равносторонние треугольники от неравносторонних треугольников). Непрерывные преобразования (которые интуитивно можно представить как преобразования, допускающие неравномерное растяжение, сжатие, изгиб и скручивание, но без разрывов или склейки) позволяют отличить многоугольник от кольцевого пространства (кольцо с отверстием в центре), но не позволяют отличить два многоугольника друг от друга.

Предложение Тарского состояло в том, чтобы разграничить логические понятия, рассматривая все возможные однозначные преобразования (автоморфизмы ) домена в себя. Под областью подразумевается универсум дискурса модели семантической теории логики. Если определить значение истинности True с набором предметной области и значение истинности False с пустым набором, то следующие операции считаются логическими согласно предложению:

  1. Функции истины : Предложение допускает все функции истинности. Это включает, но не ограничивается, все n-арные функции истинности для конечного n. (Он также допускает функции истинности с любым бесконечным числом мест.)
  2. Отдельные лица: Нет лиц, при условии, что домен имеет как минимум два члена.
  3. Предикаты:
    • однозначные итоговые и нулевые предикаты, первый из которых имеет все члены домена в его расширении, а второй не имеет членов домена в его расширении
    • двухзначный итоговый и нулевой предикаты, первый из которых имеет набор всех упорядоченных пар членов домена как его расширение, а последний с пустым набором как extension
    • двузначный предикат идентичности, с набором всех пар порядка в его расширении, где является членом домена
    • двузначного предиката разнообразия, с набором всех пар порядков , где a и b являются отдельными членами домена
    • n-арных предикатов в общие: все предикаты, определяемые из предиката идентичности вместе с конъюнкцией, дизъюнкцией и отрицанием (до любой порядковой, конечной или бесконечной)
  4. Кванторы : Тарский явно обсуждает только монадические кванторы и указывает, что все такие числовые кванторы допустимы в соответствии с его предложением. К ним относятся стандартные универсальные и экзистенциальные кванторы, а также числовые кванторы, например, «Ровно четыре», «Конечное множество», «Несчетное множество» и «От четырех до 9 миллионов». Хотя Тарский не вникает в этот вопрос, также ясно, что в рамках предложения допускаются полиадические кванторы. Это квантификаторы, например, для двух предикатов Fx и Gy, «Больше (x, y)», который говорит: «Больше вещей имеют F, чем G.»
  5. Теоретико-множественные отношения: отношения, такие как включение, пересечение и объединение, примененные к подмножествам домена, логичны в настоящем смысле.
  6. Набор членства: Тарский закончил его лекция с обсуждением того, считается ли установленное отношение принадлежности логичным в его понимании. (Учитывая сведение (большей части) математики к теории множеств, это, по сути, вопрос о том, является ли большая часть или вся математика частью логики.) Он указал, что членство в множестве логично, если теория множеств развивается параллельно. линии теории типов, но является экстралогичным, если теория множеств изложена аксиоматически, как в канонической теории множеств Цермело – Френкеля.
  7. Логические понятия высшего порядка: в то время как Тарский ограничился своим обсуждением операций логики первого порядка, в его предложении нет ничего, что обязательно ограничивало бы его логикой первого порядка. (Тарский, вероятно, ограничил свое внимание понятиями первого порядка, так как выступление было адресовано аудитории, не имеющей технических знаний.) Итак, кванторы и предикаты более высокого порядка также допускаются.

В некотором смысле настоящее предложение является обратной стороной Линденбаум и Тарски (1936), которые доказали, что все логические операции Рассела и Уайтхеда Principia Mathematica инвариантны относительно взаимно однозначных преобразований области на себя. Настоящее предложение также используется Тарски и Гивант (1987).

Соломон Феферман и Ванн МакГи продолжили обсуждение предложения Тарского в работе, опубликованной после его смерти. Феферман (1999) поднимает проблемы в связи с этим предложением и предлагает лекарство: замену сохранения Тарского автоморфизмами на сохранение произвольными гомоморфизмами. По сути, это предложение обходит трудности, с которыми предложение Тарского имеет дело с одинаковостью логических операций в разных доменах заданной мощности и в доменах разной мощности. Предложение Фефермана приводит к радикальному ограничению логических терминов по сравнению с первоначальным предложением Тарского. В частности, он в конечном итоге считает логическими только те операторы стандартной логики первого порядка без идентичности.

Макги (1996) дает точный отчет о том, какие операции являются логическими в смысле предложения Тарского с точки зрения выразимости на языке, который расширяет логику первого порядка, допуская произвольно длинные союзы и дизъюнкции, а количественную оценку произвольно много переменных. «Произвольно» включает счетную бесконечность.

Сочинения

Антологии и сборники
  • 1986. Собрание статей Альфреда Тарского, 4 тома. Гивант, С. Р., Маккензи, Р. Н., ред. Биркхойзер.
  • Гивант Стивен (1986). «Библиография Альфреда Тарского». Журнал символической логики. 51 (4): 913–41. DOI : 10.2307 / 2273905. JSTOR 2273905.
  • 1983 (1956). Логика, семантика, метаматематика: статьи с 1923 по 1938 год Альфреда Тарски, Коркоран, Дж., Изд. Хакетт. 1-е издание отредактировано и переведено Дж. Х. Вудгером, Оксфордский университет. Нажмите. Этот сборник содержит переводы с польского некоторых наиболее важных работ Тарского за его раннюю карьеру, в том числе «Концепцию истины в формализованных языках» и «О концепции логического следствия», о которых говорилось выше.
Оригинальные публикации Тарского
  • 1930 г. la theorie de la mesure. Fund Math 15 (1930), 42–50.
  • 1930. (с Ян Лукасевич ). "Untersuchungen uber den Aussagenkalkul" ["Исследования исчисления предложений"], Comptes Rendus des seances de la Societe des Sciences et des Lettres de Varsovie, Vol, 23 (1930) Cl. III, стр. 31–32 в Tarski (1983): 38–59.
  • 1931. «Sur les ensembles définissables de nombres réels I», Fundamenta Mathematicae 17: 210–239 в Tarski (1983): 110–142.
  • 1936. "Grundlegung der wissenschaftlichen Semantik", Международные научные конгрессы, Сорбонна, Париж, 1935 г., т. III, Language et pseudo-problèmes, Paris, Hermann, 1936, стр. 1–8 в Tarski (1983): 401–408.
  • 1936. "Uber den Begriff der logischen Folgerung", Actes du Congrès International de Philophie Scientifique, Сорбонна, Париж, 1935, т. VII, Logique, Paris: Hermann, стр. 1–11 в Tarski (1983): 409–420.
  • 1936 (с Адольфом Линденбаумом). «Об ограничениях дедуктивных теорий» у Тарского (1983): 384–92.
  • 1994 (1941). Введение в логику и методологию дедуктивных наук. Дувр.
  • 1941. «Об исчислении отношений», Journal of Symbolic Logic 6: 73–89.
  • 1944. «Семантическое понятие истины и основы семантики,« Философия и феноменологические исследования 4: 341–75.
  • 1948. Метод принятия решений для элементарной алгебры и геометрии. Санта-Моника, Калифорния: RAND Corp.
  • 1949. Кардинальные алгебры. Oxford Univ. Press.
  • 1953 (совместно с Мостовски и Рафаэлем Робинсоном). Неразрешимые теории. Северная Голландия.
  • 1956. Порядковые алгебры. Северная Голландия.
  • 1965. «Упрощенная формализация логики предикатов с идентичностью», Archiv für Mathematische Logik und Grundlagenforschung 7: 61-79
  • 1969. «Истина и Доказательство », Scientific American 220: 63–77.
  • 1971 (с Леоном Хенкином и Дональдом Монком). Цилиндрические алгебры: Часть I. Северная Голландия.
  • 1985 (с Леоном Хенкином и Дональдом Монком). Цилиндрические алгебры: Часть II. Северная Голландия.
  • 1986. «Что такое логические понятия?», Corcoran, J., ed., History and Philosophy of Logic 7: 143–54.
  • 1987 (со Стивеном Гивантом). Формализация теории множеств без переменных. Выпуск 41 публикаций коллоквиума Американского математического общества. Провиденс Р.И.: Американское математическое общество. ISBN 978-0821810415. Обзор
  • 1999 (со Стивеном Гивантом). «Геометрическая система Тарского», Бюллетень символической логики 5: 175–214.
  • 2002. «О концепции логического следования» (Магда Стройнска и Дэвид Хичкок, пер.) History and Philosophy of Logic 23: 155–196.

См. Также

  • Биографический портал
  • Философский портал

Ссылки

Дополнительная литература

Биографические ссылки
Логическая литература

Внешние ссылки

Викискладе есть материалы, связанные с Альфредом Тарским.
Викицитатник содержит цитаты, связанные с: Альфредом Тарским
Последняя правка сделана 2021-06-10 22:26:50
Содержание доступно по лицензии CC BY-SA 3.0 (если не указано иное).
Обратная связь: support@alphapedia.ru
Соглашение
О проекте