Финитизм

редактировать
Философия математики, которая допускает существование только конечных математических объектов

Финитизм - это философия математики, которая допускает существование только конечных математических объектов. Лучше всего это понимать в сравнении с основной философией математики, где бесконечные математические объекты (например, бесконечные множества ) принимаются как законные.

Содержание

  • 1 Основная идея
  • 2 История
  • 3 Классический финитизм против строгого финитизма
  • 4 Взгляды на бесконечные математические объекты
  • 5 Другие связанные философии математики
  • 6 См. Также
  • 7 Ссылки
  • 8 Дополнительная литература
  • 9 Внешние ссылки

Основная идея

Основная идея финитистической математики не допускает существования бесконечных объектов, таких как бесконечные множества. Хотя все натуральные числа считаются существующими, набор всех натуральных чисел не считается существующим как математический объект. Поэтому количественная оценка по бесконечным доменам не считается значимой. Математическая теория, часто ассоциируемая с финитизмом, - это примитивная рекурсивная арифметика Торальфа Сколема .

История

Введение бесконечных математических объектов произошло несколько столетий назад, когда использование бесконечных объекты уже была спорной темой среди математиков. Проблема вступила в новую фазу, когда Георг Кантор в 1874 году представил то, что сейчас называется наивной теорией множеств, и использовал ее в качестве основы для своей работы по трансфинитным числам. Когда в наивной теории множеств Кантора были обнаружены такие парадоксы, как парадокс Рассела, парадокс Берри и парадокс Бурали-Форти, этот вопрос стал горячей темой для математиков.

Математики занимали разные позиции. Все согласились с конечными математическими объектами, такими как натуральные числа. Однако были разногласия относительно бесконечных математических объектов. Одной из позиций была интуиционистская математика, которую отстаивал Л. Э. Дж. Брауэр, который отрицал существование бесконечных объектов до тех пор, пока они не созданы.

Другая позиция была поддержана Дэвидом Гильбертом : конечные математические объекты - это конкретные объекты, бесконечные математические объекты - идеальные объекты, и принятие идеальных математических объектов не вызывает проблем в отношении конечных математических объектов. Говоря более формально, Гильберт считал, что можно показать, что любую теорему о конечных математических объектах, которые могут быть получены с использованием идеальных бесконечных объектов, можно получить и без них. Следовательно, разрешение бесконечных математических объектов не вызовет проблем с конечными объектами. Это привело к программе Гильберта по доказательству непротиворечивости теории множеств с использованием финитистических средств, поскольку это означало бы, что добавление идеальных математических объектов консервативно по сравнению с финитистической частью. Взгляды Гильберта также связаны с формалистической философией математики. Цель Гильберта доказать непротиворечивость теории множеств или даже арифметики с помощью конечных средств оказалась невыполнимой задачей из-за теорем о неполноте Курта Гёделя. Однако согласно великой гипотезе Харви Фридмана большинство математических результатов должно быть доказано с использованием финитистических средств.

Гильберт не дал строгого объяснения того, что он считал конечным и называл элементарным. Однако, основываясь на его работе с Полом Бернейсом, некоторые эксперты, такие как Уильям Тейт, утверждали, что примитивно-рекурсивная арифметика может считаться верхней границей того, что считал Гильберт. финитистическая математика.

В годы после теорем Гёделя, когда стало ясно, что нет никакой надежды на доказательство непротиворечивости математики, и с развитием аксиоматических теорий множеств, таких как множество Цермело – Френкеля Теория и отсутствие каких-либо доказательств ее непротиворечивости, большинство математиков потеряли интерес к теме. Сегодня большинство классических математиков считаются платонистами и охотно используют бесконечные математические объекты и теоретико-множественную вселенную.

Классический финитизм против строгого финитизма

В своей книге «Философия математики» Теория множеств Мэри Тайлс охарактеризовала тех, кто допускает потенциально бесконечные объекты, как классических финитистов, а тех, кто не допускает потенциально бесконечные объекты, как строгих финитистов : например, классический финитист допустил бы такие утверждения, как «каждое натуральное число имеет преемника » и принял бы осмысленность бесконечного ряда в смысле пределов конечных частичных сумм, в то время как строгий финитист не стал бы. Исторически сложилось так, что письменная история математики была классически финитистской, пока Кантор не создал иерархию трансфинитных кардиналов в конце XIX века.

Взгляды на бесконечные математические объекты

Леопольд Кронекер оставался ярым противником теории множеств Кантора:

Бог создал целые числа; все остальное - дело рук человека.

Рубен Гудштейн был еще одним сторонником финитизма. Некоторые из его работ включали построение до анализа с финитистских основ.

Хотя он это отрицал, большая часть работ Людвига Витгенштейна по математике имеет сильное сходство с финитизмом.

Если финитистов противопоставлять трансфинистам (сторонники, например, иерархии бесконечностей Георга Кантора ), то также Аристотеля можно охарактеризовать как строгого финитиста. Аристотель особенно продвигал потенциальную бесконечность как средний вариант между строгим конечностью и актуальной бесконечностью (последняя является актуализацией чего-то бесконечного в природе, в отличие от кантористской актуальной бесконечности, состоящей из трансфинитных кардинальных и порядковых чисел, которые не имеют ничего общего с вещами в природе):

Но, с другой стороны, предположить, что бесконечное не существует ни в каком путь, очевидно, ведет ко многим невозможным последствиям: будет начало и конец времени, величина не будет делиться на величины, число не будет бесконечным. Если в таком случае с учетом вышеизложенных соображений ни одна из альтернатив не представляется возможной, необходимо вызвать арбитра.

— Аристотель, Физика, Книга 3, Глава 6

Другие родственные философии математики

Ультрафинитизм (также известный как ультраинтуиционизм ) имеет даже более консервативное отношение к математическим объектам, чем финитизм, и возражает против существования конечных математических объектов, когда они слишком велики.

К ​​концу 20-го века Джон Пенн Мэйберри разработал систему конечной математики, которую он назвал «евклидовой арифметикой». Наиболее ярким принципом его системы является полный и строгий отказ от особого основополагающего статуса, обычно присваиваемого итерационным процессам, включая, в частности, построение натуральных чисел с помощью итерации «+1». Следовательно, Мэйберри категорически не согласен с теми, кто пытается приравнять финитную математику к арифметике Пеано или любым ее фрагментам, таким как примитивно-рекурсивная арифметика.

См. Также

Ссылки

Дополнительная литература

  • Фэн Е (2011). Строгий финитизм и логика математических приложений. Springer. ISBN 978-94-007-1347-5.

Внешние ссылки

Последняя правка сделана 2021-05-20 04:28:41
Содержание доступно по лицензии CC BY-SA 3.0 (если не указано иное).
Обратная связь: support@alphapedia.ru
Соглашение
О проекте