Парадокс Бурали-Форти

редактировать

В теории множеств, поле математики, Парадокс Бурали-Форти демонстрирует, что построение «множества всех порядковых чисел » приводит к противоречию и, следовательно, показывает антиномию в системе, которая допускает его построение. Он назван в честь Чезаре Бурали-Форти, который в 1897 году опубликовал статью, доказывающую неизвестную ему теорему, которая противоречила ранее доказанному Кантором результату. Бертран Рассел впоследствии заметил противоречие, и когда он опубликовал его в своей книге «Принципы математики» 1903 года, он заявил, что это было предложено ему в статье Бурали-Форти, в результате чего оно стало известно по имени Бурали-Форти.

Содержание

1 Изложено в терминах порядковых номеров фон Неймана
2 Изложено в более общем плане
3 Разрешения парадокса
4 См. Также
5 Ссылки
6 Внешние ссылки

Выражается в ординалах фон Неймана

Мы докажем это с помощью reductio ad absurdum.

Пусть $Ω {\ displaystyle \ Omega}$ $\ Omega$ будет набором, содержащим все порядковые числа.
$Ω {\ displaystyle \ Omega}$ $\ Omega$ является транзитивным потому что для каждого элемента $x {\ displaystyle x}$ $x$ из $Ω {\ displaystyle \ Omega}$ $\ Omega$ (который является порядковым числом и может быть любым порядковым число) и каждый элемент $y {\ displaystyle y}$ $y$ из $x {\ displaystyle x}$ $x$ (то есть в соответствии с определением порядковые числа фон Неймана для каждого порядкового номера $y < x {\displaystyle y$ ${\ displaystyle y <x}$ ), мы имеем, что $y {\ displaystyle y}$ $y$ является элементом $Ω {\ displaystyle \ Omega}$ $\ Omega$ , потому что любой порядковый номер содержит только порядковые числа, согласно определению этой порядковой конструкции.
$Ω {\ displaystyle \ Omega}$ $\ Omega$ хорошо упорядочено отношением принадлежности, поскольку все его элементы также хорошо упорядочены этим отношением.
Итак, на шагах 2 и 3 мы имеем, что $Ω {\ displaystyle \ Omega}$ $\ Omega$ - порядковый класс, а также, на шаге 1, порядковый номер, потому что все орди конечные классы, являющиеся наборами, также являются порядковыми числами.
Это означает, что $Ω {\ displaystyle \ Omega}$ $\ Omega$ является элементом $Ω {\ displaystyle \ Omega}$ $\ Omega$ .
По определению порядковых чисел фон Неймана $Ω < Ω {\displaystyle \Omega <\Omega }$ ${\ displaystyle \ Omega <\ Omega}$ означает то же самое, что $Ω {\ displaystyle \ Omega}$ $\ Omega$ , являясь элементом $Ω {\ displaystyle \ Omega}$ $\ Omega$ . Последнее утверждение подтверждается шагом 5.
Но у нас нет порядкового класса меньше, чем он сам, включая $Ω {\ displaystyle \ Omega}$ $\ Omega$ из-за шага 4 ( $Ω {\ displaystyle \ Omega}$ $\ Omega$ - порядковый класс), т.е. $Ω ≮ Ω {\ displaystyle \ Omega \ nless \ Omega}$ ${\ displaystyle \ Omega \ nless \ Omega}$ .

Мы вывели два противоречивых утверждения ( $Ω < Ω {\displaystyle \Omega <\Omega }$ ${\ displaystyle \ Omega <\ Omega}$ и $Ω ≮ Ω {\ displaystyle \ Omega \ nless \ Omega}$ ${\ displaystyle \ Omega \ nless \ Omega}$ ) от заданного значения $Ω {\ displaystyle \ Omega}$ $\ Omega$ и, следовательно, опровергнуто, что $Ω {\ displaystyle \ Omega}$ $\ Omega$ - это набор.

В более общем виде

Приведенная выше версия парадокса является анахронизмом, потому что она предполагает определение порядковых чисел из-за Джона фон Неймана, согласно которому каждый порядковый номер является набор всех предшествующих ординалов, который не был известен в то время, когда парадокс был сформулирован Бурали-Форти. Вот учетная запись с меньшим количеством предпосылок: предположим, что мы связываем с каждым хорошо упорядоченным объект, называемый его типом заказа неопределенным образом (типы порядка - это порядковые номера). Типы порядка (порядковые номера) сами по себе упорядочены естественным образом, и это упорядочение должно иметь тип порядка $Ω {\ displaystyle \ Omega}$ $\ Omega$ . В наивной теории множеств легко показать (и остается верным в ZFC, но не в New Foundations ), что порядок всех порядковых номеров меньше фиксированного $α {\ displaystyle \ alpha}$ $\ alpha$ - это сам $α {\ displaystyle \ alpha}$ $\ alpha$ . Таким образом, типом порядка всех порядковых чисел меньше $Ω {\ displaystyle \ Omega}$ $\ Omega$ является само $Ω {\ displaystyle \ Omega}$ $\ Omega$ . Но это означает, что $Ω {\ displaystyle \ Omega}$ $\ Omega$ , будучи типом порядка надлежащего начального сегмента порядковых чисел, строго меньше, чем тип порядка всех порядковых чисел, но последний $Ω {\ displaystyle \ Omega}$ $\ Omega$ само по себе. Получили противоречие.

Если мы воспользуемся определением фон Неймана, согласно которому каждый порядковый номер идентифицируется как набор всех предшествующих порядковых чисел, парадокс неизбежен: оскорбительное утверждение, что порядок всех порядковых номеров меньше фиксированного $α {\ displaystyle \ alpha}$ $\ alpha$ is $α {\ displaystyle \ alpha}$ $\ alpha$ должно быть истинным. Коллекция ординалов фон Неймана, как и коллекция в парадоксе Рассела, не может быть набором в какой-либо теории множеств с классической логикой. Но набор типов порядков в New Foundations (определяемый как классы эквивалентности хороших порядков при сходстве) на самом деле является набором, и парадокса можно избежать, потому что тип порядка порядковых номеров меньше $Ω {\ displaystyle \ Omega}$ $\ Omega$ оказывается не $Ω {\ displaystyle \ Omega}$ $\ Omega$ .

Разрешение парадокса

Современные аксиомы для формальной теории множеств, такие как ZF и ZFC обходит эту антиномию, не позволяя конструировать наборы с использованием терминов , таких как "все наборы со свойством $P {\ displaystyle P}$ $P$ ", как это возможно в теории наивных множеств и как это возможно с аксиомами Готтлоба Фреге - в частности, с Основным законом V - в "Grundgesetze der Arithmetik". Система Куайна Новые основы (NF) использует другое решение. Россер (1942) показал, что в исходной версии системы Куайна «Математическая логика» (ML), расширении «Новых оснований», можно вывести парадокс Бурали-Форти, показывая, что этосистема была противоречивой. Пересмотр Куайном ML после открытия Россера не страдает этим недостатком, и действительно, было впоследствии доказано, что оно равно совместимо с NF Хао Ван.

См. Также

Абсолютно Бесконечное

Ссылки

Бурали-Форти, Чезаре (1897), "Una questione sui numeri transfiniti" (PDF), Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo, 11: 154–164, doi : 10.1007 / BF03015911
Ирвинг Копи (1958) «Парадокс Бурали-Форти», Философия науки 25 (4): 281–286, doi : 10.1086 / 287617
Мур, Грегори Х.; Гарсиадьего, Алехандро (1981), «Парадокс Бурали-Форти: переоценка его происхождения», Historia Mathematica, 8(3): 319–350, doi : 10.1016 / 0315 -0860 (81) 90070-7
Россер, Баркли (1942), «Парадокс Бурали-Форти», Журнал символической логики, 7(1): 1–17, doi : 10.2307 / 2267550, JSTOR 2267550, MR 0006327

Внешние ссылки

Стэнфордская энциклопедия философии : «Парадоксы и современность Logic "- Андреа Кантини.