Войти
Наивная теория множеств - это любая из нескольких теорий множеств, используемых при обсуждении основы математики. В отличие от аксиоматических теорий множеств, которые определяются с помощью формальной логики, наивная теория множеств определяется неформально, на естественном языке. В нем описаны аспекты математических множеств, знакомые в дискретной математике (например, диаграммы Венна и символические рассуждения об их булевой алгебре ), и достаточно для повседневного использования концепций теории множеств в современной математике.
Множества имеют большое значение в математике; в современных формальных трактовках большинство математических объектов (числа, отношения, функции и т. д.) определяются в терминах множеств. Наивной теории множеств достаточно для многих целей, а также она служит ступенькой к более формальным подходам.
Наивная теория в смысле «наивной теории множеств» - это неформализованная теория, то есть теория, которая использует естественный язык для описания множеств и операций над множествами. Слова и, или, если... то не для некоторых, для каждого рассматриваются как в обычной математике. Для удобства использование наивной теории множеств и ее формализма преобладает даже в высшей математике, в том числе в более формальных условиях самой теории множеств.
Первым развитием теории множеств была наивная теория множеств. Он был создан в конце 19 века Георгом Кантором как часть его исследования бесконечных множеств и развит Готтлобом Фреге в своем.
Наивная теория множеств может относиться к нескольким очень различным понятиям. Это может относиться к
Предположение, что любое свойство может быть использовано для формирования множества без ограничений, приводит к парадоксам. Один из распространенных примеров - парадокс Рассела : не существует множества, состоящего из «всех множеств, которые не содержат самих себя». Таким образом, непротиворечивые системы наивной теории множеств должны включать некоторые ограничения на принципы, которые могут использоваться для формирования множеств.
Некоторые считают, что теория множеств Георга Кантора на самом деле не участвовала в теоретико-множественных парадоксах (см. Frápolli 1991). Одна из трудностей в определении этого с уверенностью состоит в том, что Кантор не представил аксиоматизацию своей системы. К 1899 году Кантор осознавал некоторые парадоксы, вытекающие из неограниченной интерпретации его теории, например, парадокс Кантора и парадокс Бурали-Форти, и не считал, что они дискредитируют его теория. Парадокс Кантора может быть фактически выведен из вышеупомянутого (ложного) предположения - что любое свойство P (x) может быть использовано для формирования набора - используя для P (x) «x является кардинальным числом ». Фреге явно аксиоматизировал теорию, в которой формализованная версия наивной теории множеств может быть интерпретирована, и именно к этой формальной теории Бертран Рассел фактически обратился, когда он представил свой парадокс, не обязательно теорию Кантора, которая, как упомянутый, был в курсе нескольких парадоксов, предположительно имел в виду.
Аксиоматическая теория множеств была разработана в ответ на эти ранние попытки понять множества, с целью точно определить, какие операции были разрешены и когда.
Наивная теория множеств не обязательно противоречива, если она правильно определяет множества, разрешенные для рассмотрения. Это можно сделать с помощью определений, которые являются неявными аксиомами. Можно явно сформулировать все аксиомы, как в случае с наивной теорией множеств Халмоша, которая на самом деле является неформальным изложением обычной аксиоматической теории множеств Цермело – Френкеля. Это «наивно» в том смысле, что язык и обозначения соответствуют обычной неформальной математике, и в том смысле, что он не имеет отношения к последовательности или полноте системы аксиом.
Точно так же аксиоматическая теория множеств не обязательно последовательна: не обязательно свободна от парадоксов. Из теорем Гёделя о неполноте следует, что достаточно сложная логическая система первого порядка (которая включает наиболее распространенные аксиоматические теории множеств) не может быть доказана непротиворечивостью изнутри самой теории - даже если это действительно так. последовательный. Однако обычно считается, что общие аксиоматические системы непротиворечивы; своими аксиомами они действительно исключают некоторые парадоксы, такие как парадокс Рассела. Основываясь на теореме Гёделя, просто неизвестно - и никогда не может быть - если в этих теориях или в любой теории множеств первого порядка вообще нет парадоксов.
Термин «наивная теория множеств» до сих пор используется в некоторой литературе для обозначения теорий множеств, изученных Фреге и Кантором, а не к неформальным аналогам современной аксиоматической теории множеств.
Выбор между аксиоматическим подходом и другими подходами в значительной степени является вопросом удобства. В повседневной математике лучшим выбором может быть неформальное использование аксиоматической теории множеств. Ссылки на конкретные аксиомы обычно появляются только тогда, когда этого требует традиция, например при использовании часто упоминается аксиома выбора. Точно так же формальные доказательства происходят только в тех случаях, когда они требуются в исключительных обстоятельствах. Такое неформальное использование аксиоматической теории множеств может иметь (в зависимости от обозначений) в точности вид наивной теории множеств, как показано ниже. Его значительно легче читать и писать (в формулировке большинства утверждений, доказательств и линий обсуждения), и он менее подвержен ошибкам, чем строго формальный подход.
В наивной теории множеств множество описывается как четко определенный набор объектов. Эти объекты называются элементами или элементами набора. Объектами могут быть все, что угодно: числа, люди, другие множества и т. Д. Например, 4 является членом множества всех четных целых чисел. Ясно, что множество четных чисел бесконечно велико; не требуется, чтобы набор был конечным.
Отрывок с первоначальным определением множества Георгом Кантором Определение множеств восходит к Георгу Кантору. Он написал в 1915 году в своей статье Beiträge zur Begründung der transfiniten Mengenlehre :
«Unter einer 'Menge' verstehen wir jede Zusammenfassung M von bestimmten wohlunterschiedenen Objekten unserer 'Anschauung Eleensanden unseres' Эйнем Ганзен ». - Георг Кантор
«Набор - это совокупность в единое целое определенных, отличных объектов нашего восприятия или нашей мысли, которые называются элементами набора». - Георг Кантор
Первое использование символа ϵ в работе Arithmetices Principia nova Methodo exposita от Джузеппе Пеано.Из этого не следует определение того, как наборы могут быть сформированы, и какие операции над наборами снова будут производить набор. Термин «четко определенный» в «четко определенной совокупности объектов» не может сам по себе гарантировать согласованность и однозначность того, что именно составляет, а что не составляет набора. Попытка достичь этого была бы областью аксиоматической теории множеств или аксиоматической теории классов .
. В этом контексте проблема с неформально сформулированными теориями множеств, не производными (и не подразумевающими) какой-либо конкретной аксиоматической теорией, заключается в том, что может существовать несколько сильно различающихся формализованных версий, которые имеют как разные наборы, так и разные правила формирования новых наборов, и все они соответствуют исходному неформальному определению. Например, дословное определение Кантора допускает значительную свободу в том, что составляет набор. С другой стороны, маловероятно, что Кантора особенно интересовали наборы, содержащие кошек и собак, а скорее только наборы, содержащие чисто математические объекты. Примером такого класса множеств может быть вселенная фон Неймана. Но даже при фиксации рассматриваемого класса множеств не всегда ясно, какие правила формирования множеств допустимы без введения парадоксов.
Для того, чтобы исправить приведенное ниже обсуждение, термин «четко определенный» следует интерпретировать как намерение с неявными или явными правилами (аксиомами или определениями), чтобы исключить несоответствия. Цель состоит в том, чтобы держать часто глубокие и сложные вопросы согласованности подальше от, как правило, более простого контекста. Явное исключение всех мыслимых несоответствий (парадоксов) в любом случае не может быть достигнуто для аксиоматической теории множеств из-за второй теоремы Гёделя о неполноте, так что это нисколько не мешает полезности наивной теории множеств по сравнению с аксиоматической теорией множеств в простом виде контексты, рассмотренные ниже. Это просто упрощает обсуждение. Отныне согласованность считается само собой разумеющимся, если явно не указано иное.
Если x является членом множества A, то также говорят, что x принадлежит A или что x находится в A. Это обозначается на x ∈ A. Символ ∈ является производным от строчной греческой буквы эпсилон, «ε», введенной Джузеппе Пеано в 1889 году, и должен быть первой буквой слова ἐστί (означает «есть»). Символ ∉ часто используется для записи x ∉ A, что означает, что «x не входит в A».
Два набора A и B определены как equal, когда они имеют точно такие же элементы, то есть если каждый элемент A является элементом B, и каждый элемент B является элементом A. (См. Аксиому экстенсиональности .) Таким образом, множество полностью определяется своими элементами; описание не имеет значения. Например, набор с элементами 2, 3 и 5 равен набору всех простых чисел меньше 6. Если наборы A и B равны, это обозначается символически как A = B ( по-прежнему).
Пустой набор, часто обозначаемый Ø, а иногда и 
Самый простой способ описать набор - это перечислить его элементы в фигурных скобках (это называется расширенным определением набора). Таким образом, {1, 2} обозначает набор, единственными элементами которого являются 1 и 2. (См. Аксиому спаривания.) Обратите внимание на следующие моменты:
(Это следствия определения равенства в предыдущем разделе.)
Этим обозначением можно неформально злоупотреблять, говоря что-то вроде {собаки} для обозначения набора всех собак, но этот пример обычно читается математиками как "набор, содержащий единственный элемент собаки".
Крайний (но правильный) пример этого обозначения - {}, который обозначает пустое множество.
Обозначение {x: P (x)}, иногда {x | P (x)} используется для обозначения множества, содержащего все объекты, для которых выполняется условие P (известное как определение множества по существу). Например, {x: x ∈ R } обозначает набор действительных чисел, {x: x имеет светлые волосы} обозначает набор всего со светлыми волосами.
Эта нотация называется нотацией построителя множеств (или «пониманием множества », особенно в контексте Функционального программирования ). Некоторые варианты обозначения построителя множеств:
Для двух наборов A и B, A является подмножеством из B, если каждый элемент A также является элементом B. В частности, каждое множество B является подмножеством самого себя; подмножество B, которое не равно B, называется собственным подмножеством .
Если A является подмножество B, то можно также сказать, что B является надмножеством A, что A - это, содержащееся в B, или что B содержит A. В символы, A ⊆ B означает, что A является подмножеством B, а B ⊇ A означает, что B является надмножеством A. Некоторые авторы используют символы ⊂ и ⊃ для подмножеств, а другие используют эти символы только для соответствующих подмножеств. Для ясности, можно явно используйте символы ⊊ и ⊋ для обозначения неравенства.
В качестве иллюстрации пусть R будет набором действительных чисел, пусть Z будет набором целых чисел, пусть O будет набором нечетных целых чисел, и пусть P - набор текущих или бывших US Президенты. Тогда O является подмножеством Z, Z, является подмножеством R, и (следовательно) O является подмножеством R, где во всех случаях подмножество может даже считаться надлежащим подмножеством. Не все наборы таким образом сопоставимы. Например, это не тот случай, когда R является подмножеством P или что P является подмножеством R.
. Из определения равенства множеств, приведенного выше, сразу следует, что для двух множеств A и B, A = B тогда и только тогда, когда A ⊆ B и B ⊆ A. Фактически, это часто приводится как определение равенства. Обычно при попытке доказать, что два набора равны, один стремится показать эти два включения. пустой набор является подмножеством каждого набора (утверждение, что все элементы пустого набора также являются членами любого набора A, пусто истинно ).
Набор всех подмножеств данного набора A называется набором мощности набора A и обозначается 
В определенных контекстах можно рассматривать все рассматриваемые множества как подмножества некоторого данного универсального набора. Например, при исследовании свойств вещественных чисел R(и подмножеств R ), R может быть взят как универсальный набор. Истинный универсальный набор не включен в стандартную теорию множеств (см. Парадоксыниже), но включен в некоторые нестандартные теории множеств.
Учитывая универсальный набор U и подмножество A из U, дополнение из A (в U ) определяется как
Другими словами, A («A-дополнение»; иногда просто A ', "A-prime") - это набор всех элементов U, которые не являются членами A. Таким образом, R, Zи O определены, как в разделе о подмножествах, если Z - универсальный набор, тогда O - это набор четных целых чисел, а если R - универсальный набор, то O - это набор всех действительных чисел, которые либо являются целыми, либо не являются целыми числами вообще.
Для двух наборов A и B их union представляет собой набор, состоящий из всех объектов, которые являются элементами из A или B или обоих (см. аксиому объединения ). Он обозначается A ∪ B.
Пересечение точек A и B представляет собой набор всех объектов, которые находятся как в A, так и в B. by A ∩ B.
Наконец, относительное дополнение B относительно A, также известное как теоретическая разность множеств A и B - это набор всех объектов, принадлежащих A, но не принадлежащих B. Он записывается как A \ B или A - B.
Символически это соответственно
Множество A не обязательно должно быть подмножеством B, чтобы B \ A имел смысл; в этом разница между относительным дополнением и абсолютным дополнением (A = U \ A) из предыдущего раздела.
Чтобы проиллюстрировать эти идеи, пусть A будет набором левшей, а пусть B будет набором людей со светлыми волосами. Тогда A ∩ B - это совокупность всех светловолосых левшей, а A ∪ B - совокупность всех людей, которые левши или светловолосые, или и то, и другое. С другой стороны, A \ B - это совокупность всех людей, которые являются левшами, но не светловолосыми, а B \ A - это совокупность всех людей со светлыми волосами, но не левшей.
Теперь пусть E будет множеством всех людей, и пусть F будет множеством всех живых существ старше 1000 лет. Что в этом случае E ∩ F? Ни один живой человек не старше 1000 лет, поэтому E ∩ F должно быть пустым множеством {}.
Для любого набора A набор степеней
Интуитивно понятно, что упорядоченная пара - это просто набор двух объектов, один из которых можно выделить как первый. element, а другой - как второй, и имеющий фундаментальное свойство: две упорядоченные пары равны тогда и только тогда, когда их первые элементы равны, а их вторые элементы равны.
Формально упорядоченная пара с первой координатой a и второй координатой b, обычно обозначаемой (a, b), может быть определена как набор {{ a}, {a, b}}.
Отсюда следует, что две упорядоченные пары (a, b) и (c, d) равны тогда и только тогда, когда a = c и b = d.
В качестве альтернативы, упорядоченную пару можно формально представить как набор {a, b} с общим порядком.
(обозначение (a, b) также используется для обозначения открытый интервал в строке вещественных чисел, но из контекста должно быть ясно, какое значение имеет смысл. В противном случае для обозначения открытого интервала могут использоваться обозначения] a, b [, тогда как (a, б) используется для упорядоченной пары).
Если A и B установлены, то декартово произведение (или просто произведение ) определяется как:
То есть, A × B - это множество всех упорядоченных пар, первая координата которых является элементом A, а вторая координата является элемент B.
Это определение может быть расширено до набора A × B × C упорядоченных троек и, в более общем смысле, до наборов упорядоченных n-кортежей для любого положительного целого числа n. Можно даже определить бесконечное декартово произведение, но для этого требуется более сложное определение произведения.
Декартовы произведения были впервые разработаны Рене Декартом в контексте аналитической геометрии. Если R обозначает набор всех действительных чисел, то R : = R× Rпредставляет евклидову плоскость и R : = R× R× Rпредставляет трехмерное евклидово пространство.
Есть несколько распространенных множеств, для которых обозначения почти универсальны. Некоторые из них перечислены ниже. В списке a, b и c относятся к натуральным числам, а r и s - действительные числа.
) часто представляет этот набор.
) часто представляет этот набор (от немецкого Zahlen, что означает числа).
) часто представляет этот набор (для частного, поскольку R используется для набора действительных чисел).
) и некоторые другие иррациональные числа. Этот набор часто представляет собой Q с верхней чертой (
). Верхняя черта обозначает операцию алгебраического замыкания.
).
. Здесь либо 
, либо 
(или оба) могут быть равны нулю; таким образом, набор действительных чисел и набор строго мнимых чисел являются подмножествами набора комплексных чисел, которые образуют алгебраическое замыкание для набора действительных чисел, что означает, что каждый многочлен с коэффициентами в имеет хотя бы один корень в этом наборе. Этот набор часто обозначается полужирным шрифтом с заглавной буквы C(
). Обратите внимание, поскольку число можно отождествить с точкой 
на плоскости, в основном "то же самое", что и декартово произведение ×(«то же самое», означающее, что любая точка в одной точке определяет уникальную точку в другой и для результата вычисления, не имеет значения, какой из них используется для вычисления, если правило умножения подходит для ).Принцип неограниченного формирования множеств, называемый схемой аксиомы неограниченного понимания,
является источником нескольких ранних парадоксов:
Если схема аксиомы неограниченного понимания ослаблена до схема аксиом спецификации или схема аксиом разделения,
Тогда все вышеперечисленные парадоксы исчезнут. Есть следствие. Из схемы аксиом разделения как аксиомы теории следует, как теорема теории:
Или, что более эффектно (формулировка Халмоса): нет вселенная. Доказательство: Предположим, что он существует, и назовите его U. Теперь примените схему аксиом разделения с X = U и для P (x) используйте x ∉ x. Это снова приводит к парадоксу Рассела. Следовательно, U не может существовать в этой теории.
С приведенными выше конструкциями связано формирование множества
Проблематично (возможно, удивительно) не возможность x ∈ x. Это снова схема аксиом неограниченного понимания, допускающая (x ∈ x) → {} ≠ {} для P (x). При использовании схемы аксиом спецификации вместо неограниченного понимания вывод Y ∈ Y не выполняется и, следовательно, {} ≠ {} не является логическим следствием.
Тем не менее, возможность x ∈ x часто исключается явно или, например, в ZFC, неявно, требуя соблюдения аксиомы регулярности. Одним из следствий этого является
или, другими словами, никакое множество не является элементом самого себя.
Схема аксиомы разделения просто слишком слабая (в то время как неограниченное понимание - очень сильная аксиома - слишком сильная для теории множеств), чтобы развивать теорию множеств с ее обычными операциями и конструкциями, изложенными выше. Аксиома регулярности также носит ограничительный характер. Следовательно, нужно сформулировать другие аксиомы, чтобы гарантировать существование достаточного количества множеств для формирования теории множеств. Некоторые из них неформально описаны выше, а многие другие возможны. Не все мыслимые аксиомы можно свободно объединить в непротиворечивые теории. Например, аксиома выбора ZFC несовместима с мыслимым, каждый набор действительных чисел измерим по Лебегу. Первое подразумевает, что второе ложно.
Портал математики 