Войти
В математической области теории множеств большой кардинал пр operty - это определенный вид свойства трансфинитного количественных чисел. Кардиналы с такими свойствами, как следует из названия, обычно очень «большие» (например, больше, чем наименьшее α, такое, что α = ω α). Утверждение о том, что такие кардиналы существуют, не может быть доказано с помощью наиболее распространенной аксиоматизации теории множеств, а именно ZFC, и такие утверждения можно рассматривать как способы измерения того, насколько «много», помимо ZFC., нужно предположить, чтобы иметь возможность доказать определенные желаемые результаты. Другими словами, их можно рассматривать во фразе Даны Скотт как количественную оценку того факта, что «если вы хотите большего, вы должны предполагать большее».
Существует приблизительное соглашение что результаты, которые можно доказать только с помощью ZFC, могут быть сформулированы без гипотез, но если для доказательства требуются другие предположения (например, существование больших кардиналов), их следует указать. Является ли это просто лингвистической конвенцией или чем-то большим, это спорный вопрос среди различных философских школ (см. Мотивации и эпистемический статус ниже).
A аксиома большого кардинала - аксиома, утверждающая, что существует кардинал (или, возможно, многие из них) с некоторым заданным большим кардинальным свойством.
Большинство теоретиков рабочих множеств считают, что рассматриваемые в настоящее время большие кардинальные аксиомы согласованы с ZFC. Эти аксиомы достаточно сильны, чтобы подразумевать непротиворечивость ZFC. Это имеет следствие (с помощью второй теоремы Гёделя о неполноте ), что их согласованность с ZFC не может быть доказана в ZFC (при условии, что ZFC согласован).
Не существует общепринятого точного определения того, что такое большое кардинальное свойство, хотя практически все согласны с тем, что те, что в списке больших кардинальных свойств являются большими кардинальными свойствами.
Необходимым условием того, чтобы свойство кардинальных чисел было большим кардинальным свойством, является то, что существование такого кардинала не известно как несовместимое с ZFC, и оно было доказано, что если ZFC согласован, то ZFC + «такого кардинала не существует» согласован.
Замечательное наблюдение относительно больших кардинальных аксиом состоит в том, что они, кажется, возникают в строгом линейном порядке на степень согласованности. То есть в следующих случаях не известно никаких исключений: при наличии двух больших кардинальных аксиом A 1 и A 2 происходит ровно одно из трех:
Они являются взаимоисключающими, если только одна из рассматриваемых теорий на самом деле не противоречит.
В случае 1 мы говорим, что A 1 и A 2 являются равносогласованными. В случае 2 мы говорим, что A 1 с точки зрения согласованности сильнее, чем A 2 (наоборот, для случая 3). Если A 2 сильнее, чем A 1, то ZFC + A 1 не может доказать, что ZFC + A 2 согласован, даже с дополнительная гипотеза о том, что ZFC + A 1 сама по себе непротиворечива (при условии, конечно, что это действительно так). Это следует из второй теоремы Гёделя о неполноте.
Наблюдение за тем, что большие кардинальные аксиомы линейно упорядочены по силе согласованности, является всего лишь наблюдением, а не теоремой. (Без общепринятого определения большого кардинального свойства оно не подлежит доказательству в обычном смысле). Кроме того, не во всех случаях известно, какой из трех случаев имеет место. Сахарон Шела спросил: «Есть ли какая-то теорема, объясняющая это, или наше видение просто более однородно, чем мы думаем?» Вудин, однако, выводит это из Ω-гипотезы, главной нерешенной проблемы его Ω-логики. Также примечательно, что многие комбинаторные утверждения в точности равносогласованы с некоторым большим кардиналом, а не, скажем, промежуточными между ними.
Порядок силы согласованности не обязательно совпадает с порядком размера наименьшего свидетельства большой кардинальной аксиомы. Например, существование огромного кардинала намного сильнее с точки зрения силы согласованности, чем существование суперкомпактного кардинала, но если предположить, что оба существуют, первое огромное меньше, чем первый суперкомпакт.
Большие кардиналы понимаются в контексте вселенной фон Неймана V, которая создается трансграничным повторением powerset операция, которая собирает вместе все подмножества данного набора. Обычно модели, в которых не работают большие кардинальные аксиомы, можно естественным образом рассматривать как подмодели тех, в которых эти аксиомы верны. Например, если существует недоступный кардинал, то «отсечение вселенной» на высоте первого такого кардинала дает вселенную, в которой нет недоступного кардинала. Или, если существует измеримый кардинал, то итерация определяемой операции набора степеней, а не полной, дает конструируемую вселенную Гёделя, L, которая не удовлетворяет утверждению «существует измеримый кардинал "(даже если он содержит измеримый кардинал в качестве порядкового номера).
Таким образом, с определенной точки зрения, которой придерживаются многие теоретики множеств (особенно те, кто вдохновлен традицией Кабал ), большие кардинальные аксиомы «говорят», что мы рассматриваем все множества мы «предполагаем» рассматривать, в то время как их отрицания являются «ограничительными» и говорят, что мы рассматриваем только некоторые из этих множеств. Более того, последствия больших кардинальных аксиом кажутся естественными (см. Мэдди, «Вера в аксиомы, II»). По этим причинам такие теоретики множеств склонны считать, что большие кардинальные аксиомы имеют предпочтительный статус среди расширений ZFC, который не разделяется аксиомами с менее четкой мотивацией (такими как аксиома Мартина ) или другими, которые они интуитивно считают маловероятно (например, V = L ). Хардкорные реалисты в этой группе, проще говоря, заявили бы, что большие кардинальные аксиомы верны.
Эта точка зрения отнюдь не универсальна среди теоретиков множеств. Некоторые формалисты утверждали бы, что стандартная теория множеств по определению изучает последствия ZFC, и хотя они, возможно, не возражают в принципе против изучения последствий других систем, они не видят причин выделять большие кардиналы по желанию. Есть также реалисты, которые отрицают, что онтологический максимализм является правильной мотивацией, и даже считают, что большие кардинальные аксиомы ложны. И, наконец, некоторые отрицают, что отрицание больших кардинальных аксиом носит ограничительный характер, указывая, что (например) в L может существовать модель транзитивного множества, которая считает, что существует измеримый кардинал, хотя Сам L не удовлетворяет этому предложению.
