Войти
В философии математики, логицизм - это программа, содержащая один или несколько тезисов, которые - для некоторого последовательного значения слова «логика » - математика является расширением логики, часть или вся математика сводится к логике, или часть или вся математика может быть смоделирована логикой. Бертран Рассел и Альфред Норт Уайтхед отстаивали эту программу, инициировали Автор Готтлоб Фреге и впоследствии разработан Ричардом Дедекиндом и Джузеппе Пеано.
Путь Дедекинда к логицизму имел поворотный момент, когда он смог построить модель, удовлетворяющую аксиомам, характеризующим действительные числа, используя определенные наборы рациональные числа. Эта и связанные с ней идеи убедили его, что арифметика, алгебра и анализ могут быть сведены к натуральным числам плюс «логика» классов. Кроме того, к 1872 году он пришел к выводу, что сами натуральные числа сводятся к множествам и отображениям. Вполне вероятно, что другие логики, в первую очередь Фреге, также руководствовались новыми теориями реальных чисел, опубликованными в 1872 году.
Философский импульс логицистской программы Фреге, начиная с Grundlagen der Arithmetik и далее, был частично его неудовлетворенность эпистемологическими и онтологическими обязательствами существовавших на тот момент описаний натуральных чисел, а также его убежденность в том, что использование Кантом истин о натуральных числах в качестве примеров синтетических чисел априорная правда была неверна.
Это положило начало периоду расширения логицизма с Дедекиндом и Фреге в качестве его основных представителей. Однако эта начальная фаза логицистской программы оказалась в кризисе с открытием классических парадоксов теории множеств (Cantor 1896, Zermelo and Russell 1900–1901). Фреге отказался от проекта после того, как Рассел признал и сообщил свой парадокс, определяющий несоответствие в системе Фреге, изложенной в Grundgesetze der Arithmetik. Обратите внимание, что наивная теория множеств также страдает от этой трудности.
С другой стороны, Рассел написал Принципы математики в 1903 году, используя парадокс и разработки школы геометрии Джузеппе Пеано. Поскольку он рассматривал тему примитивных понятий в геометрии и теории множеств, этот текст стал водоразделом в развитии логицизма. Доказательства утверждения логицизма были собраны Расселом и Уайтхедом в их Principia Mathematica.
. Сегодня считается, что большая часть существующей математики логически выводится из небольшого числа внелогических аксиом, таких как аксиомы Теория множеств Цермело – Френкеля (или ее расширение ZFC ), из которой пока не возникло никаких противоречий. Таким образом, элементы логицистских программ оказались жизнеспособными, но в процессных теориях классов, множеств и отображений, а также в логиках более высокого порядка, отличных от семантики Хенкина, стали рассматриваться как внелогичные по своей природе, частично под влиянием более поздней мысли Куайна.
Теоремы Курта Гёделя о неполноте показывают, что никакая формальная система, из которой нельзя вывести аксиомы Пеано для натуральных чисел, - например, системы Рассела в PM - не может решить все правильно сформированные предложения этой системы. Этот результат повредил программу Гильберта по основам математики, согласно которой `` бесконечные '' теории, такие как теория PM, должны были быть доказаны согласованными с финитарными теориями, с тем, чтобы те, кто беспокоился о `` бесконечных методах '', могли быть уверены, что их использование не должно доказуемо. приводят к противоречию. Результат Гёделя предполагает, что для того, чтобы сохранить логицистскую позицию, сохраняя при этом как можно больше классической математики, нужно принять некоторую аксиому бесконечности как часть логики. На первый взгляд, это наносит ущерб и логической программе, хотя и только тем, кто уже сомневается в «бесконечных методах». Тем не менее, позиции, вытекающие как из логицизма, так и из гильбертовского финитизма, продолжали выдвигаться после публикации результата Гёделя.
Одним из аргументов в пользу того, что программы, основанные на логицизме, остаются в силе, может быть то, что теоремы о неполноте «доказываются с помощью логики, как любые другие теоремы». Однако этот аргумент, по-видимому, не признает различия между теоремами логики первого порядка и теоремами логики высшего порядка. Первое можно доказать с помощью финишных методов, а второе - в целом - нет. Теорема Тарского показывает, что нумерация Гёделя может использоваться для доказательства синтаксических конструкций, но не семантических утверждений. Следовательно, утверждение о том, что логицизм остается действующей программой, может заставить человека считать, что система доказательства, основанная на существовании и свойствах натуральных чисел, менее убедительна, чем система, основанная на какой-то конкретной формальной системе.
Логицизм - особенно благодаря влиянию Фреге на Рассела и Витгенштейна, а затем и на Даммита, он внес значительный вклад в развитие аналитической философии в течение двадцатого века.
Айвор Граттан-Гиннесс утверждает, что французское слово «Logistique» было «введено Кутюра и другими в 1904 году Международный конгресс философии, и с тех пор использовался Расселом и другими в версиях, подходящих для разных языков ». (G-G 2000: 501).
По-видимому, первое (и единственное) использование Рассела появилось в его 1919 году: «Рассел несколько раз ссылался [sic] на Фреге, представляя его как человека,« который первым преуспел в «логизации» математики »(стр. 7 Помимо искажения (которое Рассел частично исправил, объясняя свой взгляд на роль арифметики в математике), этот отрывок примечателен словом, которое он заключил в кавычки, но их присутствие предполагает нервозность, и он никогда не использовал снова слово, так что «логицизм» возник только в конце 1920-х годов »(GG 2002: 434).
Примерно в то же время, что и Карнап (1929), но, очевидно, независимо, Френкель (1928) использовал это слово : «Без комментариев он использовал название« логицизм », чтобы охарактеризовать позицию Уайтхеда / Рассела (в заголовке раздела на стр. 244, объяснение на стр. 263)» (GG 2002: 269). Карнап использовал немного другое слово «Логистик»; Беманн пожаловался на его использование в рукописи Карнапа, поэтому Карнап предложил слово «логизизм», но, в конце концов, он остановился на своем выборе слова «Логистик» (G-G 2002: 501). В конечном итоге «с 1930 года распространение происходило в основном за счет Карнапа». (G-G 2000: 502).
Символическая логика : Открытое намерение логицизма состоит в том, чтобы вывести всю математику из символической логики (Фреге, Дедекинд, Пеано, Рассел). В отличие от алгебраическая логика (логика ), которая использует арифметические концепции, символическая логика начинается с очень сокращенного набора знаков (неарифметических символов), нескольких «логических» аксиомы, которые воплощают в себе «законы мысли», и правила вывода, которые диктуют, как метки должны быть собраны и обработаны - например, подстановка и modus ponens (то есть из [1] A материально подразумевает B и [ 2] A, можно вывести B). Логицизм также заимствует из основ Фреге редукцию высказываний естественного языка от «субъекта | предиката» до пропозициональных «атомов» или «аргумента | функции» «обобщения» - понятий «все», «некоторые», «класс» ( сбор, совокупность) и «отношение».
При выводе логиками натуральных чисел и их свойств никакая «интуиция» числа не должна «проникать» ни в качестве аксиомы, ни случайно. Цель состоит в том, чтобы вывести всю математику, начиная с подсчета чисел, а затем с реальных чисел, только на основе некоторых выбранных «законов мысли», без каких-либо неявных предположений «до» и «после», «меньше» и «больше». или по существу: «преемник» и «предшественник». Гёдель 1944 резюмировал логические «конструкции» Рассела по сравнению с «конструкциями» в основополагающих системах интуиционизма и формализма («школа Гильберта») следующим образом: «Обе эти школы основывают свои конструкции на математической интуиции, избегание которой является в точности одним. основных целей конструктивизма Рассела »(Gödel 1944 in Collected Works 1990: 119).
История : Гёдель 1944 резюмировал исторический фон от Лейбница в Characteristica universalis, через Фреге и Пеано до Рассела: «Фреге в основном интересовался анализом мышления и использовал свое исчисление в первую очередь для вывода арифметики из чистой логика », а Пеано« больше интересовали ее приложения в математике ». Но «только в Principia Mathematica [Рассела] в полной мере был использован новый метод вывода больших частей математики из очень небольшого числа логических понятий и аксиом. Кроме того, молодая наука обогатилась новым инструментом, абстрактным теория отношений »(с. 120-121).
Клини 1952 заявляет об этом так: «Лейбниц (1666) сначала задумал логику как науку, содержащую идеи и принципы, лежащие в основе всех других наук. Дедекинд (1888) и Фреге (1884, 1893, 1903) занимались в определении математических понятий в терминах логических, а Пеано (1889, 1894–1908) в выражении математических теорем в логической символике »(стр. 43); в предыдущем абзаце он включает Рассела и Уайтхеда в качестве примеров «логической школы», две другие «основополагающие» школы - это интуиционистская и «формалистическая или аксиоматическая школа» (стр. 43).
Фреге 1879 описывает свои намерения в Предисловии к его Begriffsschrift 1879 года: Он начал с рассмотрения арифметики: произошло ли это из «логики» или из «фактов опыта»?
Дедекинд 1887 описывает свои намерения в предисловии 1887 года к первому изданию своей книги «Природа и значение чисел». Он считал, что в «основах простейшей науки; а именно, та часть логики, которая имеет дело с теорией чисел» не была должным образом аргументирована - «ничто, способное к доказательству, не должно приниматься без доказательства»:
Пеано 1889 заявляет о своем намерении в своей Предисловие к его Основам арифметики 1889 года:
Рассел 1903 описывает свои намерения в Предисловии к его Основы математики 1903 г.:
Дедекинд и Фреге : эпистемологии Дедекинда и Фреге кажутся менее определенными, чем Рассела, но оба кажутся априори принимающими обычные «законы мысли» относительно простых пропозициональных утверждений (обычно веры); этих законов было бы достаточно самих по себе, если бы они были дополнены теорией классов и отношений (например, x R y) между индивиды x и y связаны обобщением Р.
«свободные образования человеческого разума» Дедекинда в отличие от «ограничений» Кронекера : аргумент Дедекинда начинается с «1. В дальнейшем я понимаю под вещами каждый объект нашей мысли »; мы, люди, используем символы для обсуждения этих« вещей »нашего разума;« Вещь полностью определяется всем, что можно утверждать или думать о ней »(стр. 44) В следующем абзаце Дедекинд обсуждает, что такое «система S: это совокупность, многообразие, совокупность связанных элементов (вещей) a, b, c»; он утверждает, что «такая система S... как объект нашей мысли - это также вещь (1); это полностью определяется, когда в отношении каждой вещи определяется, является ли она элементом S или нет. * »(стр. 45, курсив добавлен). * указывает на сноску, где он заявляет, что:
Действительно, он ждет, чтобы Кронекер «опубликовал свои доводы в пользу необходимости или просто целесообразности этих ограничений» (стр. 45).
Леопольд Кронекер, известный своим утверждением, что «Бог создал целые числа, все остальное - дело рук человека. «имел своих врагов, среди которых был Гильберт. Гильберт называл Кронекера« догматиком в той мере, в какой он принимает целое число с его основными свойствами как догму и не оглядывается назад », и приравнивал свою крайнюю конструктивистскую позицию к позиции Брауэра интуиционизм, обвиняющий обоих в «субъективизме»: «Это часть задачи науки - освободить вас. от произвола, сантиментов и привычек и чтобы защитить нас от субъективизма, который уже проявился во взглядах Кронекера и, как мне кажется, находит свою кульминацию в интуиционизме ". Затем Гильберт заявляет, что «математика - наука без предпосылок. Чтобы основать ее, мне не нужен Бог, как это делает Кронекер…». (стр. 479).
Рассел как реалист : Реализм Рассела служил ему противоядием от британского идеализма, с частями, заимствованными из европейского рационализма и британского эмпиризм. Начнем с того, что «Рассел был реалистом в двух ключевых вопросах: универсалии и материальные объекты» (Russell 1912: xi). Для Рассела таблицы - это реальные вещи, которые существуют независимо от Рассела-наблюдателя. Рационализм внесет вклад в понятие априорного знания, в то время как эмпиризм внесет вклад в роль эмпирического знания (индукция из опыта). Рассел доверил бы Канту идею «априорного» знания, но он предлагает возражение Канту, которое он считает «фатальным»: «Факты [мира] всегда должны соответствовать логике и арифметике. Чтобы сказать, что логика и арифметика являются внесенный нами, не учитывает это »(1912: 87); Рассел заключает, что мы обладаем априорными знаниями «о вещах, а не только о мыслях» (1912: 89). И в этом эпистемология Рассела кажется отличной от веры Дедекинда в то, что «числа являются свободными творениями человеческого разума» (Dedekind 1887: 31)
Но его эпистемология о врожденном (он предпочитает слово a priori, когда применяется логическим принципам, ср. 1912: 74) сложно. Он решительно и недвусмысленно выразил поддержку платоническим «универсалиям» (ср. 1912: 91-118) и пришел бы к выводу, что истина и ложь «где-то там»; умы порождают убеждения, и то, что делает их истинными, является фактом, «и этот факт (за исключением исключительных случаев) не затрагивает разум человека, у которого есть убеждение» (1912: 130).
Откуда Рассел взял эти эпистемологические понятия? Он рассказывает нам в предисловии к своим Основам математики 1903 года. Обратите внимание, что он утверждает, что убеждение: «Эмили - кролик» не существует, и все же истинность этого несуществующего утверждения не зависит от любого знающего ума; если Эмили действительно кролик, факт этой истины существует независимо от того, жив или мертв Рассел или какой-либо другой разум, и отношение Эмили к кроличьей шкуре «окончательное»:
Парадокс Рассела : В 1902 году Рассел обнаружил «порочный круг» (парадокс Рассела ) в Grundgesetze der Arithmetik Фреге, выведенном из Основного закона V Фреге, и был определен чтобы не повторять это в его Основах математики 1903 года. В двух приложениях, добавленных в последнюю минуту, он посвятил 28 страниц как подробному анализу теории Фреге, в отличие от его собственной, так и исправлению парадокса. Но он не был оптимистичен по поводу результата:
« Художественный вымысел »и неклассовая теория Рассела : Гедель в своей книге 1944 года не согласился бы с молодым Расселом. 1903 г. («[мои предположения] допускают, чтобы математика была верной»), но, вероятно, согласится с приведенным выше утверждением Рассела («что-то не так»); Теория Рассела не смогла прийти к удовлетворительному обоснованию математики: результат был «по существу отрицательным; т.е. классы и концепции, введенные таким образом, не обладают всеми свойствами, необходимыми для использования математики» (Gödel 1944: 132).
Как Рассел оказался в этой ситуации? Гёдель замечает, что Рассел - удивительный «реалист» с изюминкой: он цитирует работу Рассела 1919: 169 «Логика имеет такое же отношение к реальному миру, как и зоология» (Gödel 1944: 120). Но он отмечает, что «когда он приступил к конкретной проблеме, объекты, подлежащие анализу (например, классы или предложения), вскоре по большей части превратились в« логические фикции »... [имея в виду] только то, что у нас нет прямого восприятия их." (Gödel 1944: 120)
В наблюдении, относящемся к логике Рассела, Перри отмечает, что Рассел прошел через три фазы реализма: крайний, умеренный и конструктивный (Perry 1997: xxv). В 1903 году он был в своей крайней фазе; к 1905 году он будет в умеренной фазе. Через несколько лет он «откажется от физических или материальных объектов в качестве основных предметов обстановки мира. Он попытается сконструировать их из чувственных данных» в своей следующей книге «Наши знания внешнего мира [1914]» ( Perry 1997: xxvi).
Эти конструкции в том, что Гёдель 1944 назвал бы «номиналистическим конструктивизмом... который лучше было бы назвать беллетризацией ", производной от" более радикальной идеи Рассела, теории отсутствия классов "(стр. 125):
См. больше в разделах« Критика »ниже.
Логицизм Фреге и Дедекинда аналогичен логицизму Рассела, но с различиями в деталях (см. Критические замечания ниже). В целом логицистские выводы натуральных чисел отличаются от выводов, например, из аксиом Цермело. для теории множеств ('Z'). Принимая во внимание, что при выводе из Z в одном определении "числа" используется аксиома этой системы - аксиома спаривания, которая приводит к определению "упорядоченной пары" - в различных системах аксиом логики, позволяющих вывод натуральных чисел, не существует явной числовой аксиомы. Обратите внимание, что аксиомы, необходимые для вывода определения числа, могут различаться в разных системах аксиом теории множеств в любом случае. Например, в ZF и ZFC, аксиома спаривания и, в конечном итоге, понятие порядка ed пара выводится из Аксиомы бесконечности и Аксиомы замещения и требуется в определении чисел фон Неймана (но не чисел Цермело), тогда как в NFU числа Фреге могут быть получены аналогично их выводу в Grundgesetze.
Principia, как и его предшественник Grundgesetze, начинает свое построение чисел с примитивных суждений, таких как «класс», «пропозициональная функция», и, в частности, отношений «подобия» («равнодоступность»: размещение элементы коллекций во взаимно-однозначном соответствии) и «упорядочивание» (с использованием отношения «преемник» для упорядочивания коллекций равноправных классов) ». Логистический вывод приравнивает кардинальные числа, построенные этим путь к натуральным числам, и эти числа в конечном итоге все того же «типа» - как классы классов - тогда как в некоторых теоретических конструкциях множеств - например, числа фон Нейммана и Цермело - каждое число имеет своего предшественника как подмножество. Клини замечает следующее. (Предположения Клини (1) и (2) утверждают, что 0 имеет свойство P, а n + 1 обладает свойством P, если n имеет свойство P.)
Важность логицистской программы построения натуральных чисел проистекает из утверждения Рассела, что« вся традиционная чистая математика может быть выводится из натуральных чисел - открытие, сделанное недавно, хотя и подозревалось давно »(1919: 4). Один вывод действительных чисел происходит из теории Дедекинд сокращает рациональные числа, а рациональные числа, в свою очередь, выводятся из натуральных. Хотя пример того, как это делается, полезен, в первую очередь он основан на выводе натуральных чисел. Итак, если при логическом выводе натуральных чисел возникают философские трудности, этих проблем должно быть достаточно, чтобы остановить программу, пока они не будут решены (см. Критические замечания ниже).
Одна попытка построить натуральные числа обобщена Бернейсом 1930–1931 гг. Но вместо того, чтобы использовать краткую информацию Берней, которая неполна в некоторых деталях, ниже приводится попытка перефразировать конструкцию Рассела, включая некоторые ограниченные иллюстрации:
Рассел, коллекции (классы) - это совокупность «вещей», определяемых собственными именами, которые возникают в результате предложений (утверждения фактов о вещи или вещах). Рассел проанализировал это общее понятие. Он начинает с «терминов» в предложениях, которые он анализирует следующим образом:
Термины : Для Рассела «термины» - это либо «вещи», либо «концепции»: «Все, что может быть предметом мысли или может встречаются в любом истинном или ложном суждении или могут считаться одним словом, я называю это термином. Таким образом, это самое широкое слово в философском словаре. Я буду использовать как синонимы ему слова «единица», «индивид» и «сущность». Первые два подчеркивают тот факт, что каждый термин является одним, в то время как третий выводится из того факта, что каждый термин существует, то есть в некотором смысле. Человек, момент, число, класс, отношение, химера, или что-нибудь еще, что можно упомянуть, обязательно будет термином, и отрицать, что такая-то вещь является термином, всегда должно быть ложным »(Russell 1903: 43)
Вещи обозначаются собственными именами; понятия обозначаются прилагательными или глаголами : «Среди терминов можно выделить два вида, которые я буду называть соответственно вещами и понятиями; первые - это термины, обозначаемые собственными именами, вторые - те, которые обозначаются всеми другими словами.... Среди понятий, опять же, необходимо различать по крайней мере два вида, а именно те, которые обозначаются прилагательными, и те, которые обозначаются глаголами »(1903: 44).
Понятия-прилагательные - это «предикаты»; концепт-глаголы - это «отношения» : «Первый вид часто будет называться предикатами или классовыми концептами; вторые всегда или почти всегда являются отношениями». (1903: 44)
Понятие «переменного» субъекта, появляющееся в предложении : «Я буду говорить об условиях предложения как о тех терминах, сколь бы многочисленны они ни были, которые встречаются в предложении и могут рассматриваться как субъекты, о которых идет речь в предложении. Характерной чертой терминов предложения является то, что любой из них может быть заменен любым другим субъектом без того, чтобы мы перестали иметь предложение. Таким образом, мы скажем, что «Сократ - человек» - это предложение имеющий только один термин; из оставшегося компонента предложения один - это глагол, другой - предикат... Таким образом, предикаты - это концепции, отличные от глаголов, которые встречаются в предложениях, имеющих только один термин или подлежащее ". (1903: 45)
Истина и ложь : Предположим, кто-то должен указать на объект и сказать: «Этот объект передо мной по имени« Эмили »- женщина». Это утверждение, утверждение веры говорящего, которая должна быть проверена на «фактах» внешнего мира: «Разумы не создают истину или ложь. Они создают убеждения... то, что делает убеждение истинным, является фактом., и этот факт (за исключением исключительных случаев) никоим образом не затрагивает разум человека, имеющего веру »(1912: 130). Если в результате исследования высказывания и соответствия «факту» Рассел обнаруживает, что Эмили - кролик, то его высказывание считается «ложным»; если Эмили - женщина-человек (женщина, «двуногая без перьев», как Рассел любит называть людей, следуя анекдоту Диогена Лаэрция о Платоне), то его высказывание считается «истинным».
Классы (агрегаты, комплексы) : «Класс, в отличие от понятия класса, представляет собой сумму или соединение всех терминов, имеющих данный предикат» (1903, стр. 55). Классы могут быть определены расширением (перечислением их членов) или интенсификацией, то есть «пропозициональной функцией», такой как «x is a u» или «x is v». Но «если мы возьмем расширение в чистом виде, наш класс определяется перечислением его терминов, и этот метод не позволит нам иметь дело, как это делает символическая логика, с бесконечными классами. Таким образом, наши классы в общем должны рассматриваться как объекты, обозначаемые концепциями., и в этом смысле важна точка зрения интенсификации ». (1909, с. 66)
Пропозициональные функции : «Характерной чертой концепции класса, в отличие от терминов в целом, является то, что« x is au »является пропозициональной функцией тогда и только тогда, когда u является класс-концепция ". (1903: 56)
Экстенсиональное и интенсиональное определение класса : «71. Класс может быть определен экстенсионально или интенсионально. Иными словами, мы можем определить вид объекта, который является классом, или вид концепции, обозначающей класс: это точное значение противопоставления протяженности и интенсификации в этой связи. Но хотя общее понятие может быть определено таким двояким образом, отдельные классы, кроме тех случаев, когда они оказываются конечными, может быть определено только интенсионально, то есть как объекты, обозначаемые такими-то и такими-то понятиями... логически; экстенсиональное определение, кажется, в равной степени применимо к бесконечным классам, но практически, если бы мы попытались это сделать, Смерть прервала бы наши похвальные усилия прежде, чем оно достигло своей цели ». (1903: 69)
В Prinicipia натуральные числа выводятся из всех утверждений, которые могут быть утверждены о любом наборе чисел сущности. Рассел поясняет это во втором (выделенном курсивом) предложении ниже.
В качестве иллюстрации рассмотрим следующий конечный пример: Предположим, что на улице 12 семей. У кого-то есть дети, у кого-то нет. Чтобы обсудить имена детей в этих домохозяйствах, требуются 12 предложений, утверждающих, что «имя ребенка - это имя ребенка в семье Fn» применительно к этой совокупности домохозяйств на конкретной улице семей с именами F1, F2,... F12. Каждое из 12 предложений касается того, применимо ли "аргумент" childname к ребенку в конкретном домохозяйстве. Имена детей (childname) можно рассматривать как x в пропозициональной функции f (x), где функция - «имя ребенка в семье с именем Fn».
Шаг 1: Соберите все классы : В то время как предыдущий пример конечен над конечной пропозициональной функцией «имена детей в семье Fn '» на конечной улице конечного числа семей, Рассел, по-видимому, намеревался распространить следующее на все пропозициональные функции, простирающиеся на бесконечное домен, чтобы разрешить создание всех номеров.
Клини считает, что Рассел изложил прогнозирующее определение, которое ему придется разрешить, иначе он рискнет получить что-то вроде парадокса Рассела. «Здесь вместо этого мы предполагаем совокупность всех свойств кардинальных чисел, существующих в логике, до определения последовательности натуральных чисел» (Kleene 1952: 44). Проблема возникнет даже в представленном здесь конечном примере, когда Рассел имеет дело с классом единиц (ср. Russell 1903: 517).
Возникает вопрос, что такое «класс» или каким должен быть. Для Дедекинда и Фреге класс - это самостоятельная сущность, «единство», которое может быть отождествлено со всеми теми сущностями x, которые удовлетворяют некоторой пропозициональной функции F. (Этот символизм появляется у Рассела, приписываемого Фреге: сущность функции - это то, что остается после удаления x, то есть в приведенном выше примере 2 () + (). Аргумент x не принадлежит функции, но оба вместе составляют единое целое (ib. p. 6 [т.е. функция Фреге 1891 г.] »(Russell 1903: 505).) Например, определенному« единству »можно дать имя; предположим, что в семье Fα есть дети с именами Энни, Барби и Чарльз:
Это понятие коллекции или класса как объекта при использовании без ограничений приводит к парадоксу Рассела ; подробнее о непредикативных определениях см. ниже. Решение состояло в том, чтобы определить понятие класса как только те элементы, которые удовлетворяют предложению, его аргумент состоял в том, что, действительно, аргументы x не соответствуют ong к пропозициональной функции, также известной как «класс», созданный функцией. Сам класс не следует рассматривать как самостоятельный объект, он существует только как своего рода полезная фикция: «Мы избежали решения относительно того, существует ли класс вещей в каком-либо смысле как один объект. Решение этого вопроса в любом случае безразлично для нашей логики »(Первое издание Principia Mathematica 1927: 24).
Рассел продолжает придерживаться этого мнения в своем 1919 г.; обратите внимание на слова «символические фикции»:
И во втором издании PM (1927) Рассел утверждает, что« функции возникают только через свои значения,... все функции функций экстенсиональны,... [и] следовательно, нет причин проводить различие между функциями и классами... Таким образом, классы, в отличие от функций, теряют даже то призрачное существо, которое они сохраняют в * 20 "(стр. Xxxix). Другими словами, классы как отдельное понятие полностью исчезли.
Шаг 2: Соберите« похожие »классы в 'bundles' : эти вышеупомянутые коллекции могут быть помещены в "бинарное отношение" (сравнивая для) подобия посредством "равнодоступности", обозначенного здесь ≈, то есть взаимно-однозначным соответствием элементов, и тем самым создать расселловские классы классов или то, что Рассел назвал «связками». Мы можем предположить, что все пары в одном связке, все трио - в другом и так далее. Таким образом мы получаем различные наборы наборов, каждый набор состоит из всех наборов, содержащих определенное количество терминов. Каждый комплект - это класс, членами которого являются коллекции, то есть классы; таким образом, каждый является классом классов »(Russell 1919: 14).
Шаг 3: Определите нулевой класс : Обратите внимание, что определенный класс классов является особенным, потому что его классы не содержат элементов, т.е. ни один элемент не удовлетворяет требованиям предикаты, утверждение которых определило этот конкретный класс / коллекцию.
Результирующая сущность может называться «нулевым классом» или «пустым классом». Рассел символизировал нулевой / пустой класс с помощью Λ. Итак, что именно является расселлианским нулевой класс? В PM Рассел говорит, что «класс считается существующим, если у него есть хотя бы один член... класс, не имеющий членов, называется «нулевым классом»... «α является нулевым классом» эквивалентно «α не существует». Естественно возникает вопрос, существует ли сам нулевой класс? Трудности, связанные с этим вопросом, возникают в работе Рассела 1903 года. После того, как он обнаружил парадокс в «Грундгесетце» Фреге, он добавил Приложение А к своему 1903 году, где через анализ природы нулевых и единичных классов он обнаружил необходимость в «доктрине типов»; см. подробнее о классе единиц измерения, проблеме предикативных определений и «принципе порочного круга» Рассела ниже.
Шаг 4: Присвойте «число» каждому набору : в целях сокращения и идентификации, каждой связке присваивается уникальный символ (он же «цифра»). Эти символы произвольные.
Шаг 5: Определить «0» Вслед за Фреге Рассел выбрал пустой или нулевой класс классов в качестве подходящего класса для выполнения этой роли, поскольку это был класс классов, не имеющих членов. Этот нулевой класс классов может быть помечен как «0»
Шаг 6: Определите понятие «преемник» : Рассел определил новую характеристику «наследственный» (см. «Наследственный» Фреге), свойство определенных классов с способность «наследовать» характеристику от другого класса (который может быть классом классов), т.е. «свойство называется« наследственным »в ряду натуральных чисел, если, когда оно принадлежит числу n, оно также принадлежит n + 1, наследник n ". (1903: 21). Он утверждает, что «натуральные числа являются потомками -« детьми », наследниками« преемника »- 0 по отношению к отношению« непосредственный предшественник »(которое является обратным« преемнику ») (1919: 23).
Примечание. Рассел использовал здесь несколько слов без определения, в частности «числовой ряд», «число n» и «преемник». Он определит их в должное время. В частности, обратите внимание, что Рассел не использует единичный класс классов «1» для построения преемника. Причина в том, что в подробном анализе Рассела, если класс единиц становится самостоятельной сущностью, то он тоже может быть элементом в своем собственном предложении; это приводит к тому, что предложение становится «непредсказуемым» и приводит к «порочному кругу». Напротив, он заявляет: «В главе II мы видели, что кардинальное число должно быть определено как класс классов, а в главе III - что число 1 должно определяться как класс всех классов единиц, всего, что имеет только один член, как мы должны были бы сказать, но для порочного круга. Конечно, когда число 1 определяется как класс всех классов единиц, классы единиц должны быть определены так, чтобы не предполагать, что мы знаем, что подразумевается под одним (1919 : 181).
Для своего определения преемника Рассел будет использовать для своей «единицы» отдельную сущность или «термин» следующим образом:
Определение Рассела требует нового «термина», который «добавляется» в коллекции внутри пакетов.
Шаг 7: Создайте преемника нулевого класса .
Шаг 8: Для каждого класса равного числа классов, создайте его преемника .
Шаг 9: Упорядочьте числа : Процесс создания наследника требует отношения "... является преемником... », который может быть обозначен« S »между различными« цифрами ».« Теперь мы должны рассмотреть последовательный характер натуральных чисел в порядке 0, 1, 2, 3,... Обычно мы думаем о числах в этом порядке, и поиск определения «порядка» или «ряда» в логических терминах является важной частью работы по анализу наших данных.... Порядок заключается не в классе терминов, а во взаимоотношениях между членами этого класса, в отношении которых одни появляются раньше, а другие - позже ». (1919: 31)
Рассел относится к понятие «упорядочивающее отношение» - три критерия: во-первых, он определяет понятие «асимметрии», то есть учитывая такое отношение, как S («... является преемником...») между двумя терминами x и y: x S y ≠ y S x. Во-вторых, он определяет понятие «транзитивность» для трех чисел x, y и z: если x S y и y S z, то x S z. В-третьих, он определяет понятие «связность»: "Для любых двух членов класса, который должен быть упорядочен, должен быть один, который предшествует, и другой, который следует за ним.... Отношение связано, когда, учитывая любые два разных термина его поля [как область, так и обратная область отношения, например, мужья против жен в отношениях в браке] отношения сохраняются между первым и вторым или между вторым и первым (не исключая возможности того, что оба могут произойти, хотя оба не могут произойти, если отношения асимметричны) (1919: 32).)
Он заключает: «... [натуральное] число m, как говорят, меньше другого числа n, если n обладает всеми наследственными свойствами, которыми обладает наследник m. Это легко увидеть, и это не сложно чтобы доказать, что отношение «меньше чем», определенное таким образом, является асимметричным, транзитивным и связным и имеет [натуральные] числа для своего поля [т.е. как область, так и обратная область являются числами] ». (1919: 35)
Презумпция «внелогического» понятия итерации : Клини отмечает, что «логицистский тезис может быть окончательно подвергнут сомнению на том основании, что логика уже предполагает математические идеи в его формулировка. С интуиционистской точки зрения существенное математическое ядро содержится в идее итерации »(Kleene 1952: 46)
Бернейс 1930–1931 отмечает, что это понятие« две вещи »уже предполагает что-то, даже без утверждение существования двух вещей, а также без ссылки на сказуемое, которое применяется к двум вещам; оно означает просто «вещь и еще одна вещь... В отношении этого простого определения понятие Числа оказывается элементарным структурным понятием... Утверждение логицистов о том, что математика является чисто логическим знанием, оказывается быть размытым и вводящим в заблуждение при более близком рассмотрении теоретической логики... [можно расширить определение «логического»], однако через это определение скрывается то, что является эпистемологически важным, а то, что свойственно математике, упускается из виду »(в Mancosu 1998: 243).
Гильберт 1931: 266-7, как и Бернейс, считает, что в математике есть «что-то экстра-логичное»: «Помимо опыта и мышления, есть еще третий источник знания. Даже если сегодня мы больше не можем согласен с Кантом в деталях, тем не менее наиболее общая и фундаментальная идея кантовской эпистемологии сохраняет свое значение: установить интуитивный априорный образ мышления и тем самым исследовать условие возможности всякого знания. По сути, то, что происходит в моих исследованиях принципов математики. Априорное здесь есть не что иное, как фундаментальный способ мышления, который я также называю конечным способом мышления: что-то уже дано нам заранее на нашем факультете репрезентации: некоторые экстралогические конкретные объекты, которые интуитивно существуют как непосредственный опыт, предшествующий всякой мысли. Если логический вывод должен быть определенным, то эти объекты должны быть полностью обозримыми во всех их части, и их представление, их различия, их последующие друг за другом или их расположение рядом друг с другом немедленно и интуитивно дается нам вместе с объектами как нечто, что не может быть сведено ни к чему другому и не нуждается в таком сокращении.. " (Гильберт 1931 в Манкосу 1998: 266, 267).
Короче говоря, согласно Гильберту и Бернейсу, понятие «последовательность» или «преемник» - это априорное понятие, лежащее за пределами символической логики.
Гильберт отверг логицизм как «ложный путь»: «Некоторые пытались определить числа чисто логически; другие просто считали обычные теоретико-числовые способы вывода самоочевидными. На обоих путях они сталкивались с препятствиями, которые оказалось непреодолимым ". (Гильберт 1931 в Mancoso 1998: 267). Теоремы о неполноте, возможно, представляют собой аналогичное препятствие для гильбертовского финитизма.
Манкосу утверждает, что Брауэр пришел к выводу, что «классические законы или принципы логики являются частью [] воспринимаемой закономерности [в символическом представлении]; они выводятся из постфактумной записи математических построений... Теоретическая логика... [является] эмпирической наукой и приложением математики »(цитата Брауэра: Mancosu 1998: 9).
Гёдель 1944 : Что касается технических аспектов расселловского логицизма в том виде, в каком он представлен в Principia Mathematica (любое издание), Гёдель был разочарован:
В частности, он указал, что« этот вопрос особенно сомнителен для правило подстановки и замены определенных символов их определяющими »(Russell 1944: 120)
Что касается философии, которая могла бы лежать в основе этих основ, Гёдель считал« неклассовую теорию »Рассела воплощением« номиналистической теории ». вид конструктивизма.. что лучше было бы назвать беллетристикой »(ср. сноску 1 в Gödel 1944: 119) - ошибочным. Подробнее см.« Критика и предложения Гёделя »ниже.
Граттан-Гиннесс : Продолжение сложной теории отношений чтобы задушить объяснительное Введение в математическую философию 1919 года Рассела и его второе издание «Основ» 1927 года. Теория множеств тем временем продолжала сокращать отношение к упорядоченной паре множеств. Граттан-Гиннесс отмечает, что во втором издании «Принципов» Рассел проигнорировал это сокращение, которое было достигнуто его собственным учеником Норбертом Винером (1914). Возможно, из-за «остаточного раздражения, Рассел вообще не отреагировал». К 1914 году Хаусдорф даст другое, эквивалентное определение, а Куратовский в 1921 году даст то, что используется сегодня.
Мягкое непредсказуемое определение : Предположим, библиотекарь хочет проиндексировать свою коллекцию в одну книгу (назовите ее Ι для "в dex "). В ее указателе будут перечислены все книги и их расположение в библиотеке. Оказывается, всего три книги, и у них есть названия Ά, β и Γ. Чтобы составить индекс I, она покупает книгу из 200 чистых страниц и маркирует ее «I». Сейчас у нее четыре книги: I, Ά, β и Γ. Ее задача не сложная. По завершении содержание ее индекса I составляет 4 страницы, каждая с уникальным заголовком и уникальным местоположением (каждая запись сокращается как Title.Location T):
Пуанкаре счел такое определение «я» «непредикативным ". Похоже, он считал, что в математике допускаются только предикативные определения:
По определению Пуанкаре индексная книга библиотекаря является« непредикативной », потому что определение I зависит от определения совокупности I, Ά, β и Γ. Как указано ниже, некоторые комментаторы настаивают на том, что непредсказуемость в версиях, основанных на здравом смысле, безвредны, но, как показывают примеры ниже, есть версии, которые небезопасны. В ответ на эти трудности Рассел выступал за строгий запрет, свой «принцип порочного круга»:
Пагубная отрицательность: α = НЕ-α : Чтобы проиллюстрировать, каким пагубным примером может быть непредсказуемость, рассмотрим последствия ввода аргумента α в функция f с выходом ω = 1 - α. Это можно рассматривать как выражение «алгебраической логики», эквивалентное выражению «символической логики» ω = NOT-α, со значениями истинности 1 и 0. Когда вход α = 0, выход ω = 1; когда вход α = 1, выход ω = 0.
Чтобы сделать функцию «непредсказуемой», идентифицируйте вход с выходом, давая α = 1-α
В алгебре, скажем, рациональных чисел уравнение удовлетворяется, когда α = 0,5. Но, например, в булевой алгебре, где на Если допустимы «значения истинности» 0 и 1, то равенство не может быть выполнено.
Фатальная неудача в определении класса единицы : Некоторые трудности в программе логики могут проистекать из парадокса α = НЕ-α, который Рассел обнаружил в «Бегриффшрифте» Фреге 1879 г., что Фреге позволил функции получать входные данные. "функционал" (значение его переменной) не только из объекта (вещи, члена), но и из собственного вывода функции.
Как описано выше, конструкции натуральных чисел Фреге и Рассел начинаются с формирование равного количества классов классов («связок»), за которым следует присвоение уникального «числа» каждому пучку, а затем размещение связок в порядке через отношение S, которое является асимметричным: x S y ≠ y S x. Но Фреге, в отличие от Рассела, позволял идентифицировать класс классов единиц как саму единицу:
Но, поскольку класс с цифрой 1 является отдельным объектом или единицей, он тоже должен быть включен в классе единичных классов. Это включение приводит к «бесконечному регрессу» (как назвал его Гёдель) возрастающего «типа» и увеличения содержания.
Рассел избежал этой проблемы, объявив класс чем-то большим или «фикцией». Под этим он имел в виду, что класс может обозначать только те элементы, которые удовлетворяют его пропозициональной функции, и ничего больше. Как «фикцию» класс нельзя рассматривать как вещь: сущность, «термин», особенность, «единицу». Это совокупность, но, с точки зрения Рассела, она не «достойна того, чтобы быть безумием»:
Это предполагает, что« внизу можно перечислить «каждый отдельный» термин (указанный с помощью «предикативного» предиката) для любого класса, для любого класса классов, для класса классов классов и т. д., но это создает новую проблему - иерархию «типов» классов.
Классы как не-объекты, как полезные вымыслы : Гёдель 1944: 131 отмечает, что «Рассел приводит две причины против экстенсионального взгляда на классы, а именно существование (1) нулевого класса, который не может быть коллекцией, и (2) классов единиц, которые должны быть идентичны своим отдельным элементам ". Он предполагает, что Рассел должен был рассматривать их как фиктивные, но не делать дальнейшего вывода о том, что все классы (например, классы классов, определяющие числа 2, 3 и т. Д.) Являются фикцией.
Но Рассел этого не делал. После подробного анализа в Приложении A: Логические и арифметические доктрины Фреге в его 1903 году, Рассел заключает:
В следующем примечании формулировка« класс столько же »- класс является совокупностью этих терминов (вещи), которые удовлетворяют пропозициональной функции, но класс не является вещью в себе :
Это как если бы владелец ранчо собирал весь свой скот (овцы, коровы и лошадей) в три фиктивных загона (один для овец, один для коров и один для лошадей), которые расположен на его вымышленном ранчо. На самом деле существуют овцы, коровы и лошади (расширения), но не фиктивные загоны и ранчо с «концепциями».
Разветвленная теория типов: функции-порядки и типы-аргументы, предикативные функции : Когда Рассел провозгласил все классы полезными вымыслами, он решил проблему «единичного» класса, но общая проблема не исчезла; скорее, он появился в новой форме: «Теперь необходимо будет различать (1) термины, (2) классы, (3) классы классов и т. д. до бесконечности; мы должны будем считать, что ни один член одного множество является членом любого другого множества, и что x ε u требует, чтобы x принадлежал к набору степени на единицу ниже, чем набор, которому принадлежит u. Таким образом, x ε x станет бессмысленным утверждением; и таким образом противоречие избегается »(1903: 517).
Это «доктрина типов» Рассела. Чтобы гарантировать, что импредикативные выражения, такие как x ε x, могут рассматриваться в его логике, Рассел предложил в качестве своего рода рабочей гипотезы, что все такие импредикативные определения имеют предикативные определения. Это предположение требует понятий функций - «порядков» и аргументов - «типов». Во-первых, функции (и их классы-расширения, т. Е. «Матрицы») должны быть классифицированы по их «порядку», где функции отдельных лиц имеют порядок 1, функции функций (классы классов) имеют порядок 2 и так далее. Затем он определяет «тип» аргументов функции («входы» функции) как их «диапазон значимости», то есть каковы те входные данные α (индивидуумы? Классы? Классы-классы? И т. Д.), Которые: при подключении к f (x) дает значимый результат ω. Обратите внимание, что это означает, что «тип» может иметь смешанный порядок, как показывает следующий пример:
Это предложение можно разбить на два предложения: « x выиграл Мировую серию 1947 года "+" y выиграл Мировую серию 1947 года ". Первое предложение принимает в качестве входных данных индивидуального «Джо Ди Маджио», а другое - совокупное «Янки» в качестве входных данных. Таким образом, составное предложение имеет (смешанный) тип 2, смешанный по порядку (1 и 2).
Под «предикативной» Рассел имел в виду, что функция должна быть на порядок выше, чем «тип» ее переменной (переменных). Таким образом, функция (порядка 2), которая создает класс классов, может принимать только аргументы для своей переменной (переменных), которые являются классами (тип 1) и отдельными лицами (тип 0), поскольку это более низкие типы. Тип 3 может принимать только типы 2, 1 или 0 и так далее. Но эти типы могут быть смешаны (например, для того, чтобы это предложение было (вроде) истинным: «z выиграл Мировую серию 1947 года», может принимать человека (тип 0) «Джо Ди Маджио» и / или имена его других товарищей по команде., и он может принимать класс (тип 1) отдельных игроков «Янки».
Аксиома сводимости : аксиома сводимости - это гипотеза о том, что любая функция любого порядка может быть сведены к (или заменены) эквивалентной предикативной функцией соответствующего порядка. Внимательное чтение первого издания показывает, что предикативная функция n-го порядка не должна быть выражена "полностью вниз" как огромная "матрица" или совокупность индивидуальных атомарных суждений. «Поскольку на практике важны только относительные типы переменных; таким образом, самый низкий тип, встречающийся в данном контексте, может быть назван типом индивидов» (стр. 161). Но аксиома сводимости предполагает, что теоретически редукция «полностью вниз» возможен.
Рассел 1927 отказывается от аксиомы редукции bility : Однако ко 2-му изданию PM 1927 года Рассел отказался от аксиомы сводимости и пришел к выводу, что он действительно принудит любой порядок функций «полностью вниз» к его элементарным предложениям, связанным вместе с логическими операторы:
(«Штрих» - это штрих Шеффера - принятый для 2-го издания PM - логическая функция с двумя аргументами, из которой могут быть определены все другие логические функции.)
Однако конечным результатом стал крах его теории. Рассел пришел к обескураживающему выводу: «Теория ординалов и кардиналов выживает... но с иррациональными и действительными числами в целом уже нельзя адекватно обращаться... Возможно, какая-то еще одна аксиома, менее вызывающая, чем аксиома сводимости., могли бы дать такие результаты, но нам не удалось найти такую аксиому »(PM 1927: xiv).
Гёдель 1944 соглашается, что логицистский проект Рассела был заблокирован; он, кажется, не согласен с тем, что даже целые числа выжили:
Гёдель утверждает, однако, что эта процедура, по-видимому, предполагает арифметика в той или иной форме (с. 134). Он делает вывод, что «можно получить целые числа разного порядка» (стр. 134-135); доказательство в Приложении B Russell 1927 PM, что «целые числа любого порядка выше 5 совпадают с целыми числами порядка 5», «не является окончательным» и «вопрос о том, может ли (или в какой степени) быть получена теория целых чисел на основе разветвленной иерархии [классы плюс типы] должны считаться нерешенными в настоящее время ». Гёдель пришел к выводу, что в любом случае это не имеет значения, потому что пропозициональные функции порядка n (любого n) должны описываться конечными комбинациями символов (все цитаты и контент взяты из страницы 135).
Гёдель в своей работе 1944 года определяет место, где, по его мнению, логицизм Рассела потерпел неудачу, и предлагает предложения по устранению проблем. Он подвергает пересмотру «принцип порочного круга», разбивая его на три части, «определяемые только в терминах», «вовлекающих» и «предполагающих». Это первая часть, которая «делает невозможные определения невозможными и тем самым разрушает вывод математики из логики, осуществленный Дедекиндом и Фреге, и большую часть самой математики». Поскольку, утверждает он, математика полагается на присущую ей непредсказуемость (например, «действительные числа, определенные ссылкой на все действительные числа»), он заключает, что то, что он предложил, является «доказательством того, что принцип порочного круга ложен [скорее], чем что классическая математика ложна »(все цитаты из Gödel 1944: 127).
Теория отсутствия классов Рассела является корнем проблемы : Гёдель считает, что непредсказуемость не «абсурдна», как она проявляется во всей математике. Проблема Рассела проистекает из его «конструктивистской (или номиналистической)» точки зрения на объекты логики и математики, в частности на предложения, классы и понятия... понятие, являющееся символом... так что отдельный объект, обозначенный этим символом, выглядит просто выдумкой »(стр. 128).
Действительно,« бесклассовая »теория Рассела, заключает Гёдель:
Он завершает свое эссе следующим: предложения и наблюдения:
Неологицизм описывает ряд взглядов, которые их сторонники считают продолжателями первоначальной логицистской программы. В более узком смысле, неологицизм можно увидеть как попытку спасти некоторые или все элементы программы Фреге посредством использования модифицированной версии системы Фреге в Grundgesetze (что можно рассматривать как своего рода логику второго порядка
Например, можно заменить Основной закон V (аналогично схеме аксиомы неограниченного понимания в наивной теории множеств ) на некоторая «более безопасная» аксиома, чтобы предотвратить вывод известных парадоксов. Наиболее цитируемым кандидатом на замену BLV является принцип Юма, контекстное определение '#', данное как '#F = #G if and только если существует взаимное соответствие между F и G '. Этот вид неологицизма часто называют нео-фреганизмом . Среди сторонников нео-фреганизма Криспин Райт и Боб Хейл, иногда также называемые шотландской школой или абстракционистским платонизмом, которые исповедуют форму эпистемического фундаментализма.
Другие основные сторонники неологицизма включают и Эдвард Н. Залта, иногда называемый школой Стэнфорд-Эдмонтон, абстрактным структурализмом или модальным неологицизмом, которые поддерживают форму аксиоматика метафизика. Модальный неологицизм выводит аксиомы Пеано в рамках второго порядка модального теории объектов.
Другой квазинологицистский подход был предложен М. Рэндалл Холмс. В подобного рода поправках к Grundgesetze, BLV остается неизменным, за исключением ограничения на стратифицируемые формулы, как в NF Куайна и связанных с ним системах. По сути, вся Грундгесетце затем «проходит». Полученная в результате система имеет ту же степень согласованности, что и NFU Дженсена + Аксиома подсчета Россера.
