Войти
В философии математики, интуиционизме или неоинтуиционизме (в отличие от преинтуиционизма ), это подход, при котором математика считается исключительно результатом конструктивной умственной деятельности людей, а не открытием фундаментальных принципов, которые, как утверждается, существуют в объективной реальность. То есть логика и математика не считаются аналитической деятельностью, в которой раскрываются и применяются глубокие свойства объективной реальности, а вместо этого рассматриваются как применение внутренне согласованных методов, используемых для реализации более сложных мысленных конструкций, независимо от их возможного независимого существования в объективной реальности..
Фундаментальной отличительной чертой интуиционизма является его интерпретация того, что означает истинность математического утверждения. В первоначальном интуиционизме Брауэра истинность математического утверждения является субъективным утверждением: математическое утверждение соответствует мысленной конструкции, и математик может утверждать истинность утверждения, только проверяя действительность этой конструкции посредством интуиция. Расплывчатость интуиционистского представления об истине часто приводит к неправильному толкованию ее значения. Клини формально определил интуиционистскую истину с реалистической позиции, однако Брауэр, вероятно, отверг бы эту формализацию как бессмысленную, учитывая его отказ от реалистической / платонистской позиции. Поэтому интуиционистская истина остается несколько неопределенной. Однако, поскольку интуиционистское понятие истины более ограничено, чем у классической математики, интуиционист должен отвергнуть некоторые допущения классической логики, чтобы убедиться, что все, что они доказывают, на самом деле интуиционистски верно. Это приводит к интуиционистской логике.
Для интуициониста утверждение, что объект с определенными свойствами существует, является утверждением, что объект с этими свойствами может быть сконструирован. Любой математический объект считается продуктом конструкции разума, и поэтому существование объекта эквивалентно возможности его построения. Это контрастирует с классическим подходом, который утверждает, что существование объекта можно доказать, опровергнув его несуществование. Для интуициониста это неверно; опровержение несуществования не означает, что можно найти конструкцию для предполагаемого объекта, как это требуется для утверждения его существования. По сути, интуиционизм - это разновидность математического конструктивизма ; но это не единственный вид.
Интерпретация отрицания отличается в интуиционистской логике от классической логики. В классической логике отрицание утверждения утверждает, что утверждение ложно; для интуициониста это означает, что утверждение опровергается (т.е. что существует контрпример ). Таким образом, в интуиционизме существует асимметрия между положительным и отрицательным утверждениями. Если утверждение P доказуемо, то, конечно, невозможно доказать, что нет доказательства P. Но даже если можно показать, что никакое опровержение P невозможно, мы не можем заключить из этого отсутствия, что существует доказательство P Таким образом, P является более сильным утверждением, чем not-not-P.
Аналогичным образом, утверждать, что A или B выполняется, для интуициониста означает утверждать, что либо A, либо B могут быть доказаны. В частности, закон исключенного среднего, «А или не А», не принимается в качестве действующего принципа. Например, если А - это какое-то математическое утверждение, которое интуиционист еще не доказал или не опроверг, то этот интуиционист не будет утверждать истинность «А или нет». Однако интуиционист согласится с тем, что «А, а не А» не может быть правдой. Таким образом, связки «и» и «или» интуиционистской логики не удовлетворяют законам де Моргана, как в классической логике.
Интуиционистская логика заменяет конструктивность абстрактной истиной и связана с переходом от доказательства теории моделей к абстрактной истине в современной математике. Логическое исчисление сохраняет обоснование, а не истину, при преобразованиях, приводящих к производным суждениям. Считается, что это дает философскую поддержку нескольким философским школам, в первую очередь антиреализму из Майкла Дамметта. Таким образом, вопреки первому впечатлению, которое может произвести его название, и, как это реализовано в конкретных подходах и дисциплинах (например, Нечеткие множества и Системы), интуиционистская математика более строгая, чем математика, основанная на традиционных принципах, где, по иронии судьбы, фундаментальные элементы, которые интуиционизм пытается построить / опровергнуть / переосмыслить, считаются интуитивно заданными.
Среди различных формулировок интуиционизма есть несколько различных позиций относительно значения и реальности бесконечности.
Термин потенциальная бесконечность относится к математической процедуре, в которой есть бесконечная последовательность шагов. После завершения каждого шага всегда остается выполнить еще один шаг. Например, рассмотрим процесс подсчета: 1, 2, 3,...
Термин фактическая бесконечность относится к завершенному математическому объекту, который содержит бесконечное количество элементов. Примером является набор натуральных чисел, N= {1, 2,...}.
В формулировке теории множеств Кантора существует множество различных бесконечных множеств, некоторые из которых больше, чем другие. Например, набор всех действительных чисел R больше, чем N, потому что любая процедура, которую вы пытаетесь использовать, чтобы привести натуральные числа во взаимно однозначное соответствие с действительными числа всегда будут терпеть неудачу: всегда будет бесконечное число "оставшихся" действительных чисел. Любое бесконечное множество, которое может быть поставлено во взаимно однозначное соответствие с натуральными числами, называется «счетным» или «счетным». Бесконечные множества, превышающие это, называются «несчетными».
Теория множеств Кантора привела к аксиоматической системе теории множеств Цермело – Френкеля (ZFC), теперь наиболее распространенной основы современной математики. Отчасти интуиционизм возник как реакция на теорию множеств Кантора.
Современная теория конструктивных множеств включает аксиому бесконечности из ZFC (или исправленную версию этой аксиомы) и множество N натуральных чисел. Большинство современных конструктивных математиков признают реальность счетно бесконечных множеств (однако, см. Александр Есенин-Вольпин в качестве контрпримера).
Брауэр отверг концепцию актуальной бесконечности, но признал идею потенциальной бесконечности.
Историю интуиционизма можно проследить до двух противоречий в математике девятнадцатого века.
Первым из них было изобретение трансфинитной арифметики Георгом Кантором и его последующее отклонение рядом выдающихся математиков, включая самого известного его учителя Леопольда Кронекер - подтвержденный финитист.
Вторым из них была попытка Готтлоба Фреге свести всю математику к логической формулировке с помощью теории множеств и ее крушение молодым Бертран Рассел, открывший парадокс Рассела. Фреге планировал выпустить трехтомный окончательный труд, но как раз перед выходом второго тома Рассел послал Фреге письмо, в котором изложил свой парадокс, который продемонстрировал, что одно из правил самоотнесения Фреге противоречиво. В приложении ко второму тому Фреге признал, что одна из аксиом его системы на самом деле привела к парадоксу Рассела.
Фреге, как говорится, погрузился в депрессию и не опубликовал третий том своей работать как он планировал. Подробнее см. Дэвис (2000), главы 3 и 4: Фреге: от прорыва к отчаянию и Кантор: обход через бесконечность. См. Оригинальные работы и комментарии ван Хейенурта у ван Хейеноорта.
Эти противоречия тесно связаны, поскольку логические методы, использованные Кантором при доказательстве своих результатов в трансфинитной арифметике, по существу такие же, как те, которые использовал Рассел при построении своего парадокса. Следовательно, решение парадокса Рассела напрямую влияет на статус трансфинитной арифметики Кантора.
В начале ХХ века Л. Э. Дж. Брауэр представлял интуиционистскую позицию, а Дэвид Гильберт - формалистскую позицию - см. Van Heijenoort. Курт Гёдель высказал мнение, называемое платоником (см. Различные источники о Гёделе). Алан Тьюринг считает: «неконструктивные системы логики, в которых не все шаги в доказательстве являются механическими, а некоторые интуитивно понятны». (Turing 1939, перепечатано в Davis 2004, p. 210). Позже, Стивен Коул Клини представил более рациональное рассмотрение интуиционизма в своем «Введении в метаматематику» (1952).
| journal =() | Викицитатник содержит цитаты, относящиеся к: интуиционизму |
 | Найдите интуиционизм в Викисловаре, бесплатный словарь. |
