Войти
В математической логике, алгебраической логике - это рассуждение, полученное путем манипулирования уравнениями с свободными переменными.
То, что сейчас обычно называют классической алгебраической логикой, фокусируется на идентификации и алгебраическом описании моделей, подходящих для изучения различных логик ( в виде классов алгебр, составляющих алгебраическую семантику для этих дедуктивных систем ) и связанных проблем, таких как представление и двойственность. Хорошо известные результаты, такие как теорема о представлении для булевых алгебр и двойственность Стоуна, подпадают под действие классической алгебраической логики (Czelakowski 2003).
Работает в более поздней абстрактной алгебраической логике (AAL), фокусируясь на самом процессе алгебраизации, например на классификации различных форм алгебраизируемости с помощью оператора Лейбница (Czelakowski 2003).
Однородное бинарное отношение находится в наборе мощности X × X для некоторого множества X, в то время как гетерогенное отношение находится в наборе степеней X × Y, где X ≠ Y. Верно ли данное отношение для двух индивидов - один бит информации, поэтому отношения изучаются с помощью булевой арифметики. Элементы набора мощности частично упорядочены включением, и решетка этих наборов становится алгеброй посредством относительного умножения или композиции отношений.
«Основные операции: теоретико-множественное объединение, пересечение и дополнение, относительное умножение и преобразование. "
Преобразование относится к обратному отношению, которое всегда существует, вопреки теории функций. Данное отношение может быть представлено логической матрицей ; тогда обратное отношение представлено матрицей транспонирования. Отношение, полученное как композиция двух других, затем представляется логической матрицей, полученной умножением матриц с использованием булевой арифметики.
Пример исчисления отношений возникает в эротетике, теории вопросов. Во вселенной высказываний есть утверждения S и вопросы Q. Есть два отношения π и α от Q к S: q α a выполняется, когда a является прямым ответом на вопрос q. Другое соотношение q π p выполняется, когда p является предпосылкой вопроса q. Обратное отношение π проходит от S к Q, так что композиция π; α является однородным отношением на S. Искусство постановки правильного вопроса для получения достаточного ответа признается в методе Сократа диалоге.
Описание ключевых бинарных отношений было сформулировано с помощью исчисления отношений. Свойство однолистности функций описывает отношение R, которое удовлетворяет формуле 
Но однолистное отношение является только частичной функцией, тогда как однолистное итоговое отношение является функцией. Формула тотальности: 
Возможность дополнительных отношений вдохновила Августа Де Моргана и Эрнста Шредера ввести эквивалентности с использованием 
Структура алгебры отношений, основанная на теории множеств, был превзойден Тарским с описывающими его аксиомами. Затем он спросил, может ли каждая алгебра, удовлетворяющая аксиомам, быть представлена отношением множества. Отрицательный ответ открыл границы абстрактной алгебраической логики.
Алгебраическая логика рассматривает алгебраические структуры, часто ограниченные решетки, как модели (интерпретации) определенных логик, что делает логику ветвью теории порядка.
В алгебраической логике:
В приведенной ниже таблице левый столбец содержит одну или несколько логических или математических систем и алгебраическую структуру, которые являются ее моделями. показаны справа в той же строке. Некоторые из этих структур являются либо булевыми алгебрами, либо их собственными расширениями. Модальная и другие неклассические логики обычно моделируются так называемыми «булевыми алгебрами с операторами».
Алгебраические формализмы, выходящие за рамки логики первого порядка по крайней мере в некоторых отношениях, включают:
| Логическую систему | Линденбаум– Алгебра Тарского |
|---|---|
| Классическая сентенциальная логика | Булева алгебра |
| Интуиционистская логика высказываний | Алгебра Гейтинга |
| Логика Лукасевича | MV-алгебра |
| Модальная логика K | Модальная алгебра |
| Льюиса S4 | Внутренняя алгебра |
| Льюиса S5, монадическая логика предикатов | Монадическая булева алгебра |
| Логика первого порядка | Полная булева алгебра, полиадическая алгебра, логика предикатов функторов |
| Логика первого порядка с равенством | Цилиндрическая алгебра |
| Теория множеств | Комбинаторная логика, алгебра отношений |
Алгебраическая логика, согласно да, самый старый подход к формальной логике, возможно, начавшийся с ряда меморандумов Лейбница, написанных в 1680-х годах, некоторые из которых были опубликованы в XIX веке и переведены на английский Кларенсом Льюисом в 1918 году. Но почти все известные работы Лейбница по алгебраической логике были опубликованы только в 1903 году после того, как Луи Кутюра обнаружил их в Nachlass Лейбница. Паркинсон (1966) и Лемкер (1969) перевели отрывки из тома Кутюра на английский язык.
Современная математическая логика началась в 1847 году с двух брошюр, авторами которых были Джордж Буль и Огастес Де Морган. В 1870 году Чарльз Сандерс Пирс опубликовал первую из нескольких работ по логике родственников. Александр Макфарлейн опубликовал свои «Принципы алгебры логики» в 1879 году, а в 1883 году Кристин Лэдд, студентка Пирса в Университете Джона Хопкинса, опубликовала «На Алгебра логики ». Логика стала более алгебраической, когда бинарные отношения были объединены с композицией отношений. Для наборов A и B отношения сначала понимались как элементы набора мощности из A × B со свойствами, описываемыми булевой алгеброй. «Исчисление отношений», возможно, является кульминацией подхода Лейбница к логике. В Hochschule Karlsruhe исчисление отношений было описано Эрнстом Шредером. В частности, он сформулировал правила Шредера, хотя Де Морган предвосхитил их в своей теореме K.
«Алгебра логики Буля – Шредера» была разработана в Калифорнийском университете в Беркли. в учебнике Кларенса Льюиса в 1918 году. Он рассматривал логику отношений как производную пропозициональных функций двух или более переменных.
Хью МакКолл, Готтлоб Фреге, Джузеппе Пеано, Бертран Рассел и А. Н. Уайтхед все разделяли мечту Лейбница объединить символическую логику, математику и философию.
. Некоторые работы Леопольда Левенхайма и Торальф Сколем по алгебраической логике появился после публикации в 1910–13 годах книги Principia Mathematica, и Тарский возродил интерес к отношениям своим эссе 1941 года «Об исчислении отношений»
<77.>Согласно Елене Расёовой, «1920-40 годы были отмечены, в частности, в польской школе логики, исследования неклассических исчислений высказываний, проводимые с помощью так называемой логической матрицы метод. Поскольку логические матрицы представляют собой определенные абстрактные алгебры, это привело к использованию алгебраического метода в логике ».Брэди (2000) обсуждает богатые исторические связи между алгебраической логикой и теорией моделей. Основатели теории моделей Эрнст Шредер и Леопольд Лёвенгейм были логиками в алгебраической традиции. Альфред Тарский, основатель теоретико-множественной теории моделей как основного раздела современной математической логики, а также:
В практике исчисления отношений Жак Риге использовал алгебраическую логику для продвижения полезных концепций: он расширил понятие отношения эквивалентности (на множестве) к гетерогенным отношениям с дифункциональным понятием . Риге также расширил упорядочение до гетерогенного контекста, отметив, что лестничная логическая матрица имеет дополнение, которое также является лестницей, и что теорема из N. М. Феррерс следует из интерпретации транспонирования лестницы. Риге создал прямоугольные отношения, взяв внешнее произведение логических векторов; они вносят свой вклад в нерасширяемые прямоугольники анализа формальных понятий.
Лейбниц не оказал никакого влияния на возникновение алгебраической логики, потому что его логические труды были мало изучены до переводов Паркинсона и Лемкера. Наше нынешнее понимание Лейбница как логика происходит главным образом из работ Вольфганга Ленцена, кратко изложенных в Lenzen (2004). Чтобы увидеть, как современные работы в области логики и метафизики могут черпать вдохновение и проливать свет на мысль Лейбница, см. Zalta (2000).
Историческая перспектива
СМИ, связанные с Алгебраической логикой на Wikimedia Commons
