Модальная логика

Модальная логика - это набор формальных систем, изначально разработанных и до до сих пор широко используется для представления утверждений о необходимости и возможности. Например, модальная формула $◻\; P\; \to \; ◊\; P\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Box\; P\; \backslash \; rightarrow\; \backslash \; Diamond\; P\}$может быть прочитана как «если P необходимо, то это также возможно». Эта формула широко считается действительной, когда необходимость и возможность понимать в знаниях отношении, как в эпистемической модальной логике. Справедливо ли это также с юридической или моральной необходимой (деонтической логикой ) - это вопрос, обсуждаемый со времен пьесы Софокла Антигона.

Первый модальный аксиоматические системы были разработаны К. И. Льюис в 1912 году, первоначальной неформальной традиции, восходящей к Аристотелю. реляционная семантика для модальной логики была потеряна Артуром Прайором, Яакко Хинтиккой и Саулом Крипке в середине двадцатого века. В этой семантике формулам присваиваются значения истинности относительно возможного мира. Значение истинности формулы в одном возможном мире может зависеть от истинности других формул в других доступных агентов мирах. В частности, возможность сводится к истине в некотором доступном возможном возможностях, в то время как необходимость сводится к истине во всех доступных возможностях.

Модальную логику часто называют «логикой необходимости и возможности», и такие приложения продолжают играть роль в философии языка, эпистемологии, метафизика и формальная семантика. Однако математический аппарат модальной логики оказался полезным во многих других областях, включая теорию игр, верификацию программ, веб-дизайн, множество на основе мультивселенной. теория и социальная эпистемология. Один общий учебник по модельной теории модальной теории можно рассматривать как изучение формальных систем, которые принимают локальный взгляд на реляционные структуры.

Содержание

• 1 Семантика
  • 1.1 Реляционная семантика
    • 1.1.1 Основные понятия
    • 1.1.2 Фреймы и полнота
  • 1.2 Топологическая семантика
• 2 Аксиоматические системы
  • 2.1 Структурная теория
  • 2.2 Методы принятия решений
• 3 Модальная логика в философии
  • 3.1 Алетическая логика
    • 3.1.1 Физическая возможность
    • 3.1.2 Метафизическая возможность
  • 3.2 Эпистемическая логика
  • 3.3 Временная логика
  • 3.4 Деонтическая логика
    • 3.4.1 Интуитивные проблемы с деонтической логикой логика
  • 3.5 Доксастическая логика
• 4 Метафизические вопросы
• 5 Другие приложения
• 6 История
• 7 См. также
• 8 Примечания
• 9 Ссылки
• 10 Дополнительная литература
• 11 Внешние ссылки

Семантика

Реляционная семантика

Основные понятия

Стандартные семантика модальной логики называется реляционной семантикой. При таком подходе истинность формулы определяется относительно точки, которую часто называют возможным миром. Для формулы, данный модальный оператор, его значение может зависеть от того, что верно в других доступных мирах. Таким образом, реляционная семантика формулы модальной логики с использованием моделей, определенным образом.

• Реляционная модель - это кортеж $M\; =\; ⟨W,\; R,\; V⟩\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathfrak\; \{M\}\}\; =\; \backslash \; langle\; W,\; R,\; V\; \backslash \; rangle\}$где:

1. $W\; \{\backslash \; displaystyle\; W\}$- набор потенциальных миров
2. $R\; \{\backslash \; displaystyle\; R\}$- бинарное отношение на $W\; \{\backslash \; displaystyle\; W\}$
3. $V\; \{\backslash \; displaystyle\; V\}$- функция оценки, которая присваивает истинное значение каждой паре атомарная формула и мир (т. е. $V:\; W\; \times \; F\; \to \; \{0,\; 1\}\; \{\backslash \; displaystyle\; V:\; W\; \backslash \; times\; F\; \backslash \; to\; \backslash \; \{0,1\; \backslash \}\}$где $F\; \{\backslash \; displaystyle\; F\}$- набор атомарных формул)

Набор $W\; \{\backslash \; displaystyle\; W\}$часто называют вселенной. Бинарное отношение $R\; \{\backslash \; displaystyle\; R\}$называется отношением доступности, и оно управляет тем, какие миры могут «видеть» друг друга, чтобы определить, что истинно. Например, $w\; R\; u\; \{\backslash \; displaystyle\; wRu\}$означает, что мир $u\; \{\backslash \; displaystyle\; u\}$Доступ из мира $w\; \{\backslash \; displaystyle\; w\}$. То есть состояние дел, известное как $u\; \{\backslash \; displaystyle\; u\}$, является реальным для $w\; \{\backslash \; displaystyle\; w\}$. Наконец, функция $V\; \{\backslash \; displaystyle\; V\}$известна как a. Он определяет какие атомарные формулы верны в каких мирах.

Затем мы рекурсивно определяем истинность формулы в мире в модели $M\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathfrak\; \{M\}\}\}$:

• $M,\; w\; \models \; P\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathfrak\; \{M\}\},\; w\; \backslash \; models\; P\}$тогда и только тогда, когда $V\; (w,\; P)\; =\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; V\; (w,\; P)\; =\; 1\}$
• $M,\; w\; \models \; \neg \; P\; \{\; \backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathfrak\; \{M\}\},\; w\; \backslash \; models\; \backslash \; neg\; P\}$iff $w\; ⊭\; P\; \{\backslash \; displaystyle\; w\; \backslash \; not\; \backslash \; models\; P\}$
• $M,\; w\; \models \; (P\; \wedge \; Q)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathfrak\; \{M\}\},\; w\; \backslash \; models\; (P\; \backslash \; wedge\; Q)\}$iff $w\; \models \; P\; \{\backslash \; displaystyle\; w\; \backslash \; models\; P\}$и $вес\; \models \; Q\; \{\backslash \; displaystyle\; w\; \backslash \; models\; Q\}$
• $M,\; w\; \models \; ◻\; P\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathfrak\; \{M\}\},\; w\; \backslash \; models\; \backslash \; Box\; P\}$iff для каждый элемент $u\; \{\backslash \; displaystyle\; u\}$из $W\; \{\backslash \; displaystyle\; W\}$, если $w\; R\; u\; \{\backslash \; displaystyle\; wRu\}$, затем $U\; \models \; P\; \{\backslash \; displaystyle\; u\; \backslash \; models\; P\}$
• $M,\; w\; \models \; ◊\; P\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathfrak\; \{M\}\},\; w\; \backslash \; models\; \backslash \; Diamond\; P\}$если для некоторого элемента $u\; \{\backslash \; displaystyle\; u\}$из $W\; \{\backslash \; displaystyle\; W\}$, он считает, что $w\; R\; u\; \{\backslash \; d\; isplaystyle\; wRu\}$и $u\; \models \; P\; \{\backslash \; displaystyle\; u\; \backslash \; models\; P\}$

Согласно семантике, формула представлена ​​по данному отношению к миру $w\; \{\backslash \; displaystyle\; w\}$, если он сохраняется в каждом, доступном из $ш\; \{\backslash \; Displaystyle\; ш\}$. Это возможно, если оно выполнено в каком-то мире, доступном из $w\; \{\backslash \; displaystyle\; w\}$. Таким образом, возможность зависит от отношений доступности $R\; \{\backslash \; displaystyle\; R\}$, которое позволяет нам выразить относительный характер возможности. Например, мы могли бы сказать, что, учитывая наши законы, физики, люди не могут путешествовать быстрее скорости света, но при других обстоятельствах это могло быть возможно быстрее света. Используя отношения доступности, мы можем перевести этот мир следующим образом: во всех мирах, доступных нашему собственному миру, быстрее распространять скорость, но в одном из этих миров есть другой мир. доступный из этих миров, но недоступный из наших людей, которые люди могут путешествовать со скоростью, превышающей скорость света.

Фреймы и полнота

Иногда одного выбора отношения доступности может быть достаточно, чтобы вероятность истинности или ложности формулы. Например, рассмотрим модель $M\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathfrak\; \{M\}\}\}$, оценки доступности которой рефлексивно. Мы будем иметь отношение рефлексивно, мы будем иметь, что $M,\; w\; \models \; P\; \to \; ◊\; P\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathfrak\; \{M\}\},\; w\; \backslash \; models\; P\; \backslash \; rightarrow\; \backslash \; Diamond\; P\}$для любого $w\; \in \; G\; \{\backslash \; displaystyle\; w\; \backslash \; in\; G\}$независимо от того, какая функция оценки используется. По этой причине модальные логики иногда говорят о фреймах, которые являются частью реляционной модели, исключающей функцию функции.

• Реляционный фрейм - это пара $M\; =\; ⟨G,\; R⟩\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathfrak\; \{M\}\}\; =\; \backslash \; langle\; G,\; R\; \backslash \; rangle\}$где $G\; \{\backslash \; displaystyle\; G\}$- это набор преступников, $R\; \{\backslash \; displaystyle\; R\}$- бинарное отношение на $G\; \{\backslash \; displaystyle\; G\}$.

различные системы модальной логики использование с использованием условий кадра. Фрейм называется:

• рефлексивным, if w R w, для каждого w в G
• симметричным, if w R u влечет u R w, для всех w и u в G
• транзитивный, если w R u и u R q вместе подразумевают w R q, для всех w, u, q в G.
• последовательный если для каждого w в G существует такое u в G, что w R u.
• евклидово, если для любых u, t и w из w R u и w R t следует u R t (по симметрии это также подразумевает t R u)

Логика, которая вытекает из этих условий кадра:

• K: = нет условий
• D: = серийный
• T: = рефлексивный
• B: = рефлексивное и симметричное
• S4 : = рефлексивное и транзитивное
• S5: = рефлексивное и евклидово

Евклидово наряду с рефлексивностью дает симметрию и транзитивность. (Евклидово свойство также может быть получено из симметрии и транзитивности.) Следовательно, если отношение доступности R рефлексивно и евклидово, R доказуемо симметрично и также транзитивно. Следовательно, для моделей S5, R является отношением эквивалентности , потому что R рефлексивно, симметрично и транзитивно.

Мы можем доказать, что эти фреймы порождают тот же набор допустимых предложений, которые и фреймы, в которых все миры могут видеть все другие миры W (т.е. где R - «полное» отношение). Это дает соответствующий модальный граф, который является полностью полным (т. Е. Невозможно добавить больше ребер (отношений)). Например, в любой модальной логике, основанной на условиях фрейма:

$w\; \models \; ◊\; P\; \{\backslash \; displaystyle\; w\; \backslash \; models\; \backslash \; Diamond\; P\}$тогда и только тогда, когда для некоторого элемента u из G выполнено, что $u\; \models \; P\; \{\backslash \; displaystyle\; u\; \backslash \; models\; P\}$и w R u.

Если мы рассмотрим кадры на основе полного отношения, мы можем просто сказать, что

$w\; \models \; ◊\; P\; \{\backslash \; displaystyle\; w\; \backslash \; models\; \backslash \; Diamond\; P\}$тогда и только тогда, когда для некоторого элемента u из G выполняется, что $u\; \models \; P\; \{\backslash \; displaystyle\; u\; \backslash \; models\; P\}$.

Мы можем отказаться от доступности из последнего условия, потому что в таких полных фреймах тривиально верно для всех w и u, что w R u. Обратите внимание, что это не обязательно для всех фреймов S5, которые по-прежнему состоят из нескольких частей, которые полностью соединены между собой, но все еще отсоединены друг от друга.

Все эти системы также могут быть включены в аксиоматически, как в следующем разделе. Например, в S5 аксиомы $P\; ⟹\; ◻\; ◊\; P\; \{\backslash \; displaystyle\; P\; \backslash \; implies\; \backslash \; Box\; \backslash \; Diamond\; P\}$, $◻\; P\; ⟹\; ◻\; ◻\; P\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Box\; P\; \backslash \; подразумевает\; \backslash \; Box\; \backslash \; Box\; P\}$и $◻\; P\; ⟹\; P\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Box\; P\; \backslash \; подразумевает\; P\}$(соответствующие симметрии, транзитивности и рефлексивности соответственно), тогда как хотя бы одно из них аксиомы не выдерживают друг друга, более слабой логики.

Топологическая семантика

Модальная логика также интерпретировалась с использованием топологических структур. Например, внутренняя семантика интерпретирует формулы модальной логики следующим образом.

Топологическая модель - это кортеж $X\; =\; ⟨X,\; \tau ,\; V⟩\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathrm\; \{X\}\; =\; \backslash \; langle\; X,\; \backslash \; tau,\; V\; \backslash \; rangle\}$где $⟨X,\; \tau ⟩\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; langle\; X,\; \backslash \; tau\; \backslash \; rangle\}$- это топологическое пространство, а $V\; \{\backslash \; displaystyle\; V\}$- это функция, которая сопоставляет каждую атомарную формулу с некоторыми подмножеством $X\; \{\backslash \; displaystyle\; X\}$. Базовая внутренняя семантика интерпретирует формулы модальной логики следующим образом:

• $X,\; x\; \models \; P\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathrm\; \{X\},\; x\; \backslash \; models\; P\}$iff $x\; \in \; V\; (p)\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; \backslash \; in\; V\; (p)\}$
• $X,\; x\; \models \; \neg \; \varphi \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathrm\; \{X\},\; x\; \backslash \; models\; \backslash \; neg\; \backslash \; phi\}$iff $X,\; x\; ⊭\; \varphi \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathrm\; \{X\},\; x\; \backslash \; not\; \backslash \; models\; \backslash \; phi\}$
• $X,\; x\; \models \; \varphi \; \wedge \; \chi \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathrm\; \{X\},\; x\; \backslash \; models\; \backslash \; phi\; \backslash \; land\; \backslash \; chi\}$iff $X,\; x\; \models \; \varphi \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathrm\; \{X\},\; x\; \backslash \; models\; \backslash \; phi\}$и $X,\; x\; \models \; \chi \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathrm\; \{X\},\; x\; \backslash \; models\; \backslash \; chi\}$
• $X,\; x\; \models \; ◻\; \varphi \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathrm\; \{X\},\; x\; \backslash \; models\; \backslash \; Box\; \backslash \; phi\}$iff для некоторого $U\; \in \; \tau \; \{\backslash \; Displaystyle\; U\; \backslash \; in\; \backslash \; tau\}$у нас есть как $x\; \in \; U\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; \backslash \; in\; U\}$, так и $X,\; y\; \models \; \varphi \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathrm\; \{X\},\; y\; \backslash \; models\; \backslash \; phi\}$для всех $y\; \in \; U\; \{\backslash \; displaystyle\; y\; \backslash \; in\; U\}$

Топологические подходы, включая реляционные, что позволяет. Дополнительная структура, которые они создают, также позволяет моделировать концепции, такие как механизмы прозрачности. Топологическая семантика широко используется в недавних работах по формальной эпистемологии и предшественники в более ранних работах, таких как Дэвид Льюис и Логика Анжелики Крацер для контрфактов.

Аксиоматические системы

Первые формализации модальной логики были аксиоматическими. Со времен С. были предложены многочисленные варианты с очень разными свойствами. И. Льюис начал работать в этом районе в 1912 году. Например, Hughes и Cresswell (1996) описывают 42 нормальных и 25 ненормальных модальных логика. Земан (1973) некоторые системы, которые Хьюз и Крессвелл опускают.

Современные трактовки модальной логики начинаются с дополнения исчисления высказываний двумя унарными операциями, одна обозначает «необходимость», а другая - «возможность». Обозначения С. I. Lewis, широко используется с помощью тех пор, обозначает «обязательно p» с префикса «box» (□ p), объем которого устанавливается скобками. Точно так же префикс «ромб» (◇ p) означает «возможно, p». Независимо от обозначений, каждый из операторов может быть определен в другом терминале в классической модальной логике:

• □ p (обязательно p) эквивалентно ¬ ◇ ¬p («невозможно, что не-p»)
• ◇ p (возможно, p) эквивалентно ¬ □ ¬p («не обязательно не-p»)

Следовательно, □ и ◇ образуют двойную пару операторов.

Во многих модальных логиках операторы необходимого удовлетворения следующим аналогам закон де Моргана из Булевой алгебры :

«Это не обязательно, чтобы X» логически эквивалентен «Возможно, что не X».

«Это невозможно, что X» логически эквивалентно «необходимо, чтобы не X ».

Какие именно аксиомы и правила должны быть добавлены к исчислению высказываний, чтобы создать пригодную для использования системы модальной логики, является вопросом философское мнение, часто основанное на теоремах, которые человек хочет доказать ; или, в информатике, это вопрос той, какую вычислительную или дедуктивную систему вы хотите моделировать. Многие модальные логики, известные под общим названием нормальные модальные логики, включают следующее правило и аксиому:

• N, Правило необходимости : Если p является теоремой (любая система, вызывающая N ), то □ p такж е является теоремой.
• K, Аксиома распределения : □ (p → q) → (□ p → □ q).

Самый слабый нормальный модальный логика, названная «K » в честь Саула Крипке, является просто исчислением высказываний, дополненным □, правилом N и аксиома K . K необходимо в том, что он не может определить, может ли предложение быть слабым, но необходимо только условно. То есть, это не теорема K, что если □ p истинно, то □□ p истинно, т.е. что необходимые истины «обязательно необходимы». Если такие условия считаются необходимыми и искусственными, недостаток не является большим. В любом случае разные ответы на такие вопросы дают разные системы модальной логики.

Добавление аксиом к K дает начало другим хорошо известным модальным системам. В K нельзя доказать, что если «p необходимо», то по истинно. Аксиома T устраняет этот недостаток:

• T, Аксиома рефлексивности : □ p → p (Если p необходимо, то это так.)

Tвыполняется в большинстве, но не во всех модальных логиках.. Земан (1973) содержит несколько исключений, таких как S1.

Другие хорошо известные элементарные аксиомы:

• 4: $◻\; p\; \to \; ◻\; ◻\; p\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Box\; p\; \backslash \; to\; \backslash \; Box\; \backslash \; Box\; p\}$
• B: $p\; \to \; ◻\; ◊\; p\; \{\backslash \; displaystyle\; p\; \backslash \; в\; \backslash \; Коробка\; \backslash \; Diamond\; p\}$
• D: $◻\; p\; \to \; ◊\; p\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Box\; p\; \backslash \; to\; \backslash \; Diamond\; p\}$
• 5: $◊\; p\; \to \; ◻\; ◊\; p\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Diamond\; p\; \backslash \; to\; \backslash \; Box\; \backslash \; Diamond\; p\}$

Они дают системы (аксиомы выделены жирным шрифтом, системы выделены курсивом):

• K: = K+ N
• T: = K + T
• S4: = T + 4
• S5: = T + 5
• D: = K + D.

K - S5 образуют вложенную иерархию систем, составляющую ядро ​​нормальной модальной логики. Но верх или наборы правил могут подходить для конкретных систем. Например, в деонтической логике $◻\; p\; \to \; ◊\; p\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Box\; p\; \backslash \; to\; \backslash \; Diamond\; p\}$(если это должно быть это p, то разрешено, что p) выглядит уместно, но мы вероятно, не должен быть этот $p\; \to \; ◻\; ◊\; p\; \{\backslash \; displaystyle\; p\; \backslash \; to\; \backslash \; Box\; \backslash \; Diamond\; p\}$. Фактически, поступить так - значит совершить ошибку апелляции имеет природу (т.е. заявить, что то, что естественно, тоже хорошо, сказав, что если место должно быть разрешено).

Обычно используемая система S5 просто делает все модальные истины необходимыми. Например, если p возможно, то «необходимо», чтобы p было возможно. Кроме того, если необходимо p, необходимо, чтобы p было необходимо. Были сформулированы другие системы модальной логики, отчасти потому, что S5 не содержит все виды интересующих модальностей.

Теория структурных доказательств

Последовательные исчисления и системы естественного вывода были разработаны для нескольких модальных логик, но оказалось трудно совместить общность с другими характеристиками, ожидаемыми от хороших структурных теорий доказательства, такие как чистота (теория доказательств не вводит дополнительных логических понятий, таких как метки) и аналитичность (логические правила чистое понятие аналитического доказательства доказательства ). Более сложные исчисления были применены к модальной логике для достижения общности.

Методы принятия решений

Аналитические таблицы предоставляют наиболее популярный метод принятия решений для модальных логик.

Модальная логика в философии

Алетическая логика

Модальности необходимости и возможности называются алетическими модальностями. Их также иногда называют особыми модальностями, от латинского разновидностей. Модальная логика была сначала применена для работы с этими концепциями, и только потом была распространена на другие. По этой причине или, возможно, из-за их привычности и простоты использования необходимо обследовать предмет модальной логики. Более того, легче понять релятивизирующую необходимость, например к юридическим, физическим, номологическим, эпистемологическим и т. д., чем осмыслить релятивизацию других понятий.

В классической модальной логике предложение считается

• возможным, если оно не обязательно ложно (независимо от того, истинно оно на самом деле или на самом деле ложно);
• необходимо, если это не возможно ложно (т.е. верно и обязательно верно);
• условно, если оно не обязательно ложно и не обязательно верно (т.е. возможно, но не обязательно верно);
• невозможно, если это не может быть истинным (т.е. ложным и обязательно ложным).

Следовательно, в классической модальной логике понятие возможности или необходимости может считаться базовым, тогда как эти другие понятия определены в терминах это в манере двойственности Де Моргана. рассматривает возможность и необходимость как не идеально симметричные.

Например, предположим, что, идя в магазин, мы проезжаем дом Фридриха и замечаем, что свет выключен. На обратном пути замечаем, что они были включены.

• «Кто-то или что-то включило свет».
• «Фридрих включил свет», «Сосед Фридриха Макс включил свет» и «Грабитель по имени Адольф ворвался в дом Фридриха иповернулся. горящие огни «случайны.
• Все приведенные выше утверждения возможны.
• Невозможно, чтобы Сократ (который был мертв более двух тысяч лет) обратился свет включен.

(Конечно, эта аналогия не применяет алетическую модную по-настоящему строгим образом; для этого нужно было бы аксиоматически сделать такое утверждение, как «люди могут не воскреснуть изых», »Сократ был мертв человеком, а не бессмертным вампиром", и Абсолютная уверенность в истинности или лжи существует только в смысле логически построенного абстрактного таких понятий, как «невозможно нарисовать треугольник с четырьмя сторонами» и «все», «мы не принимали галлюциногенные препараты, которые заставляли нас полагаться, что свет был включен», до бесконечности. холостяки не состоят в браке »".)

Для тех, кто испытывает трудности с представлением о том, что-то возможно, но не является правдой, значение этих терминов можно сделать более понятным, если подумать о нескольких « посредством мирах »(в смысле Лейбниц ) или« альтернативные вселенные »; что-то «необходимое» верно во всех возможных мирах, что-то «возможное» верно по крайней мере в одном из миров. Эта «семантика возможного мира» формализована с помощью семантики Крипке.

Физическая возможность

Что-то физически или номинально возможно, если это разрешено законами физики. Например, современная теория допускает существование атома с атомным номером, равным 126, если такие атомы не существуют. Напротив, хотя логически возможно ускорение сверх скорости света, современная наука утверждает, что это физически невозможно для материальных частиц или информации.

Метафизическая возможность

Философы спорить, обладают ли объекты свойствами, независимыми от тех, которые диктуются научными законами. Например, могут быть метафизически необходимо, как думают некоторые сторонники физикализма, что все мыслящие существа имеют тела и могут испытывать течение времени. Саул Крипке утвержден, что у каждого человека обязательно есть родители, которые у него есть: любой человек с разными родителями не будет одним и тем же человеком.

Метафизическая возможность считалась более ограничивающей, чем просто логической возможностью (т.е. метафизически меньше возможно вещей, чем логически). Однако его точное отношение (если таковое имеется) к логической возможности или к физической возможности является предметом споров. Философы также расходуются во мнениях относительно того, необходимы ли метафизические истины просто «по определению», или они отражают некоторые глубинные факты о мире.

Эпистемическая логика

Эпистемические модальности (от греческого эпистема, знание) имеют дело с определенностью предложений. Оператор □ переводится как «x знает, что…», а оператор ◇ переводится как «Города все x знает, может быть правдой, что…» В обычной речи и метафизические, и эпистемологические модальности часто выражаются одинаковыми словами; могут помочь следующие контрасты:

Человек, Джонс, мог бы разумно сказать и то, и другое: (1) «Нет, невозможно, чтобы снежный человек существует; я совершенно уверен в этом »; и (2) «Конечно, возможно, что снежные люди могут существовать». Под (1) всю подразумевает, что, учитывая доступную информацию, не остается никаких сомнений в том, существует ли снежный человек. Это эпистемическое утверждение. Посредством (2) он делает метафизическое утверждение, что снежный человек может существовать, хотя он этого не делает: никаких физических или биологических, по которым, большие, бесперые, существа с густой шерстью не могли существовать в лесах Северной Америки. (независимо от того, делают они это или нет). «Человек, читающий это предложение, может быть ростом четырнадцати футов и по имени Чад» метафизически верно (такому человеку каким-либо образом не помешают сделать это из-за своего роста и имени), но не алетически верно, если только вы соответствуете этому описанию, и это не соответствует истине с эпистемологической точки зрения, если известно, что людей ростом в четырнадцать футов не существовало.

С другой стороны, Джонс мог бы сказать: (3) «Возможно, гипотеза Гольдбаха верна; но также возможно, что она неверна », а также (4)« если это правда, тогда это обязательно верно, а не, возможно, ложно ». Здесь Джонс имеет в виду, что эпистемически возможно, что это истинно или ложно, насколько он знает (гипотеза Гольдбаха не была доказана истинной, ни ложной), но есть доказательство (до сих пор не открытое), то оно показало бы, что это так. Невозможно, чтобы гипотеза Гольдбаха была ложной - не могло быть никакого набора чисел, который ее нарушал. Логическая возможность - это форма алетической возможности; (4) утверждает, возможно ли (т. Е. Логически говоря), что математическая истина была ложной, но (3) утверждает только, возможно ли это, поскольку все, что знает Джонс, (т.е. уверенность), что математическое утверждение либо истинно, либо ложно, и поэтому Джонс снова не противоречит самому себе. Стоит заметить, что Джонс не обязательно прав: возможно (эпистемически), что гипотеза Гольдбаха и верна, и недоказуема.

Эпистемические возможности также на реальный мир в отличие от метафизических возможностей. Метафизические возможности влияют на то, каким может быть мир, но эпистемические возможности влияют на то, каким может быть мир (насколько мы знаем). Предположим, например, что я хочу знать, брать ли зонтик перед уходом. «Возможно, что на улице идет дождь» - в смысле эпистемической возможности - тогда это повлияет на то, возьму ли я зонтик или нет. Но если вы просто скажете мне, что «возможен дождь снаружи» - в смысле метафизической возможности - тогда мне не лучше для этой части модального просветления.

Некоторые особенности эпистемологической модальной логики обсуждаются. Например, если x знает это p, знает ли x, что он знает это p? То есть должно ли □ P → □□ P быть аксиомой в этих системах? Хотя ответ на этот вопрос неясен, существует по крайней мере одна аксиома, которая обычно включается в эпистемологическую модальную логику, поскольку она минимально верна для всех нормальных модальных логик (см. раздел по аксиоматическим системам ):

• K, Аксиома распределения: $◻\; (p\; \to \; q)\; \to \; (◻\; p\; \to \; ◻\; q)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Box\; (p\; \backslash \; to\; q)\; \backslash \; to\; (\backslash \; Box\; p\; \backslash \; to\; \backslash \; Box\; q)\}$.

Был поставлен вопрос о том, следует ли рассматривать эпистемическую и алетическую модальность отдельно друг от друга. Критика утверждает, что нет реальной разницы между «правдой в» (алетическая) и «истиной в сознании человека» (эпистемической). Исследование не нашло ни одного языка, в котором формально различались алетические и эпистемологические модальности, например, с помощью грамматического наклонения.

временной логики

темпоральная логика - это подход к семантике выражений с временем, то есть выражениями с квалификацией когда. Некоторые выражения, такие как «2 + 2 = 4», верны всегда, в то время как напряженные выражения, такие как «Джон счастлив», верны только иногда.

В темпоральной логике временные исследования в терминах модальностей, где стандартный метод формализации разговора о времени заключается в использовании двух пар операторов, одной для прошлого и одного для будущего (P будет просто означать 'в настоящее время P'). Например:

FP: Иногда будет так, что P

GP: Всегда будет так, что P

PP: Иногда было так, что P

HP: Так было всегда. случай, когда P

Тогда мы можем использовать по крайней мере три модальные логики. Например, мы можем указать, что

$◊\; P\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Diamond\; P\}$= P имеет место в какой-то момент t

$◻\; P\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Box\; P\}$= P имеет место в каждый момент времени t

Или мы можем использовать этих операторов, чтобы иметь дело только с будущим (или прошлым). Например,

$◊\; 1\; P\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Diamond\; \_\; \{1\}\; P\}$= FP

$◻\; 1\; P\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Box\; \_\; \{1\}\; P\}$= GP

или

$◊\; 2\; P\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Diamond\; \_\; \{2\}\; P\}$= P и / или FP

$◻\; 2\; P\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Box\; \_\; \{2\}\; P\}$= P и GP

операторы F и G могут показаться чужеродными, но они показывают нормальные модальные системы. Обратите внимание, что F P совпадает с ¬ G ¬P. Установленные операторы для мобильных операторов устанавливают. Например, P P → □ P P говорит (эффективно): Все, что было в прошлом и истинно, необходимо.

Кажется разумным сказать, что, возможно, завтра будет дождь, а возможно, и не будет; с другой стороны, поскольку вчера шел дождь, то, вероятно, неправда, что вчера дождя не было. Кажется, что прошлое «фиксировано» или необходимо, в отличие от будущего. Иногда это называют случайной необходимостью. В конечном итоге, если прошлое «фиксировано», и все, что есть в будущем, кажется, останется в прошлом, то, что будущие события также необходимы.

Аналогично, проблема будущих контингентов рассматривает семантику утверждений о будущем: либо одно из предложений: «Завтра будет морское сражение», либо «Не будет Морской бой завтра 'теперь правда? Рассмотрение этого тезиса привело к тому, что Аристотель отверг принцип двухвалентности для утверждения, утверждения будущего.

Дополнительные бинарные операторы также имеют отношение к темпоральной логике, q.v. Линейная временная логика.

ии темпоральной логики Programme в информатике для моделирования компьютерных операций и доказательства теорем о них. В одной из версий, ◇ P означает «в будущем при вычислении возможно, что состояние компьютера будет таким, что P истинно»; □ P означает «всегда в будущем при вычислении P будет истинным». В другой версии ◇ P означает «в ближайшем следующем состоянии вычислений P может быть»; □ P означает «в ближайшем следующем состоянии вычислений P будет истинным». Они отличаются выбором <выбором248>отношения доступности. (P всегда означает «истинно в текущем состоянии компьютера».) Эти два примера включают недетерминированные или не совсем понятные вычисления; существует множество других модальных логик, специализирующихся на различных типах анализа программ. Каждое из них, естественно, приводит к немного разным аксиомам.

Деонтическая логика

Подобным образом разговоры о морали или обязательства и нормах в целом, похоже, имеют модальную структуру. Разница между «Вы можете сделать это» очень похожа на разницу между «Это необходимо» и «Это возможно». Такая логика называется деонтической, от греческого «долг».

В деонтических логиках обычно отсутствует аксиома T, семантически соответствующая рефлексивности отношения доступности в семантике Крипке : в символах, $◻\; \varphi \; \to \; \varphi \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Box\; \backslash \; phi\; \backslash \; to\; \backslash \; phi\}$. Интерпретируя □ как «это обязательно», T неформально говорит, что обязательство истинно. Например, если обязательно не убивать других (т.е. убийство морально), то T подразумевает, что люди на самом деле не убивают других. Очевидно, что следствие неверно.

Вместо этого, используя семантику Крипке, мы говорим, что хотя наш собственный мир не выполняет всех обязательств, миры, доступные для него, выполняют (т. Е. T сохраняется в этих миры). Эти миры называются идеализированными мирами. P является обязательным по отношению к нашему собственному миру, если для нашего мира доступны все идеализированные миры, P выполняется. Хотя это была одна из первых интерпретаций формальной семантики, недавно она подверглась критике.

Еще один принцип, который часто (по крайней мере, традиционно) принимается как деонтический принцип, - это D, $◻\; \varphi \; \to \; ◊\; \varphi \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Box\; \backslash \; phi\; \backslash \; to\; \backslash \; Diamond\; \backslash \; phi\}$, что соответствует серийности (или расширяемости, или неограниченности) отношения доступности. Это воплощение кантовской идеи, что «должно - значит может». (Очевидно, что «может» может быть истолковано в различных смыслах, например, в моральном или алетическом смысле.)

Интуитивные проблемы с деонтической логикой

Когда мы пытаемся формализовать этику с помощью стандартной модальной логики, мы сталкиваемся с некоторыми проблемами. Предположим, что у нас есть предложение K: вы украли деньги, а другое предложение Q: вы украли небольшую сумму денег. Теперь предположим, что мы хотим выразить мысль, что «если вы украли немного денег, это должна быть небольшая сумма денег». Есть два вероятных кандидата:

(1) $(K\; \to \; ◻\; Q)\; \{\backslash \; displaystyle\; (K\; \backslash \; to\; \backslash \; Box\; Q)\}$

(2) $◻\; (K\; \to \; Q)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Box\; (K\; \backslash \; to\; Q)\}$

Но (1) и K вместе влекут □ Q, что говорит о том, что это должно быть так, что вы украли небольшую сумму денег. Это определенно неправильно, потому что вам вообще не следовало ничего воровать. И (2) тоже не работает: если правильное представление «если вы украли деньги, это должна быть небольшая сумма» - это (2), то правильное представление (3) «если вы украли деньги. тогда это должно быть большое количество »: $◻\; (K\; \to \; (K\; \wedge \; \neg \; Q))\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Box\; (K\; \backslash \; to\; (K\; \backslash \; land\; \backslash \; lnot\; Q))\}$. Теперь предположим (что кажется разумным), что вам не следует ничего воровать, или $◻\; \neg \; K\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Box\; \backslash \; lnot\; K\}$. Но тогда мы можем вывести $◻\; (K\; \to \; (K\; \wedge \; \neg \; Q))\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Box\; (K\; \backslash \; to\; (K\; \backslash \; land\; \backslash \; lnot\; Q))\}$через $◻\; (\; \neg \; K)\; \to \; ◻\; (К\; \to \; К\; \wedge \; \neg \; K)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Box\; (\backslash \; lnot\; K)\; \backslash \; to\; \backslash \; Box\; (K\; \backslash \; to\; K\; \backslash \; land\; \backslash \; lnot\; K)\}$и $◻\; (К\; \wedge \; \neg \; K\; \to \; (К\; \wedge \; \neg \; Q))\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Box\; (K\; \backslash \; land\; \backslash \; lnot\; K\; \backslash \; to\; (K\; \backslash \; land\; \backslash \; lnot\; Q))\}$(контрапозитив из $Q\; \to \; K\; \{\backslash \; displaystyle\; Q\; \backslash \; to\; K\}$); так что предложение (3) следует из нашей гипотезы (конечно, та же логика показывает предложение (2)). Но этого не может быть, и неправильно, когда мы используем естественный язык. Сказать кому-то, что они не должны воровать, определенно не означает, что они должны украсть большие суммы денег, если они действительно участвуют в воровстве.

Доксастическая логика

Доксастическая логика касается логики веры (некоторого набора агентов). Термин доксастический происходит от древнегреческого докса, что означает «вера». Как правило, доксастическая логика использует □, часто обозначаемое буквой «B», для обозначения «Считается, что», или, когда его относят к определенному агенту, «Это так считают».

Метафизические вопросы

В наиболее распространенной интерпретации модальной логики исследуются «логически возможные миры». Если утверждение во всех верно мирах, то это необходимая правда. Если утверждение верно в нашем мире, но не во всех виновных мирах, то это случайная правда. Утверждение, которое истинно в некотором возможном мире (не обязательно в нашем собственном), называется возможной истиной.

Согласно этой «идиоме возможно миров», чтобы утверждать, что существование снежного человека, но не актуально, говорят: «Существует некоторый возможный мир, в котором существует снежный человек; но в мире снежного человека не существует ». Однако неясно, к чему нас обязывает это утверждение. Неужели мы действительно заявляем о существовании мировых, столь же реальных, как наш реальный мир, но не реального? Саул Крипке считает, что термин «возможный мир» - это что-то вроде неправильного употребления, что термин «возможный мир» - это просто полезный способ визуализации концепции возможности. «Вы выбросили 4 вместо 6» и «выбросили 6 в реальном мире».. Дэвид Льюис, с другой стороны, прославился тем, что укусил пулю, утверждая, что все просто возможные миры так же реальности, как и наш собственный, и что то, что отличает наш мир, как реальный, просто то, что он действительно наш мир - этот мир. Эта позиция является основным принципом «модального реализма ». Некоторые философы отказываются поддерживать любую версию модального реализма, считая ее онтологически экстравагантной, и предпочитают искать способы перефразировать онтологические обязательства. Роберт Адамс считает, что «возможные миры» лучше рассматривать как «мировые истории» или последовательные наборы утверждений. Таким образом, возможно, вы выбросили 4, если такое положение дел можно связно описать.

Компьютерные специалисты обычно выбирают специфическую интерпретацию модальных операторов, предназначенных для конкретного типа анализируемых вычислений. Вместо «всех миров» у вас могут быть «все возможные следующие состояния компьютера» или «все возможные будущие состояния компьютера».

Другие приложения

Модальная логика начала в таких областях наук, как литература, искусство и история.

История

основные идеи модальной логики восходят к глубокой древности. Аристотель разработал модальную силлогистику в Книге I Предыдущей аналитики (глава 8–22), которую Теоф попытался улучшить. В работе Аристотеля также есть отрывки, такие как знаменитый аргумент о морском сражении в De Interpretatione §9, который теперь рассматривает как предвосхищение связи модальной логики с потенциальность и время. В эллинистический период логики Диодор Кронос, Филон Диалектик и стоик Хрисипп разработали модальную систему, объясняющую взаимоопределимость возможности и принятия аксиому T(см. ниже) и объединила элементы модальной логики и временной логики в попытках решить пресловутый Главный аргумент. Самая ранняя формальная система модальной логики была использована Авиценной, которая в итоге разработала теорию силлогистики «темпорально модальной». Модальная логика как самосознающий субъект во многом обязана труда схоластов, в частности Уильяма Оккама и Джона Дунса Скота, которые рассуждали неформально в модальном порядке, в основном для анализа утверждений о сущности и аварии.

C. И. Льюис основал современную модальную логику в серии научных статей, начиная с 1912 г. с «Импликации и алгебры логики». Льюис был вынужден изобрести модальную импликацию, и в частности строгую импликацию, на том основании, что классическая логика допускает парадоксы материальной импликации, такие как принцип, что ложь подразумевает любое утверждение. Эта работа завершилась его книгой «Символическая логика» 1932 года (с К. Х. Лэнгфордом ), которой были представлены пять систем с S1 по S5.

После Льюиса модальной логике в течение нескольких десятилетий уделялось мало внимания. Николас Решер утверждал, что это произошло потому, что Бертран Рассел отверг его. Однако он выступает против этой точки зрения, заявив, что модальная система, которую называет «MDL», описана в работах Рассела, хотя Рассел действительно считал концепцию модальности «возникла из смешения пропозиций с пропозициональными функциями », как он писал в «Анализе материи».

Артур Норман Прайор предупредил Рут Баркан Маркус, чтобы хорошо подготовиться к дебатам о количественной модальной логике с Уиллардом Ван Орманом Куайном, из-за предубеждений против модальной логики.

Рут К. Баркан (позже Рут Баркан Маркус ) разработала первые аксиоматические системы количественной модальной логики - расширения первого и второго порядка S2 Льюиса, S4 и S5.

Современная эра модальной семантики началась в 1959 году, когда Саул Крипке (тогда только 18-летний студент Гарвардского университета ) представил стандартная теперь семантика Крипке для модальных логик. Их обычно называют семантикой «миров». Крипке и А. Н. Приор ранее довольно долго переписывался. Семантика Крипке в основном проста, но упрощенное использование семантических таблиц или аналитических таблиц, как объяснил Э. У. Бет.

А. Н. Приор создал современную темпоральную логику, связанную с модальной логикой, в 1957 году, добавив модальные операторы [F] и [P], означающие «в конце концов» и «ранее». Воган Пратт представил динамическую логику в 1976 году. В 1977 году Амир Пнуэли использует временную логику для формы обучения постоянно работающих параллельных программ. Разновидности временной логики включает пропозициональную динамическую логику (PDL), (PLTL), линейную временную логику (LTL), логику дерева вычислений (CTL), Логика Хеннесси-Милнера и T.

Математическая структура модальной логики, а именно булевых алгебр, дополненных унарными операциями (часто называемыми модальные алгебры ), начали появляться с Дж. Доказательство CC McKinsey 1941 г., что S2 и S4 разрешимы, достигло своего расцвета в работах Альфреда Тарски и его ученика Бьярни Йонссона (Йонссон и Тарски 1951–52). Эта работа показала, что S4 и S5 являются моделями внутренней алгебры, правильного расширения булевой алгебры, изначально разработанного для улавливания свойств внутренних и операторов замыкания топология. Тексты по модальной логике обычно делают немного больше, чем включают ее связь с изучением булевых алгебр и топологии. Подробный обзор истории формальной модальной логики и структуры с ней математики см. В Роберт Голдблатт (2006).

См. Также

• Философский портал
• Психологический портал

• Отношение доступности
• Концептуальная необходимость
• Теория-аналог
• Дэвид Келлог Льюис
• De dicto and de re
• Логика описания
• Доксаст логика
• Динамическая логика
• Enthymeme
• Гибридная логика
• Внутренняя алгебра
• Логика интерпретируемости
• Семантика Крипке
• Метафизическая необходимость
• Модальный глагол
• Мультимодальная логика
• Многозначная логика
• Логика доказуемости
• Регулярная модальная эта логика
• Логика релевантности
• Риторика
• Строгое условное выражение
• Двумерность

Примечания

Ссылки

• В статье включены материалы из Бесплатного он-лайн словаря вычислительной техники, используется с разрешение в соответствии с GFDL.
• Barcan-Marcus, Ruth JSL 11 (1946) и JSL 112 (1947) и «Modalities», ОУП, 1993, 1995.
• Бет, Эверт У., 1955. Семантический энтит болезнь и формальная выводи мость ", Mededlingen van de Koninklijke Nederlandse Akademie van Wetenschappen, Afdeling Letterkunde, N.R. Том 18, № 13, 1955 г., стр. 309–42. Перепечатано в Яакко Интикка (ред.) Философия математики, Oxford University Press, 1969 (методы доказательства семантических таблиц).
• Бет, Эверт У., «Формальные методы: введение в символическую логику и к изучению эффективных операций в арифметике и логике », Д. Рейдель, 1962 (методы семантических таблиц).
• Блэкберн, П.; ван Бентем, Дж. ; и Уолтер, Франк; Ред. (2006) Справочник по модальной логике. Северная Голландия.
• Блэкберн, Патрик; де Рийке, Маартен; и Венема, Йде (2001) Модальная логика. Издательство Кембриджского университета. ISBN 0-521-80200-8
• Чагров Александр; и Захарьящев, Михаил (1997) Модальная логика. ISBN 0-19-853779-4
• Челлас, Б.Ф. (1980) Модальная логика: введение. Издательство Кембриджского университета. ISBN 0-521-22476-4
• Крессвелл, М. Дж. (2001) «Модальная Логика» в Гобле, Лу; Под ред. Блэквелла. Руководство по философской логике. Бэзил Блэквелл: 136–58. ISBN 0-631-20693-0
• Фитин г, Мелвин; и Мендельсон, Р. Л. (1998) Модальная логика первого порядка. Kluwer. ISBN 0-7923-5335-8
• Джеймс Гарсон (2006) Модальная логика для философов. Издательство Кембриджского университета. ISBN 0-521-68229-0. Подробное введение в модальную логику с описанием различных систем вывода и особого подхода к использованию диаграмм для облегчения понимания.
• Гирл, Род (2000) Модальная логика и философия. Проницательность (Великобритания). ISBN 0-7735-2139-9. Доказательство деревьями опровержения. Хорошее введение в различных интерпретации модальной логики.
• Роберт Голдблатт (1992) «Логика времени и вычислений», 2-е изд., CSLI Lecture Notes No. 7. University of Chicago Press.
• —— (1993) Математика модальности, CSLI Lecture Notes No. 43. University of Chicago Press.
• —— (2006) «Математическая модальная логика: взгляд на ее эволюцию », г. Алматы. Габбай, DM; и Вудс, Джон; Ред., Справочник по истории логики, Том 6. Elsevier BV.
• Горе, Раджив (1999) «Табличные методы для модальной и временной логики» в Д'Агостино, М.; Габбей, Д.; Хенле, Р.; и Посегга, Дж.; Редакторы., Справочник по табличным методам. Kluwer: 297–396.
• Хьюз Г. Э. и Крессвелл М. Дж. (1996) Новое введение в модальную логику. ISBN 0-415-12599-5
• Йонссон, Б. и Тарский, А., 1951–52, «Булева алгебра с Операторами I и II», Американский журнал Математика 73: 891–939 и 74: 129–62.
• Крахт, Маркус (1999) Инструменты и методы в модальной логике, Исследования по логике и Основы математики № 142. Северная Голландия.
• Lemmon, EJ (с Скотт, Д. ) (1977) Введение в модальную логику, Серия ежеквартальных американских философских монографий, № 11 (Кристер Сегерберг, серия изд.). Бэзил Блэкве лл.
• Льюис, К.И. (с Лэнгфорд, C.H. ) (1932). Символическая логика. Переиздание Dover, 1959.
• Прайор, А.Н. (1957) Время и модальность. Издательство Оксфордского университета.
• Снайдер, Д. Пол «Модальная логика и ее приложения», Компания Ван Ностранд Рейнхольд, 1971 (методы дерева доказательств).
• Земан, Дж. Дж. (1973) Модальная логика. Рейдель. Использует польскую нотацию.
• «История логики», Britannica Online.

Дополнительная литература

• Рут Баркан Маркус, Modalities, Oxford University Press, 1993.
• D. М. Габбай, А. Куруц, Ф. Вольтер и М. Захарьящев, Многомерная модальная логика: теория и другие приложения, исследования по логике и основам математики, том 148, 2003 г., ISBN 0-444-50826-0. [Охватывает множество разновидностей модальных логик, например временный, эпистемический, динамический, пространственный, пространственный с единой точки зрения с акцентом на аспектах информатики, например разрешимость и сложность.]
• Андреа Боргини, Критическое введение в метафизику модальности, Нью- Йорк: Блумсбери, 2016.

Внешние ссылки

• Интернет-энциклопедия философии :
  • "Модальная логика: современник Вид "- Йохана ван Бентема.
  • "Модальная логика Рудольфа Карнапа " - М.Дж. Крессвелл.
• Стэнфордская энциклопедия философии :
  • "Модальная логика "- Джеймс Гарсон.
  • "Современные истоки модальной логики » - Роберта Балларин.
  • "Логика доказуемости »- Ринеке Вербрюгге. 472>Эдвард Н. Залта, 1995, «Основные концепции в модальной логике. "
  • Джон Маккарти, 1996,« <75 Модальная логика. "
  • Молл Java Prover для экспериментов с модальной логикой
  • Субер, Питер, 2002, »Библиография модальной логики. "
  • Список логических систем Список многих модальных логик с источниками, автор Джон Халлек.
  • Достижения в модальной <222
  • S4prover Программа для проверки S4 logi. C
  • "Некоторые замечания по логике и топологии "- Ричард Мут;>Проводимые раз в два года международной конференции и серии книг по модальной логике. Предоставляет топологическую семантику для модальной логики S4.
  • LoTREC Самый общий инструмент для мод доказательства логик от ИРИТ / Тулузского университета
  <>