Войти
В абстрактной алгебре внутренняя алгебра представляет собой определенный тип алгебраическая структура, которая кодирует идею топологического внутреннего множества. Внутренние алгебры соответствуют топологии и модальной логике S4так же, как булевы алгебры относятся к теории множеств и обычной логике высказываний. Внутренние алгебры образуют разнообразие из модальных алгебр.
внутренняя алгебра - это алгебраическая структура с сигнатурой
где
- это логическая алгебра, а постфикс обозначает унарный оператор , внутренний оператор, удовлетворяющий тождествам:
x называется внутренним x.
Двойственный внутреннего оператора - это оператор закрытия, определяемый как x = ((x ′)) ′. x называется замыканием x. По принципу двойственности оператор замыкания удовлетворяет тождествам:
Если оператор замыкания считается примитивным, внутренний оператор может быть определен как x = ((x ′)) ′. Таким образом, теория внутренних алгебр может быть сформулирована с использованием оператора замыкания вместо внутреннего оператора, и в этом случае рассматриваются алгебры замыкания вида ⟨S, ·, +, ′, 0, 1,⟩, где ⟨S, ·, +, ′, 0, 1⟩ снова является булевой алгеброй и удовлетворяет указанным выше тождествам для оператора замыкания. Замыкающая и внутренняя алгебры образуют дуальные пары и являются парадигматическими примерами «булевых алгебр с операторами». В ранней литературе по этому вопросу (в основном польская топология) использовались операторы замыкания, но формулировка внутреннего оператора в конечном итоге стала нормой после работы Вима Блока.
Элементы интерьера алгебры, удовлетворяющие условию x = x, называются open. Дополнения открытых элементов называются closed и характеризуются условием x = x. Внутренняя часть элемента всегда открыта, а закрытие элемента всегда закрыто. Внутренние части закрытых элементов называются обычными открытыми, а закрытия открытых элементов называются обычными закрытыми . Элементы, которые одновременно открыты и закрыты, называются clopen. 0 и 1 закрыты.
Внутренняя алгебра называется логической, если все ее элементы открыты (и, следовательно, закрыты). Булевы внутренние алгебры могут быть отождествлены с обычными булевыми алгебрами, поскольку их внутренние операторы и операторы замыкания не обеспечивают значимой дополнительной структуры. Частным случаем является класс тривиальных внутренних алгебр, которые представляют собой одноэлементные внутренние алгебры, характеризуемые тождеством 0 = 1.
Внутренние алгебры, в силу того, что они алгебраические структуры, имеют гомоморфизмы. Для двух внутренних алгебр A и B отображение f: A → B является гомоморфизмом внутренних алгебр тогда и только тогда, когда f является гомоморфизмом между базовыми булевыми алгебрами A и B, это также сохраняет внутренности и закрытия. Следовательно:
Топоморфизмы являются еще одним важным и более общим, класс морфизмов между внутренними алгебрами. Отображение f: A → B является топоморфизмом тогда и только тогда, когда f является гомоморфизмом между булевыми алгебрами, лежащими в основе A и B, который также сохраняет открытые и закрытые элементы A. Следовательно:
(Такие морфизмы также называются стабильными гомоморфизмы и полугомоморфизмы алгебры замыкания.) Каждый гомоморфизм внутренней алгебры является топоморфизмом, но не всякий топоморфизм является гомоморфизмом внутренней алгебры.
Ранние исследования часто рассматривали отображения между внутренними алгебрами, которые были гомоморфизмами лежащих в основе булевых алгебр, но не обязательно сохраняли внутренний оператор или оператор замыкания. Такие отображения были названы булевыми гомоморфизмами . (Термины гомоморфизм замыкания или топологический гомоморфизм использовались в том случае, когда они были сохранены, но эта терминология теперь излишняя, поскольку стандартное определение гомоморфизма в универсальной алгебре требует, чтобы оно сохраняло все операции.) счетно полные внутренние алгебры (в которых всегда существуют счетные встречи и соединения, также называемые σ-полными) обычно использовали счетно полные булевы гомоморфизмы, также называемые булевыми σ-гомоморфизмами - они сохраняют счетные встречи и соединения.
Самое раннее обобщение непрерывности на внутренние алгебры было Сикорским, основанным на отображении обратного изображения непрерывного отображения. Это булев гомоморфизм, который сохраняет объединения последовательностей и включает замыкание прообраза в прообразе замыкания. Таким образом, Сикорский определил непрерывный гомоморфизм как булев σ-гомоморфизм f между двумя σ-полными внутренними алгебрами такими, что f (x) ≤ f (x). У этого определения было несколько трудностей: конструкция действует контравариантно, создавая двойственную непрерывную карту, а не обобщение. С одной стороны, σ-полнота слишком слаба, чтобы охарактеризовать обратные изображения (требуется полнота), с другой стороны, она слишком ограничительна для обобщения. (Сикорский заметил использование неполных σ-полных гомоморфизмов, но включил σ-полноту в свои аксиомы для алгебр замыкания.) Позже Дж. Шмид определил непрерывный гомоморфизм или непрерывный морфизм для внутренних алгебр. как булев гомоморфизм f между двумя внутренними алгебрами, для которых f (x) ≤ f (x). Это обобщает карту прямого изображения непрерывной карты - образ замыкания содержится в замыкании изображения. Эта конструкция ковариантна, но не подходит для теоретико-категорийных приложений, поскольку она позволяет строить непрерывные морфизмы из непрерывных отображений только в случае биекций. (К. Натурман вернулся к подходу Сикорского, отказавшись от σ-полноты, чтобы получить топоморфизмы, как определено выше. В этой терминологии оригинальные «непрерывные гомоморфизмы» Сикорского являются σ-полными топоморфизмами между σ-полными внутренними алгебрами.)
Учитывая топологическое пространство X= ⟨X, T⟩, можно сформировать power set булеву алгебру X :
и расширить его до внутренней алгебры
где - обычный топологический внутренний оператор. Для всех S ⊆ X он определяется как
. Для всех S ⊆ X соответствующий оператор замыкания задается как
S - это наибольшее открытое подмножество S, а S - наименьшее закрытое надмножество S в X . Открытые, закрытые, регулярные открытые, правильные закрытые и открыто-открытые элементы внутренней алгебры A(X) - это просто открытые, закрытые, регулярные открытые, правильные закрытые и открыто-открытые подмножества X соответственно в обычном топологическом смысле.
Каждая полная атомарная внутренняя алгебра изоморфна внутренней алгебре вида A(X) для некоторого топологического пространства X. Более того, каждая внутренняя алгебра может быть встроена в такую внутреннюю алгебру, дающую представление внутренней алгебры в виде топологического поля множеств. Свойства структуры A(X) являются самой мотивацией для определения внутренних алгебр. Из-за этой тесной связи с топологией внутренние алгебры также называются топологическими булевыми алгебрами или топологическими булевыми алгебрами .
Учитывая непрерывное отображение между двумя топологическими пространствами
мы можем определить полный топоморфизм
с помощью
для всех подмножеств S из Y . Таким образом можно вывести любой полный топоморфизм между двумя полными атомными внутренними алгебрами. Если Top - это категория топологических пространств и непрерывных отображений, а Cit - категория полных атомных внутренних алгебр и полных топоморфизмов, то Top и Cit дуально изоморфны, а A: Top → Cit является контравариантным функтором, который является двойственным изоморфизмом категорий. A (f) является гомоморфизмом тогда и только тогда, когда f является непрерывным открытым отображением.
. При этом двойственном изоморфизме категорий многие естественные топологические свойства соответствуют алгебраическим свойствам, в частности свойствам связности соответствуют Свойства несводимости:
Современная формулировка топологические пространства в терминах топологий открытых подмножеств, мотивирует альтернативную формулировку внутренних алгебр: обобщенное топологическое пространство - это алгебраическая структура формы
, где ⟨B, ·, +, ′, 0, 1⟩ - обычная булева алгебра, а T - унарное отношение на B (подмножество B) такое, что:
T называется обобщенным топология в булевой алгебре.
Для внутренней алгебры ее открытые элементы образуют обобщенную топологию. Наоборот, для обобщенного топологического пространства
мы можем определить внутренний оператор на B следующим образом: b = a {a ∈T: a ≤ b}, тем самым получая внутренняя алгебра, открытыми элементами которой являются T. Таким образом, обобщенные топологические пространства эквивалентны внутренним алгебрам.
Если рассматривать внутренние алгебры как обобщенные топологические пространства, то топоморфизмы являются стандартными гомоморфизмами булевых алгебр с добавленными отношениями, так что применимы стандартные результаты из универсальной алгебры.
Топологическая концепция окрестностей может быть обобщена на внутренние алгебры: элемент y внутренней алгебры называется окрестность элемента x, если x ≤ y. Набор окрестностей x обозначается N (x) и образует фильтр. Это приводит к другой формулировке внутренних алгебр:
A функция соседства на булевой алгебре - это отображение N из ее основного множества B в ее набор фильтров, такое что:
Отображение N элементов внутренней алгебры в их фильтры окрестностей является функцией соседства на основной булевой алгебре внутренней алгебры. Более того, учитывая функцию соседства N на булевой алгебре с базовым множеством B, мы можем определить внутренний оператор как x = max {y ∈ B: x ∈ N (y)}, тем самым получив внутреннюю алгебру. Тогда N (x) будет в точности фильтром окрестностей x в этой внутренней алгебре. Таким образом, внутренние алгебры эквивалентны булевым алгебрам с заданными функциями соседства.
В терминах функций соседства открытые элементы - это в точности те элементы x, что x ∈ N (x). В терминах открытых элементов x ∈ N (y) тогда и только тогда, когда существует открытый элемент z такой, что y ≤ z ≤ x.
Функции соседства могут быть определены в более общем виде на (встретить) -полурешетках, создавая структуры, известные как. Таким образом, внутренние алгебры можно рассматривать как в точности булевы решетки окрестностей, т.е. те решетки окрестностей, основная полурешетка которых образует булеву алгебру.
Имея теорию (набор формальных предложений) M в модальной логике S4, мы можем сформировать ее алгебру Линденбаума – Тарского :
где ~ - отношение эквивалентности предложений в M, заданное посредством p ~ q, тогда и только тогда, когда p и q равны логически эквивалентное в M, а M / ~ - множество классов эквивалентности по этому отношению. Тогда L (M) - внутренняя алгебра. Внутренний оператор в этом случае соответствует модальному оператору □ (обязательно ), а закрывающий оператор соответствует ◊ (возможно ). Эта конструкция является частным случаем более общего результата для модальных алгебр и модальной логики.
Открытые элементы L (M) соответствуют предложениям, которые истинны только в том случае, если они обязательно истинны, в то время как закрытые элементы соответствуют только ложным если они, обязательно ложны.
Из-за их связи с S4 внутренние алгебры иногда называют алгебрами S4 или алгебрами Льюиса после логика С. И. Льюис, который первым предложил модальные логики S4 и S5.
Поскольку внутренние алгебры (нормальные) булевы алгебры с операторы, они могут быть представлены полями наборов в соответствующих реляционных структурах. В частности, поскольку они являются модальными алгебрами, они могут быть представлены как поля наборов в наборе с одним двоичным отношением, называемым модальным кадр. Модальные фреймы, соответствующие внутренним алгебрам, - это в точности предварительно упорядоченные множества. Предварительно упорядоченные наборы (также называемые S4-фреймами) обеспечивают семантику Крипке модальной логики S4, и связь между внутренними алгебрами и предварительными порядками глубоко связана с их связь с модальной логикой.
Для упорядоченного множества X= ⟨X, «⟩ мы можем построить внутреннюю алгебру
из набора степеней Булевой алгебры X, где внутренний оператор задается как
Соответствующий оператор замыкания задается формулой
S - это множество всех миров, недоступных из миров вне S, а S - это множество всех миров, доступных из некоторого мира в S. Каждая внутренняя алгебра может быть вложена во внутреннюю алгебру вида B(X) для некоторого предварительно упорядоченного набора X, дающего вышеупомянутое представление в виде поля наборов (поле предварительного заказа ).
Эта теорема построения и представления является частным случаем более общего результата для модальных алгебр и модальных фреймов. В этом отношении внутренние алгебры особенно интересны из-за их связи с топологией. Конструкция предоставляет предварительно упорядоченный набор Xс топологией , топологию Александрова, создающую топологическое пространство T(X), открытыми множествами которого являются:
Соответствующими замкнутыми множествами являются:
Другими словами, открытые множества - это те, чьи миры недоступны извне (ап-множества ), а замкнутые множества являются те, для которых любой внешний мир недоступен изнутри (снижает ). Кроме того, B(X) = A(T(X)).
Любую монадическую булеву алгебру можно рассматривать как внутреннюю алгебру, где внутренний оператор - универсальный квантор, а оператор замыкания - квантор существования. Тогда монадические булевы алгебры - это в точности многообразие внутренних алгебр, удовлетворяющих тождеству x = x. Другими словами, это в точности внутренние алгебры, в которых каждый открытый элемент замкнут, или, что эквивалентно, в которых каждый замкнутый элемент открыт. Более того, такие внутренние алгебры являются в точности полупростыми внутренними алгебрами. Они также являются внутренними алгебрами, соответствующими модальной логике S5, и поэтому также были названы алгебрами S5 .
. Во взаимосвязи между предварительно упорядоченными множествами и внутренними алгебрами они соответствуют случаю, когда предварительный порядок является отношением эквивалентности, отражающим тот факт, что такие предварительно упорядоченные наборы обеспечивают семантику Крипке для S5 . Это также отражает взаимосвязь между монадической логикой квантификации (для которой монадические булевы алгебры предоставляют алгебраическое описание ) и S5, где модальные операторы □ (обязательно ) и ◊ (возможно ) могут быть интерпретированы в семантике Крипке с использованием монадической универсальной и экзистенциальной квантификации, соответственно, без ссылки на отношение доступности.
Открытые элементы внутренней алгебры образуют алгебру Гейтинга, а замкнутые элементы образуют двойственную алгебру Гейтинга. Регулярные открытые элементы и регулярные замкнутые элементы соответствуют псевдодополняемым элементам и дуальным псевдодополняемым элементам этих алгебр соответственно и, таким образом, образуют булевы алгебры. Открытые элементы соответствуют дополняемым элементам и образуют общую подалгебру этих булевых алгебр, а также самой внутренней алгебры. Каждая алгебра Гейтинга может быть представлена как открытые элементы внутренней алгебры, и последняя может быть выбрана внутренней алгеброй, порожденной ее открытыми элементами - такие внутренние алгебры соответствуют один к одному с алгебрами Гейтинга (с точностью до изоморфизма), являющиеся свободными булевыми расширениями последнего.
Алгебры Гейтинга играют ту же роль для интуиционистской логики, которую внутренние алгебры играют для модальной логики S4 и булевых алгебр играть в логику высказываний. Связь между алгебрами Гейтинга и внутренними алгебрами отражает связь между интуиционистской логикой и S4, в которой можно интерпретировать теории интуиционистской логики как S4 теории закрытые в необходимость. Однозначное соответствие между алгебрами Гейтинга и внутренними алгебрами, порожденными их открытыми элементами, отражает соответствие между расширениями интуиционистской логики и нормальными расширениями модальной логики S4.Grz .
Учитывая внутренняя алгебра A, оператор замыкания подчиняется аксиомам оператора производной,. Следовательно, мы можем сформировать производную алгебру D(A) с той же базовой булевой алгеброй, что и A, используя оператор замыкания в качестве производного оператора.
Таким образом, внутренние алгебры являются производными алгебрами. С этой точки зрения они представляют собой в точности многообразие производных алгебр, удовлетворяющих тождеству x ≥ x. Производные алгебры обеспечивают соответствующую алгебраическую семантику для модальной логики WK4 . Следовательно, производные алгебры соответствуют топологическим производным множествам и WK4, как внутренние / замыкающие алгебры соответствуют топологическим внутренностям / замыканиям и S4.
данной производной алгебре V с производной, мы можем сформировать внутреннюю алгебру I(V) с той же базовой булевой алгеброй, что и V, с внутренними операторами и операторами замыкания, определенными как x = x · x ′ ′ и x = x + x, соответственно. Таким образом, любую производную алгебру можно рассматривать как внутреннюю алгебру. Более того, для внутренней алгебры A мы имеем I(D(A)) = A . Однако D(I(V)) = V не обязательно выполняется для любой производной алгебры V.
двойственность Стоуна обеспечивает теоретико-категориальную двойственность между булевыми алгебрами и класс топологических пространств, известных как булевы пространства. Опираясь на зарождающиеся идеи реляционной семантики (позже формализованные Крипке ) и результаты Р.С. Пирса, Йонссона, Тарски и Г. Хансоула, расширили двойственность Стоуна на оснащение булевых пространств отношениями, соответствующими операторам, с помощью конструкции power set. В случае внутренних алгебр внутренний (или замыкающий) оператор соответствует предварительному порядку на булевом пространстве. Гомоморфизмы между внутренними алгебрами соответствуют классу непрерывных отображений между булевыми пространствами, известным как псевдоэпиморфизмы или для краткости p-морфизмы . Это обобщение двойственности Стоуна на внутренние алгебры, основанное на представлении Йонссона – Тарского, было исследовано Лео Эсакией и также известно как двойственность Эсакии для S4-алгебр (внутренних алгебр) и тесно связано с двойственностью Эсакии для гейтинговых алгебр.
В то время как обобщение двойственности Стоуна по Йонссону – Тарски применимо к булевым алгебрам с операторами в целом, связь между внутренними алгебрами и топологией позволяет использовать другой метод обобщения двойственности Стоуна, который является уникальным для внутренних алгебр. Промежуточным шагом в развитии двойственности Стоуна является теорема Стоуна, которая представляет булеву алгебру как поле множеств. Затем генерируется топология Стоуна соответствующего логического пространства с использованием поля множеств в качестве топологической основы. Основываясь на введенной Тан Цао-Ченом модальной логике Льюиса, МакКинси и Тарски показали, что, генерируя топологию, эквивалентную использованию в качестве основы только комплексов, которые соответствуют открытым элементам, представление внутренней алгебры получается как топологическое поле множеств - поле множеств на топологическом пространстве, которое замкнуто относительно взятия внутренностей или замыканий. Оснащая топологические поля множеств соответствующими морфизмами, известными как отображения полей C. Натурман показал, что этот подход может быть формализован как теоретико-категориальная двойственность Стоуна, в которой обычная двойственность Стоуна для булевых алгебр соответствует случаю внутренних алгебр, имеющих избыточный внутренний оператор (булевы внутренние алгебры).
Предварительный заказ, полученный в подходе Йонссона – Тарского, соответствует отношению доступности в семантике Крипке для теории S4, а промежуточное поле множеств соответствует представлению алгебры Линденбаума – Тарского для теории использование множеств возможных миров в семантике Крипке, в которых выполняются предложения теории. Переход от области множеств к булеву пространству несколько запутывает эту связь. Рассматривая поля множеств в предварительных заказах как самостоятельную категорию, эта глубокая связь может быть сформулирована как теоретико-категориальная двойственность, обобщающая представление Стоуна без топологии. Р. Голдблатт показал, что с ограничениями на соответствующие гомоморфизмы такая двойственность может быть сформулирована для произвольных модальных алгебр и модальных шкал. Натурман показал, что в случае внутренних алгебр эта двойственность применяется к более общим топоморфизмам и может быть факторизована с помощью теоретико-категорийного функтора через двойственность с топологическими полями множеств. Последние представляют алгебру Линденбаума – Тарского с использованием наборов точек, удовлетворяющих предложениям теории S4 в топологической семантике. Предварительный заказ может быть получен как предварительный заказ специализации топологии McKinsey-Tarski. Двойственность Эсакии может быть восстановлена с помощью функтора, который заменяет поле множеств генерируемым им булевым пространством. С помощью функтора, который вместо этого заменяет предпорядок соответствующей топологией Александрова, получается альтернативное представление внутренней алгебры в виде поля множеств, где топология является бикоотражением Александрова топологии Мак-Кинси-Тарского. Подход к формулировке топологической двойственности для внутренних алгебр с использованием как топологии Стоуна подхода Йонссона – Тарского, так и топологии Александрова предварительного порядка для формирования би-топологического пространства исследовался Г. Бежанишвили, Р. Майнсом и П. Дж. Моранди. Топология Мак-Кинси-Тарского внутренней алгебры - это пересечение первых двух топологий.
Гжегорчик доказал элементарную теорию алгебр замыкания неразрешимой. Натурман продемонстрировал, что теория существует (все ее подтеории неразрешимы), и продемонстрировал бесконечную цепочку элементарных классов внутренних алгебр с наследственно неразрешимыми теориями.
