Гипотеза Гольдбаха

редактировать
Гипотеза Гольдбаха
Письмо Гольдбаха-Эйлера.jpg Письмо Гольдбаха Эйлеру от 7 июня 1742 г. (латинско-немецкий)
Поле Теория чисел
Предполагается Кристиан Гольдбах
Предполагается в 1742 г.
Открытая проблема да
Последствия Слабая гипотеза Гольдбаха

Гипотеза Гольдбаха является одним из старейших и наиболее известных нерешенных проблем в теории чисел и все математики. В нем говорится, что каждое четное целое число больше 2 является суммой двух простых чисел.

Было показано, что гипотеза верна для всех целых чисел меньше 4 × 10 18, но остается недоказанной, несмотря на значительные усилия.

СОДЕРЖАНИЕ

  • 1 История
  • 2 Проверенные результаты
  • 3 Эвристическое обоснование
  • 4 Строгие результаты
  • 5 Связанные проблемы
  • 6 В популярной культуре
  • 7 ссылки
  • 8 Дальнейшее чтение
  • 9 Внешние ссылки

История

7 июня 1742 года немецкий математик Кристиан Гольдбах написал письмо Леонарду Эйлеру (письмо XLIII), в котором предложил следующую гипотезу:

Каждое целое число, которое можно записать как сумму двух простых чисел, также можно записать как сумму любого числа простых чисел, пока все члены не станут единицами.

Гольдбаха следовал ныне заброшенной конвенции о рассмотрении 1, чтобы быть простым число, так что сумма единиц действительно будет суммой простых чисел. Затем он предложил вторую гипотезу на полях своего письма, из которой следует первое:

Каждое целое число больше 2 можно записать как сумму трех простых чисел.

Эйлер ответил письмом от 30 июня 1742 г. и напомнил Гольдбаху о своем более раннем разговоре ( «... итак, Ew vormals mit mir communirt haben...»), в котором Гольдбах заметил, что первая из этих двух гипотез будет следуйте из заявления

Каждое положительное четное целое число можно записать как сумму двух простых чисел.

Это фактически эквивалентно его второй, маргинальной гипотезе. В письме от 30 июня 1742 г. Эйлер заявил:

Dass... ein jeder numerus par eine summa duorum primorum sey, halte ich für ein ganz gewisses Theorema, ungeachtet ich dasselbe nicht demonriren kann. То... каждое четное число является суммой двух простых чисел, я считаю вполне определенной теоремой, хотя я не могу ее доказать.

Каждая из трех приведенных выше гипотез имеет естественный аналог в терминах современного определения простого числа, согласно которому 1 исключается. Современная версия первой гипотезы такова:

Каждое целое число, которое может быть записано как сумма двух простых чисел, также может быть записано как сумма любого числа простых чисел, до тех пор, пока либо все члены не станут двумя (если целое число четное), либо один член не будет равен трем, а все остальные члены не будут равны два (если целое нечетное).

Современная версия маргинальной гипотезы:

Каждое целое число больше 5 можно записать как сумму трех простых чисел.

И современная версия старой гипотезы Гольдбаха, которую напомнил ему Эйлер, такова:

Каждое четное целое число больше 2 можно записать как сумму двух простых чисел.

Эти современные версии могут не полностью соответствовать соответствующим исходным утверждениям. Например, если бы было четное целое число больше 4 для простого числа, которое не могло быть выражено как сумма двух простых чисел в современном смысле, тогда это было бы контрпримером к современной версии третьей гипотезы (не будучи контрпример к исходной версии). Таким образом, современная версия, вероятно, сильнее (но чтобы подтвердить это, нужно было бы доказать, что первая версия, свободно примененная к любому положительному четному числу, не могла исключить существование такого конкретного контрпримера). В любом случае, современные утверждения имеют такие же отношения друг с другом, как и старые утверждения. То есть второе и третье современные утверждения эквивалентны, и любое из них подразумевает первое современное утверждение. N знак равно п + 1 {\ displaystyle N = p + 1} п {\ displaystyle p} п {\ displaystyle n} N {\ displaystyle N}

Третье современное утверждение (эквивалентное второму) - это форма, в которой предположение обычно выражается сегодня. Она также известна как « сильная », «четная» или «бинарная» гипотеза Гольдбаха. Более слабая форма второго современного утверждения, известная как « слабая гипотеза Гольдбаха », «странная гипотеза Гольдбаха» или «троичная гипотеза Гольдбаха», утверждает, что

Каждое нечетное целое число больше 7 можно записать как сумму трех нечетных простых чисел.

Доказательство слабой гипотезы было предложено в 2013 году Харальдом Хельфготтом. Доказательство Хельфготта еще не появилось в рецензируемой публикации, хотя было принято к публикации в серии Annals of Mathematics Studies в 2015 году и с тех пор подвергалось дальнейшему рассмотрению и пересмотру. Слабая гипотеза была бы следствием сильной гипотезы: если n - 3 является суммой двух простых чисел, то n является суммой трех простых чисел. Однако обратная импликация и, следовательно, сильная гипотеза Гольдбаха остаются недоказанными.

Проверенные результаты

При малых значениях n сильная гипотеза Гольдбаха (и, следовательно, слабая гипотеза Гольдбаха) может быть проверена напрямую. Например, в 1938 году Нильс Пиппинг тщательно проверил гипотезу до n  ≤ 10 5. С появлением компьютеров было проверено гораздо больше значений n ; Т. Оливейра и Силва выполнили распределенный компьютерный поиск, который подтвердил гипотезу для n  ≤ 4 × 10 18 (и дважды проверил до 4 × 10 17) по состоянию на 2013 год. Одна запись из этого поиска заключается в том, что3 325 581 707 333 960 528 - наименьшее число, которое нельзя записать как сумму двух простых чисел, где одно меньше 9781.

Эвристическое обоснование

Статистические соображения, которые сосредоточены на вероятностном распределении простых чисел, представляют неофициальные доказательства в пользу гипотезы (как в слабой, так и в сильной формах) для достаточно больших целых чисел: чем больше целое число, тем больше возможностей для представления этого числа. как сумму двух или трех других чисел, и тем более «вероятным» становится то, что по крайней мере одно из этих представлений полностью состоит из простых чисел.

Количество способов записать четное число n как сумму двух простых чисел (4 ≤  n  ≤ 1000), (последовательность A002375 в OEIS ) Количество способов записать четное число n как сумму двух простых чисел (4 ≤  n  ≤ 1 000 000)

Очень грубая версия эвристического вероятностного аргумента (для сильной формы гипотезы Гольдбаха) заключается в следующем. Теорема о простых числах утверждает, что целое число m, выбранное случайным образом, имеет примерно шанс быть простым. Таким образом, если n - большое четное целое число, а m - число от 3 до n / 2, то можно ожидать, что вероятность того, что m и n  -  m одновременно будут простыми, будет. Если следовать этой эвристике, можно ожидать, что общее количество способов записать большое четное целое число n как сумму двух нечетных простых чисел будет примерно 1 / пер м {\ Displaystyle 1 / \ ln м} 1 / [ пер м пер ( п - м ) ] {\ displaystyle 1 {\ big /} {\ big [} \ ln м \, \ ln (нм) {\ big]}}

м знак равно 3 п / 2 1 пер м 1 пер ( п - м ) п 2 ( пер п ) 2 . {\ displaystyle \ sum _ {m = 3} ^ {n / 2} {\ frac {1} {\ ln m}} {\ frac {1} {\ ln (nm)}} \ приблизительно {\ frac {n } {2 (\ ln n) ^ {2}}}.}

Поскольку это количество стремится к бесконечности с увеличением n, и мы ожидаем, что каждое большое четное целое число будет иметь не только одно представление в виде суммы двух простых чисел, но фактически очень много таких представлений. пер п п {\ displaystyle \ ln n \ ll {\ sqrt {n}}}

Этот эвристический аргумент на самом деле несколько неточен, потому что он предполагает, что события, когда m и n  -  m являются простыми числами, статистически независимы друг от друга. Например, если m нечетное, то n  -  m также нечетное, а если m четное, то n  -  m четное, нетривиальное отношение, потому что, помимо числа 2, только нечетные числа могут быть простыми. Точно так же, если n делится на 3 и m уже было простым числом, отличным от 3, то n  -  m также было бы взаимно простым с 3 и, таким образом, с несколько большей вероятностью было бы простым числом, чем общее число. Проводя этот тип анализа более тщательно, Г.Х. Харди и Джон Эденсор Литтлвуд в 1923 г. предположили (в рамках своей гипотезы Харди – Литтлвуда о простых кортежах ), что для любого фиксированного c  ≥ 2 количество представлений большого целого числа n в виде суммы c простые числа с должны быть асимптотически равны п знак равно п 1 + + п c {\ displaystyle n = p_ {1} + \ cdots + p_ {c}} п 1 п c {\ Displaystyle p_ {1} \ leq \ cdots \ leq p_ {c}}

( п п γ c , п ( п ) ( п - 1 ) c ) 2 Икс 1 Икс c : Икс 1 + + Икс c знак равно п d Икс 1 d Икс c - 1 пер Икс 1 пер Икс c , {\ displaystyle \ left (\ prod _ {p} {\ frac {p \ gamma _ {c, p} (n)} {(p-1) ^ {c}}} \ right) \ int _ {2 \ leq x_ {1} \ leq \ cdots \ leq x_ {c}: x_ {1} + \ cdots + x_ {c} = n} {\ frac {dx_ {1} \ cdots dx_ {c-1}} {\ ln x_ {1} \ cdots \ ln x_ {c}}},}

где произведение вычисляется по всем простым числам p, а это количество решений уравнения в модульной арифметике с учетом ограничений. Эта формула была строго доказана асимптотически справедливой для c  ≥ 3 из работы Ивана Матвеевича Виноградова, но все еще является только гипотезой, когда. В последнем случае приведенная выше формула упрощается до 0, когда n нечетно, и до γ c , п ( п ) {\ Displaystyle \ гамма _ {с, р} (п)} п знак равно q 1 + + q c мод п {\ Displaystyle п = q_ {1} + \ cdots + q_ {c} \ mod p} q 1 , , q c 0 мод п {\ displaystyle q_ {1}, \ ldots, q_ {c} \ neq 0 \ mod p} c знак равно 2 {\ displaystyle c = 2}

2 Π 2 ( п п ; п 3 п - 1 п - 2 ) 2 п d Икс ( пер Икс ) 2 2 Π 2 ( п п ; п 3 п - 1 п - 2 ) п ( пер п ) 2 {\ displaystyle 2 \ Pi _ {2} \ left (\ prod _ {p \ mid n; p \ geq 3} {\ frac {p-1} {p-2}} \ right) \ int _ {2} ^ {n} {\ frac {dx} {(\ ln x) ^ {2}}} \ приблизительно 2 \ Pi _ {2} \ left (\ prod _ {p \ mid n; p \ geq 3} {\ гидроразрыв {p-1} {p-2}} \ right) {\ frac {n} {(\ ln n) ^ {2}}}}

когда п четно, где есть близнец премьер - постоянная Харди-Литтлвуд Π 2 {\ displaystyle \ Pi _ {2}}

Π 2 знак равно п п р я м е п 3 ( 1 - 1 ( п - 1 ) 2 ) 0,660161815846869573927812110014 {\ displaystyle \ Pi _ {2}: = \ prod _ {\ textstyle {p \; {\ rm {prime}} \ atop p \ geq 3}} \ left (1 - {\ frac {1} {(p -1) ^ {2}}} \ right) \ приблизительно 0,660161815846869573927812110014 \ dots}

Иногда это называют расширенной гипотезой Гольдбаха. Сильная гипотеза Гольдбаха на самом деле очень похожа на гипотезу о простых числах- близнецах, и считается, что эти две гипотезы имеют примерно сопоставимую сложность.

Показанные здесь функции распределения Гольдбаха могут быть отображены в виде гистограмм, которые иллюстрируют приведенные выше уравнения. См . Комету Гольдбаха для получения дополнительной информации.

Комета Гольдбаха также предполагает, что существуют жесткие верхние и нижние границы числа представителей, и что модуль 6 из 2n играет роль в количестве представлений.

Количество представлений составляет примерно от теоремы о простых числах. Если каждый c является составным, то он должен иметь простой множитель, меньший или равный квадратному корню из, согласно методу, описанному в разделе пробного деления. п пер п {\ Displaystyle п \ пер п} 2 п знак равно п + c {\ displaystyle 2n = p + c} 2 п {\ displaystyle 2n}

Это приводит к ожиданию представлений. п пер п 2 п знак равно п 2 пер п {\ displaystyle {\ frac {n \ ln n} {\ sqrt {2n}}} = {\ sqrt {\ frac {n} {2}}} \ ln n}

Строгие результаты

Сильная гипотеза Гольдбаха намного труднее, чем слабая гипотеза Гольдбаха. Используя метод Виноградова, Николай Чудаков, Йоханнес ван дер Корпут и Теодор Эстерманн показали, что почти все четные числа могут быть записаны как сумма двух простых чисел (в том смысле, что доля четных чисел, которые могут быть записаны таким образом, стремится к 1). В 1930 году Лев Шнирельман доказал, что любое натуральное число больше 1 может быть записано как сумма не более чем C простых чисел, где C - эффективно вычислимая константа; см. плотность Шнирельмана. Константа Шнирельмана - это наименьшее число C с этим свойством. Сам Шнирельман получил C  lt; 800 000. Этот результат впоследствии был усилен многими авторами, такими как Оливье Рамаре, который в 1995 году показал, что каждое четное число n ≥ 4 на самом деле является суммой не более 6 простых чисел. Самый известный результат в настоящее время связан с доказательством слабой гипотезы Гольдбаха Харальдом Хельфготтом, из которого прямо следует, что каждое четное число n ≥ 4 является суммой не более чем 4 простых чисел.

В 1924 г. Харди и Литтлвуд показали в предположении обобщенной гипотезы Римана, что число четных чисел до X, нарушающих гипотезу Гольдбаха, намного меньше, чем при малых c. Икс ( 1 / 2 ) + c {\ displaystyle X ^ {(1/2) + c}}

В 1973 году Чэнь Цзинжун показал, используя методы теории решет, что каждое достаточно большое четное число может быть записано как сумма двух простых чисел или простого и полупростого числа (произведения двух простых чисел). См . Теорему Чена для получения дополнительной информации.

В 1975 году Хью Монтгомери и Роберт Чарльз Воган показали, что «большинство» четных чисел выражаются как сумма двух простых чисел. Точнее, они показали, что существуют положительные константы c и C такие, что для всех достаточно больших чисел N каждое четное число, меньшее N, является суммой двух простых чисел, за исключением большинства случаев. В частности, множество четных целых чисел, не являющихся суммой двух простых чисел, имеет нулевую плотность. C N 1 - c {\ displaystyle CN ^ {1-c}}

В 1951 году Юрий Линник доказал существование постоянной K такой, что каждое достаточно большое четное число является суммой двух простых чисел и не более K степеней 2. Роджер Хит-Браун и Ян-Кристоф Шлаге-Пухта обнаружили в 2002 году, что K = 13 работ.

Связанные проблемы

Хотя гипотеза Гольдбаха подразумевает, что каждое положительное целое число, большее единицы, может быть записано как сумма не более трех простых чисел, не всегда возможно найти такую ​​сумму, используя жадный алгоритм, который использует наибольшее возможное простое число на каждом шаге. Последовательность Пиллаи отслеживает числа, требующие наибольшего числа простых чисел в их жадных представлениях.

Существуют проблемы, аналогичные гипотезе Гольдбаха, в которых простые числа заменяются другими конкретными наборами чисел, такими как квадраты:

В популярной культуре

Гипотеза Гольдбаха ( китайский :哥德巴赫 猜想) - это название биографии китайского математика и теоретика чисел Чэнь Цзинжун, написанной Сюй Чи.

Гипотеза является центральным пунктом в сюжете романа « Дядя Петрос и Гольдбах», написанного греческим писателем Апостолосом Доксиадисом в 1992 году, в рассказе Исаака Азимова « Шестьдесят миллионов триллионов комбинаций », а также в детективном романе Мишель « Никто, которого ты не знаешь» в 2008 году. Ричмонд.

Гипотеза Гольдбаха является частью сюжета испанского фильма 2007 года «Комната Ферма».

использованная литература

дальнейшее чтение

внешние ссылки

Последняя правка сделана 2023-04-12 11:09:19
Содержание доступно по лицензии CC BY-SA 3.0 (если не указано иное).
Обратная связь: support@alphapedia.ru
Соглашение
О проекте