Польская нотация

Польская нотация (PN), также известная как нормальная польская нотация ( NPN ), нотация Лукасевича, нотация Варшавы, нотация польского префикса или просто нотация префикса, является математическим нотация, в которой операторы предшествуют своим операндам, в отличие от более распространенной инфиксной нотации, в которой операторы помещаются между операндами, а также обратным Польская нотация (RPN), в которой операторы следуют за своими операндами. Никаких скобок не требуется, если каждый оператор имеет фиксированное количество операндов. Описание «поляк» относится к национальности логика Яна Лукасевича, который изобрел польскую нотацию в 1924 году.

Термин «польская нотация» - иногда используется (как противоположность инфиксной нотации) для включения также обратной польской нотации.

Когда польская нотация используется в качестве синтаксиса для математических выражений языком программирования интерпретаторами, он легко разбирается в абстрактные синтаксические деревья и может фактически определять для них взаимно однозначное представление. Из-за этого Lisp (см. Ниже) и родственные языки программирования определяют весь свой синтаксис в префиксной нотации (а другие используют постфиксную нотацию).

• 1 История
• 2 Объяснение
• 3 Алгоритм оценки
• 4 Польская нотация для логики
• 5 Реализации
• 6 См. Также
• 7 Ссылки
• 8 Дополнительная литература
• 9 Внешние ссылки

Цитата из статьи Яна Лукасевича, «Замечания об аксиоме Никода» и «Обобщение дедукции», стр. 180, говорит о том, как использовались обозначения. изобретено:

Я пришел к идее обозначения без скобок в 1924 году. Я впервые использовал это обозначение в своей статье Лукасевич (1), с. 610, сноска.

Ссылка, процитированная Лукасевичем, по-видимому, является литографированным отчетом на польском. Статья Лукасевича «Замечания об аксиоме Никода и об« обобщающей дедукции »» была рассмотрена Генри А. Погорзельским в «Журнале символической логики» в 1965 году. Генрих Беманн, редактор в 1924 г. В статье Моисея Шенфинкеля уже была идея об устранении скобок в логических формулах.

Алонзо Черч упоминает эту нотацию в своей классической книге по математической логике как достойную замечания в системах нотации, даже в отличие от Альфреда Уайтхеда и Бертрана Рассела <48 Изложение логической нотации и работа в Principia Mathematica.

В книге Лукасевича 1951 года «Силлогистика Аристотеля с точки зрения современной формальной логики» он упоминает, что принцип его нотации заключался в написании функторов перед аргументами, чтобы избежать скобок, и что он использовал свои обозначения в своих логических работах с 1929 года. Затем он продолжает цитировать, в качестве примера, статью 1930 года, которую он написал вместе с Альфредом Тарским в сентенциальном исчислении.

Польская нотация, которая больше не используется в логике, с тех пор нашла место в информатике.

Выражение для сложения чисел 1 и 2 записывается в польской нотации как + 1 2 (предварительное исправление), а не как 1 + 2 (исправление). В более сложных выражениях операторы все еще предшествуют своим операндам, но сами операнды могут быть выражениями, включая снова операторы и их операнды. Например, выражение, которое было бы записано в обычной инфиксной нотации как

(5-6) × 7

, может быть записано в польской записи как

× (- 5 6) 7

При заданном арность всех задействованных операторов (здесь "-" обозначает бинарную операцию вычитания, а не унарную функцию смены знака), любое их правильно сформированное префиксное представление является однозначным, а скобки внутри префиксного выражения являются ненужный. Таким образом, приведенное выше выражение может быть дополнительно упрощено до

× - 5 6 7

Обработка продукта откладывается до тех пор, пока не станут доступны два его операнда (то есть 5 минус 6 и 7). Как и в любой другой системе обозначений, в первую очередь оцениваются самые внутренние выражения, но в польской системе обозначений эта «внутренняя сущность» может быть выражена последовательностью операторов и операндов, а не заключением в скобки.

В обычной инфиксной нотации круглые скобки требуются для отмены стандартных правил приоритета, поскольку, ссылаясь на приведенный выше пример, их перемещение

5 - (6 × 7)

или их удаление

5 - 6 × 7

изменяет значение и результат выражения. Эта версия записана в польской системе обозначений как

- 5 × 6 7.

При работе с некоммутативными операциями, такими как деление или вычитание, необходимо согласовать последовательное расположение операндов с определением того, как оператор принимает свои аргументы, т.е. слева направо. Например, ÷ 10 5, где 10 слева до 5, имеет значение 10 ÷ 5 (читается как «разделить 10 на 5»), или - 7 6, где 7 слева до 6, имеет значение 7 - 6 ( читается как «вычесть из 7 операнд 6»).

Префиксная / постфиксная нотация особенно популярна благодаря своей врожденной способности выражать предполагаемый порядок операций без необходимости в скобках и других правилах приоритета, как это обычно используется с инфиксная запись. Вместо этого запись однозначно указывает, какой оператор оценить первым. Предполагается, что каждый из операторов имеет фиксированную арность, а все необходимые операнды указаны явно. Допустимое префиксное выражение всегда начинается с оператора и заканчивается операндом. Оценка может проходить слева направо или в обратном направлении. Начиная с левого края входная строка, состоящая из токенов, обозначающих операторы или операнды, помещается в качестве токена для токена в стек , пока верхние записи стека не будут содержать количество операндов, которые больше всего подходят к верхнему. оператор (сразу под). Эта группа токенов на вершине стека (последний оператор в стеке и соответствующее количество операндов) заменяется результатом выполнения оператора над этим / этим операндом (ами). Затем обработка ввода продолжается таким же образом. Таким образом, крайний правый операнд в допустимом префиксном выражении очищает стек, за исключением результата вычисления всего выражения. При запуске справа перемещение токенов выполняется аналогичным образом, только оценка запускается оператором, находящим соответствующее количество операндов, которое соответствует его арности, уже на вершине стека. Теперь крайний левый токен допустимого префиксного выражения должен быть оператором, соответствующим количеству операндов в стеке, что снова дает результат. Как видно из описания, выталкивающее хранилище без возможности произвольной проверки стека достаточно для реализации этого синтаксического анализа.

. Вышеописанное манипулирование стеком работает - с зеркальным вводом - также для выражения в обратной польской нотации.

В таблице ниже показано ядро ​​нотации Яна Лукасевича для сентенциальной логики. Некоторые буквы в таблице польских обозначений обозначают определенные слова в польском, как показано:

Понятие	Условное. обозначение	Польское. обозначение	Польский. термин
Отрицание	$\neg \; \phi \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; neg\; \backslash \; varphi\}$	$N\; \phi \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathrm\; \{N\}\; \backslash \; varphi\}$	negacja
Соединение	$\phi \; \wedge \; \psi \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; varphi\; \backslash \; land\; \backslash \; psi\}$	$K\; \phi \; \psi \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathrm\; \{K\}\; \backslash \; varphi\; \backslash \; psi\}$	koniunkcja
Disjunction	$\phi \; \vee \; \psi \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; varphi\; \backslash \; lor\; \backslash \; psi\}$	$A\; \phi \; \psi \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathrm\; \{A\}\; \backslash \; varphi\; \backslash \; psi\}$	alternatywa
Условное условие материала	$\phi \; \to \; \psi \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; varphi\; \backslash \; к\; \backslash \; psi\}$	$C\; \phi \; \psi \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathrm\; \{C\}\; \backslash \; varphi\; \backslash \; psi\}$	implikacja
Biconditional	$\phi \; \leftrightarrow \; \psi \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; varphi\; \backslash \; leftrightarrow\; \backslash \; psi\}$	$E\; \phi \; \psi \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathrm\; \{E\}\; \backslash \; varphi\; \backslash \; psi\}$	ekwiwalencja
Falsum	$\perp \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; bot\}$	$O\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathrm\; \{O\}\}$	fałsz
штрих Шеффера	$\phi \; \mid \; \psi \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; varphi\; \backslash \; mid\; \backslash \; psi\; \}$	$D\; \phi \; \psi \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathrm\; \{D\}\; \backslash \; varphi\; \backslash \; psi\}$	dysjunkcja
Возможность	$◊\; \phi \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Diamond\; \backslash \; varphi\}$	$M\; \phi \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathrm\; \{M\}\; \backslash \; varphi\}$	możliwość
Necessity	$◻\; \phi \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Box\; \backslash \; varphi\}$	$L\; \phi \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathrm\; \{L\}\; \backslash \; varphi\}$	konieczność
Универсальный квантор	$\forall \; p\; \phi \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; forall\; p\; \backslash ,\; \backslash \; varphi\}$	$\Pi \; p\; \phi \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Pi\; p\; \backslash ,\; \backslash \; varphi\}$	квантификатор ogólny
Экзистенциальный квантификатор	$\exists \; п\; \phi \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; exists\; p\; \backslash ,\; \backslash \; varphi\}$	$\Sigma \; p\; \phi \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Sigma\; p\; \backslash ,\; \backslash \; varphi\}$	kwantyfikator szczegółowy

Обратите внимание на то, что в работе Лукасевича квантификаторы варьировались по значениям высказываний по многозначной логике.

Бохенский ввел систему польской записи, которая называет все 16 двоичных связок классической логики высказываний. Для классической логики высказываний это совместимое расширение обозначений Лукасевича. Но обозначения несовместимы в том смысле, что Бохенский использует L и M (для неимпликации и обратного неимпликации) в логике высказываний, а Лукасевич использует L и M в модальной логике.

Префиксная нотация имеет широко применяется в Lisp S-выражениях, где скобки требуются, поскольку операторы в языке сами являются данными (функции первого класса ). Функции Лиспа также могут быть вариативными. Язык программирования Tcl, как и Lisp, также использует польскую нотацию через библиотеку mathop. В языке программирования Ambi для арифметических операций и построения программ используется польская нотация. В синтаксисе фильтра LDAP используется польская префиксная нотация.

Нотация Postfix используется во многих языках программирования, ориентированных на стек, таких как PostScript и Forth. Синтаксис CoffeeScript также позволяет вызывать функции с использованием префиксной нотации, при этом поддерживая унарный постфиксный синтаксис, распространенный в других языках.

Количество возвращаемых значений выражения равно разнице между количеством операндов в выражении и общей арностью операторов минус общее количество возвращаемых значений операторов.

Польская нотация, обычно в постфиксной форме, является выбранной нотацией некоторых калькуляторов, в частности, из Hewlett-Packard. На более низком уровне постфиксные операторы используются некоторыми стековыми машинами, такими как большие системы Берроуза.

• Обратная польская запись
• Функциональное приложение
• Лямбда-исчисление
• Каррирование
• Лисп (язык программирования)
  • S-выражение
• Польская школа математики
• Венгерская нотация
• Глагол – субъект – объект (VSO)
• Глагол – объект– субъект (VOS)

• Лукасевич, январь (1957). Силлогистика Аристотеля с точки зрения современной формальной логики. Oxford University Press.
• Лукасевич, январь (1930). "Philosophische Bemerkungen zu mehrwertigen Systemen des Aussagenkalküls" [Философские замечания о многозначных системах логики высказываний]. Comptes Rendus des Séances de la Société des Sciences et des Lettres de Varsovie (на немецком языке). 23 : 51–77. Переведено Х. Вебером в Storrs McCall, Polish Logic 1920-1939, Clarendon Press : Oxford (1967).

• СМИ, относящиеся к польской системе обозначений (математика) на Wikimedia Commons