Классическая модальная логика

редактировать

В модальной логике классическая модальная логика L- это любая модальная логика, содержащая (как аксиому или теорема) двойственность модальных операторов

$◊ A ≡ ¬ ◻ ¬ A {\ displaystyle \ Diamond A \ Equiv \ lnot \ Box \ lnot A}$ ${\ displaystyle \ Diamond A \ Equiv \ lnot \ Box \ lnot A}$

, который также закрыт по правилу

$A ≡ B ⊢ ◻ A ≡ ◻ B. {\ displaystyle A \ Equiv B \ vdash \ Box A \ Equiv \ Box B.}$ ${\ displaystyle A \ Equiv B \ vdash \ Box A \ Equiv \ Box B.}$

В качестве альтернативы можно дать двойное определение L, по которому L является классическим если и только если он содержит (как аксиому или теорему)

$◻ A ≡ ¬ ◊ ¬ A {\ displaystyle \ Box A \ Equiv \ lnot \ Diamond \ lnot A}$ ${\ displaystyle \ Box A \ Equiv \ lnot \ Diamond \ lnot A}$

и закрыт по правилу

$A ≡ B ⊢ ◊ A ≡ ◊ B. {\ Displaystyle A \ Equiv B \ vdash \ Diamond A \ Equiv \ Diamond B.}$ ${\ displaystyle A \ Equiv B \ vdash \ Diamond A \ Equiv \ Diamond B.}$

Самую слабую классическую систему иногда называют E, и она не является нормальной. И алгебраическая, и семантика соседства характеризуют знакомые классические модальные системы, которые слабее, чем самая слабая нормальная модальная логика K.

Каждая регулярная модальная логика является классической, и каждая нормальная модальная логика является регулярной и, следовательно, классической.

Ссылки

Челлас, Брайан. Модальная логика: введение. Cambridge University Press, 1980.