Дедекинд вырезал

редактировать

Метод построения действительных чисел

Дедекинд использовал свой разрез, чтобы построить иррациональное, действительные числа.

В математике, сокращения Дедекинда, названные в честь немецкого математика Ричарда Дедекинда, но ранее рассматриваемые Джозефом Бертраном, являются метод построения действительных чисел из рациональных чисел. Разрез Дедекинда - это разделение рациональных чисел на два непустых множества A и B, так что все элементы A меньше всех элементов B, а A не содержит наибольший элемент. Множество B может иметь или не иметь наименьший элемент среди рациональных чисел. Если B имеет наименьший элемент среди рациональных чисел, разрез соответствует этому рациональному. В противном случае этот разрез определяет уникальное иррациональное число, которое, грубо говоря, заполняет «пробел» между A и B. Другими словами, A содержит каждое рациональное число, меньшее, чем разрез, а B содержит каждое рациональное число, большее или равное порез. Иррациональный разрез приравнивается к иррациональному числу, которого нет ни в одном множестве. Каждое действительное число, рациональное или нет, приравнивается к одному и только одному срезу рациональных чисел.

сокращения Дедекинда можно обобщить от рациональных чисел до любого полностью упорядоченного множества, определив разрез Дедекинда как разделение полностью упорядоченного множества на две непустые части A и B, например что A замкнута вниз (это означает, что для всех a в A, x ≤ a означает, что x также находится в A), а B замкнут вверх, и A не содержит наибольшего элемента. См. Также полнота (теория порядка).

Несложно показать, что разрез Дедекинда среди действительных чисел однозначно определяется соответствующим разрезом среди рациональных чисел. Точно так же каждое сокращение реалов идентично сокращению, произведенному определенным действительным числом (которое может быть идентифицировано как наименьший элемент набора B). Другими словами, числовая строка , где каждое действительное число определено как дедекиндовское сокращение рациональных чисел, является полным континуумом без каких-либо дополнительных пробелы.

Содержание

1 Определение
2 Представления
3 Порядок разрезов
4 Построение действительных чисел
5 Обобщения
- 5.1 Частично упорядоченные множества
6 Примечания
7 Ссылки
8 Внешние ссылки

Определение

Дедекиндовое сокращение - это разделение рациональных значений $Q {\ displaystyle \ mathbb {Q}}$ $\ mathbb {Q}$ на два подмножества $A {\ displaystyle A}$ $A$ и $B {\ displaystyle B}$ $B$ такие, что

$A {\ displaystyle A}$ $A$ не пусто.
$A ≠ Q {\ displaystyle A \ neq \ mathbb {Q}}$ ${\ displaystyle A \ neq \ mathbb {Q}}$ .
Если $x, y ∈ Q {\ displaystyle x, y \ in \ mathbb {Q}}$ ${\ displaystyle x, y \ in \ mathbb {Q }}$ , $x < y {\displaystyle x$ ${\ displaystyle x <y }$ и $y ∈ A {\ displaystyle y \ in A}$ ${\ displaystyle y \ in A}$ , тогда $x ∈ A {\ displaystyle x \ in A}$ $x \ в A$ . ( $A {\ displaystyle A}$ $A$ "закрыто вниз".)
Если $x ∈ A {\ displaystyle x \ in A}$ $x \ в A$ , то существует $y ∈ A {\ displaystyle y \ in A}$ ${\ displaystyle y \ in A}$ такой, что $y>x {\ displaystyle y>x}$ $y>x$ . ( $A {\ displaystyle A {\ displaystyle A)$ $A$ не содержит наибольшего элемента.)

Ослабив первые два требования, мы формально получаем строку с расширенным вещественным числом.

Представления

Он более симметричен используйте обозначение (A, B) для разрезов Дедекинда, но каждый из A и B действительно определяет другой. С точки зрения обозначений, если не более того, может быть упрощением, если не более того, сосредоточиться на одной «половине» - скажем, на нижней - и называть любое замкнутое вниз множество A без наибольшего элемента "дедекиндовым разрезом".

Если упорядоченное множество S является полным, то для каждого дедекиндовского разреза (A, B) множества S множество B должно иметь минимальный элемент b, следовательно, мы должны иметь, что A - это интервал (−∞, b), а B - интервал [b, + ∞). В этом случае мы говорим, что b представлен разрезом (A, B).

Важной целью дедекиндовской версии является работа с неполными наборами чисел. Сам разрез может представлять число, не входящее в исходный набор чисел (чаще всего рациональные числа ). Разрез может представлять число b, даже если числа, содержащиеся в двух наборах A и B, на самом деле не включают число b, которое представляет их разрез.

Например, если A и B содержат только рациональные числа, их все равно можно сократить до √2, поместив каждое отрицательное рациональное число в A вместе с каждым неотрицательным числом, квадрат которого равен менее 2; аналогично B будет содержать каждое положительное рациональное число, квадрат которого больше или равен 2. Даже если рациональное значение для √2 отсутствует, если рациональные числа разделены на A и B таким образом, само разбиение представляет собой иррациональное число.

Порядок разрезов

Считать один разрез Дедекинда (A, B) меньшим, чем другой разрез Дедекинда (C, D) (того же надмножества), если A является правильным подмножеством C., если D - собственное подмножество B, разрез (A, B) снова меньше, чем (C, D). Таким образом, включение множества может использоваться для представления порядка чисел, и все другие отношения (больше, меньше или равно, равно и т. Д.) Могут быть аналогичным образом созданы из отношений множества.

Набор всех дедекиндовских разрезов сам по себе является линейно упорядоченным набором (наборов). Более того, множество дедекиндовских разрезов имеет свойство наименьшей верхней границы, то есть каждое его непустое подмножество, имеющее любую верхнюю границу, имеет наименьшую верхнюю границу. Таким образом, построение набора разрезов Дедекинда служит цели встраивания исходного упорядоченного множества S, которое могло не иметь свойства наименьшей верхней границы, в (обычно более крупный) линейно упорядоченный набор, который имеет это полезное свойство.

Построение действительных чисел

Типичный дедекиндовский разрез рациональных чисел $Q {\ displaystyle \ mathbb {Q}}$ $\ mathbb {Q}$ задается разделением $(A, B) {\ displaystyle (A, B)}$ $(A,B)$ с

A = {a ∈ Q: a 2 < 2 or a < 0 }, {\displaystyle A=\{a\in \mathbb {Q} :a^{2}<2{\text{ or }}a<0\},}

A = \ {a \ in {\ mathbb {Q}}: a ^ {2} <2 {\ t ext {или}} a <0 \},

B = {b ∈ Q : b 2 ≥ 2 и b ≥ 0}. {\ displaystyle B = \ {b \ in \ mathbb {Q}: b ^ {2} \ geq 2 {\ text {and}} b \ geq 0 \}.}

{\ displaystyle B = \ {b \ in \ mathbb {Q}: b ^ {2} \ geq 2 {\ text {and}} b \ geq 0 \}.}

Этот фрагмент представляет иррациональное число √2 в конструкции Дедекинда. Основная идея состоит в том, что мы используем набор $A {\ displaystyle A}$ $A$ , который представляет собой набор всех рациональных чисел, квадраты которых меньше 2, для «представления» числа √2, и далее, правильно определяя арифметические операторы над этими наборами (сложение, вычитание, умножение и деление), эти наборы (вместе с этими арифметическими операциями) образуют знакомые действительные числа.

Чтобы это установить, нужно показать, что $A {\ displaystyle A}$ $A$ действительно является разрезом (согласно определению) и квадратом $A {\ displaystyle A}$ $A$ , то есть $A × A {\ displaystyle A \ times A}$ $A \ times A$ (см. Ссылку выше для точного определения того, как определяется умножение сокращений.), это $2 {\ displaystyle 2}$ $2$ (обратите внимание, что строго говоря, это разрез ${x | x ∈ Q, x < 2 } {\displaystyle \{x\ |\ x\in \mathbb {Q},x<2\}}$ ${\ displaystyle \ {x \ | \ x \ in \ mathbb {Q}, x <2 \}}$ ). Чтобы показать первую часть, мы покажем, что для любого положительного рационального $x {\ displaystyle x}$ $x$ с $x 2 < 2 {\displaystyle x^{2}<2}$ ${\ displaystyle x ^ {2} <2}$ существует рациональное $y {\ displaystyle y }$ $y$ с $x < y {\displaystyle x$ $x <y$ и $y 2 < 2 {\displaystyle y^{2}<2}$ ${\ displaystyle y ^ {2} <2}$ . Вариант $y = 2 x + 2 x + 2 {\ displaystyle y = {\ frac {2x + 2} {x + 2}}}$ ${\ displaystyle y = {\ frac {2x + 2} {x + 2}}}$ работает, поэтому $A {\ displaystyle A}$ $A$ действительно разрез. Теперь, вооружившись умножением между разрезами, легко проверить, что $A × A ≤ 2 {\ displaystyle A \ times A \ leq 2}$ $A \ times A \ leq 2$ (по сути, это потому, что $x × y ≤ 2, ∀ x, y ∈ A, x, y ≥ 0 {\ displaystyle x \ times y \ leq 2, \ forall x, y \ in A, x, y \ geq 0}$ ${\ displaystyle x \ times y \ leq 2, \ forall x, y \ in A, x, y \ geq 0}$ ). Поэтому, чтобы показать, что $A × A = 2 {\ displaystyle A \ times A = 2}$ ${\ displaystyle A \ times A = 2}$ , мы покажем, что $A × A ≥ 2 {\ displaystyle A \ times A \ geq 2 }$ ${\ displaystyle A \ times A \ geq 2}$ , и достаточно показать, что для любого $r < 2 {\displaystyle r<2}$ ${\ displaystyle r <2}$ существует $x ∈ A {\ displaystyle x \ in A}$ $x \ в A$ , $x 2>r {\ displaystyle x ^ {2 }>r}$ $x^{2}>r$ . Для этого заметим, что если $x>0, 2 - x 2 = ϵ>0 {\ displaystyle x>0,2-x ^ {2} = \ epsilon>0}$ $x>0,2-x ^ {2} = \ epsilon>0$ , затем $2 - y 2 ≤ ϵ 2 {\ displaystyle 2-y ^ {2} \ leq {\ frac {\ epsilon} {2}}}$ ${\ displaystyle 2-y ^ {2} \ leq {\ frac {\ epsilon} {2}}}$ для $y {\ displaystyle y}$ $y$ , построенный выше, это означает, что у нас есть последовательность в $A {\ displaystyle A}$ $A$ , квадрат которой может стать произвольно близким к $2 {\ displaystyle 2}$ $2$ , что завершает доказательство.

Обратите внимание, что равенство b = 2 не может выполняться, поскольку √2 не рационально.

Обобщения

Конструкция, аналогичная разрезам Дедекинда, используется для построения сюрреализма. числа.

частично упорядоченные множества

В более общем смысле, если S является частично упорядоченным множеством, завершение S означает полную решетку L с порядковым внедрением из S в L. Понятие полной решетки обобщает свойство наименьшей верхней границы вещественных чисел.

Одно завершение S - это набор его закрытых вниз подмножеств, упорядоченных по включению. Связанное пополнение, которое сохраняет все существующие sups и infs из S, получается следующей конструкцией: для каждого подмножества A из S, пусть A обозначает набор верхних границ A, и пусть A обозначает набор нижних границ A. ( Эти операторы образуют соединение Галуа.) Тогда пополнение Дедекинда – МакНейла S состоит из всех подмножеств A, для которых (A) = A; заказывается включением. Пополнение Дедекинда-Мак-Нейля представляет собой наименьшую полную решетку со встроенной в нее S.

Примечания

Ссылки

Дедекинд, Ричард, Очерки теории чисел, «Непрерывность и иррациональные числа», Довер: Нью-Йорк, ISBN 0-486-21010-3. Также доступен в Project Gutenberg.

Внешние ссылки

, Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]