В математике, логике и философии математики то, что является непредикативным, является самореферентным определение. Грубо говоря, определение является непредсказуемым, если оно вызывает (упоминает или дает количественную оценку) определяемый набор или (чаще) другой набор, содержащий определяемый объект. Нет общепринятого точного определения того, что значит быть предикативным или непредикативным. Авторы дали разные, но близкие определения.
Противоположностью предсказуемости является предсказуемость, которая по существу влечет за собой построение стратифицированных (или разветвленных) теорий, в которых количественная оценка на более низких уровнях приводит к переменным некоторого нового типа, отличным от более низких типов, чем переменная колеблется. Типичным примером является интуиционистская теория типов, в которой сохраняется разветвленность, чтобы исключить отрицательную отрицательность.
Парадокс Рассела является известным примером импредикативной конструкции, а именно набор всех множеств, которые не содержат самих себя. Парадокс заключается в том, что такой набор не может существовать: если он существует, можно задать вопрос, содержит ли он себя или нет - если он есть, то по определению не должен, а если нет, то по определение должно.
наибольшая нижняя граница набора X, glb (X), также имеет косвенное определение: y= glb (X) тогда и только тогда, когда для всех элементов xиз X, yменьше или равно x, и любое zменьше или равно всем элементам Xменьше или равно y. Это определение дает количественную оценку по набору (потенциально бесконечное, в зависимости от рассматриваемого порядка ), членами которого являются нижние границы X, одним из которых является glb сам. Следовательно, предикативизм отвергнет это определение.
(Russell 1907, p.34) (Рассел использовал «норму» для обозначения пропозиции: примерно то, что может принимать значения «истина» или «ложь».)
Термины «предикативный» и «непредикативный» были введены Расселом (1907), хотя с тех пор их значение немного изменилось.
Соломон Феферман представляет исторический обзор предикативности, связывая его с текущими нерешенными исследовательскими проблемами.
Принцип порочного круга был предложен Анри Пуанкаре (1905–6, 1908) и Бертран Рассел после парадоксов как требования к законным установленным спецификациям. Наборы, не соответствующие требованиям, называются непредикативными.
Первый современный парадокс появился с Чезаре Бурали-Форти в 1897 году «Вопрос о трансфинитных числах» и стал известен как парадокс Бурали-Форти. Кантор, по-видимому, обнаружил тот же парадокс в своей (Канторовской) «наивной» теории множеств, и это стало известно как парадокс Кантора. Осведомленность Рассела о проблеме возникла в июне 1901 г., когда он прочитал трактат Фреге по математической логике, его «Begriffsschrift » 1879 г.; оскорбительное предложение во Фреге выглядит следующим образом:
С другой стороны, также может быть, что аргумент является определенным, а функция - неопределенной.
Другими словами, при f(a) функция f- это переменная, а a- инвариантная часть. Так почему бы не заменить значение f(a) на само f? Рассел тут же написал Фреге письмо, в котором указывал, что:
Вы утверждаете... что функция тоже может действовать как неопределенный элемент. Раньше я в это верил, но теперь эта точка зрения кажется мне сомнительной из-за следующего противоречия. Пусть wбудет предикатом: быть предикатом, который не может быть предикатирован сам по себе. Может ли wбыть утверждено само по себе? Из каждого ответа следует обратное. Отсюда мы должны сделать вывод, что wне является предикатом. Точно так же не существует класса (как совокупности) тех классов, каждый из которых, взятый как совокупность, не принадлежал бы самим себе. Из этого я прихожу к выводу, что при определенных обстоятельствах определяемая совокупность не образует целостности.
Фреге сразу же ответил Расселу, признавая проблему:
Ваше открытие противоречия вызвало у меня величайшее удивление и, я бы почти сказал, ужас, так как это пошатнуло основу, на которой я намеревался строить арифметику.
Хотя проблема имела неблагоприятные личные последствия для обоих мужчин (у обоих были работы в типографии, которые необходимо было исправить), ван Хейенорт отмечает, что «парадокс потрясла мир логиков, и грохот все еще ощущается сегодня... Парадокс Рассела, в котором используются простые понятия множества и элемента, попадает прямо в область логики. Парадокс был впервые опубликован Расселом в книге Принципы математики (1903) и там подробно обсуждается... ». Рассел после шести лет неудачных попыток в конечном итоге ответил на этот вопрос своей теорией типов 1908 года, «предложив аксиому сводимости. В ней говорится, что любая функция совпадает с тем, что он называет предикативной функцией: функция, в которой типы кажущихся переменных не выше, чем типы аргументов ". Но эта «аксиома» встретила сопротивление со всех сторон.
Отказ от непредикативно определенных математических объектов (при принятии натуральных чисел в классическом понимании) приводит к позиции в философии математики, известной как предикативизм, отстаиваемый Анри Пуанкаре и Герман Вейль в его Das Kontinuum. Пуанкаре и Вейль утверждали, что непредикативные определения проблематичны только тогда, когда одно или несколько базовых множеств бесконечны.
Эрнст Цермело в своем 1908 г. «Новое доказательство возможности правильного упорядочивания» представляет целый раздел «б. Возражение относительно непредикативного определения», где он возражает против «Пуанкаре (1906, стр. 307) [ кто утверждает, что] определение является «предикативным» и логически допустимым только в том случае, если оно исключает все объекты, которые зависят от определенного понятия, то есть которые могут каким-либо образом определяться им ». Он приводит два примера импредикативных определений - (i) понятие цепочек Дедекинда и (ii) «в анализе, где максимум или минимум ранее определенного« завершенного »набора чисел Zиспользуется для дальнейших выводов.. Это происходит, например, в известном доказательстве Коши... ». Он заканчивает свой раздел следующим наблюдением: «Определение вполне может опираться на понятия, которые эквивалентны определяемому; действительно, в каждом определении Definiens и Definiendum являются эквивалентными понятиями, и строгое соблюдение требования Пуанкаре сделало бы каждое определение, следовательно, вся наука невозможна ».
Пример Цермело минимума и максимума ранее определенного« завершенного »набора чисел снова появляется в Kleene 1952: 42-42, где Клини использует пример наименьшего верхнего связал в своем обсуждении непредикативных определений; Kleene не решает эту проблему. В следующих параграфах он обсуждает попытку Вейля в его «Das Kontinuum» (Континуум) 1918 года устранить непредикативные определения и его неспособность сохранить «теорему о том, что произвольный непустой устанавливает M действительных чисел имеющая верхнюю границу имеет наименьшую верхнюю границу (см. Также Weyl 1919) ».
Рэмси утверждал, что« непредикативные »определения могут быть безвредными: например, определение« самый высокий человек в комнате » является непредсказуемым, поскольку зависит от набора вещей, элементом которого он является, а именно от набора всех людей в комнате. Что касается математики, примером непредикативного определения является наименьшее число в наборе, которое формально определяется как: y= min (X) тогда и только тогда, когда для всех элементов xof X, yменьше или равно x, а yнаходится в X.
Берджесс (2005) подробно обсуждает теории предикативной и импредикативной контекст логики Фреге, арифметики Пеано, арифметики второго порядка и аксиоматической теории множеств.