Построение действительных чисел

редактировать

Аксиоматические определения действительных чисел

В математике существует несколько способы определения системы вещественных чисел как упорядоченного поля . Синтетический подход дает список аксиом для действительных чисел в виде полностью упорядоченного поля . Согласно обычным аксиомам теории множеств, можно показать, что эти аксиомы категоричны в том смысле, что существует модель для аксиом, и любые две такие модели являются изоморфный. Любая из этих моделей должна быть явно построена, и большинство из этих моделей построено с использованием основных свойств системы рациональных чисел как упорядоченного поля.

Содержание

1 Синтетический подход
- 1.1 Аксиомы
  - 1.1.1 На свойстве наименьшей верхней границы
  - 1.1.2 На моделях
- 1.2 Аксиоматизация вещественных чисел Тарским
2 Явные конструкции моделей
- 2.1 Построение из последовательностей Коши
- 2.2 Построение Дедекиндом разрезов
- 2.3 Построение с использованием гиперреалистических чисел
- 2.4 Построение из сюрреалистических чисел
- 2.5 Построение из целых чисел (Eudoxus reals)
- 2.6 Другое конструкции
3 См. также
4 Ссылки

Синтетический подход

Синтетический подход аксиоматически определяет систему действительных чисел как полное упорядоченное поле. Именно это означает следующее. Модель для системы действительных чисел состоит из набора R, двух отдельных элементов 0 и 1 из R, двух двоичных операций + и × на R (называемые сложением и умножением соответственно) и бинарное отношение ≤ на R, удовлетворяющее следующим свойствам.

Аксиомы

(R, +, ×) образует поле. Другими словами,
- Для всех x, y и z в R, x + (y + z) = (x + y) + z и x × (y × z) = (х × у) × z. (ассоциативность сложения и умножения)
- Для всех x и y в R, x + y = y + x и x × y = y × x. (коммутативность сложения и умножения)
- Для всех x, y и z в R, x × (y + z) = (x × y) + (x × z). (дистрибутивность умножения над сложением)
- Для всех x в R, x + 0 = x. (наличие аддитивной идентичности )
- 0 не равно 1, и для всех x в R x × 1 = x. (наличие мультипликативной идентичности)
- Для для каждого x в R существует элемент −x в R, такой, что x + (−x) = 0. (существование аддитивного инвертирует )
- Для каждого x ≠ 0 в R, существует элемент x в R, такой, что x × x = 1. (существование мультипликативных обратных)
(R, ≤) образует полностью упорядоченный набор. Другими словами,
- для всех x в R, x ≤ x. (рефлексивность )
- для всех x и y в R, если x ≤ y и y ≤ x, то x = y. (антисимметрия )
- для всех x, y и z в R, если x ≤ y и y ≤ z, тогда x ≤ z. (транзитивность )
- для всех x и y в R, x ≤ y или y ≤ x. (совокупность )
операции с полем + и × на R совместимы с порядком ≤. Другими словами,
- Для всех x, y и z в R, если x ≤ y, то x + z ≤ y + z. (сохранение порядка при сложении)
- для всех x и y в R, если 0 ≤ x и 0 ≤ y, то 0 ≤ x × y (сохранение порядка при умножении)
Порядок ≤ является полным в следующем смысле: каждое непустое подмножество из R, ограниченного выше, имеет наименьшую верхнюю границу. Другими словами,
- Если A является непустым подмножеством R, и если A имеет верхнюю границу, то A имеет наименьшую верхнюю границу u, такая, что для каждой верхней границы v из A, u ≤ v.

На свойстве наименьшей верхней границы

Аксиома 4, которая требует, чтобы порядок был Дедекиндовым, подразумевает Архимедово свойство.

Аксиома имеет решающее значение при характеристике действительного. Например, полностью упорядоченное поле рациональных чисел Q удовлетворяет первым трем аксиомам, но не четвертой. Другими словами, модели рациональных чисел также являются моделями первых трех аксиом.

Обратите внимание, что аксиома не подлежит первому упорядочиванию, поскольку она выражает утверждение о совокупностях вещественных чисел, а не только об отдельных таких числах. Таким образом, реалы не задаются логической теорией первого порядка.

На моделях

Несколько моделей для аксиом 1-4 даны ниже. Любые две модели для аксиом 1–4 изоморфны, и поэтому с точностью до изоморфизма существует только одно полное упорядоченное архимедово поле.

Когда мы говорим, что любые две модели вышеуказанных аксиом изоморфны, мы имеем в виду, что для любых двух моделей (R, 0 R, 1 R, + R, × R, ≤ R) и (S, 0 S, 1 S, + S, × S, ≤ S), существует биекция f: R → S, сохраняющая как полевые операции, так и порядок. В явном виде

f является одновременно инъективным и сюръективным.
f (0 R) = 0 S и f (1 R) = 1 S.
Для всех x и y в R, f (x + R y) = f (x) + S f (y) и f (x × R y) = f (x) × S f (y).
Для всех x и y в R, x ≤ Ry , если и только если f (x) ≤ S f (y).

аксиоматизация реальности Тарским

Альтернативная синтетическая аксиоматизация реального числа и их арифметика были даны Альфредом Тарски, состоящим только из 8 аксиом, показанных ниже, и всего лишь четырех примитивных понятий : множество называется действительными числами, обозначенными R, двоичным отношением над R, вызываемым порядком, обозначаемым infix <, a двоичной операцией над R называется сложением, обозначается инфиксом +, и константой 1.

Аксиомы порядка (примитивы: R, <):

Аксиома 1 . Если x < y, then not y < x. That is, "<" is an асимметричный отношение.

Аксиома 2 . Если x < z, there exists a y such that x < y and y < z. In other words, "<" is плотный в R.

Аксиоме 3 . "<" равно Dedekind-comp Лете. Более формально, для всех X, Y ⊆ R, если для всех x ∈ X и y ∈ Y, x < y, then there exists a z such that for all x ∈ X and y ∈ Y, if z ≠ x and z ≠ y, then x < z and z < y.

Чтобы несколько прояснить приведенное выше утверждение, пусть X ⊆ R и Г ⊆ Р . Теперь мы определим два общих английских глагола особым образом, который соответствует нашей цели:

X предшествует Y тогда и только тогда, когда для каждого x ∈ X и каждого y ∈ Y, x < y.

Действительное число z разделяет X и Y, если и только если для каждого x ∈ X с x ≠ z и любого y ∈ Y с y ≠ z x < z and z < y.

аксиома 3 может быть сформулирована как:

«Если набор вещественных чисел предшествует другому набору вещественных чисел, то существует по крайней мере одно действительное число, разделяющее два набора ".

Аксиомы сложения (примитивы: R, <, +):

Аксиома 4 . x + (y + z) = (x + z) + y.

Аксиома 5 . Для всех x, y существует такое z, что x + z = y.

Аксиома 6 . Если x + y < z + w, then x < z or y < w.

Аксиомы для одного (примитивы: R, <, +, 1):

Аксиома 7 . 1 ∈ R.

Аксиома 8 . 1 < 1 + 1.

Из этих аксиом следует, что R является линейно упорядоченной абелевой группой при сложении с выделенным элементом 1. R также Дедекиндово и делимо.

Явные конструкции моделей

Мы не будем доказывать, что какие-либо модели аксиомы изоморфны. Такое доказательство ca n можно найти в любом количестве современных учебников по анализу или теории множеств. Однако мы сделаем набросок основных определений и свойств ряда конструкций, поскольку каждое из них важно как по математическим, так и по историческим причинам. Первые три принадлежат Георгу Кантору / Шарлю Мери, Ричарду Дедекинду / Джозефу Бертрану и Карлу Вейерштрассу все произошло с интервалом в несколько лет. У каждого есть свои преимущества и недостатки. Основной мотивацией во всех трех случаях было обучение студентов-математиков.

Построение на основе последовательностей Коши

Стандартная процедура, заставляющая все последовательности Коши в метрическом пространстве сходиться, добавляет новые точки в метрическое пространство. в процессе под названием завершение.

Rопределяется как завершение Q по отношению к метрике | xy |, как будет подробно описано ниже (для завершений Q с относительно других показателей см. p-адические числа.)

Пусть R будет набором последовательностей рациональных чисел Коши. То есть последовательности

x1, x 2, x 3,...

рациональных чисел такие, что для каждого рационального ε>0 существует целое число N такое что для всех натуральных чисел m, n>N, | x m - x n| < ε. Here the vertical bars denote the absolute value.

последовательности Коши (x n) и (y n) могут быть складывается и умножается следующим образом:

(xn) + (y n) = (x n + y n)

(xn) × (y n) = ( x n × y n).

Две последовательности Коши называются эквивалентными тогда и только тогда, когда разница между ними стремится к нулю. Это определяет отношение эквивалентности, которое совместимо с операциями, определенными выше, и можно показать, что набор R всех классов эквивалентности удовлетворяет всем аксиомам действительных чисел. Мы можем встроить Qв R путем отождествления рационального числа r с классом эквивалентности последовательности (r, r, r,…).

Сравнение действительных чисел достигается путем определения следующего сравнения последовательностей Коши: (x n) ≥ (y n) тогда и только тогда, когда x эквивалентно y или существует целое число N такое, что x n ≥ y n для всех n>N.

По построению каждое действительное число x представлено последовательностью рациональных чисел Коши. Это представление далеко не уникально; каждая рациональная последовательность, сходящаяся к x, является представлением x. Это отражает наблюдение, что часто можно использовать разные последовательности для приближения одного и того же действительного числа.

Единственная аксиома действительных чисел, которая нелегко вытекает из определений, - это полнота ≤, то есть свойство наименьшей верхней границы. Это можно доказать следующим образом: пусть S - непустое подмножество R, а U - верхняя граница для S. Подставляя при необходимости большее значение, мы можем предположить, что U рационально. Поскольку S непусто, мы можем выбрать рациональное число L такое, что L < s for some s in S. Now define sequences of rationals (un) и (l n) следующим образом:

Установить u 0 = U и l 0 = L.

Для каждого n рассмотрим число:

mn= (u n + l n) / 2

Если m n - верхняя граница для набора S:

un + 1 = m n и l n + 1 = l n

В противном случае установите:

ln + 1 = m n и u n + 1 = u n

Это определяет две последовательности рациональных чисел Коши, и поэтому мы имеем действительные числа l = (l n) и u = (u n). Индукцией по n легко доказать, что:

unявляется верхней границей для S для всех n

и:

lnникогда не является верхней границей для S для любого n

Таким образом, u является верхней границей граница для S. Чтобы увидеть, что это наименьшая верхняя граница, обратите внимание, что предел (u n - l n) равен 0, и поэтому l = u. Теперь предположим, что b < u = l is a smaller upper bound for S. Since (ln) монотонно возрастает, легко увидеть, что b < lnдля некоторого n. Но l n не является верхней границей для S, а значит, и b. Следовательно, u является точной верхней оценкой для S и ≤ полно.

Обычная десятичная запись может быть преобразована в последовательности Коши естественным образом. Например, обозначение π = 3.1415... означает, что π - класс эквивалентности последовательности Коши (3, 3.1, 3.14, 3.141, 3.1415,...). Уравнение 0.999... = 1 утверждает, что последовательности (0, 0.9, 0.99, 0.999,...) и (1, 1, 1, 1,...) эквивалентны, т. Е. их разность сходится к 0.

Преимущество построения R как завершения Q состоит в том, что это построение не является специфическим для одного примера; он также используется для других метрических пространств.

Конструкция Дедекинда сокращает

Дедекинд использовал свой разрез, чтобы построить иррациональное, действительные числа.

A Дедекиндовое сокращение в упорядоченном поле является его разделом, (A, B) такие, что A непусто и замкнуто вниз, B непусто и замкнуто вверх, а A не содержит наибольшего элемента. Действительные числа могут быть построены как дедекиндовы сокращения рациональных чисел.

Для удобства мы можем взять нижний набор $A {\ displaystyle A \,}$ $A \,$ как представитель любого заданного сокращения Дедекинда $(A, B) {\ displaystyle (A, B) \,}$ $(A, B) \,$ , поскольку $A {\ displaystyle A}$ $A$ полностью определяет $B {\ displaystyle B}$ $B$ . Поступая таким образом, мы можем интуитивно думать о действительном числе как о множестве всех меньших рациональных чисел. Более подробно, действительное число $r {\ displaystyle r}$ $r$ - это любое подмножество набора $Q {\ displaystyle {\ textbf {Q}}}$ ${\ textbf {Q}}$ из рациональные числа, удовлетворяющие следующим условиям:

$r {\ displaystyle r}$ $r$ не пусто
$r ≠ Q {\ displaystyle r \ neq {\ textbf {Q}}}$ $r \ neq {\ textbf {Q}}$
$r {\ displaystyle r}$ $r$ закрывается вниз. Другими словами, для всех $x, y ∈ Q {\ displaystyle x, y \ in {\ textbf {Q}}}$ $x, y \ in {\ textbf {Q}}$ таких, что $x < y {\displaystyle x$ $x <y$ , если $y ∈ r { \ displaystyle y \ in r}$ $y \ in r$ , тогда $x ∈ r {\ displaystyle x \ in r}$ $x \ in r$
$r {\ displaystyle r}$ $r$ не содержит наибольшего элемента. Другими словами, не существует $x ∈ r {\ displaystyle x \ in r}$ $x \ in r$ такого, что для всех $y ∈ r {\ displaystyle y \ in r}$ $y \ in r$ , $y ≤ x {\ displaystyle y \ leq x}$ $y \ leq x$

Мы формируем набор $R {\ displaystyle {\ textbf {R}}}$ ${\ textbf {R}}$ действительных чисел как набор всех дедекиндовских разрезов $A {\ displaystyle A}$ $A$ из $Q {\ displaystyle {\ textbf {Q}}}$ ${\ textbf {Q}}$ и определить общий порядок для вещественных чисел следующим образом: $x ≤ y ⇔ x ⊆ y {\ displaystyle x \ leq y \ Leftrightarrow x \ substeq y}$ $x \ leq y \ Leftrightarrow x \ substeq y$
Мы вставляем рациональные числа в вещественные числа, определяя рациональное число $q {\ displaystyle q}$ $q$ с набором всех меньших рациональных чисел ${x ∈ Q: x < q } {\displaystyle \{x\in {\textbf {Q}}:x$ $\ {x \ in {\ textbf {Q}}: x <q \}$ . Поскольку рациональные числа являются плотными, такой набор не может иметь наибольшего элемента и, таким образом, удовлетворяет условиям для действительного числа, изложенным выше.
Дополнение. $A + B: = {a + b: a ∈ A ∧ b ∈ B} {\ displaystyle A + B: = \ {a + b: a \ in A \ land b \ in B \}}$ ${\ displaystyle A + B: = \ { a + b: a \ in A \ land b \ in B \}}$
Вычитание. $A - B: = {a - b: a ∈ A ∧ b ∈ (Q ∖ B)} {\ displaystyle AB: = \ {ab: a \ in A \ land b \ in ({\ textbf {Q }} \ setminus B) \}}$ ${\ displaystyle AB: = \ {ab: a \ in A \ land b \ in ({\ textbf {Q}} \ setminus B) \}}$ где $Q ∖ B {\ displaystyle {\ textbf {Q}} \ setminus B}$ ${\ textbf {Q}} \ setminus B$ обозначает относительное дополнение из $B {\ displaystyle B}$ $B$ в $Q {\ displaystyle {\ textbf {Q}}}$ ${\ textbf {Q}}$ , ${x: x ∈ Q ∧ x ∉ B} {\ displaystyle \ {x: x \ in {\ textbf {Q}} \ land x \ notin B \}}$ ${\ displaystyle \ {x: x \ in {\ textbf {Q }} \ land x \ notin B \}}$
Отрицание - это особый случай вычитания: $- B: = {a - b: a < 0 ∧ b ∈ ( Q ∖ B) } {\displaystyle -B:=\{a-b:a<0\land b\in ({\textbf {Q}}\setminus B)\}}$ ${\ displaystyle -B: = \ { ab: a <0 \ land b \ in ({\ textbf {Q}} \ setminus B) \}}$
Определение умножения менее прямолинейно.
- если $A, B ≥ 0 {\ displaystyle A, B \ geq 0}$ $A, B \ geq 0$ , то $A × B: = {a × b: a ≥ 0 ∧ a ∈ A ∧ b ≥ 0 ∧ b ∈ B} ∪ {x ∈ Q: x < 0 } {\displaystyle A\times B:=\{a\times b:a\geq 0\land a\in A\land b\geq 0\land b\in B\}\cup \{x\in \mathrm {Q} :x<0\}}$ ${\ displaystyle A \ times B: = \ {a \ times b: a \ geq 0 \ land a \ in A \ land b \ geq 0 \ land b \ in B \} \ cup \ {x \ in \ mathrm {Q}: x <0 \}}$
- , если либо $A {\ displaystyle A \,}$ $A \,$ или $B {\ displaystyle B \,}$ $B \,$ отрицательно, мы используем тождества $A × B = - (A × - B) = - (- A × В) знак равно (- А × - В) {\ Displaystyle А \ раз В = - (А \ раз -В) = - (- А \ раз В) = (- А \ раз -В) \,}$ $A \ times B = - (A \ times -B) = - (- A \ times B) = (- A \ times -B) \,$ для преобразования $A {\ displaystyle A \,}$ $A \,$ и / или $B {\ displaystyle B \,}$ $B \,$ к положительным числам, а затем примените определение выше.
Мы определяем деление аналогичным образом:
- if $A ≥ 0 и B>0 {\ displaystyle A \ geq 0 {\ t_dv {и}} B>0}$ $A\geq 0{\t_dv{ and }}B>0$ затем $A / B: = {a / b: a ∈ A ∧ b ∈ (Q ∖ B)} {\ displaystyle A / B: = \ {a / b: a \ in A \ land b \ in ({\ textbf {Q}} \ setminus B) \}}$ ${\ displaystyle A / B: = \ {a / b: a \ in A \ земля b \ in ({\ textbf {Q}} \ setminus B) \}}$
- , если либо $A { \ displaystyle A \,}$ $A \,$ или $B {\ displaystyle B \,}$ $B \,$ отрицательно, мы используем тождества $A / B = - (A / - B) = - (- A / B) = - A / - B {\ displaystyle A / B = - (A / {- B}) = - (- A / B) = - A / {- B} \,}$ $A / B = - (A / {- B}) = - (- A / B) = - A / {- B} \,$ для преобразования $A {\ displaystyle A \,}$ $A \,$ в неотрицательное число и / или $B {\ displaystyle B \,}$ $B \,$ к положительному числу, а затем примените определение выше.
Supremum. Если непустой набор действительных чисел $S {\ displaystyle S}$ $S$ имеет верхнюю границу в $R {\ displaystyle {\ textbf {R}}}$ ${\ textbf {R}}$ , тогда он имеет наименьшую верхнюю границу в $R {\ displaystyle {\ textbf {R}}}$ ${\ textbf {R}}$ , которая равна $⋃ S {\ displaystyle \ bigcup S}$ $\ bigcup S$ .

В качестве примера из вырезки Дедекинда, представляющей иррациональное число, мы можем взять положительный квадратный корень из 2. Это можно определить с помощью множества $A = {x ∈ Q: x < 0 ∨ x × x < 2 } {\displaystyle A=\{x\in {\textbf {Q}}:x<0\lor x\times x<2\}}$ ${\ displaystyle A = \ {x \ in {\ textbf {Q}}: x <0 \ lor x \ times x <2 \}}$ . Из приведенных выше определений видно, что $A {\ displaystyle A}$ $A$ - действительное число и что $A × A = 2 {\ displaystyle A \ times A = 2 \, }$ $A \ times A = 2 \,$ . Однако ни одно из требований не является немедленным. Чтобы показать, что $A {\ displaystyle A \,}$ $A \,$ реально, необходимо показать, что $A {\ displaystyle A}$ $A$ не имеет наибольшего элемента, т.е. что для любого положительного рационального $x {\ displaystyle x \,}$ $x\,$ с $x × x < 2 {\displaystyle x\times x<2\,}$ $x \ times x <2 \,$ , существует рациональное $y {\ displaystyle y \,}$ $y\,$ с $x < y {\displaystyle x$ $x <y \,$ и $y × y < 2. {\displaystyle y\times y<2\,.}$ $y \ times y <2\,.$ Выбор $y = 2 x + 2 x + 2 {\ displaystyle y = {\ frac {2x + 2} {x + 2}} \,}$ $y = {\ frac {2x + 2} {x + 2}} \,$ работает. Тогда $A × A ≤ 2 {\ displaystyle A \ times A \ leq 2}$ $A \ times A \ leq 2$ , но для демонстрации равенства необходимо показать, что если $r {\ displaystyle r \,}$ $r \,$ - любое рациональное число с $r × r < 2 {\displaystyle r\times r<2\,}$ ${\ displaystyle r \ times r <2 \,}$ , тогда существует положительное значение $x {\ displaystyle x \,}$ $x\,$ в $A {\ displaystyle A}$ $A$ с $r < x × x {\displaystyle r$ $r <x \ times x \,$ .

Преимущество этой конструкции состоит в том, что каждому действительному числу соответствует уникальный разрез.

Построение с использованием гиперреальных чисел

Как и в гиперреальных числах, гиперрациональные числа Q строятся из рациональных чисел с помощью ультрафильтр. Здесь гиперрациональное по определению является отношением двух гиперинтегральных чисел. Рассмотрим кольцо B всех ограниченных (то есть конечных) элементов в Q . Тогда B имеет единственный максимальный идеал I, бесконечно малые числа. Кольцо частных B / I дает поле Rдействительных чисел. Обратите внимание, что B не является внутренним набором в Q . Обратите внимание, что эта конструкция использует неглавный ультрафильтр над множеством натуральных чисел, существование которого гарантируется аксиомой выбора .

. Оказывается, максимальный идеал соблюдает порядок на Q . Следовательно, результирующее поле является упорядоченным. Полнота доказывается аналогично построению из последовательностей Коши.

Построение из сюрреалистических чисел

Каждое упорядоченное поле может быть встроено в сюрреалистические числа. Действительные числа образуют максимальное подполе, которое является архимедовым (что означает, что никакое действительное число не может быть бесконечно большим). Это вложение не уникально, хотя может быть выбрано каноническим способом.

Конструкция из целых чисел (действительные числа Евдокса)

Относительно менее известная конструкция позволяет определять действительные числа, используя только аддитивную группу целых чисел $Z {\ displaystyle \ mathbb {Z}}$ $\ mathbb {Z}$ с разными версиями. Конструкция была формально подтверждена проектом IsarMathLib. Шеницер и Артан называют эту конструкцию действительными числами Евдокса, названными в честь древнегреческого астронома и математика Евдокса Книдского.

Пусть почти гомоморфизм будет картой $f: Z → Z {\ displaystyle f: \ mathbb {Z} \ to \ mathbb {Z}}$ $f : \ mathbb {Z} \ to \ mathbb {Z}$ такой, что набор ${f (n + m) - f (m) - f (n): n, m ∈ Z} {\ displaystyle \ {f (n + m) -f (m) -f (n): n, m \ in \ mathbb {Z} \}}$ $\ {f (n + m) -f (m) -f (n): N, м \ in \ mathbb {Z} \}$ конечно. (Обратите внимание, что $f (n) = ⌊ α N ⌋ {\ displaystyle f (n) = \ lfloor \ alpha n \ rfloor}$ $f (n) = \ lfloor \ альфа n \ rfloor$ является почти гомоморфизмом для любого $α ∈ R { \ displaystyle \ alpha \ in \ mathbb {R}}$ $\ alpha \ in \ mathbb {R}$ .) Почти гомоморфизмы образуют абелеву группу при поточечном сложении. Мы говорим, что два почти гомоморфизма $f, g {\ displaystyle f, g}$ $f, g$ почти равны, если множество ${f (n) - g (n) : n ∈ Z} {\ displaystyle \ {f (n) -g (n): n \ in \ mathbb {Z} \}}$ $\ {f (n) -g (n): n \ in \ mathbb {Z} \}$ конечно. Это определяет отношение эквивалентности на множестве почти гомоморфизмов. Действительные числа определяются как классы эквивалентности этого отношения. В качестве альтернативы, почти гомоморфизмы, принимающие только конечное число значений, образуют подгруппу, а основная аддитивная группа действительного числа является фактор-группой. Чтобы добавить действительные числа, определенные таким образом, мы добавляем почти гомоморфизмы, которые их представляют. Умножение действительных чисел соответствует функциональной композиции почти гомоморфизмов. Если $[f] {\ displaystyle [f]}$ $[f]$ обозначает действительное число, представленное почти гомоморфизмом $f {\ displaystyle f}$ $f$ , мы говорим, что $0 ≤ [f] {\ displaystyle 0 \ leq [f]}$ $0 \ leq [f]$ , если $f {\ displaystyle f}$ $f$ ограничено или $f {\ displaystyle f}$ $f$ принимает бесконечное количество положительных значений на $Z + {\ displaystyle \ mathbb {Z} ^ {+}}$ $\ mathbb {Z} ^ {+}$ . Это определяет отношение линейный порядок на множестве действительных чисел, построенных таким образом.

Другие конструкции

Faltin et al. пишите:

Немногие математические структуры подверглись такому количеству пересмотров или были представлены в таком количестве обличий, как действительные числа. Каждое поколение пересматривает реалы в свете своих ценностей и математических целей.

Ряд других построений был дан:

Н. Г. де Брёйн.
Г. Дж. Ригер.
Арнольд Кнопфмахер и Джон Кнопфмахер.

Как заметил рецензент одного из них: «Все детали включены, но, как обычно, они утомительны и не слишком поучительны».

См. Также

Конструктивизм (математика) # Пример из реального анализа

Ссылки