Парадокс Банаха - Тарского

редактировать

Разборка объекта и создание двух его идентичных копий из частей

«Можно ли разложить шар на конечное число наборов точек и собрать их в два шара, идентичных исходному? "

Парадокс Банаха - Тарского - это теорема в теоретико-множественной геометрия, в которой утверждается следующее: для твердого шар в трехмерном пространстве шара существует разложение на конечное число непересекающихся подмножества, которые можно собрать вместе другими способами, чтобы получить две идентичные копии мяча Однако сами по себе части - это не «твердые тела» в обычном понимании, а бесконечные россыпи точек.

Более сильная форма теоремы подразумевает, что для любых «разумных» твердых объектов (таких как маленький шар и огромный шар) отрезанные части любого другого может быть повторно собран в другой. и снова собрать в Солнце »и называют« парадоксом гороха и Солнца ».

Причина, по которой теорема Банаха - Тарского называется парадоксом, заключается в том, что она противоречит геометрической интуиции. «Удвоение шара» путем разделения его на части и перемещение их с помощью поворотов и перемещений без какого-либо растяжения, изгиба или добавления новых точек кажется невозможным, поскольку все эти интуитивно говоря, операции должны соблюдать объем. Интуиция о том, что такие операции представляют объемы, не абсурдна с математической точки зрения и даже включена в формальное определение объема. Однако здесь это не применимо, поскольку в этом случае невозможно определить объемы рассматриваемых подмножеств. Их повторная сборка воспроизводит том, который отличается от того, что было в начале.

В отличие от других теорем в геометрии, доказательство этого результата критически зависит от выбора аксиом теории множеств. Это может быть доказано с помощью аксиомы выбора, которая позволяет создавать неизмеримые множества, т. Е. Наборы точек, которые не имеют объема в обычном смысле, и чье построение требует бесчисленного количества вариантов выбора.

В 2005 году было показано, что части в разложении могут быть выбраны таким образом, что их можно непрерывно перемещать на место, не сталкиваясь с друг другом.

Как независимо доказали Лерой и Симпсон, парадокс Банаха-Тарского не нарушает объемы, если человек работает с локали, а не с топологическими пространствами. В этой абстрактной настройке можно иметь подпространство без точек, но все же непустые. Части парадоксальной декомпозиции действительно много пересекаются в смысле локалей. Принимая во внимание эту скрытую массу теория локалей позволяет удовлетворительно измерить все подмножества (и даже все подлокали) евклидова пространства.

1 Публикация Банаха и Тарского

2 Формальное рассмотрение

3 Связь с более ранними работами и роль аксиомы выбора

4 Набросок доказательства

4.1 1
4.2 Шаг 2
4.3 Шаг 3
4.4 Шаг 4
4.5 Некоторые детали, уточненные

5 Получение бесконечного количества шаров из одного

6 Парадокса фон Неймана в евклидовой плоскости

6.1 Последние достижения

7 См. Также

8 Примечания

9 Ссылки

10 Внешние ссылки

Публикация Банаха и Тарского

В статье, опубликованной в 1924 году, Стефан Банах и Альфред Тарский дал конструкцию такого парадоксального разложения, основанную на более ранней работе Джузеппе Витали относительно единичный интервал и о парадоксальных разложениях сфере Феликс Хаусдорф, а также обсудил ряд связанных вопросов, форму разложений подмножеств евклидовых пространств в различных измеренийх. Они доказали следующее общее утверждение, сильную форму парадокса Банаха - Тарского :

Для любых двух ограниченных подмножеств A и B евклидова пространства по крайней мере в трех измерениях, оба из которых имеют непустое внутреннее, то есть разбиения A и B на конечное число непересекающихся подмножеств,

A = A 1 ∪ ⋯ ∪ A k {\ displaystyle A = A_ {1} \ cup \ cdots \ cup A_ {k}}

A=A_{1}\cup \cdots \cup A_{k}

B = B 1 ∪ ⋯ ∪ B k {\ displaystyle B = B_ {1} \ cup \ cdots \ cup B_ {k}}

B=B_{1}\cup \cdots \cup B_{k}

(для некоторого целого числа k), так что для каждого ( целого) i от 1 до k, наборы A i и B i являются конгруэнтными.

Теперь пусть A будет исходным шаром и B - объединение двух переведенных копий оригинального шара. Тогда предложение означает, что вы можете разделить исходный шар A на определенное количество частей, а затем повернуть и перевести этими частями таким образом, чтобы в результате получилось все множество B, которое содержит две копии A.

Сильная форма парадокса Банаха -Тарского ложна в измерениях один и два, но Банах и Тарский показали, что аналогичное утверждение остается верным, если разрешено счетное число подмножеств. Разница между размером 1 и 2, с одной стороны, и 3 и выше, обусловлена более богатой структурой группы E (n) евклидовых движений в 3-х измерениях. При n = 1, 2 группа разрешима, но при n ≥ 3 она содержит свободную группу с двумя образующими. Джон фон Нейман изучил свойства группы эквивалентностей, которые делают возможным парадоксальное разложение, и ввел понятие аменабельных групп. Он также нашел форму парадокса на плоскости, которая использует сохраняющие площадь аффинные преобразования вместо обычных сравнений.

Тарский доказал, что аменабельные группы - это как раз те, для которых не существует парадоксальных разложений. В парадоксе Банаха-Тарского необходимы только свободные подгруппы, это привело к давней гипотезе фон Неймана, которая была опровергнута в 1980 году.

Формальное обращение

Парадокс Банаха - Тарского утверждает, что шар в обычном евклидовом пространстве можно удвоить, используя только операции разбиения на подмножества, замену набора конгруэнтным множеством и повторной сборки. Его математическая структура в степени степени проясняется подчеркивания роли, которую играет группа из евклидовых движений и начала равносоставных множеств и парадоксального множества. Предположим, что G группа , действующая на множестве X. В наиболее важном частном случае X является n-мерным евклидовым пространством (для целого n), а G состоит из всех изометрий X, т.е. преобразования X в себя, сохраняющие расстояния, обычно обозначаются E (n). Две геометрические фигуры, которые могут быть преобразованы друг в друга, называются конгруэнтными, и эта терминология будет распространена на общее G-действие. Два подмножества A и B в X называются G-равносоставными или равносоставными по отношению к G, если A и B могут быть разделены на одно и то же конечное число. соответственно G-конгруэнтных частей. Это определяет отношение эквивалентности X. Формально, если существуют непустые множества $A 1,…, A k {\ displaystyle A_ {1}, \ dots, A_ {k}}$ $A_{1},\dots,A_{k}$ , $B 1,…, B k {\ displaystyle B_ {1}, \ dots, B_ {k}}$ $B_{1},\dots,B_{k}$ такие, что

A = ⋃ i = 1 k A i, B Знак равно ⋃ я знак равно 1 К В я, {\ Displaystyle A = \ bigcup _ {я = 1} ^ {k} A_ {я}, \ quad B = \ bigcup _ {я = 1} ^ {k} B_ {я}, }

A=\bigcup _{i=1}^{k}A_{i},\quad B=\bigcup _{i=1}^{k}B_{i},

A i ∩ A j = ∅, B i ∩ B j = ∅ для всех 1 ≤ i < j ≤ k, {\displaystyle \quad A_{i}\cap A_{j}=\emptyset,\quad B_{i}\cap B_{j}=\emptyset \quad {\text{for all }}1\leq i

\quad A_{i}\cap A_{j}=\emptyset,\quad B_{i}\cap B_{j}=\emptyset \quad {\text{for all }}1\leq i<j\leq k,

и существуют элементы $gi ∈ G {\ displaystyle g_ {i} \ in G}$ $g_{i}\in G$ так, что

gi (A i) = B i для всех 1 ≤ i ≤ k, {\ displaystyle g_ {i} (A_ {i}) = B_ {i} {\ text {для всех} } 1 \ leq i \ leq k,}

g_{i}(A_{i})=B_{i}{\text{ for all }}1\leq i\leq k,

то можно сказать, что A и B G-равноразложимы с использованием k частей. Если в множестве E есть два непересекающихся подмножества A и B, такие что A и E, а также B и E являются G-равноразложимыми, то E называется парадоксальным .

Используя эту терминологию, парадокс Банаха - Тарского можно переформулировать следующим образом образом:

Трехмерный евклидов шар равносостав с двумя копиями самого себя.

На самом деле, в этом случае есть точный результат из-за Рафаэля М. Робинсон : удвоение мяча можно выполнить пятью частями, и меньше пяти штук будет недостаточно.

Сильная версия парадокса утверждает:

Любые два ограниченных подмножества 3-мерного евклидова пространства с не пустыми внутренностями равноразложимы.

Хотя это утверждение кажется более общим, оно выводится посредством обобщения теоремы Бернштейна - Шредера, принятого Банахом, из которого следует, что если A является равноразложимо с подмножеством B и B равноразложимо с подмножеством A, тогда A и B равноразложимы.

Парадокс Банаха - Тарского может быть помещен в контекст, указав, что для двух множеств в сильной парадокса всегда существует биективная функция, которая может отображать точки в одном преобразовать в другое однозначно. На языке Георга Кантора теории множеств, эти два множества имеют равную мощность. Таким образом, расширьте группу, чтобы допустить произвольные биекции X, это все множество с непустой внутренней конгруэнтными. Аналогично, один шар может быть превращен в больший или меньший шар растяжения или другими словами, путем применения преобразований подобия. Следовательно, если группа G достаточно велика, могут быть найдены G-равноразложимые множество, «размер» различных. Более того, поскольку счетный набор может быть разделен на две копии самого себя, можно ожидать, что использование счетного количества частей может каким-то образом помочь.

С другой стороны, в парадоксе Банаха - Тарского количества частей конечно, допустимые эквивалентности - евклидовы сравнения, сохраняющие объемы. Тем не менее, каким-то образом они удваивают объем мяча! Хотя это, безусловно, удивительно, некоторые из частей используются в парадоксальном разложении, являются неизмеримими множествами, поэтому понятие объема (точнее, мера Лебега ) для них не определено., и разделение не может быть выполнено практически. Фактически, парадокс Банаха - Тарского демонстрирует, что невозможно найти конечно-аддитивную меру (или меру Банаха ), определенную на всех подмножествах евклидова пространства трех (и более) измерений, которое является инвариантным. относительно евклидовых движений и принимает значение единица на единичном кубе. В своей более поздней работе Тарский показал, что, наоборот, отсутствие парадоксальных разложений этого типа влечет существование конечно-аддитивной инвариантной меры.

Суть доказательства парадокса «удвоения шара», представленного ниже, заключается в том замечательном факте, что с помощью евклидовой изометрии (и переименования элементов) можно разделить определенное множество (по сути, поверхности единичной сферы) на четыре части, поверните одну из них, чтобы она стала самой собой плюс две другие части. Это довольно легко следует из F 2 -парадоксального разложения F 2, свободной группы с двумя образующими. Доказательство Банаха и Тарского основано на аналогичном факте, открытом Хаусдорфом пространстве ранее: поверхность единичной сферы представляет собой несвязное объединение трех множеств B, C, D и счетного множества E таких, что, с одной стороны, B, C, D попарно конгруэнтны, с другой стороны, B конгруэнтно объединение C и D. Это часто называют парадоксом Хаусдорфа.

Связь с более ранними работами и роль аксиомы выбора

Банах и Тарский открыто признают, что Джузеппе Витали построил в 1905 году множество , носящего его имя, парадокс Хаусдорфа (1914) и более ранняя (1923 г.) статья Банаха как предвестник их работы. Конструкции Виталия и Хаусдорфа зависят от значения от аксиомы выбора ("AC"Цермело ), что также имеет решающее для статьи Банаха - Тарского как для доказательства парадокса, так и для доказательства другого результата:

Два евклидова многоугольника, один из которых строго содержит другой, не являются равносоставными.

. Они отмечают:

Le rôle que joue cet axiome dans nos raisonnements nous semble mériter l 'внимание

(роль, которую эта аксиома играет в наших рассуждениях, кажется нам заслуживающей внимания)

Они указывают, что, хотя второй результат полностью согласуется с нашей геометрической интуицией, его доказательство использует AC более более Таким образом, Банах и Тарский подразумевают, что AC не следует отвергать просто потому, что он производит парадоксальное разложение, поскольку такой аргумент также подрывает доказательства геометрически интуитивног о

Однако в 1949 году А.П. Морс показал, что утверждение о евклидовых многоугольниках может быть доказанным в ZFтеории множеств и, следовательно, не требует аксиомы выбора. В 1964 году Пол Коэн доказал, что аксиома выбора не зависит от ZF, то есть не может быть доказана с помощью ZF . Более сильным препаратом аксиомы является выбора аксиома слабого выбора, DC, и было показано, что DC недостаточно для доказательства доказательстваса Банаха - Тарского, т. Е.

Парадокс Банаха-Тарского - это не теорема из ZF или ZF+DC.

Большой объем математики использует AC . Как Стэн Вагон указывает в конце своей монографии, парадокс Банаха-Тарского был более значим для своей роли в чистой математике, чем для фундаментальных вопросов: он послужил стимулом для нового плодотворного направления исследований, податливости группы, что не имеет отношения к фундаментальным вопросам.

В 1991 году, используя недавние результаты Мэтью Формана и Фридриха Верунга, Януш Павликовски доказал, что парадокс Банаха-Тарского следует из ZF плюс Теорема Хана - Банаха. Теорема Хана - Банаха не опирается на полную аксиому выбора, но может быть доказана с помощью более слабой версии AC, называемой леммой об ультрафильтрации. Таким образом, Павликовский доказал, что теория множеств, необходимая для доказательства парадокса Банаха - Тарского, хотя и сильнее, чем ZF, но слабее, чем полная ZFC .

Набросок доказательства

Здесь набросано доказательство, подобное, но не идентичное доказательству Банаха и Тарского. По сути, парадоксальное разложение достигается за четыре шага:

Найти парадоксальное разложение свободной группы на два образующих.
Найти группу вращений в трехмерном пространстве изоморфен свободной группе в двух образующих.
используйте парадоксальное разложение этой группы и выбранную аксиому, чтобы произвести парадоксальное разложение полой единичной сферы.
Распространите это разложение сферы на разложение единичного твердого шара.

Эти шаги болееподробно обсуждаются ниже.

Шаг 1

График Кэли для F 2, показывающий разложение на множество S (a) и aS (a). Переход по горизонтальному краю графа представляет собой умножение слева элемента F 2 на a; прохождение вертикального ребра графа в направлении вверх представляет собой умножение слева элемента F 2 на b. Элементы множества S (a) - зеленые точки; элементы набора aS (a) - синие точки или красные точки с синей рамкой. Красные точки с синей рамкой - это элементы S (a), которая является подмножеством aS (a).

Свободная группа с двумя генераторами a и b состоит из всех конечных строк, которые могут быть сформированы из четырех символов a, a, b и b, так что никакая a не появляется непосредственно рядом с aa, а b не появляется непосредственно рядом с a b. Две такие строки можно объединить и преобразовать в строку этого типа, многократно заменяя «запрещенные» подстроки пустой строк. Например: ababa, объединенная с ababa, дает ababaababa, которая содержит подстроку aa, и поэтому сокращается до ababbaba, которая содержит подстроку bb, которая сокращается до abaaba. Можно проверить, что набор этих строк с помощью этой операции образует группу с Элемент идентичности пустой строкой e. Эту группу можно назвать F 2.

Группа $F 2 {\ displaystyle F_ {2}}$ $F_{2}$ может быть «парадоксально разложена» следующим образом: Пусть S (a) будет множеством всех не -запрещенных строк, которые начинаются с a и определяют S (a), S (b) и S (b) аналогично. Ясно, что

F 2 = {e} ∪ S (a) ∪ S (a - 1) ∪ S (b) ∪ S (b - 1) {\ displaystyle F_ {2} = \ {e \} \ чашка S (a) \ cup S (a ^ {- 1}) \ cup S (b) \ cup S (b ^ {- 1})}

F_{2}=\{e\}\cup S(a)\cup S(a^{-1})\cup S(b)\cup S(b^{-1})

но также

F 2 = a S (a - 1) ∪ S (a), {\ displaystyle F_ {2} = aS (a ^ {- 1}) \ cup S (a),}

F_{2}=aS(a^{-1})\cup S(a),

F 2 = b S (b - 1) ∪ S (b), {\ displaystyle F_ {2} = bS (b ^ {- 1}) \ cup S (b),}

F_{2}=bS(b^{-1})\cup S(b),

где обозначение aS (a) означает взять все строки в S (a) и объединить их слева с расширением.

Это суть доказательства. Например, может быть строка $aa - 1 b {\ displaystyle aa ^ {- 1} b}$ $aa^{-1}b$ в наборе $a S (a - 1) {\ displaystyle aS (a ^ {- 1})}$ $aS(a^{-1})$ который из-за правил, согласно которому $a {\ displaystyle a}$ $a$ не должен располагаться рядом с $a - 1 {\ displaystyle a ^ { - 1}}$ $a^{-1}$ , сводится к строке $b {\ displaystyle b}$ $b$ . Аналогичным образом $a S (a - 1) {\ displaystyle aS (a ^ {- 1})}$ $aS(a^{-1})$ содержит все строки, начинающиеся с $a - 1 {\ displaystyle a ^ {- 1}}$ $a^{-1}$ (например, строка $aa - 1 a - 1 {\ displaystyle aa ^ {- 1} a ^ {- 1}}$ $aa^{-1}a^{-1}$ , которая сокращается до $а - 1 {\ displaystyle a ^ {- 1}}$ $a^{-1}$ ). Таким образом, $a S (a - 1) {\ displaystyle aS (a ^ {- 1})}$ $aS(a^{-1})$ содержит все строки, начинающиеся с $b {\ displaystyle b}$ $b$ , $b - 1 {\ displaystyle b ^ {- 1}}$ $b^{-1}$ и $a - 1 {\ displaystyle a ^ {- 1}}$ $a^{-1}$ .

Группа F 2 был разрезан на четыре части (плюс синглтон {e}), затем две из них "сдвинуты" путем умножения на a или b, затем "собраны заново" как две части, чтобы сделать одну копию $F 2 {\ displaystyle F_ {2}}$ $F_{2}$ и два других, чтобы сделать еще одну копию $F 2 {\ displaystyle F_ {2}}$ $F_{2}$ . Это именно то, что нужно сделать с мячом.

Шаг 2

Чтобы найти свободную группу вращений трехмерного пространства, т.е. которая ведет себя точно так же (или "является изоморфной ") свободная группа F 2, берутся две ортогональные оси (например, оси x и z), и A можно задать поворот на $θ = arccos ⁡ (1 3) {\ displaystyle \ theta = \ arccos \ left ({\ frac {1} {3}} \ right)}$ $\theta =\arccos \left({\frac {1}{3}}\right)$ вокруг оси x, а B - поворот на $θ {\ displaystyle \ theta}$ $\theta$ вокруг оси z (есть много других подходящих пар иррациональных кратных π, которые также можно использовать здесь).

Группа вращений, генерируемая A и B, будет называться H . Пусть $ω {\ displaystyle \ omega}$ $\omega$ будет элементом H, который начинается с положительного поворота вокруг оси z, то есть элементом формы $ω =… В К 3 A К 2 В К 1 {\ Displaystyle \ omega = \ ldots B ^ {k_ {3}} A ^ {k_ {2}} B ^ {k_ {1}}}$ $\omega =\ldots B^{k_{3}}A^{k_{2}}B^{k_{1}}$ с $k 1>0, k 2, k 3,…, kn ≠ 0, n ≥ 1 {\ displaystyle k_ {1}>0, \ k_ {2}, k_ {3}, \ ldots, k_ {n} \ neq 0, \ n \ geq 1}$ $k_{1}>0, \ k_ {2}, k_ {3}, \ ldots, k_ {n} \ neq 0, \ n \ geq 1$ . По индукции можно показать, что $ω {\ displaystyle \ omega}$ $\omega$ отображает точку $(1, 0, 0) {\ displaystyle (1,0,0)}$ $(1,0,0)$ в $(k 3 N, l 2 3 N, m 3 N) {\ displaystyle \ left ({\ frac {k} {3 ^ {N}}}, {\ frac {l {\ sqrt {2}}} {3 ^ { N}}}, {\ frac {m} {3 ^ {N}}} \ right)}$ $\left({\frac {k}{3^{N}}},{\frac {l{\sqrt {2}}}{3^{N}}},{\frac {m}{3^{N}}}\right)$ , для некоторых $k, l, m ∈ Z, N ∈ N {\ displaystyle k, l, m \ in \ mathbb {Z}, N \ in \ mathbb {N}}$ $k,l,m\in \mathbb {Z},N\in \mathbb {N}$ . Анализируя $quad {\ text {для всех}} 1 \ leq я <19>aa ^ {- 1} b <19><20>{\ displaystyle F_ {2} = aS (a ^ {- 1}) \ чашка S (a),} <20><21>b <21><22>(1,0,0) <22><23>{\ disp Laystyle g_ { i} (A_ {i}) = B_ {i} {\ text {для всех}} 1 \ leq i \ leq k,} <23><24>b ^ {- 1} <24><25>A_ { 1} = S (a) M \ чашка M \ чашка B <25><26>aS (a ^ {- 1}) <26><27>S (a) M = \ {s (x) | s \ in S (a), x \ in M \} <27><28>{\ displaystyle E \, \ треугольник \, F} <28><29>{\ displaystyle B_ {1}, \ dots, B_ {k}} <29><30>{\ displaystyle \ left ({\ frac {k} {3 ^ {N}}}, {\ frac {l {\ sqrt {2}}}} {3 ^ {N}}}, {\ frac {m} {3 ^ {N}}} \ right)} <30><31>{\ displaystyle l \ neq 0} <31><32>\ displaystyle A_ {4} = S (b ^ {- 1}) M <32><33>\ theta <33><34>{\ displaystyle \ omega \ neq e} <34><35>B = a ^ {- 1} M \ чашка a ^ {- 2} M \ чашка \ точки <35><36>bA_ {4} = A_ {1} \ чашка A_ {2} \ чашка A_ {4} <36><37>{\ displaystyle \ omega = \ ldots B ^ {k_ {3}} A ^ {k_ {2}} B ^ {k_ {1}}} <37><38>m <38><39>{\ displaystyle g_ {i} \ in G} <39><40>{\ displaystyle B = B_ {1} \ cup \ cdots \ cup B_ {k}} <40><41>a ^ {- 1} <41><42>F_ {2} = \ {e \} \ cup S (a) \ cup S (a ^ {- 1}) \ cup S (b) \ cup S (b ^ {- 1}) <42>html$

Последняя правка сделана 2021-05-11 09:06:05

Содержание доступно по лицензии CC BY-SA 3.0 (если не указано иное).

Обратная связь: support@alphapedia.ru

Соглашение

О проекте