Отношение эквивалентности Бореля

В математике a Borel отношение эквивалентности на польском пространстве X - это отношение эквивалентности на X, которое является подмножеством Borel X × X (в произведении топология ).

Учитывая борелевские отношения эквивалентности E и F на польских пространствах X и Y соответственно, говорят, что E сводится по Борелю к F в символах E ≤ B F тогда и только тогда, когда существует функция Бореля

Θ: X → Y

такая, что для всех x, x '∈ X, выполняется

x E x' ⇔ Θ (x) F Θ (x ').

Концептуально, если E сводится по Борелю к F, то E «не сложнее», чем F, и фактор-пространство X / E имеет меньшую или равную «мощность по Борелю», чем Y / F, где "мощность по Борелю" аналогична мощности, за исключением ограничения определимости для свидетельствующего отображения.

A пространство с мерой X называется стандартным борелевским пространством, если оно борелевско-изоморфно борелевскому подмножеству польского пространства. Теорема Куратовского утверждает, что два стандартных борелевских пространства X и Y борелевско-изоморфны тогда и только тогда, когда | X | = | Y |.

• Harrington, L.A.; А.С. Кечрис; А. Луво (октябрь 1990 г.). «Дихотомия Глимма – Эффроса для борелевских отношений эквивалентности». Журнал Американского математического общества. 3 (2): 903–928. DOI : 10.2307 / 1990906. JSTOR 1990906.
• Кечрис, Александр С. (1994). Классическая описательная теория множеств. Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-94374-9.
• Сильвер, Джек Х. (1980). «Подсчет количества классов эквивалентности борелевских и коаналитических отношений эквивалентности». Анналы математической логики. 18 (1): 1–28. doi : 10.1016 / 0003-4843 (80) 90002-9.
• Кановей, Владимир ; Борелевские отношения эквивалентности. Структура и классификация. Серия лекций в университете, 44. Американское математическое общество, Провиденс, Род-Айленд, 2008. x + 240 стр. ISBN 978-0-8218-4453-3