Измеримый кардинал

редактировать

В математике, А измеримый кардинал определенный вид большого кардинальное число. Чтобы определить это понятие, вводится двузначная мера на кардинале κ или, в более общем смысле, на любом множестве. Для кардинала κ его можно описать как подразделение всех его подмножеств на большие и малые множества, так что само κ велико, ∅ и все одиночки { α }, α ∈ κ малы, дополнения малых множеств большие и наоборот. Пересечение менее чем изκ больших множеств снова велико.

Оказывается, несчетные кардиналы, наделенные двузначной мерой, являются большими кардиналами, существование которых невозможно доказать с помощью ZFC.

Понятие измеримого кардинала было введено Станиславом Уламом в 1930 году.

СОДЕРЖАНИЕ

1 Определение
2 свойства
3 Измеримые с действительным знаком
- 3.1 Слабая недоступность действительных измеримых кардиналов
4 См. Также
5 Примечания
6 цитат
7 ссылки

Определение

Формально измеримая кардинальное несчетное кардинальное число κ таким образом, что существует κ-аддитивная, нетривиальная, 0-1-оцененная мера на множестве мощности от й. (Здесь термин κ-аддитивный означает, что для любой последовательности A α, α lt;λ мощности λ lt; κ, где A α является попарно непересекающимся множеством ординалов меньше κ, мера объединения A α равна сумме меры индивидуума A α.)

Эквивалентно, κ измеримо означает, что оно является критической точкой из нетривиального элементарного вложения в Вселенной V в переходный классе М. Эта эквивалентность принадлежит Джерому Кейслеру и Дане Скотт и использует сверхмощную конструкцию из теории моделей. Поскольку V - правильный класс, необходимо решить техническую проблему, которая обычно не возникает при рассмотрении сверхмощностей, с помощью того, что сейчас называется уловкой Скотта.

Эквивалентно, κ является измеримым кардиналом тогда и только тогда, когда он является несчетным кардиналом с κ-полным неглавным ультрафильтром. Опять же, это означает, что пересечение любого строго меньшего, чем κ- множества множеств в ультрафильтре, также находится в ультрафильтре.

Характеристики

Хотя из ZFC следует, что каждый измеримый кардинал недоступен (и невыразим, Рамси и т. Д.), Это согласуется с ZF, что измеримый кардинал может быть последующим кардиналом. Из аксиомы определенности ZF + следует, что ω 1 измеримо и что каждое подмножество ω 1 содержит или не пересекается с замкнутым и неограниченным подмножеством.

Улам показал, что наименьший кардинал κ, допускающий нетривиальную счетно-аддитивную двузначную меру, на самом деле должен допускать κ-аддитивную меру. (Если бы существовал некоторый набор из менее чем κ подмножеств меры-0, объединение которых было бы κ, то индуцированная мера на этом наборе была бы контрпримером к минимальности κ.) Отсюда можно доказать (с помощью аксиомы выбора) что наименьший такой кардинал должен быть недоступен.

Нетривиально заметить, что если κ допускает нетривиальную κ-аддитивную меру, то κ должно быть регулярным. (Из-за нетривиальности и κ-аддитивности любое подмножество мощности меньше, чем κ, должно иметь меру 0, а затем снова в силу κ-аддитивности, это означает, что все множество не должно быть объединением менее чем κ наборов мощности меньше, чем κ.) Наконец, если λ lt;κ, то не может быть κ ≤ 2 ^λ. Если бы это было так, то мы могли бы идентифицировать κ с некоторым набором последовательностей 0–1 длины λ. Для каждой позиции в последовательности либо подмножество последовательностей с 1 в этой позиции, либо подмножество с 0 в этой позиции должно иметь меру 1. Таким образом, пересечение этих λ -многих подмножеств меры 1 также должно иметь меру 1., но он будет содержать ровно одну последовательность, что противоречило бы нетривиальности меры. Таким образом, принимая аксиому выбора, мы можем сделать вывод, что κ - сильный предельный кардинал, что завершает доказательство его недоступности.

Если κ измеримо и p ∈ V κ и M (сверхстепень V) удовлетворяет ψ (κ, p), то множество таких α lt; κ, что V удовлетворяет ψ ( α, p), стационарно в κ (фактически, множество меры 1). В частности, если ψ - формула 1 и V удовлетворяет ψ (κ, p), то M удовлетворяет ей, и, следовательно, V удовлетворяет ψ ( α, p) для стационарного множества α lt; κ. Это свойство можно использовать, чтобы показать, что κ является пределом большинства типов больших кардиналов, которые слабее измеримых. Обратите внимание, что ультрафильтр или мера, свидетельствующие об измерении κ, не могут находиться в M, так как у наименьшего такого измеримого кардинала должен быть другой такой же под ним, что невозможно.

Если начать с элементарного вложения j 1 из V в M 1 с критической точкой κ, то можно определить ультрафильтр U на κ как { S ⊆κ: κ∈ j 1 ( S)}. Тогда взяв сверхстепень V над U, мы можем получить еще одно элементарное вложение j 2 из V в M 2. Однако важно помнить, что j 2 ≠ j 1. Таким образом, другие типы больших кардиналов, такие как сильные кардиналы, также могут быть измерены, но не с использованием того же вложения. Можно показать, что сильный кардинал κ измерим и имеет под ним κ-много измеримых кардиналов.

Каждый измеримый кардинал κ является 0- огромной кардинальным, потому что ^κ M ⊆ M, то есть, каждая функция от й до М в М. Следовательно, V каппа +1 ⊆ M.

Измеримые с реальной оценкой

Кардинал κ называется действительным измеримым, если существует κ-аддитивная вероятностная мера на множестве степеней κ, которая обращается в нуль на синглтонах. Измеримые кардиналы с действительными значениями были введены Стефаном Банахом ( 1930). Банах и Куратовски (1929) показали, что из гипотезы континуума следует, что нельзя измерить действительные значения. Станислав Улам ( 1930) показал (см. Ниже части доказательства Улама), что действительные измеримые кардиналы слабо недоступны (на самом деле они слабо махло ). Все измеримые кардиналы измеримы с действительными значениями, а измеримые кардиналы с действительными значениями κ измеримы тогда и только тогда, когда κ больше, чем. Таким образом, кардинал измерим тогда и только тогда, когда он измерим с действительными значениями и сильно недоступен. Действительный измеримый кардинал, меньший или равный, существует тогда и только тогда, когда существует счетно-аддитивное расширение меры Лебега на все наборы действительных чисел тогда и только тогда, когда существует безатомная вероятностная мера на множестве степеней некоторого непустого набор. ${\ displaystyle {\ mathfrak {c}}}$ ${\ mathfrak c}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {c}}}$ ${\ mathfrak c}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {c}}}$ ${\ mathfrak c}$

Соловей (1971) показал, что существование измеримых кардиналов в ZFC, измеримых вещественных кардиналов в ZFC и измеримых кардиналов в ZF равносогласованно.

Слабая недоступность действительных измеримых кардиналов

Скажем, кардинальное число - это число Улама, если ${\ displaystyle \ alpha}$ $\альфа$

в любое время

${\ displaystyle \ mu}$ $\ му$ это внешняя мера на множестве ${\ displaystyle X,}$ $ИКС,$
${\ Displaystyle \ му (Х) lt;\ infty,}$ ${\ Displaystyle \ му (Х) lt;\ infty,}$
${\ Displaystyle \ му (\ {х \}) = 0, х \ в X,}$ ${\ Displaystyle \ му (\ {х \}) = 0, х \ в X,}$
все являются μ - измеримы, ${\ Displaystyle A \ подмножество X}$ $A \ подмножество X$

тогда

{\ displaystyle \ operatorname {card} X \ leq \ alpha \ Rightarrow \ mu (X) = 0.}

{\ displaystyle \ operatorname {card} X \ leq \ alpha \ Rightarrow \ mu (X) = 0.}

Точно так же кардинальное число является числом Улама, если ${\ displaystyle \ alpha}$ $\альфа$

в любое время

${\ displaystyle \ nu}$ $\ nu$ - внешняя мера на множестве и непересекающееся семейство подмножеств, ${\ displaystyle Y,}$ $Y,$ ${\ displaystyle F}$ $F$ ${\ displaystyle Y}$ $Y$
${\ Displaystyle \ ню \ влево (\ bigcup F \ вправо) lt;\ infty,}$ ${\ Displaystyle \ ню \ влево (\ bigcup F \ вправо) lt;\ infty,}$
${\ displaystyle \ nu (A) = 0}$ ${\ displaystyle \ nu (A) = 0}$ для ${\ displaystyle A \ in F,}$ ${\ displaystyle A \ in F,}$
${\ displaystyle \ bigcup G}$ $\ bigcup G$ является ν -измеримой для каждого ${\ displaystyle G \ subset F}$ ${\ displaystyle G \ subset F}$

тогда

{\ displaystyle \ operatorname {card} F \ leq \ alpha \ Rightarrow \ nu \ left (\ bigcup F \ right) = 0.}

{\ displaystyle \ operatorname {card} F \ leq \ alpha \ Rightarrow \ nu \ left (\ bigcup F \ right) = 0.}

Наименьший бесконечный кардинал - это число Улама. Класс чисел Улама замыкается при операции кардинального преемника. Если у бесконечного кардинала есть непосредственный предшественник, который является числом Улама, предположение удовлетворяет свойствам (1) - (4) с. В модели ординалов и кардиналов фон Неймана выберите инъективные функции ${\ displaystyle \ aleph _ {0}}$ $\ алеф _ {0}$ ${\ displaystyle \ beta}$ $\бета$ ${\ displaystyle \ alpha}$ $\альфа$ ${\ displaystyle \ mu}$ $\ му$ ${\ displaystyle X = \ beta}$ ${\ displaystyle X = \ beta}$

{\ displaystyle f_ {x}: x \ rightarrow \ alpha, \ quad \ forall x \ in \ beta,}

{\ displaystyle f_ {x}: x \ rightarrow \ alpha, \ quad \ forall x \ in \ beta,}

и определим множества

{\ Displaystyle U (b, a) = \ {x \ in \ beta: f_ {x} (b) = a \}, \ quad a \ in \ alpha, b \ in \ beta.}

{\ Displaystyle U (b, a) = \ {x \ in \ beta: f_ {x} (b) = a \}, \ quad a \ in \ alpha, b \ in \ beta.}

Поскольку они взаимно однозначны, множества ${\ displaystyle f_ {x}}$ $е_ {x}$

{\ displaystyle \ left \ {U (b, a), b \ in \ beta \ right \} {\ text {(}} a {\ text {fixed)}},}

{\ displaystyle \ left \ {U (b, a), b \ in \ beta \ right \} {\ text {(}} a {\ text {fixed)}},}

{\ displaystyle \ left \ {U (b, a), a \ in \ alpha \ right \} {\ text {(}} b {\ text {fixed)}}}

{\ displaystyle \ left \ {U (b, a), a \ in \ alpha \ right \} {\ text {(}} b {\ text {fixed)}}}

не пересекаются. По свойству (2) множества ${\ displaystyle \ mu}$ $\ му$

{\ Displaystyle \ влево \ {Ь \ в \ бета: \ му (U (Ь, а))gt; 0 \ вправо \}}

{\ Displaystyle \ влево \ {Ь \ в \ бета: \ му (U (Ь, а))gt; 0 \ вправо \}}

является счетно, и, следовательно,

{\ displaystyle \ operatorname {card} \ left \ {(b, a) \ in \ beta \ times \ alpha | \ mu (U (b, a))gt; 0 \ right \} \ leq \ aleph _ {0} \ cdot \ alpha = \ alpha.}

{\ displaystyle \ operatorname {card} \ left \ {(b, a) \ in \ beta \ times \ alpha | \ mu (U (b, a))gt; 0 \ right \} \ leq \ aleph _ {0} \ cdot \ alpha = \ alpha.}

Таким образом, существует такое, что ${\ displaystyle b_ {0}}$ $б_ {0}$

{\ displaystyle \ mu (U (b_ {0}, a)) = 0 \ quad \ forall a \ in \ alpha}

{\ displaystyle \ mu (U (b_ {0}, a)) = 0 \ quad \ forall a \ in \ alpha}

подразумевая, поскольку является числом Улама, и используя второе определение (при выполнении условий (1) - (4)), ${\ displaystyle \ alpha}$ $\альфа$ ${\ displaystyle \ nu = \ mu}$ ${\ displaystyle \ nu = \ mu}$

{\ displaystyle \ mu \ left (\ bigcup _ {a \ in \ alpha} U (b_ {0}, a) \ right) = 0.}

{\ displaystyle \ mu \ left (\ bigcup _ {a \ in \ alpha} U (b_ {0}, a) \ right) = 0.}

Если тогда Таким образом ${\ displaystyle b_ {0} lt;x lt;\ beta,}$ ${\ displaystyle b_ {0} lt;x lt;\ beta,}$ ${\ displaystyle f_ {x} (b_ {0}) = a_ {x} \ Rightarrow x \ in U (b_ {0}, a_ {x}).}$ ${\ displaystyle f_ {x} (b_ {0}) = a_ {x} \ Rightarrow x \ in U (b_ {0}, a_ {x}).}$

{\ displaystyle \ beta = b_ {0} \ cup \ {b_ {0} \} \ cup \ bigcup _ {a \ in \ alpha} U (b_ {0}, a),}

{\ displaystyle \ beta = b_ {0} \ cup \ {b_ {0} \} \ cup \ bigcup _ {a \ in \ alpha} U (b_ {0}, a),}

По свойству (2), и так как, по (4), (2) и (3), Отсюда следует, что Сделан вывод, что это число Улама. ${\ displaystyle \ mu \ {b_ {0} \} = 0,}$ ${\ displaystyle \ mu \ {b_ {0} \} = 0,}$ ${\ displaystyle \ operatorname {card} b_ {0} \ leq \ alpha}$ ${\ displaystyle \ operatorname {card} b_ {0} \ leq \ alpha}$ ${\ displaystyle \ mu (b_ {0}) = 0.}$ ${\ displaystyle \ mu (b_ {0}) = 0.}$ ${\ Displaystyle \ му (\ бета) = 0.}$ ${\ Displaystyle \ му (\ бета) = 0.}$ ${\ displaystyle \ beta}$ $\бета$

Существует аналогичное доказательство того, что верхняя грань набора чисел Улама с числом Улама снова является числом Улама. Вместе с предыдущим результатом это означает, что кардинал, не являющийся числом Улама, слабо недоступен. ${\ displaystyle S}$ $S$ ${\ displaystyle \ operatorname {card} S}$ ${\ displaystyle \ operatorname {card} S}$

Смотрите также

Заметки

Цитаты

Рекомендации

Банахи, Стефан (1930), "Убер добавок Maßfunktionen в abstrakten Mengen", Fundamenta Mathematicae, 15: 97-101, DOI : 10,4064 / FM-15-1-97-101, ISSN 0016-2736.
Банах, Стефан ; Kuratowski, Казимир (1929), "Sur ипе généralisation дю Probleme де ла Mesure", Fundamenta Mathematicae, 14: 127-131, DOI : 10,4064 / фм 14-1-127-131, ISSN 0016-2736.
Дрейк, FR (1974), Теория множеств: Введение в большие кардиналы (исследования в области логики и основ математики; т. 76), Elsevier Science Ltd, ISBN 978-0-7204-2279-5.
Федерер, Х. (1996) [1969], Геометрическая теория меры, Классика в математике (1-е изд., Переиздание), Берлин, Гейдельберг, Нью-Йорк: Springer Verlag, ISBN 978-3540606567.
Jech, Thomas (2002), теория множеств, издание третьего тысячелетия (пересмотренное и расширенное), Springer, ISBN 3-540-44085-2.
Канамори, Акихиро (2003), Высшая бесконечность: большие кардиналы в теории множеств с самого начала (2-е изд.), Springer, ISBN 3-540-00384-3.
Мэдди, Пенелопа (1988), "Веря Аксиомами II.", Журнал символической логики, 53 (3): 736-764, DOI : 10,2307 / 2274569, JSTOR 2274569, S2CID 16544090. Копия частей I и II этой статьи с исправлениями доступна на домашней странице автора.
Соловей, Роберт М. (1971), «Действительные измеримые кардиналы», теория аксиоматических множеств (Proc. Sympos. Pure Math., Vol. XIII, Part I, Univ. California, Los Angeles, CA, 1967), Providence, РИ: амер. Математика. Soc., Стр. 397–428, MR 0290961.
Улама, Станислав (1930), "Zur Masstheorie в дер Allgemeinen Mengenlehre", Fundamenta Mathematicae, 16: 140-150, DOI : 10.4064 / FM-16-1-140-150, ISSN 0016-2736.