Атом (теория меры)

В математике, точнее в теории меры, атом представляет собой измеримое множество, которое имеет положительную меру и не содержит множества меньших положительных мер. Мера, не имеющая атомов, называется неатомной или безатомной .

• 1 Определение
• 2 Примеры
• 3 Атомарные меры
• 4 Неатомные меры
• 5 См. Также
• 6 Примечания
• 7 Ссылки
• 8 Внешние ссылки

Учитывая измеримое пространство $(X,\; \Sigma )\; \{\backslash \; displaystyle\; (X,\; \backslash \; Sigma)\}$и measure $\mu \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mu\}$на этом пространстве, набор $A\; \subset \; X\; \{\backslash \; displaystyle\; A\; \backslash \; subset\; X\}$в $\Sigma \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Sigma\}$называется атомом, если

$\mu \; (\; A)>0\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mu\; (A)>0\}$

и для любого измеримого подмножества $B\; \subset \; A\; \{\backslash \; displaystyle\; B\; \backslash \; subset\; A\}$с

набор $B\; \{\backslash \; displaystyle\; B\}$имеет нулевую меру.

• Рассмотрим набор X = {1, 2,..., 9, 10 } и пусть сигма-алгебра $\Sigma \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Sigma\}$быть набором степеней X. Определите меру $\mu \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mu\}$набора быть его мощностью, то есть количеством элементов в наборе. Тогда каждый из синглтонов {i} для i = 1,2,..., 9, 10 является атомом.
• Рассмотрим меру Лебега на вещественной строке. Эта мера не имеет атомов.

Мера называется атомарной или чисто атомарной, если каждый измеримый набор положительной меры содержит атом. A (ограниченная, положительная) мера $\mu \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mu\}$на измеримом пространстве $(X,\; \Sigma )\; \{\backslash \; displaystyle\; (X,\; \backslash \; Sigma)\; \}$является атомарным тогда и только тогда, когда это взвешенная сумма счетного числа мер Дирака, то есть существует последовательность $x\; 1,\; x\; 2,...\; \{\backslash \; displaystyle\; x\_\; \{1\},\; x\_\; \{2\},...\}$точек в $X\; \{\backslash \; displaystyle\; X\}$и последовательность $c\; 1,\; с\; 2,...\; \{\backslash \; displaystyle\; c\_\; \{1\},\; c\_\; \{2\},...\}$положительных действительных чисел (весов), таких что $\mu \; =\; \sum \; k\; =\; 1\; \infty \; ck\; \delta \; xk\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mu\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{k\; =\; 1\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; c\_\; \{k\}\; \backslash \; delta\; \_\; \{x\_\; \{k\}\}\}$, что означает, что

$\mu \; (A)\; =\; \sum \; k\; =\; 1\; \infty \; ck\; \delta \; xk\; (A)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mu\; (A)\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{k\; =\; 1\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; c\_\; \{k\}\; \backslash \; delta\; \_\; \{x\_\; \{k\}\}\; (A)\}$

для каждого $A\; \in \; \Sigma \; \{\backslash \; displaystyle\; A\; \backslash \; in\; \backslash \; Sigma\}$.

Мера, не имеющая атомов, называется неатомной или диффузной . Другими словами, мера $\mu \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mu\}$не является атомарной, если для любого измеримого набора $A\; \{\backslash \; displaystyle\; A\}$с $\mu \; (A)>0\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mu\; (A)>0\}$существует измеримое подмножество B из A такое, что

$\mu \; (A)>\mu \; (B)>0.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mu\; (A)>\backslash \; mu\; (B)>0.\; \backslash ,\}$

Неатомарная мера с хотя бы одним положительным значением имеет бесконечное количество различных значений, начиная с набора A с $\mu \; (A)>0\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mu\; (A)>0\}$можно построить убывающую последовательность измеримых se ts

$A\; =\; A\; 1\; \supset \; A\; 2\; \supset \; A\; 3\; \supset \; \cdots \; \{\backslash \; displaystyle\; A\; =\; A\_\; \{1\}\; \backslash \; supset\; A\_\; \{2\}\; \backslash \; supset\; A\_\; \{3\}\; \backslash \; supset\; \backslash \; cdots\}$

такой, что

$\mu \; (A)\; =\; \mu \; (A\; 1)>\mu \; (A\; 2)>\mu \; (A\; 3)>\cdots >0.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mu\; (A)\; =\; \backslash \; mu\; (A\_\; \{1\})>\backslash \; mu\; (A\_\; \{2\})>\backslash \; mu\; (A\_\; \{3\})>\backslash \; cdots>0.\}$

Это может быть неверно для мер, содержащих атомы; см. первый пример выше.

Оказывается, что неатомарные меры действительно имеют континуум значений. Можно доказать, что если μ - неатомарная мера, а A - измеримое множество с $\mu \; (A)>0,\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mu\; (A)>0,\}$затем для любого действительного числа b, удовлетворяющего

$\mu \; (A)\; \ge \; b\; \ge \; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mu\; (A)\; \backslash \; geq\; b\; \backslash \; geq\; 0\; \backslash ,\}$

, существует измеримое подмножество B в A такое, что

$\mu \; (B)\; =\; b.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mu\; (B)\; =\; b.\; \backslash ,\}$

Эта теорема принадлежит Вацлаву Серпиньскому. Это напоминает теорему о промежуточном значении для непрерывных функций.

Схема доказательства теоремы Серпинского о неатомарных мерах. Несколько более сильное утверждение, которое, однако, упрощает доказательство, состоит в том, что если $(X,\; \Sigma ,\; \mu )\; \{\backslash \; displaystyle\; (X,\; \backslash \; Sigma,\; \backslash \; mu)\}$неатомарная мера пробел и $\mu \; (X)\; =\; c\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mu\; (X)\; =\; c\}$, существует функция $S:\; [0,\; c]\; \to \; \Sigma \; \{\backslash \; displaystyle\; S:\; [0,\; c]\; \backslash \; to\; \backslash \; Sigma\}$, который является монотонным по отношению к включению и обратным вправо к $\mu :\; \Sigma \; \to \; [0,\; c]\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mu:\; \backslash \; Sigma\; \backslash \; к\; [0,\; \backslash ,\; c]\}$. То есть существует однопараметрическое семейство измеримых множеств S (t) такое, что для всех $0\; \le \; t\; \le \; t\; \prime \; \le \; c\; \{\backslash \; displaystyle\; 0\; \backslash \; leq\; t\; \backslash \; leq\; t\; \text{'}\backslash \; leq\; c\}$

$S\; (т)\; \subset \; S\; (т\; \text{'}),\; \{\backslash \; Displaystyle\; S\; (т)\; \backslash \; подмножество\; S\; (т\text{'}),\}$

$\mu \; (S\; (т))\; =\; т.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mu\; \backslash \; left\; (S\; (t)\; \backslash \; right)\; =\; t.\}$

Доказательство легко следует из леммы Цорна, примененной к набору всех монотонных частичных сечений до $\mu \; \{\; \backslash \; Displaystyle\; \backslash \; mu\}$:

$\Gamma :\; =\; \{S:\; D\; \to \; \Sigma :\; D\; \subset \; [0,\; c],\; S\; монотонный,\; \forall \; t\; \in \; D\; (\mu \; (S\; (t))\; =\; t)\},\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Гамма:\; =\; \backslash \; \{S:\; D\; \backslash \; to\; \backslash \; Sigma\; \backslash ;:\; \backslash ;\; D\; \backslash \; subset\; [0,\; \backslash ,\; c],\; \backslash ,\; S\; \backslash ;\; \backslash \; mathrm\; \{monotone\},\; \backslash \; forall\; t\; \backslash \; in\; D\; \backslash ;\; (\backslash \; mu\; \backslash \; left\; (S\; (t)\; \backslash \; right)\; =\; t)\; \backslash \},\}$

упорядочено включением графов, $graph\; (S)\; \subset \; graph\; (S\; \prime ).\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathrm\; \{graph\}\; (S)\; \backslash \; subset\; \backslash \; mathrm\; \{graph\}\; (S\; \text{'}).\}$Тогда стандартно показать, что каждая цепочка в $\Gamma \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Gamma\}$имеет верхнюю границу в $\Gamma \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Gamma\}$, и что любой максимальный элемент $\Gamma \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Gamma\}$имеет домен $[0,\; c],\; \{\backslash \; displaystyle\; [0,\; c],\}$, подтверждающий утверждение.

• Атом (теория порядка) - аналогичное понятие в теории порядка
• дельта-функция Дирака
• Элементарное событие, также известное как атомарное событие

1. ^Серпинский, В. (1922). "Дополнения к функциям ансамбля и продолжение" (PDF). Fundamenta Mathematicae (на французском языке). 3 : 240–246.
2. ^Фрышковский, Анджей (2005). Теория неподвижной точки для разложимых множеств (топологическая теория неподвижной точки и ее приложения). Нью-Йорк: Спрингер. п. 39. ISBN 1-4020-2498-3.

• Bruckner, Andrew M.; Брукнер, Джудит Б.; Томсон, Брайан С. (1997). Реальный анализ. Река Аппер Сэдл, Нью-Джерси: Прентис-Холл. п. 108. ISBN 0-13-458886-X.
• Бутнариу, Дэн; Клемент, Э. П. (1993). Треугольные меры, основанные на норме, и игры с нечеткими коалициями. Дордрехт: Kluwer Academic. п. 87. ISBN 0-7923-2369-6.

• Atom в Энциклопедии математики