Войти
В математическое поле теории порядка, элемент a частично упорядоченного множества с наименьшим элементом 0является атомом if 0< a and there is no x such that 0< x < a.
Эквивалентно, можно определить атом как элемент, который является минимальным среди ненулевых элементов, или, альтернативно, элементом, который покрывает наименьший элемент 0.
 Рис. 2 : решетка делителей 4, с порядком "равно делитель из", является атомарным, причем 2 является единственным атомом. Это не атомистическое, так как 4 не может быть получено как наименее распространенный кратное атомов. |
 Рис. 1 : набор мощности набора {x, y, z} с порядком «is subset of» является атомистическим частично упорядоченным набором: каждый набор элементов может быть полученный как union всех одноэлементных наборов ниже него. |
Пусть <: denote the cover relation in a partially ordered set.
Частично упорядоченный набор с наименьшим элементом 0 равен atomic, если каждый элемент b>0 имеет атом a под ним, то есть существует такой a, что b ≥ a:>0. Каждый конечный частично упорядоченный набор с 0 является атомарным, но набор неотрицательных действительных чисел (упорядоченных обычным способом) не является атомарным (и фактически не имеет атомов).
Частично упорядоченный набор относительно атомарен (или сильно атомарен), если для всего a < b there is an element c such that a <: c ≤ b or, equivalently, if every interval [a, b] is atomic. Every relatively atomic partially ordered set with a least element is atomic. Every finite poset is relatively atomic.
частично упорядоченный набор с наименьшим элементом 0 называется атомистический, если каждый элемент является наименьшей верхней границей набора атомов. Линейный порядок с тремя элементами не является атомистическим (см. Рис. 2).
Атомы в частично упорядоченных наборах являются абстрактными обобщениями синглтонов в теории множеств (см. Рис. 1). Атомарность (свойство быть атомарным) обеспечивает абстрактное обобщение в контексте теории порядка способности выбирать элемент из непустого набора.
Термины коатом, коатомик и коатомизм имеют двойное определение. Таким образом, в частично упорядоченном множестве с наибольшим элементом 1говорится, что
