Споры по поводу теории Кантора

редактировать

В математической логике теория бесконечных множеств была впервые разработана Георгом Кантором. Хотя эта работа стала полностью стандартным элементом классической теории множеств, математики и философы критиковали ее в нескольких областях.

Теорема Кантора подразумевает, что существуют множества, мощность которых превышает бесконечную мощность множества натуральных чисел. Аргумент Кантора в пользу этой теоремы представлен с одним небольшим изменением. Этот аргумент можно улучшить, используя определение, которое он дал позже. Результирующий аргумент использует только пять аксиом теории множеств.

Вначале теория множеств Кантора вызывала споры, но позже получила широкое признание. В частности, были возражения против использования бесконечных множеств.

СОДЕРЖАНИЕ

  • 1 аргумент Кантора
  • 2 Прием аргумента
  • 3 Возражение против аксиомы бесконечности
  • 4 См. Также
  • 5 Примечания
  • 6 Ссылки
  • 7 Внешние ссылки

Аргумент Кантора

Первое доказательство Кантора того, что бесконечные множества могут иметь разную мощность, было опубликовано в 1874 году. Это доказательство демонстрирует, что множество натуральных чисел и множество действительных чисел имеют разную мощность. Он использует теорему о том, что ограниченная возрастающая последовательность действительных чисел имеет предел, который можно доказать, используя конструкцию иррациональных чисел Кантора или Ричарда Дедекинда. Поскольку Леопольд Кронекер не принимал эти конструкции, Кантор был заинтересован в разработке нового доказательства.

В 1891 году он опубликовал «гораздо более простое доказательство... которое не зависит от рассмотрения иррациональных чисел». Его новое доказательство использует его диагональный аргумент, чтобы доказать, что существует бесконечное множество с большим числом элементов (или большей мощностью), чем множество натуральных чисел N  = {1, 2, 3,...}. Этот больший набор состоит из элементов ( x 1,  x 2,  x 3,...), где каждый x n равен либо m, либо w. Каждый из этих элементов соответствует подмножество из N -namely, элемент ( х 1,  х 2,  х 3,...) соответствует { п  ∈  N:   х п  =  ш }. Так Кантор означает, что множество всех подмножеств N имеет большую мощность, чем N. Множество всех подмножеств N обозначим через P ( N), то мощность набора из N.

Кантор обобщил свои рассуждения на произвольное множество A и множество, состоящее из всех функций от A до {0, 1}. Каждая из этих функций соответствует подгруппе А, поэтому его обобщенный аргумент подразумевает теорему: Множество мощности P () имеет большую мощность, чем A. Это известно как теорема Кантора.

Приведенный ниже аргумент является современной версией аргумента Кантора, в котором используются наборы степеней (его исходный аргумент см. В диагональном аргументе Кантора ). Представляя современные аргументы, можно увидеть, какие допущения аксиоматической теории множеств используются. Первая часть аргумента доказывает, что N и P ( N) имеют разные мощности:

  • Существует хотя бы одно бесконечное множество. Это предположение (формально не определенное Кантором) фиксируется в формальной теории множеств аксиомой бесконечности. Эта аксиома означает, что N, множество всех натуральных чисел, существует.
  • P ( N), множество всех подмножеств N, существует. В формальной теории множеств это подразумевается аксиомой степенных множеств, которая гласит, что для каждого множества существует множество всех его подмножеств.
  • Концепция «иметь одинаковое число» или «иметь одинаковую мощность» может быть уловлена ​​идеей взаимно однозначного соответствия. Это (чисто дефинициональное) допущение иногда называют принципом Юма. Как сказал Фреге : «Если официант хочет быть уверенным в том, что он положит на стол ровно столько ножей, сколько тарелок, ему не нужно считать ни один из них; все, что ему нужно сделать, это сразу же положить справа от каждой тарелки одну нож, следя за тем, чтобы каждый нож на столе лежал непосредственно справа от тарелки. Таким образом, тарелки и ножи соотносятся один к одному ". Множества в такой корреляции называются равнодоступными, а корреляция - взаимно-однозначным соответствием.
  • Набор нельзя поставить во взаимно однозначное соответствие с его набором мощности. Это означает, что N и P ( N) имеют разные мощности. Это зависит от очень немногих предположений теории множеств и, как выразился Джон П. Мэйберри, является «простым и красивым аргументом», который «чреват последствиями». Вот аргумент:
    Позвольте быть набором и быть его набором мощности. Будет доказана следующая теорема: если - функция от до, то она не на. Из этой теоремы следует, что между и нет взаимно однозначного соответствия, поскольку такое соответствие должно быть на. Доказательство теоремы: определите диагональное подмножество, поскольку доказательство этого для всех будет означать, что это не на. Пусть Тогда откуда следует Таким образом, если то и если то С один из этих множеств содержит и другой не происходит, поэтому не в изображении из, так не на. А {\ displaystyle A} п ( А ) {\ Displaystyle P (A)} ж {\ displaystyle f} А {\ displaystyle A} п ( А ) , {\ Displaystyle P (A),} А {\ displaystyle A} п ( А ) {\ Displaystyle P (A)} D знак равно { Икс А : Икс ж ( Икс ) } . {\ displaystyle D = \ {x \ in A: x \ notin f (x) \}.} D п ( А ) , {\ Displaystyle D \ in P (A),} Икс А , D ж ( Икс ) {\ Displaystyle х \ в A, \, D \ neq f (x)} ж {\ displaystyle f} Икс А . {\ displaystyle x \ in A.} Икс D Икс ж ( Икс ) , {\ Displaystyle х \ в D \ Leftrightarrow х \ notin f (x),} Икс D Икс ж ( Икс ) . {\ displaystyle x \ notin D \ Leftrightarrow x \ in f (x).} Икс D , {\ Displaystyle х \ в D,} Икс ж ( Икс ) ; {\ Displaystyle х \ notin е (х);} Икс D , {\ Displaystyle х \ notin D,} Икс ж ( Икс ) . {\ displaystyle x \ in f (x).} Икс {\ displaystyle x} D ж ( Икс ) . {\ displaystyle D \ neq f (x).} D {\ displaystyle D} ж {\ displaystyle f} ж {\ displaystyle f}

Далее Кантор показывает, что это равное число с подмножеством. Из этого и того факта, что и имеют разные мощности, он делает вывод, что имеет большую мощность, чем. В этом заключении используется определение 1878 года: если A и B имеют разные мощности, то либо B равнозначно подмножеству A (в этом случае B имеет меньшую мощность, чем A), либо A равнозначно подмножеству B (в этом случае, B имеет большую мощность, чем A). Это определение из листьев случае, когда и B является equinumerous с подмножеством другого набора, то есть является equinumerous с подмножеством B и B является equinumerous с подмножеством A. Поскольку Кантор неявно предполагал, что мощности линейно упорядочены, этот случай невозможен. Используя свое определение 1878 года, Кантор заявил, что в статье 1883 года он доказал, что мощности элементов хорошо упорядочены, что означает, что они линейно упорядочены. В этом доказательстве использовался его упорядоченный принцип «каждый набор может быть хорошо упорядочен», который он назвал «законом мысли». Принцип хорошего порядка эквивалентен аксиоме выбора. А {\ displaystyle A} п ( А ) {\ Displaystyle P (A)} п ( А ) {\ Displaystyle P (A)} А {\ displaystyle A} п ( А ) {\ Displaystyle P (A)} А {\ displaystyle A}

Примерно в 1895 году Кантор начал рассматривать принцип хорошего порядка как теорему и попытался его доказать. В 1895 году Кантор также дал новое определение «большего, чем», которое правильно определяет это понятие без помощи своего принципа упорядочивания. Используя новое определение Кантора, современный аргумент о том, что P ( N) имеет большую мощность, чем N, может быть завершен с использованием более слабых предположений, чем его исходный аргумент:

  • Понятие « имеющие большую мощность» может быть захвачено 1895 г. определению канторовского: В имеют большую мощность, чем A, если (1) является equinumerous с подмножеством B, и (2) B не equinumerous с подмножеством A. Пункт (1) говорит, что B по крайней мере такой же большой, как A, что согласуется с нашим определением «иметь такую ​​же мощность». Пункт (2) подразумевает, что случай, когда A и B равны подмножеству другого набора, неверен. Так как условие (2) говорит, что не по крайней мере, как большой, как B, два положения вместе сказать, что Б больше (имеет большую мощность), чем А.
  • Силовой агрегат имеет большую мощность, чем из которого следует, что Р ( Н) имеет большую мощность, чем N. Вот доказательство: п ( А ) {\ Displaystyle P (A)} А , {\ displaystyle A,}
    1. Определите подмножество Определите, которое отображается на Так как подразумевает взаимно однозначное соответствие от в Следовательно, равнозначно подмножеству п 1 знак равно { у п ( А ) : Икс А ( у знак равно { Икс } ) } . {\ Displaystyle P_ {1} = \ {\, y \ in P (A): \ существует x \ in A \, (y = \ {x \}) \, \}.} ж ( Икс ) знак равно { Икс } , {\ Displaystyle е (х) = \ {х \},} А {\ displaystyle A} п 1 . {\ displaystyle P_ {1}.} ж ( Икс 1 ) знак равно ж ( Икс 2 ) {\ Displaystyle f (x_ {1}) = f (x_ {2})} Икс 1 знак равно Икс 2 , ж {\ Displaystyle x_ {1} = x_ {2}, \, f} А {\ displaystyle A} п 1 . {\ displaystyle P_ {1}.} А {\ displaystyle A} п ( А ) . {\ Displaystyle P (A).}
    2. Используя доказательство от противного, предположим, что подмножество равно множеству. Тогда существует взаимно однозначное соответствие from to Define from to if then if then Since отображается на отображение на противоречие с теоремой выше о том, что функция от до не включена. Следовательно, не равнозначен подмножеству А 1 , {\ displaystyle A_ {1},} А , {\ displaystyle A,} п ( А ) . {\ Displaystyle P (A).} грамм {\ displaystyle g} А 1 {\ displaystyle A_ {1}} п ( А ) . {\ Displaystyle P (A).} час {\ displaystyle h} А {\ displaystyle A} п ( А ) : {\ Displaystyle Р (А) {\ текст {:}}} Икс А 1 , {\ displaystyle x \ in A_ {1},} час ( Икс ) знак равно грамм ( Икс ) ; {\ Displaystyle ч (х) = г (х);} Икс А А 1 , {\ displaystyle x \ in A \ setminus A_ {1},} час ( Икс ) знак равно { } . {\ Displaystyle ч (х) = \ {\, \}.} грамм {\ displaystyle g} А 1 {\ displaystyle A_ {1}} п ( А ) , час {\ Displaystyle P (A), \, h} А {\ displaystyle A} п ( А ) , {\ Displaystyle P (A),} А {\ displaystyle A} п ( А ) {\ Displaystyle P (A)} п ( А ) {\ Displaystyle P (A)} А . {\ displaystyle A.}

Помимо аксиом бесконечности и мощности, в современной аргументации использовались аксиомы разделения, протяженности и спаривания. Например, аксиома разделения использовалась для определения диагонального подмножества, аксиома экстенсиональности использовалась для доказательства, а аксиома спаривания использовалась в определении подмножества D , {\ displaystyle D,} D ж ( Икс ) , {\ Displaystyle D \ neq е (х),} п 1 . {\ displaystyle P_ {1}.}

Прием аргумента

Первоначально теория Кантора вызывала разногласия среди математиков и (позже) философов. Как утверждал Леопольд Кронекер : «Я не знаю, что преобладает в теории Кантора - философия или теология, но я уверен, что там нет математики». Многие математики соглашались с Кронекером в том, что завершенная бесконечность может быть частью философии или теологии, но ей нет места в математике. Логик Уилфрид Ходжес  ( 1998) прокомментировал энергию, потраченную на опровержение этого «маленького безобидного аргумента» (то есть диагонального аргумента Кантора ), спрашивая: «Что он сделал с кем-нибудь, чтобы рассердить его?» Математик Соломон Феферман назвал теории Кантора «просто не имеющими отношения к повседневной математике».

До Кантора понятие бесконечности часто воспринималось как полезная абстракция, которая помогала математикам рассуждать о конечном мире; например, использование бесконечных предельных случаев в исчислении. Считалось, что бесконечное имеет в лучшем случае потенциальное существование, а не реальное существование. «Актуальной бесконечности не существует. То, что мы называем бесконечностью, - это только бесконечная возможность создания новых объектов независимо от того, сколько их уже существует». Взгляды Карла Фридриха Гаусса на этот предмет можно перефразировать следующим образом: «Бесконечность - это не что иное, как фигура речи, которая помогает нам говорить о пределах. Понятие завершенной бесконечности не принадлежит математике». Другими словами, единственный доступ к бесконечному, который у нас есть, - это понятие пределов, и, следовательно, мы не должны рассматривать бесконечные множества, как если бы их существование в точности сравнимо с существованием конечных множеств.

Идеи Кантора в конечном итоге были широко приняты и решительно поддержаны, среди прочего, Дэвидом Гильбертом. Гильберт предсказал: «Никто не изгонит нас из рая, созданного для нас Кантором». На что Витгенштейн ответил: «Если один человек видит в этом рай для математиков, почему другой не должен рассматривать это как шутку?» Отказ от бесконечных идей Кантора повлиял на развитие таких математических школ, как конструктивизм и интуиционизм.

Витгенштейн не возражал против математического формализма в целом, но придерживался финитистского взгляда на то, что означает доказательство Кантора. Философ утверждал, что вера в бесконечность возникает из-за смешения интенсиональной природы математических законов с экстенсиональной природой множеств, последовательностей, символов и т. Д. По его мнению, серия символов конечна: по словам Витгенштейна: «... Кривая не является состоящий из точек, это закон, согласно которому точки подчиняются, или, опять же, закон, согласно которому точки могут быть построены ".

Он также охарактеризовал диагональный аргумент как «фокус-покус» и не доказал, для чего он предназначен.

Возражение против аксиомы бесконечности

Дополнительная информация: Finitism

Распространенное возражение против теории бесконечного числа Кантора связано с аксиомой бесконечности (которая на самом деле является аксиомой, а не логической истиной ). Мэйберри отметил, что «... теоретико-множественные аксиомы, поддерживающие современную математику, в разной степени самоочевидны. Одна из них - действительно, самая важная из них, а именно аксиома Кантора, так называемая аксиома бесконечности - имеет почти нет никаких претензий на самоочевидность… "

Другое возражение состоит в том, что использование бесконечных множеств не может быть адекватно оправдано по аналогии с конечными множествами. Герман Вейль писал:

... классическая логика была абстрагирована от математики конечных множеств и их подмножеств... Забыв об этом ограниченном происхождении, впоследствии ошибочно приняли эту логику за нечто стоящее выше и предшествующее всей математике и, наконец, применили ее без всяких оснований к математике бесконечных множеств. Это грехопадение и первородный грех теории множеств [Кантора]... "

Трудность с финитизмом состоит в том, чтобы развить основы математики с использованием финитистских допущений, которые включают то, что каждый разумно считает математикой (например, включает реальный анализ ).

Смотрите также

Заметки

  1. ^ Dauben 1979, стр. 67-68, 165.
  2. Перейти ↑ Cantor 1891, p. 75; Английский перевод: Ewald p. 920.
  3. ^ Dauben 1979, стр. 166.
  4. ^ Dauben 1979, pp.166-167.
  5. ^ Frege 1884, пер. 1953 г., §70.
  6. ^ Мейберри 2000, стр. 136.
  7. Перейти ↑ Cantor 1878, p. 242. Cantor 1891, p. 77; Английский перевод: Ewald p. 922.
  8. Перейти ↑ Hallett 1984, p. 59.
  9. Перейти ↑ Cantor 1891, p. 77; Английский перевод: Ewald p. 922.
  10. Перейти ↑ Moore 1982, p. 42.
  11. Перейти ↑ Moore 1982, p. 330.
  12. ^ Мур 1982, стр. 51. Обсуждение доказательства Кантора находится в Абсолютной бесконечности, хорошо упорядоченной теореме и парадоксах. Часть доказательства Кантора иего критики Цермело содержится в справочной заметке.
  13. ^ a b Cantor 1895, стр. 483–484; Английский перевод: Cantor 1954, стр. 89–90.
  14. ^ Ходжес, Уилфрид (1998), «Редактор вспоминает некоторые безнадежные статьи», Бюллетень символической логики, Ассоциация символической логики, 4 (1), стр. 1–16, CiteSeerX   10.1.1.27.6154, doi : 10.2307 / 421003, JSTOR   421003
  15. ^ Wolchover, Натали. «Спор о бесконечности разделяет математиков». Scientific American. Проверено 2 октября 2014 года.
  16. ^ Зенкин, Александр (2004), «Логика актуальной бесконечности и диагонального Доказательство Г. Кантора несчетности континуума», Обзор современной логики, 9 (30), стр. 27-80
  17. ^ ( Пуанкаре, цитата из Клайна 1982)
  18. ^ Данэм, Уильям (1991). Путешествие сквозь гений: Великие теоремы математики. Пингвин. п.  254.
  19. ^ (Гильберт, 1926)
  20. ^ (RFM V. 7)
  21. ^ Мейберри 2000, стр. 10.
  22. ↑ Вейль, 1946 г.

Рекомендации

" Aus dem Paradies, das Cantor uns geschaffen, soll uns niemand vertreiben können ".
Переведено на Ван Хейенорт, Жан, На бесконечности, Издательство Гарвардского университета.
  • Клайн, Моррис (1982), Математика: потеря уверенности, Оксфорд, ISBN   0-19-503085-0
  • Mayberry, JP (2000), Основы математики в теории множеств, Энциклопедия математики и ее приложений, 82, Cambridge University Press
  • Мур, Грегори Х. (1982), Аксиома выбора Цермело: ее происхождение, развитие и влияние, Springer, ISBN   978-1-4613-9480-8
  • Пуанкаре, Анри (1908), Будущее математики (PDF), Revue generale des Sciences pures et appliquees, 23, заархивировано из оригинала (PDF) 29 июня 2003 г. (обращение к Четвертому Международному конгрессу математиков)
  • Sainsbury, RM (1979), Рассел, Лондон
  • Вейль, Герман (1946), «Математика и логика: Краткий обзор служит в качестве предисловия к обзору Философии Бертрана Рассела », American Mathematical Monthly, 53., С 2-13, DOI : 10,2307 / 2306078, JSTOR   2306078
  • Витгенштейн, Людвиг ; AJP Кенни (пер.) (1974), Философская грамматика, Оксфорд
  • Витгенштейн; Р. Харгривз (пер.); Р. Уайт (перевод) (1964), Philosophical Remarks, Oxford
  • Витгенштейн (2001), Замечания по основам математики (3-е изд.), Оксфорд

Внешние ссылки

Последняя правка сделана 2023-04-16 02:27:21
Содержание доступно по лицензии CC BY-SA 3.0 (если не указано иное).
Обратная связь: support@alphapedia.ru
Соглашение
О проекте