Континуум (теория множеств)

редактировать

В математической области теории множеств, континуум означает действительные числа или соответствующее (бесконечное) кардинальное число, обозначаемое $c {\ displaystyle {\ mathfrak {c }}}$ ${\ mathfrak {c}}$ .Георг Кантор доказал, что мощность $c {\ displaystyle {\ mathfrak {c}}}$ ${\ mathfrak {c}}$ больше наименьшей бесконечности, а именно $ℵ 0 {\ displaystyle \ aleph _ {0}}$ $\ aleph _ {0}$ . Он также доказал, что $c {\ displaystyle {\ mathfrak {c}}}$ ${\ mathfrak {c}}$ равно $2 ℵ 0 {\ displaystyle 2 ^ {\ aleph _ {0}} \!}$ ${\ displaystyle 2 ^ {\ aleph _ {0}} \!}$ , мощность множества из натуральных чисел.

Мощность континуума равна размеру набор действительных чисел. Гипотеза континуума иногда выражается, говоря, что никакая мощность не лежит между мощностью континуума и натуральными числами, $ℵ 0 {\ displaystyle \ aleph _ {0}}$ $\ aleph _ {0}$ или, альтернативно, $c = ℵ 1 {\ displaystyle {\ mathfrak {c}} = \ aleph _ {1}}$ $\ mathfrak {c} = \ aleph_1$ .

Содержание

1 Линейный континуум
2 См. Также
3 Ссылки
4 Библиография

Линейный континуум

Согласно Раймонду Уайлдеру (1965), есть четыре аксиомы, которые делают множество C и отношение <в линейный континуум :

C просто упорядочено относительно <.
. Если [A, B] является разрезом C, то либо A имеет последний элемент или B имеет первый элемент. (сравните разрез Дедекинда )
Существует непустое счетное подмножество S в C такое, что если x, y ∈ C такие, что x < y, then there exists z ∈ S such that x < z < y. (аксиома отделимости )
C имеет нет ни первого, ни последнего элемента. (Аксиома неограниченности )

Эти аксиомы характеризуют тип порядка строки вещественных чисел.

См. также

Ссылки

^«Исчерпывающий список символов теории множеств». Math Vault. 11.04.2020. Проверено 12.08.2020.
^ Weisstein, Eric W. "Continuum". Mathworld.wolfram.com. Получено 12 августа 2020 г.
^"Трансфинитное число | математика". Encyclopedia Britannica. Проверено 12 августа 2020 г.

Библиография

Раймонд Л. Уайлдер (1965) Основы математики, 2-е изд., Стр. 150, John Wiley Sons.