Дифракция

редактировать

Явление движения волн

A дифракционная картина красный лазерного луча, проецируемого на пластина после прохождения через небольшое круглое отверстие в другой пластине

Дифракция относится к различным к явлениям, возникающим, когда волна встречает препятствие или отверстие. Он определяет как изгиб вокруг углов препятствия или через отверстие в области геометрической тени препятствия / апертуры. Дифрагирующий объект или апертура фактического вторичного источника распространяющейся волны . Итальянский ученый Франческо Мария Гримальди придумал слово дифракция и был первым, кто записал точные наблюдения этого явления в 1660 году.

Бесконечно много точек (показаны три) на длине d, вклады в фазу проекта из волновой фронт, создающий непрерывнояющуюся интенсивность θ на регистрирующей пластине.

В классической физике явление дифракции определяется принципом описываемого Гюйгенса-Френеля, который обрабатывает каждую точку в распространяющемся волновом фронте в виде набора отдельных сферических вейвлетов. Характерная картина изгиба наиболее выражена, когда волна от когерентного источника (такого как лазер) встречает щель / апертуру, размер которой сопоставим с ее длиной волны, как показано на вставленное изображение. Это происходит из-за добавления или интерференции разных точек на волновом фронте (или, что то же самое, каждого вейвлета), которые проходят путями разной длины к регистрирующей поверхности. Однако если имеется несколько отверстий близко расположенных отверстий, может получиться сложный узор различных значений.

Эти эффекты также возникают, когда световая волна проходит через среду с переменным показателем преломления, или когда звуковая волна проходит через среду с переменным акустический импеданс - все волны дифрагируют, включая гравитационные волны, волны воды и другие электромагнитные волны, такие как рентгеновские лучи и радиоволны. Кроме того, квантовая механика также демонстрирует, что материя обладает волнообразными свойствами и, следовательно, претерпевает дифракцию (которую можно измерить от субатомных до молекулярных уровней).

Дифракция и интерференция связаны и почти - если не совсем идентичны по смыслу. Ричард Фейнман отмечает, что термин «дифракция» имеет тенденцию, когда речь идет о многих источниках волн, и «интерференция», когда рассматривает только некоторые.

Содержание

1 История
2 Механизм
3 Примеры
- 3.1 Дифракция на одной щели
- 3.2 Дифракционная решетка
- 3.3 Круглая апертура
- 3.4 Общая апертура
- 3.5 Распространение лазерного луча
- 3.6 Получение изображения с ограничением дифракции
- 3.7 Спекл-структуры
- 3.8 Принцип Бабине
4 Паттерны
5 Дифракция частиц
6 Брэгговская дифракция
7 Когерентность
8 См. Также
9 Ссылки
10 Внешние ссылки

История

Набросок двухщелевой дифракции для водных волн, сделанный Томасом Янгом, который он представил Королевскому обществу в 1803 году.

Эффекты дифракции света были впервые обнаружены и стимулы Франческо Мария Гримальди, также ввел термин дифракция, от латинского различного, «разбивать на части», имея в виду свет, распадающийся в разных сторонах. Результаты наблюдений Гримальди были опубликованы посмертно в 1665 году. Исаак Ньютон изучил эти эффекты и приписал их перегибу световых лучей. Джеймс Грегори (1638–1675) наблюдал дифракционные картины, вызванные птичьим пером, что фактически стало первой обнаруженной дифракционной решеткой. Томас Янг провел знаменитый эксперимент в 1803 году, демонстрируя интерференцию из двух близко расположенных щелей. Объясняя свои результаты интерференцией волн, исходящих из двух разных щелей, он пришел к выводу, что свет должен распространяться как волны. Огюстен-Жан Френель провел более подробные исследования и расчеты дифракции, обнародованные в 1816 и 1818 годах, и тем самым оказал большую поддержку волновой теории света, выдвинутой Христианом Гюйгенсом и усилен Янгом против теории частиц Ньютона.

Механизм

Фотография дифракции на одной щели в круговом резервуаре пульсации

В классической физике дифракция возникает из-за метода распространения волн; это описывается принципом Гюйгенса - Френеля и принципом суперпозиции волн. Распространение волны можно визуализировать, рассматривая каждую часть передаваемой среды на фронте волны как точечный источник вторичной волны сферической волны. Волновое смещение в любой точке является суммой этих вторичных волн. Когда волны складываются, их сумма определяется относительными фазами, а также амплитудами отдельных волн, так что суммарная амплитуда волн может иметь любое значение от нуля до суммы отдельных амплитуд. Следовательно, дифракционные картины обычно имеют серию максимумов и минимумов.

В современном понимании квантовой механики распространения света через щель (или щели) каждый фотон имеет так называемую волновую функцию, которая представляет его путь от излучателя через щель к экрану.. Волновая функция - путь, по которому движется фотон, - определяется физическим окружением, такой как геометрия щели, расстояние до экрана и начальные условия при создании фотона. В важных экспериментах (эксперимент с двойной щелью низкой интенсивности был впервые проведен Г. И. Тейлором в 1909 г., см. эксперимент с двумя щелями ) было проведено волновой функции фотона. В квантовом подходе дифракционная картина создается распределением путей, наблюдением светлых и темных полос - это наличие или отсутствие фотонов в этих областях (без интерференции!). Квантовый подход имеет поразительное сходство с принципом Гюйгенса-Френеля ; в соответствии с этим принципом света становится серией индивидуально распределенных источников света через щель, что аналогично ограниченному количеству путей (или волновых функций), доступных для фотонов, проходящих через щель.

Существуют различные аналитические модели, которые позволяют рассчитать дифрагированное поле, включая уравнение дифракции Кирхгофа-Френеля, которое выводится из волнового уравнения, Дифракция Фраунгофера приближение уравнения Кирхгофа, которое применяется к дальнему полю, и приближение дифракции Френеля, которое применяется к ближнему полю. Большинство конфигураций могут быть решены аналитически, но могут быть численные решения с помощью методов конечных элементов и граничных элементов.

Можно получить качественное понимание многих явлений дифракции, рассматривая, как меняются относительные фазы отдельных вторичных источников волн, и, в частности, условия, в которых эта фаза половина цикла цикла, и в случае волны нейтрализуют друг друга.

Простейшие описания дифракции - это такие, при которых ситуация может быть сведена к двумерной задаче. Для волн на воде это уже так; водяные волны распространяются только по поверхности воды. Что касается пренебречь одним направлением, если дифрагирующий объект простирается в этом направлении на расстоянии, намного превышающее длину волны. В случае света, проходящего через маленькие круглые отверстия.

Сгенерированная компьютер картина интенсивности, сформированная на экране дифракцией от квадратной апертуры.
Создание интерференционной картины по дифракции на двух щелях.
Расчетная модель интерференционной картины от двухщелевой дифракции.
Оптическая дифракционная картина (лазер) (аналог рентгеновской кристаллографии)
Цвета, видимые в паутине, частично обусловлены дифракцией, согласно некоторым исследованиям.

Примеры

Круговые волны, генерируемые дифракцией от узкого входа в затопленный прибрежный карьер

A солнечная слава на паре от горячих источников. Слава - это оптическое явление, создаваемое светом , рассеянным светом назад (комбинация дифракции, отражения и преломления ) в направлении своего источника облаком из водяных капель одинакового размера.

Эффекты дифракции часто наблюдаются в повседневной жизни. Наиболее яркими примерами дифракции являются световые; например, близко расположенные дорожки на CD или DVD как дифракционная решетка , образуя знакомый радужный узор, который можно увидеть при просмотре диска. Этот принцип может быть расширен для создания решетки со структурой, которая будет создавать любую желаемую дифракционную картину; голограмма на кредитной карте является примером. Дифракция в атмосфере на мелких частицах может привести к тому, что вокруг яркого источника света, такого как солнце или луна, будет видно яркое кольцо. Тень твердого объекта, использующая свет от компактного источника, показывает небольшие полосы по краям. Спекл-узор , наблюдается, когда лазерный свет падает на оптически шероховатую поверхность, также является явлением дифракции. Когда мясной деликатес кажется переливающимся, это дифракция от волокна мяса. Все эти эффекты являются следствием того факта, что свет распространяется как волна .

Дифракция может происходить с любым видом волны. Океанские волны рассеиваются вокруг причалов и других препятствий. Звуковые волны могут рассеиваться вокруг объектов, поэтому можно услышать чей-то зов, даже если спрятаться за деревом. Дифракция также может быть проблемой в некоторых технических приложениях; он устанавливает фундаментальный предел камеры, телескопа или микроскопа.

Другие примеры дифракции рассматриваются ниже.

Дифракция на одной щели

Численная аппроксимация картины дифракции от щели шириной длины волны падающей плоской волной. Главный центральный луч, нули и инверсии фазы видны.

График и изображение дифракции на одной щели.

Длинная щель бесконечно малой ширины, освещенная светом, рассеивает свет на серию круговых волн и волновой фронт, который выходит из щели, представляет собой цилиндрическую волну однородной мощности в соответствии с принципом Гюйгенса - Френеля.

Щель, ширина которой расширяет длину волны, создайте интерференционные эффекты в пространстве ниже по потоку от щели. Это можно объяснить, что прорезь ведет себя так, как если бы в ней было большое количество точечных источников, равномерно распределенных по ширине прорези. Анализ этой системы упростится, если мы рассмотрим свет одной длины волны. Если падающий свет когерентный, все эти источники имеют одинаковую фазу. Свет, падающий в заданную точку пространства ниже щели, складывается из вкладов каждого из этих точечных источников, и если относительные фазы этих вкладов изменяются на 2π или более, мы можем ожидать минимумы и максимумы в дифрагированном свете.. Такие разности фаз вызваны различиями в длинах пути, по которым вносятся вкладки, достигают точки из щели.

Мы можем найти угол, при котором достигается первый минимум в дифрагированном свете, следуя следующим соображениям. Свет от источника части расположенного на верхнем щели, разрушительно интерферирует с помощью расположенного в середине щели, когда разность хода между ними равна λ / 2. Точно так же источник, расположенный чуть ниже верхней щели, будет деструктивно мешать источнику, расположенному чуть ниже середины щели под тем же углом. Мы можем продолжить это рассуждение по всей высоте щели, чтобы заключить это условие деструктивной интерференции для всей щели, как условие деструктивной интерференции между двумя узкими щелями, расположенными на расстоянии, равном ширины ширины щели. Разница в пути составляет примерно $d sin ⁡ (θ) 2 {\ displaystyle {\ frac {d \ sin (\ theta)} {2}}}$ ${\ frac {d \ sin (\ theta)} {2}}$ , так что минимальная интенсивность возникает под углом θ min, задаваемое

d sin ⁡ θ min = λ {\ displaystyle d \, \ sin \ theta _ {\ text {min}} = \ lambda}

d \, \ sin \ theta _ {\ text {min}} = \ lambda

где

d - ширина щели,
$θ min {\ displaystyle \ theta _ {\ text {min}}}$ $\ theta _ {\ text {min}}$ - угол падения, при котором возникает минимальная интенсивность, а
$λ {\ displaystyle \ lambda}$ $\ lambda$ - длина волны света

Аналогичный аргумент можно использовать, чтобы показать, что если мы представим четыре щель, разделенную на шесть, восемь частей и т. д., минимумы будут полученное при углах θ n, заданных как

d sin ⁡ θ n = n λ {\ displaystyle d \, \ sin \ theta _ {n} = n \ lambda}

d \, \ sin \ theta _ {n} = n \ lambda

где

n - целое число, отличное от нуля.

Нет такого простого аргумента, который позволил бы нам найти максимумы дифракционной картины. Профиль интенсивности можно рассчитать с помощью уравнений дифракции Фраунгофера как

I (θ) = I 0 sinc 2 ⁡ (d π λ sin ⁡ θ) {\ displaystyle I (\ theta) = I_ {0} \, \ operatorname {sinc} ^ {2} \ left ({\ frac {d \ pi} {\ lambda}} \ sin \ theta \ right)}

I (\ theta) = I_ {0} \, \ operatorname {sinc} ^ {2} \ left ({\ frac {d \ pi} { \ lambda}} \ sin \ theta \ right)

где

$I ( θ) {\ displaystyle I (\ theta)}$ $I (\ theta)$ - интенсивность под заданным углом,
$I 0 {\ displaystyle I_ {0}}$ $I_{0}$ - интенсивность при центральном максимуме ( $θ = 0 {\ displaystyle \ theta = 0}$ $\ theta = 0$ ), который также является коэффициентом стабилизации профиля, который может быть определен путем интегрирования из $θ = - π 2 {\ displaystyle \ theta = - {\ frac {\ pi} {2}}} от$ ${\ displaystyle \ theta = - {\ frac {\ pi} {2}}}$ до $θ = π 2 {\ displaystyle \ theta = {\ frac {\ pi} {2}}}$ ${\ displaystyle \ theta = { \ frac {\ pi} {2}}}$ и сохранение энергии.
$sinc ⁡ (x) = {sin ⁡ xx, x ≠ 0 1, x = 0 {\ displaystyle \ operatorname {sinc} (x) = {\ begin {case} {\ frac {\ sin x} {x }}, x \ neq 0 \\ 1, x = 0 \ end {cases}}}$ ${\ displaystyle \ operatorname {sinc} (x) = {\ begin { case} {\ frac {\ sin x} {x}}, x \ neq 0 \\ 1, x = 0 \ end {cases}}}$ - это ненормализованная функция sinc.

Этот анализ применим только к дальнее поле (дифракция Фраунгофера ), то есть на расстоянии, значительно превышающем ширину щели.

Из профиля яркости выше, если $d ≪ λ {\ displaystyle d \ ll \ lambda}$ ${\ displaystyle d \ ll \ lambda}$ , интенсивность будет мало зависеть от $θ { \ displaystyle \ theta}$ $\ theta$ , следовательно, волновой фронт, выходящий из щели, будет напоминать цилиндрическую волну с азимутальной симметрией; Если $d ≫ λ {\ displaystyle d \ gg \ lambda}$ ${\ displaystyle d \ gg \ lambda}$ , только $θ ≈ 0 {\ displaystyle \ theta \ приблизительно 0}$ $\ theta \ приблизительно 0$ будет иметь заметную интенсивность, следовательно, волновой фронт, выходящий из щели, будет напоминать фронт геометрической оптики.

, когда угол падения $θ i {\ displaystyle \ theta _ {\ text {i}}}$ ${\ displaystyle \ theta _ {\ text {i}}}$ свет на щель отличен от нуля (что вызывает изменение длины ), профиль интенсивности в режиме Фраунгофера (то есть в дальнем поле) становится:

I (θ) = I 0 sinc 2 ⁡ [d π λ (⁡ θ ± грех ⁡ θ я)] {\ Displaystyle I (\ theta) = I_ {0} \, \ operatorname {sinc} ^ {2} \ left [{\ frac {d \ pi} {\ lambda} } (\ sin \ theta \ pm \ sin \ theta _ {i}) \ right]}

{\ displaystyle I (\ theta) = I_ {0} \, \ имя оператора {sinc} ^ {2} \ left [{\ frac {d \ p i} {\ lambda}} (\ sin \ theta \ pm \ sin \ theta _ {i}) \ right]}

Выбор знака плюс / минус зависит от определения угла падения $θ i {\ displaystyle \ theta _ {\ text {i }}}$ ${\ displaystyle \ theta _ {\ text {i}}}$ .

Дифракция красного лазерного света с двумя (вверху) и пятью щелями

Дифракция красного лазера с использованием дифракционной решетки.

Дифракция образец лазера 633 нм через сетку из 150 щелей

Дифракционная решетка

Дифракционная решетка - это оптический элемент с регулярным рисунком. Форма света, дифрагированного решеткой, зависит от структуры элементов и количества присутствующих элементов, но все решетки имеют максимумы при углах θ m, которые задаются уравнением решетки

d (грех ⁡ θ м ± грех ⁡ θ я) = м λ. {\ displaystyle d \ left (\ sin {\ theta _ {m}} \ pm \ sin {\ theta _ {i}} \ right) = m \ lambda.}

{\ displaystyle d \ left (\ sin {\ theta _ {m }} \ pm \ sin {\ theta _ {i}} \ right) = m \ lambda.}

где

θi- угол, под которым свет падает,
d - расстояние между элементами решетки, а
m - целое число, которое может быть положительным или отрицательным.

Свет, дифрагированная решеткой, определяется суммированием свет дифрагирует посредством каждого из элементов и по существу представляет собой свертку дифракционных и интерференционных картин.

На рисунке показан свет, дифрагированный двухэлементными и пятиэлементными решетками, где расстояние между решетками одинаковое; видно, что максимумы находятся в одном и том же положении, но детальная структура интенсивностей различна.

Компьютерное изображение диска Эйри. .

Компьютерная диаграмма дифракции света от круглой апертуры диаметром 0,5 мкм при длине волны 0,6 мкм (красный свет) на расстоянии 0,1 см - 1 см с 0,1 см. Можно видеть, как изображение движется из области Френеля в области Фраунгофера, где видна картина Эйри.

Круглая апертура

Дифракция в дальней зоне плоской волны, падающую на круглую апертуру, часто упоминается как Эйри Диск. изменение значений в зависимости от угла определяется как

I (θ) = I 0 (2 J 1 (ka sin ⁡ θ) ka sin ⁡ θ) 2 {\ displaystyle I (\ theta) = I_ {0} \ left ({\ frac {2J_ {1} (ka \ sin \ theta)} {ka \ sin \ theta}} \ right) ^ {2}}

I (\ theta) = I_ {0} \ left ({\ frac {2J_ {1} (ka \ sin \ theta)} {ka \ sin \ theta}} \ справа) ^ {2}

где a - радиус окружности апертуры, k равно 2π / λ, а J 1 - это функция Бесселя. Чем меньше апертура, тем больше размер пятна на заданном расстоянии и больше расходимость дифрагированных лучей.

Общая апертура

Волна, выходящая из точечного источника, имеет амплитуду $ψ {\ displaystyle \ psi}$ $\ psi$ в точке r, которая определяется решением уравнения частотная область волновое уравнение для точечного источника (Уравнение Гельмгольца ),

∇ 2 ψ + k 2 ψ = δ (r) {\ displaystyle \ nabla ^ {2 } \ psi + k ^ {2} \ psi = \ delta (\ mathbf {r})}

{\ displaystyle \ nabla ^ {2} \ psi + k ^ {2} \ psi = \ delta (\ mathbf {r})}

где $δ (r) {\ displaystyle \ delta (\ mathbf {r})}$ ${\ displaystyle \ delta (\ mathbf {r})}$ - трехмерная дельта-функция. Дельта-функция имеет только радиальную зависимость, поэтому оператор Лапласа (он же скалярный лапласиан) в сферической системе координат упрощается до (см. del в цилиндрических и сферических координатах )

∇ 2 ψ знак равно 1 р ∂ 2 ∂ р 2 (р ψ) {\ displaystyle \ nabla ^ {2} \ psi = {\ frac {1} {r}} {\ frac {\ partial ^ {2}} {\ частичное r ^ {2}}} (r \ psi)}

\ nabla ^ {2} \ psi = {\ frac {1} {r}} {\ frac {\ partial ^ {2}} {\ partial r ^ {2}}} (r \ psi)

Путем прямой подстановки можно легко показать, что решение этого уравнения является скалярной функцией Грина, которая в сферической система координат (и используя соглашение о времени в физике $e - i ω t {\ displaystyle e ^ {- i \ omega t}}$ $e ^ {- i \ omega t}$ ):

ψ (r) = eikr 4 π r {\ displaystyle \ psi (r) = {\ frac {e ^ {ikr}} {4 \ pi r}}}

\ psi (r) = {\ frac {e ^ {ikr}} {4 \ pi r}}

Это решение предполагает, что источник дельта-функции расположен в начале координат. Если источник расположен в произвольной исходной точке, обозначенной вектором $r ′ {\ displaystyle \ mathbf {r} '}$ ${\mathbf r}'$ , а точка поля расположена в точке $r {\ displaystyle \ mathbf {r}}$ $\ mathbf {r}$ , то мы можем представить скалярную функцию Грина (для произвольного местоположения источника) как:

ψ (r | r ′) = e i k | г - г '| 4 π | г - г '| {\ displaystyle \ psi (\ mathbf {r} | \ mathbf {r} ') = {\ frac {e ^ {ik | \ mathbf {r} - \ mathbf {r}' |}} {4 \ pi | \ mathbf {r} - \ mathbf {r} '|}}}

\psi (\mathbf {r} |\mathbf {r} ')={\frac {e^{ik|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}{4\pi |\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}

Следовательно, если электрическое поле E inc (x, y) падает на апертуру, поле, создаваемое этой апертурой распределение задается поверхностным интегралом :

Ψ (r) ∝ ∬ aperture E inc (x ′, y ′) eik | г - г '| 4 π | г - г '| dx ′ dy ′, {\ displaystyle \ Psi (r) \ propto \ iint \ limits _ {\ mathrm {aperture}} E _ {\ mathrm {inc}} (x ', y') ~ {\ frac {e ^ { ik | \ mathbf {r} - \ mathbf {r} '|}} {4 \ pi | \ mathbf {r} - \ mathbf {r}' |}} \, dx '\, dy',}

\Psi (r)\propto \iint \limits _{\mathrm {aperture} }E_{\mathrm {inc} }(x',y')~{\frac {e^{ik|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}{4\pi |\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\,dx'\,dy',

О расчете полей области Фраунгофера

, где точка источника в апертуре задается вектором

r ′ = x ′ x ^ + y ′ y ^ {\ displaystyle \ mathbf {r} '= x' \ mathbf {\ hat {x}} + y '\ mathbf {\ hat {y}}}

\mathbf {r} '=x'\mathbf {\hat {x}} +y'\mathbf {\hat {y}}

В дальней зоне,где можно использовать приближение параллельных лучей, функция Грина,

ψ (r | r ′) = Eik | г - г '| 4 π | г - г '| {\ displaystyle \ psi (\ mathbf {r} | \ mathbf {r} ') = {\ frac {e ^ {ik | \ mathbf {r} - \ mathbf {r} '|}} {4 \ pi | \ mathbf {r} - \ mathbf {r} '|}}}

\psi (\mathbf {r} |\mathbf {r} ')={\frac {e^{ik|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}{4\pi |\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}

упрощается до

ψ (r | r ′) = eikr 4 π re - ik (r ′ ⋅ r ^) {\ displaystyle \ psi (\ mathbf {r} | \ mathbf {r} ') = {\ frac {e ^ {ikr}} {4 \ pi r}} e ^ {- ik (\ mathbf {r}' \ cdot \ mathbf {\ hat {r}})}}

\psi (\mathbf {r} |\mathbf {r} ')={\frac {e^{ikr}}{4\pi r}}e^{-ik(\mathbf {r} '\cdot \mathbf {\hat {r}})}

как показано на рисунке справа (щелкните, увеличить).

Выражение для поля дальней зоны (область Фраунгофера) выглядит следующим образом:

Ψ (r) ∝ eikr 4 π r ∬ aperture E inc (x ′, y ′) e - ik (r ′ ⋅ r ^) dx ′ dy ′, {\ displaystyle \ Psi (r) \ propto {\ frac {e ^ {ikr}} {4 \ pi r}} \ iint \ limits _ {\ mathrm {aperture}} E _ {\ mathrm {inc}} (x ', y') e ^ {- ik (\ mathbf {r} '\ cdot \ mathbf {\ hat {r}})} \, dx' \, dy ',}

\Psi (r)\propto {\frac {e^{ikr}}{4\pi r}}\iint \limits _{\mathrm {aperture} }E_{\mathrm {inc} }(x',y')e^{-ik(\mathbf {r} '\cdot \mathbf {\hat {r}})}\,dx'\,dy',

Теперь, поскольку

r '= x' x ^ + y 'y ^ {\ displaystyle \ mathbf {r}' = x '\ mathbf {\ hat {x}} + y' \ mathbf {\ hat {y} }}

\mathbf {r} '=x'\mathbf {\hat {x}} +y'\mathbf {\hat {y}}

r ^ = грех ⁡ θ cos ⁡ ϕ x ^ + sin ⁡ θ sin ⁡ ϕ y ^ + cos ⁡ θ z ^ {\ displaystyle \ mathbf {\ hat {r}} = \ sin \ theta \ cos \ phi \ mathbf {\ hat {x}} + \ sin \ theta ~ \ sin \ phi ~ \ mathbf {\ hat {y}} + \ cos \ theta \ mathbf {\ hat {z}}}

{\ displaystyle \ mathbf {\ hat {r}} = \ sin \ theta \ cos \ phi \ mathbf {\ hat {x}} + \ sin \ theta ~ \ грех \ phi ~ \ mathbf {\ hat {y}} + \ cos \ theta \ mathbf {\ hat {z}}}

выражение для поля области Фраунгофера от плоской апертуры теперь принимает вид

Ψ (r) ∝ eikr 4 π r ∬ aperture E inc (x ′, y ′) e - ik sin ⁡ θ (cos ⁡ ϕ x ′ + Грех ⁡ ϕ y ′) dx ′ dy ′ {\ displaystyle \ Psi (r) \ propto {\ fr ac {e ^ {ikr}} {4 \ pi r}} \ iint \ limits _ {\ mathrm {aperture}} E _ {\ mathrm {inc}} (x ', y') e ^ {- ik \ sin \ theta (\ соз \ phi x '+ \ sin \ phi y')} \, dx '\, dy'}

\Psi (r)\propto {\frac {e^{ikr}}{4\pi r}}\iint \limits _{\mathrm {aperture} }E_{\mathrm {inc} }(x',y')e^{-ik\sin \theta (\cos \phi x'+\sin \phi y')}\,dx'\,dy'

Допустим,

kx = k sin ⁡ θ cos ⁡ ϕ {\ displaystyle k_ {x } знак равно к \ грех \ тета \ соз \ фи \, \!}

k_ {x} = k \ sin \ theta \ cos \ phi \, \!

ky = к грех ⁡ θ грех ⁡ ϕ {\ displaystyle k_ {y} = k \ sin \ theta \ sin \ phi \, \!}

k_ {y} = k \ s в \ theta \ sin \ phi \, \!

поле области Фраунгофера плоской апертуры принимает форму Фурье преобразовать

Ψ (r) ∝ eikr 4 π r ∬ апертура E inc (x ′, y ′) e - i (kxx ′ + kyy ′) Dx ′ dy ′, {\ displaystyle \ Psi (r) \ propto {\ frac {e ^ {ikr}} {4 \ pi r}} \ iint \ limits _ {\ mathrm {aperture}} E _ {\ mathrm {inc}} (x ', y') e ^ {- i (k_ {x} x '+ k_ {y} y')} \, dx '\, dy',}

\Psi (r)\propto {\frac {e^{ikr}}{4\pi r}}\iint \limits _{\mathrm {aperture} }E_{\mathrm {inc} }(x',y')e^{-i(k_{x}x'+k_{y}y')}\,dx'\,dy',

В дальней зоне / области Фраунгофера это становится пространственным преобразованием Фурье распределение апертуры. Принцип Гюйгенса, применяемый к апертуре, просто говорит, что диаграмма дифракции в дальней зоне является пространственным преобразованием Фурье формы апертуры, и это прямой побочный продукт использования приближения параллельных лучей, идентично выполнению разложения плоской волны полей волны апертуры на плоскости ( см. Фурье-оптика ).

Распространение лазерного луча

Способ изменения профиля луча лазерного луча по мере его распространения дифракцией. Когда весь излучаемый пучок имеет плоский, пространственно когерентный волновой фронт, он приближается к профилю гауссова пучка и наименьшую расходимость для данного диаметра. Чем меньше выходной луч, тем быстрее он расходится. Можно уменьшить расходимость лазерного луча, сначала расширив его с помощью одной выпуклой линзы, а затем коллимировав его с помощью второй выпуклой линзы, точка фокусировки которой совпадает с точкой фокусировки первой линзы. Полученный пучок имеет больший диаметр и, следовательно, меньшую расходимость. Расходимость лазерного луча может быть уменьшена ниже дифракции гауссова луча или даже обращена к сходимости, если показатель преломления среды увеличивается с интенсивностью света. Это может привести к эффекту самофокусировки.

Когда волновой фронт излучаемого луча имеет возмущения, длина поперечной когерентности (где возмущение волнового фронта меньше 1/4 длины волны) должна рассматриваться как диаметр гауссова луча при определении расходимости. лазерного луча. Если длина поперечной когерентности в вертикальном направлении больше, чем в горизонтальном, расходимость лазерного луча будет меньше в вертикальном направлении, чем в горизонтальном.

Получение изображений с ограничением дифракции

Диск Эйри вокруг каждой из звезд с апертуры телескопа 2,56 м можно увидеть на этом удачном изображении двойные звезды zeta Boötis.

Способность системы визуализации разрешает детали в конечном итоге ограничена дифракцией. Это связано с тем, что плоская волна, падающая на круглую линзу или зеркало, дифрагирует, как описано выше. Свет не фокусируется в точку, а образует диск Эйри с центральным пятном в фокальной плоскости с радиусом до нуля

d = 1,22 λ N, {\ displaystyle d = 1,22 \ lambda N, \,}

d = 1,22 \ lambda N, \,

, где λ - длина волны света, а N - f-число (фокусное расстояние, деленное на диаметр) оптики формирования изображения. В соответствующем угловом разрешении равно

sin ⁡ θ = 1,22 λ D, {\ displaystyle \ sin \ theta = 1,22 {\ frac {\ lambda} {D}}, \,}

\ sin \ theta = 1.22 {\ frac {\ lambda} {D}}, \,

, где D - диаметр входного зрачка формирующей линзы (например, главного зеркала телескопа).

Каждый из двух точечных источников будет давать узор Эйри - см. Фотографию двойной звезды. По мере того, как точечные источники приближаются друг к другу, узоры начинают перекрываться, и в итоге они объединяются, образуя единый узор, и в этом случае два точечных источника не могут быть разрешены на изображении. Критерий Рэлея определяет, что два точечных источника можно считать разрешим, если разделение двух изображений составляет, по крайней мере, радиус диска Эйри, т.е. если первый минимум одного из них совпадает с максимумом Другие.

Таким образом, чем больше апертура линзы и чем меньше длина волны, тем выше разрешение системы формирования изображения. Вот почему у телескопов очень большие линзы или зеркала, и почему оптические микроскопы ограничивают в деталях, которые они могут видеть.

Спекл-узор

спекл-узор, который является одним виденом при использовании лазерной указки, является еще явлением дифракции. Это результат наложения множества волн с фазами, которые возникают, когда лазерный луч освещает шероховатую поверхность. Они складываются, чтобы получить результирующую волну, амплитуда и, следовательно, интенсивность, изменяющаяся случайным образом.

Принцип Бабине

Принцип Бабине - полезная теорема, утверждающая, что дифракционная картина от непрозрачного тела идентична картине от отверстий того же размера и формы, но с разной интенсивностью. Это означает, что условия интерференции одиночного препятствия будут такими же, как и у одиночной щели.

Узоры

В верхней половине этого изображения дифракционная картина луча гелий-неонового лазера на эллиптической апертуре. Нижняя половина - это его двумерное преобразование Фурье, представоздающее форму апертуры.

Можно сделать несколько качественных наблюдений дифракции в целом:

Угловой интервал между элементами дифракционной картины обратно пропорционален размерам дифракции. объект, вызывающий дифракцию. Другими словами: чем меньше дифрагирующий объект, тем «шире» получается дифракционная картина, и наоборот. (Точнее, это верно для синусов углов.)
Углы дифракции неизменны при масштабировании; то есть они зависят только от отношения длины к размеру дифрагирующего объекта.
Когда дифрагирующий объект имеет периодическую структуру, например, в дифракционной решетке, детали обычно становятся более резкими. На третьем рисунке, например, показано сравнение шаблона с двумя прорезями с шаблоном, образованными пятью прорезями, причем оба набора прорезей имеют одинаковый интервал между центром прорези и следующей.

Дифракция частиц

Согласно квантовой теории каждая частица волновые свойства. В частности, массивные частицы могут интерферировать сами с собой и, следовательно, дифрагировать. Дифракция электронов и нейтронов была одним из веских аргументов в пользу квантовой механики. Длина волны, связанная с частицей, - это длина волны де Бройля

λ = hp {\ displaystyle \ lambda = {\ frac {h} {p}} \,}

\ lambda = {\ frac {h} {p}} \,

, где h - постоянная Планка., а p - импульс частиц (масса × скорость для медленно движущихся частиц).

Для распространения звука макроскопических объектов эта длина волны мала, значение длины волны не имеет смысла. Атом натрия, движущийся со скоростью около 30 000 м / с, будет иметь длину волны Де Бройля около 50 пикометров.

длина волны даже для самых маленьких макроскопических объектов мала, дифракция материальных волн видна только для небольших частиц, таких как электроны, нейтроны, атомы и небольшие молекулы. Короткая длина волны этих материальных волн делает их подходящими изучением атомно-кристаллической структуры для твердых и больших молекул, таких как белки.

Было также показано что относительно более крупные молекулы, такие как бакиболлы, дифрагируют.

Дифракция Брэгга

Согласно закону Брэгга каждая точка (или отражение) в дифракционной картине образует из-за конструктивной интерференции рентгеновских лучей, проходящих через кристалл. Эти могут быть использованы для определения атомной структуры структуры.

Дифракция от трехмерной периодической структуры, такой как атомы в кристалле, называется дифракцией Брэгга. Это похоже на то, что происходит, когда волны рассеиваются от дифракционной решетки . Брэгговская дифракция является следствием интерференции волн, отражающихся от разных плоскостей кристалла. Условие конструктивной интерференции задает закономерность Брэгга:

m λ = 2 d sin ⁡ θ {\ displaystyle m \ lambda = 2d \ sin \ theta \,}

m \ lambda = 2d \ sin \ theta \,

где

λ - длина волны,

d - расстояние между плоскостями кристалла,

θ - угол дифрагированной волны.

и m - целое число, известное как порядок дифрагированного луча.

Брэгговская дифракция с использованием либо электромагнитного излучения с очень короткой длиной волны, например, , либо волн, таких как нейтроны (и электроны ), длина волны порядка (или намного меньше) атомного расстояния. Полученный рисунок дает информацию о разделении кристаллографических плоскостей, позволяя вывести кристаллическую структуру. Дифракционный контраст, в частности, в электронных микроскопах и устройства для х-топографии, также является мощным инструментом для исследования отдельных дефектов и полей деформаций в кристаллах.

Когерентность

Описание дифракции основывается на интерференции волн, исходящих от одного и того же источника, идущих разными путями к одной и той же точке на экране. В этом описании разница в фазе между волнами, которые прошли разные пути, зависит только от эффективной длины пути. При этом не учитывается тот факт, что волны, приходящие на экран одновременно, излучались источником в разное время. Начальная фаза, с которой источник излучает волны, может изменяться со временем непредсказуемым образом. Это означает, что волны, испускаемые источником, когда они находятся слишком далеко друг от друга, больше не могут образовывать постоянную интерференционную картину, так как соотношение между их фазами больше не зависит от времени.

Длина, на которой фаза в луче света коррелирован, называется длиной когерентности. Для возникновения помех разница в длине пути должна быть меньше длины когерентности. Иногда это называют спектральной когерентностью, поскольку это связано с наличием в волне различных частотных компонентов. В случае света, излучаемого атомным переходом , длина когерентности связана со временем жизни возбужденного состояния, из которого атом совершил свой переход.

Если волны испускаются из протяженного источник, это может привести к несогласованности в поперечном направлении. Если смотреть на поперечное сечение луча света, длина, на которой коррелируется фаза, называется длиной поперечной когерентности. В случае эксперимента Юнга с двойной щелью это означало бы, что если длина поперечной когерентности меньше, чем расстояние между двумя щелями, результирующая картина на экране будет выглядеть как две картины дифракции с одной щелью.

В в случае частиц, таких как электроны, нейтроны и атомы, длина когерентности связана с пространственной протяженностью волновой функции, описывающей частицу.

См. также

Ссылки

Внешние ссылки

На Викискладе есть материалы, связанные с Дифракцией.

«Рассеяние и дифракция». Кристаллография. Международный союз кристаллографии.

В Викибуке Нанотехнологии есть страница по теме: Нанооптика