Акустический импеданс

Акустический импеданси удельный акустический импеданс- это меры сопротивления, которое оказывает система к акустическому потоку, возникающему в результате акустического давления, приложенного к системе. единица СИ акустического импеданса - это паскаль-секунда на кубический метр (Па · с / м) или рейл на квадратный метр (рейл / м), тогда как удельное акустическое сопротивление - паскаль-секунда на метр (Па · с / м) или рейл. В данной статье символ rayl обозначает рейл MKS. Существует близкая аналогия с электрическим импедансом, который измеряет сопротивление, которое система оказывает электрическому потоку, возникающему в результате приложения электрического напряжения к системе.

• 1 Математические определения
  • 1.1 Акустический импеданс
  • 1.2 Удельный акустический импеданс
  • 1.3 Взаимосвязь
• 2 Характеристический акустический импеданс
  • 2.1 Характерный удельный акустический импеданс
  • 2.2 Влияние температуры
  • 2.3 Характеристическое акустическое сопротивление
• 3 См. Также
• 4 Ссылки
• 5 Внешние ссылки

Акустический импеданс

Для линейного времени -инвариантная система, соотношение между акустическим давлением, приложенным к системе, и результирующим акустическим объемным расходом через поверхность, перпендикулярную направлению этого давления в точке его приложения, определяется следующим образом:

$p\; (t)\; =\; [R\; \ast \; Q]\; (t),\; \{\backslash \; displaystyle\; p\; (t)\; =\; [R\; *\; Q]\; (t),\}$

или, что эквивалентно, на

$Q\; (t)\; =\; [G\; \ast \; p]\; (t),\; \{\backslash \; displaystyle\; Q\; (t)\; =\; [G\; *\; p]\; (t),\}$

где

• p - акустическое давление;
• Q - объемный акустический поток скорость;
• $\ast \; \{\backslash \; displaystyle\; *\}$- оператор свертки; ;
• R - акустическое сопротивление во временной области.;
• G = R - акустическая проводимость во временной области(R - свертка, обратная R).

импеданс, обозначенный Z, представляет собой преобразование Лапласа, или преобразование Фурье, или аналитическое представление акустического сопротивления во временной области:

$Z\; (s)\; =\; def\; L\; [R]\; (s)\; =\; L\; [p]\; (s)\; L\; [Q]\; (s),\; \{\backslash \; displaystyle\; Z\; (s)\; \{\backslash \; stackrel\; \{\backslash \; mathrm\; \{def\}\}\; \{\{\}\; =\; \{\; \}\}\}\; \{\backslash \; mathcal\; \{L\}\}\; [R]\; (s)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\{\backslash \; mathcal\; \{L\}\}\; [p]\; (s)\}\; \{\{\backslash \; mathcal\; \{L\}\}\; [Q]\; (s)\}\; \},\}$

$Z\; (\omega )\; =\; def\; F\; [R]\; (\omega )\; =\; F\; [p]\; (\omega )\; F\; [Q]\; (\omega ),\; \{\backslash \; displaystyle\; Z\; (\backslash \; omega)\; \{\backslash \; stackrel\; \{\backslash \; mathrm\; \{\; def\}\}\; \{\{\}\; =\; \{\}\}\}\; \{\backslash \; mathcal\; \{F\}\}\; [R]\; (\backslash \; omega)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\{\backslash \; mathcal\; \{F\}\}\; [p]\; (\backslash \; omega)\}\; \{\{\backslash \; mathcal\; \{\; F\}\}\; [Q]\; (\backslash \; omega)\}\},\}$

$Z\; (t)\; =\; def\; R\; a\; (t)\; =\; 1\; 2\; [pa\; \ast \; (Q\; -\; 1)\; a]\; (t),\; \{\backslash \; displaystyle\; Z\; (\; t)\; \{\backslash \; stackrel\; \{\backslash \; mathrm\; \{def\}\}\; \{\{\}\; =\; \{\}\}\}\; R\; \_\; \{\backslash \; mathrm\; \{a\}\}\; (t)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\; \backslash !\; \backslash \; left\; [p\; \_\; \{\backslash \; mathrm\; \{a\}\}\; *\; \backslash \; left\; (Q\; ^\; \{-\; 1\}\; \backslash \; right)\; \_\; \{\backslash \; mathrm\; \{a\}\}\; \backslash \; right]\; \backslash !\; (t),\}$

wh ere

• $L\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{L\}\}\}$- оператор преобразования Лапласа;
• $F\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{F\}\}\}$- оператор преобразования Фурье;
• индекс «a» - оператор аналитического представления;
• Q - свертка, обратная Q.

Акустическое сопротивление, обозначается R, и акустическое реактивное сопротивление, обозначенное X, являются действительной частью и мнимой частью акустического импеданса соответственно:

$Z\; (s)\; =\; R\; (s)\; +\; i\; X\; (\; s),\; \{\backslash \; Displaystyle\; Z\; (s)\; =\; R\; (s)\; +\; iX\; (s),\}$

$Z\; (\omega )\; =\; R\; (\omega )\; +\; я\; Икс\; (\omega ),\; \{\backslash \; displaystyle\; Z\; (\backslash \; omega)\; =\; Р\; (\backslash \; omega)\; +\; iX\; (\backslash \; omega),\}$

$Z\; (t)\; =\; R\; (t)\; +\; я\; X\; (t),\; \{\backslash \; displaystyle\; Z\; (t)\; =\; R\; (t)\; +\; iX\; (t),\; \}$

где

• i - мнимая единица ;
• в Z (s), R (s) - не преобразование Лапласа акустического сопротивления R (t) во временной области, Z (s) - ;
• в Z (ω), R (ω) не является преобразованием Фурье акустического сопротивления R (t) во временной области, Z (ω) равно;
• в Z (t) , R (t) - акустическое сопротивление временной области, а X (t) - преобразование Гильберта акустического сопротивления R (t) во временной области в соответствии с определением аналитического представления.

Индуктивное акустическое реактивное сопротивление, обозначенное X L , и емкостное акустическое реактивное сопротивление, обозначенное X C , является положительной частью и отрицательной частью акустического реактивного сопротивления соответственно:

$X\; (s\; )\; =\; XL\; (s)\; -\; XC\; (s),\; \{\backslash \; Displaystyle\; X\; (s)\; =\; X\_\; \{L\}\; (s)\; -X\_\; \{C\}\; (s),\}$

$X\; (\omega )\; =\; XL\; (\omega )\; -\; XC\; (\omega ),\; \{\backslash \; Displaystyle\; X\; (\backslash \; omega)\; =\; X\_\; \{L\}\; (\backslash \; omega)\; -X\_\; \{C\}\; (\backslash \; omega),\}$

$X\; (t)\; =\; XL\; (t)\; -\; XC\; (t).\; \{\backslash \; displaystyle\; X\; (t)\; =\; X\_\; \{L\}\; (t)\; -X\_\; \{C\}\; (t).\}$

Акустическая проводимость, обозначенная Y, является преобразованием Лапласа, преобразованием Фурье или аналитическим представление акустической проводимости во временной области:

$Y\; (s)\; =\; def\; L\; [G]\; (s)\; =\; 1\; Z\; (s)\; =\; L\; [Q]\; (s)\; L\; [p]\; (s),\; \{\backslash \; displaystyle\; Y\; (\; s)\; \{\backslash \; stackrel\; \{\backslash \; mathrm\; \{def\}\}\; \{\{\}\; =\; \{\}\}\}\; \{\backslash \; mathcal\; \{L\}\}\; [G]\; (s)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{Z\; (s)\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\{\backslash \; mathcal\; \{L\}\}\; [Q]\; (s)\}\; \{\{\backslash \; mathcal\; \{L\}\}\; [p]\; (s)\}\},\}$

$Y\; (\omega )\; =\; def\; F\; [G]\; (\omega )\; Знак\; равно\; 1\; Z\; (\omega )\; знак\; равно\; F\; [Q]\; (\omega )\; F\; [p]\; (\omega ),\; \{\backslash \; Displaystyle\; Y\; (\backslash \; omega)\; \{\backslash \; stackrel\; \{\backslash \; mathrm\; \{def\}\}\; \{\{\}\; =\; \{\}\}\}\; \{\backslash \; mathcal\; \{F\}\}\; [G]\; (\backslash \; omega)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{Z\; (\backslash \; omega)\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\{\backslash \; mathcal\; \{F\}\}\; [Q]\; (\backslash \; omega)\}\; \{\{\backslash \; mathcal\; \{F\}\}\; [p]\; (\backslash \; omega)\}\},\}$

$Y\; (t)\; =\; def\; G\; a\; (t)\; =\; Z\; -\; 1\; (t)\; =\; 1\; 2\; [Q\; a\; \ast \; (p\; -\; 1)\; a\; ]\; (т)\; \{\backslash \; Displaystyle\; Y\; (т)\; \{\backslash \; stackrel\; \{\backslash \; mathrm\; \{def\}\}\; \{\{\}\; =\; \{\}\}\}\; G\; \_\; \{\backslash \; mathrm\; \{a\}\}\; (т)\; =\; Z\; ^\; \{-\; 1\}\; (т\; )\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\; \backslash !\; \backslash \; left\; [Q\; \_\; \{\backslash \; mathrm\; \{a\}\}\; *\; \backslash \; left\; (p\; ^\; \{-\; 1\}\; \backslash \; right)\; \_\; \{\backslash \; mathrm\; \{a\}\}\; \backslash \; right]\; \backslash \; !\; (t),\}$

где

• Z - свертка, обратная Z;
• p - свертка, обратная p.

Акустическая проводимость, обозначенная G, и акустическая восприимчивость, обозначенная B, являются действительной и мнимой частью акустической проводимости соответственно:

$Y\; (s)\; Знак\; равно\; г\; (s)\; +\; я\; В\; (s),\; \{\backslash \; Displaystyle\; Y\; (s)\; =\; G\; (s)\; +\; iB\; (s),\}$

$Y\; (\omega )\; =\; G\; (\omega )\; +\; я\; B\; (\omega ),\; \{\backslash \; Displaystyle\; Y\; (\backslash \; omega)\; =\; G\; (\backslash \; omega)\; +\; iB\; (\backslash \; omega),\}$

$Y\; (t)\; =\; G\; (t)\; +\; i\; B\; (t),\; \{\backslash \; displaystyle\; Y\; (t)\; =\; G\; (t)\; +\; iB\; (t),\}$

где

• в Y (s), G (s) не является преобразованием Лапласа акустической проводимости G (t) во временной области, Y (s) равно;
• в Y (ω), G (ω) не является преобразованием Фурье акустической проводимости во временной области G (t), Y (ω) равно;
• в Y (t), G (t) - это акустическая проводимость во временной области, а B (t) - это преобразование Гильберта акустической проводимости во временной области G (t) в соответствии с определением аналитического представления.

Акустическое сопротивление представляет перенос энергии акустической волны. Давление и движение находятся в фазе, поэтому работа выполняется в среде перед волной; кроме того, он представляет давление, которое не совпадает по фазе с движением и не вызывает средней передачи энергии. Например, в закрытой лампочке, соединенной с трубкой органа, будет поступать воздух и давление, но они не в фазе, поэтому в нее не передается полезная энергия. Когда давление повышается, воздух входит, а когда он падает, он движется наружу, но среднее давление при входе воздуха такое же, как и при его выходе, поэтому мощность течет вперед и назад, но без усредненной по времени энергии перевод. Еще одна электрическая аналогия - конденсатор, подключенный к линии электропередачи: ток течет через конденсатор, но он не совпадает по фазе с напряжением, поэтому в него не передается полезная мощность.

Удельный акустический импеданс

Для линейной системы, не зависящей от времени, соотношение между акустическим давлением, приложенным к системе, и результирующей скоростью частицы в направлении этого давления в точке его приложения определяется выражением

$p\; (t)\; =\; [r\; \ast \; v]\; (t),\; \{\backslash \; displaystyle\; p\; (t)\; =\; [r\; *\; v]\; (t),\}$

или эквивалентно:

$v\; (t)\; =\; [g\; \ast \; p]\; (t),\; \{\backslash \; displaystyle\; v\; (t)\; =\; [g\; *\; p]\; (t),\}$

где

• p - акустическое давление;
• v - скорость частицы;
• r - удельное акустическое сопротивление во временной области;;
• g = r - удельная акустическая проводимость в во временной области(r - свертка, обратная r).

Удельный акустический импеданс, обозначенный z - это преобразование Лапласа, преобразование Фурье или аналитическое представление удельного акустического сопротивления во временной области:

$z\; (s)\; =\; def\; L\; [r]\; (s)\; =\; L\; [p]\; (s)\; L\; [v]\; (s),\; \{\backslash \; displaystyle\; z\; (s)\; \{\backslash \; stackrel\; \{\backslash \; mathrm\; \{def\}\}\; \{\{\; \}\; =\; \{\}\}\}\; \{\backslash \; mathcal\; \{\; L\}\}\; [r]\; (s)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\{\backslash \; mathcal\; \{L\}\}\; [p]\; (s)\}\; \{\{\backslash \; mathcal\; \{L\}\}\; [v]\; (s)\}\},\}$

$z\; (\omega )\; знак\; равно\; деф\; F\; [р]\; (\omega )\; знак\; равно\; F\; [п]\; (\omega )\; F\; [v]\; (\omega ),\; \{\backslash \; Displaystyle\; Z\; (\backslash \; omega)\; \{\backslash \; stackrel\; \{\backslash \; mathrm\; \{def\}\}\; \{\{\}\; =\; \{\}\}\}\; \{\backslash \; mathcal\; \{F\}\}\; [r]\; (\backslash \; omega)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\{\backslash \; mathcal\; \{F\}\}\; [p]\; (\backslash \; omega)\}\; \{\{\backslash \; mathcal\; \{F\}\}\; [v]\; (\; \backslash \; omega)\}\},\}$

$z\; (t)\; =\; defra\; (t)\; =\; 1\; 2\; [pa\; \ast \; (v\; -\; 1)\; a]\; (t),\; \{\backslash \; displaystyle\; z\; (t)\; \{\backslash \; stackrel\; \{\backslash \; mathrm\; \{\; def\}\}\; \{\{\}\; =\; \{\}\}\}\; r\; \_\; \{\backslash \; mathrm\; \{a\}\}\; (t)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\; \backslash !\; \backslash \; left\; [p\; \_\; \{\backslash \; mathrm\; \{a\}\}\; *\; \backslash \; left\; (\; v\; ^\; \{-\; 1\}\; \backslash \; right)\; \_\; \{\backslash \; mathrm\; \{a\}\}\; \backslash \; right]\; \backslash !\; (t),\}$

где v - свертка, обратная v.

Удельное акустическое сопротивление, обозначенное r и удельное акустическое сопротивление, обозначаемое x, представляют собой действительную и мнимую части удельного акустического импеданса соответственно:

$z\; (s)\; =\; r\; (s)\; +\; ix\; (s),\; \{\backslash \; displaystyle\; z\; (s)\; знак\; равно\; р\; (s)\; +\; ix\; (s),\}$

$z\; (\omega )\; =\; r\; (\omega )\; +\; ix\; (\omega ),\; \{\backslash \; displaystyle\; z\; (\backslash \; omega)\; =\; r\; (\backslash \; omega)\; +\; ix\; (\backslash \; omega),\}$

$z\; (t)\; =\; r\; (t)\; +\; ix\; (t),\; \{\backslash \; displaystyle\; z\; (t)\; =\; r\; (t)\; +\; ix\; (t),\}$

где

• в z (s), r ( s) не является преобразованием Лапласа удельного акустического сопротивления r (t) во временной области, z (s) равно;
• в z (ω), r (ω) не является преобразованием Фурье временной области удельное акустическое сопротивление r (t), z (ω) равно;
• в z (t), r (t) - удельное акустическое сопротивление временной области, а x (t) - преобразование Гильберта удельного акустического сопротивления r (t) временной области в соответствии с определением аналитического представления.

Удельное индуктивное акустическое реактивное сопротивление, обозначенное x L , и удельное емкостное Акустическое реактивное сопротивление, обозначенное x C , представляет собой положительную часть и отрицательную часть удельного акустического реактивного сопротивления соответственно:

$x\; (s)\; =\; x\; L\; (s)\; -\; x\; C\; (s),\; \{\; \backslash \; Displaystyle\; х\; (s)\; =\; x\_\; \{L\}\; (s)\; -x\_\; \{C\}\; (s),\}$

$x\; (\omega )\; =\; x\; L\; (\omega )\; -\; x\; C\; (\omega ),\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; (\backslash \; омега)\; =\; x\_\; \{L\}\; (\backslash \; omega)\; -x\_\; \{C\}\; (\backslash \; omega),\}$

$x\; (t)\; =\; x\; L\; (t)\; -\; x\; C\; (t).\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; (t)\; =\; x\_\; \{L\}\; (t)\; -x\_\; \{C\}\; (t).\}$

Удельная акустическая проводимость, обозначаемая y, является преобразованием Лапласа, преобразованием Фурье или аналитическое представление удельной акустической проводимости во временной области:

$y\; (s)\; =\; def\; L\; [g]\; (s)\; =\; 1\; z\; (s)\; =\; L\; [v]\; (s)\; L\; [p]\; (s),\; \{\backslash \; displaystyle\; y\; (s)\; \{\backslash \; stackrel\; \{\backslash \; mathrm\; \{def\}\}\; \{\{\}\; =\; \{\}\}\}\; \{\backslash \; mathcal\; \{L\}\}\; [g]\; (s)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{z\; (s)\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\{\backslash \; mathcal\; \{L\}\}\; [v]\; (s)\}\; \{\{\backslash \; mathcal\; \{L\}\}\; [p]\; (s)\}\},\}$

$y\; (\omega )\; =\; def\; F\; [g]\; (\; \omega )\; знак\; равно\; 1\; Z\; (\omega )\; знак\; равно\; F\; [v]\; (\omega )\; F\; [p]\; (\omega ),\; \{\backslash \; displaystyle\; y\; (\backslash \; omega)\; \{\backslash \; stackrel\; \{\backslash \; mathrm\; \{def\}\}\; \{\{\}\; =\; \{\}\}\}\; \{\backslash \; mathcal\; \{F\}\}\; [g]\; (\backslash \; omega)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{z\; (\backslash \; omega)\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\{\backslash \; mathcal\; \{F\}\}\; [v]\; (\backslash \; omega)\}\; \{\; \{\backslash \; mathcal\; \{F\}\}\; [p]\; (\backslash \; omega)\}\},\}$

$y\; (t)\; =\; defga\; (t)\; =\; z\; -\; 1\; (t)\; =\; 1\; 2\; [va\; \ast \; (p\; -\; 1)\; a]\; (т),\; \{\backslash \; Displaystyle\; у\; (т)\; \{\backslash \; stackrel\; \{\backslash \; mathrm\; \{def\}\}\; \{\{\}\; =\; \{\}\}\}\; г\; \_\; \{\backslash \; mathrm\; \{а\}\}\; (т)\; =\; г\; ^\; \{-\; 1\}\; (т)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\; \backslash !\; \backslash \; left\; [v\; \_\; \{\backslash \; mathrm\; \{a\}\}\; *\; \backslash \; left\; (p\; ^\; \{-\; 1\}\; \backslash \; right)\; \_\; \{\backslash \; mathrm\; \{a\}\}\; \backslash \; right]\; \backslash !\; (t),\}$

где

• z - обратная свертка of z;
• p - свертка, обратная p.

Удельная акустическая проводимость, обозначенная g, и удельная акустическая восприимчивость, обозначенная b, являются действительной частью, а часть удельной акустической проводимости соответственно:

$y\; (s)\; =\; g\; (s)\; +\; ib\; (s),\; \{\backslash \; displaystyle\; y\; (s)\; =\; g\; (s)\; +\; ib\; (s),\}$

$y\; (\omega \; )\; знак\; равно\; г\; (\omega )\; +\; ib\; (\omega ),\; \{\backslash \; displaystyle\; y\; (\backslash \; omega)\; =\; g\; (\backslash \; omega)\; +\; ib\; (\backslash \; omega),\}$

$y\; (t)\; =\; g\; (t)\; +\; ib\; (t\; ),\; \{\backslash \; displaystyle\; y\; (t)\; =\; g\; (t)\; +\; ib\; (t),\}$

где

• в y (s), g (s) не является преобразованием Лапласа акустической проводимости g во временной области. (t), y (s) равно;
• в y (ω), g (ω) не является преобразованием Фурье акустической проводимости g (t) во временной области, y (ω) равно;
• в y (t), g (t) - это акустическая проводимость во временной области, а b (t) - это преобразование Гильберта акустической проводимости во временной области g (t), согласно определению аналитического представления.

Удельный акустический импеданс z - это интенсивное свойство конкретной среды (например, zo f можно указать воздух или воду); с другой стороны, акустический импеданс Z - это обширное свойство конкретной среды и геометрии (например, можно указать Z конкретного воздуховода, заполненного воздухом).

Взаимосвязь

Для одномерной волны, проходящей через отверстие с площадью A, объемный акустический расход Q представляет собой объем среды, проходящей через отверстие в секунду; если акустический поток перемещается на расстояние dx = v dt, то объем проходящей среды равен dV = A dx, поэтому:

$Q\; =\; d\; V\; d\; t\; =\; A\; d\; x\; d\; t\; =\; A\; v.\; \{\backslash \; displaystyle\; Q\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; mathrm\; \{d\}\; V\}\; \{\backslash \; mathrm\; \{d\}\; t\}\}\; =\; A\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; mathrm\; \{d\}\; x\}\; \{\backslash \; mathrm\; \{d\}\; t\}\}\; =\; Av.\; \}$

При условии, что волна только одномерная, это дает

$Z\; (s)\; =\; L\; [p]\; (s)\; L\; [Q]\; (s)\; =\; L\; [p]\; (s)\; AL\; [v]\; (s)\; знак\; равно\; Z\; (s)\; A,\; \{\backslash \; Displaystyle\; Z\; (s)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\{\backslash \; mathcal\; \{L\}\}\; [p]\; (s)\}\; \{\{\backslash \; mathcal\; \{L\}\}\; [Q]\; (s)\; \}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\{\backslash \; mathcal\; \{L\}\}\; [p]\; (s)\}\; \{A\; \{\backslash \; mathcal\; \{L\}\}\; [v]\; (s)\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{z\; (s)\}\; \{A\; \}\},\}$

$Z\; (\omega )\; =\; F\; [p]\; (\omega )\; F\; [Q]\; (\omega )\; =\; F\; [p]\; (\omega )\; AF\; [v]\; (\omega )\; =\; z\; (\omega )\; A,\; \{\backslash \; displaystyle\; Z\; (\backslash \; omega)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\{\backslash \; mathcal\; \{F\}\}\; [p]\; (\backslash \; omega)\}\; \{\{\backslash \; mathcal\; \{F\}\}\; [Q]\; (\backslash \; omega)\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\{\backslash \; mathcal\; \{F\}\}\; [p]\; (\backslash \; omega)\}\; \{A\; \{\backslash \; mathcal\; \{F\}\}\; [v]\; (\backslash \; omega)\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{z\; (\backslash \; omega)\}\; \{A\}\},\}$

$Z\; (t)\; =\; 1\; 2\; [pa\; \ast \; (Q\; -\; 1)\; a]\; (t)\; =\; 1\; 2\; [pa\; \ast \; (v\; -\; 1\; A)\; a]\; (t)\; =\; z\; (t)\; A.\; \{\backslash \; displaystyle\; Z\; (t)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\; \backslash !\; \backslash \; left\; [p\; \_\; \{\backslash \; mathrm\; \{a\}\}\; *\; \backslash \; left\; (Q\; ^\; \{-\; 1\}\; \backslash \; right)\; \_\; \{\backslash \; mathrm\; \{a\; \}\}\; \backslash \; right]\; \backslash !\; (t)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\; \backslash !\; \backslash \; left\; [p\; \_\; \{\backslash \; mathrm\; \{a\}\}\; *\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{v\; ^\; \{-\; 1\}\}\; \{\; A\}\}\; \backslash \; right)\; \_\; \{\backslash \; mathrm\; \{a\}\}\; \backslash \; right]\; \backslash !\; (T)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{z\; (t)\}\; \{A\}\}.\}$

Характеристический удельный акустический импеданс

Основной закон недисперсной линейной акустики в одном измерении дает соотношение между напряжением и деформацией:

$p\; =\; -\; \rho \; c\; 2\; \partial \; \delta \; \partial \; x,\; \{\backslash \; displaystyle\; p\; =\; -\; \backslash \; rho\; c\; ^\; \{2\}\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; \backslash \; delta\}\; \{\backslash \; partial\; x\}\},\}$

где

• p - акустическое давление в среде;
• ρ - объемная массовая плотность среды;
• c - скорость распространения звуковых волн в среде;
• δ - смещение частицы ;
• x - пространственная переменная вдоль направления распространения звуковых волн.

Это уравнение справедливо как для жидкостей, так и для твердых тел. В

• жидкостях ρc = K (K обозначает модуль объемной упругости );
• твердых тел, ρc = K + 4/3 G (G обозначает модуль сдвига ) для продольных волн и ρc = G для поперечных волн.

Второй закон Ньютона, применяемый локально в среде, дает:

$\rho \; \partial \; 2\; \delta \; \partial \; t\; 2\; =\; -\; \partial \; п\; \partial \; Икс.\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; rho\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; ^\; \{2\}\; \backslash \; delta\}\; \{\backslash \; partial\; t\; ^\; \{2\}\}\}\; =\; -\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; p\}\; \{\backslash \; partial\; x\}\}.\}$

Объединение этого уравнения с предыдущим дает одномерное волновое уравнение :

$\partial \; 2\; \delta \; \partial \; t\; 2\; =\; c\; 2\; \partial \; 2\; \delta \; \partial \; x\; 2.\; \{\backslash \; Displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; ^\; \{\; 2\}\; \backslash \; delta\}\; \{\backslash \; partial\; t\; ^\; \{2\}\}\}\; =\; c\; ^\; \{2\}\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; ^\; \{2\}\; \backslash \; delta\}\; \{\backslash \; partial\; x\; ^\; \{2\}\}\}.\}$

плоские волны

$\delta \; (r,\; t)\; =\; \delta \; (x,\; t)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; delta\; (\backslash \; mathbf\; \{r\},\; \backslash ,\; t)\; =\; \backslash \; delta\; (x,\; \backslash ,\; t)\}$

, которые решения этого волнового уравнения состоят из суммы двух прогрессивных плоских волн, распространяющихся вдоль x с одинаковой скоростью и противоположными путями:

$\delta \; (r,\; t)\; =\; f\; (x\; -\; ct)\; +\; g\; (x\; +\; ct)\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; дельта\; (\backslash \; математика\; bf\; \{r\},\; \backslash ,\; t)\; =\; f\; (x-ct)\; +\; g\; (x\; +\; ct)\}$

из которого можно вывести

$v\; (r,\; t)\; =\; \partial \; \delta \; \partial \; t\; (r,\; t\; )\; Знак\; равно\; -\; с\; [е\; \text{'}(Икс\; -\; CT)\; -\; г\text{'}\; (Икс\; +\; CT)],\; \{\backslash \; Displaystyle\; v\; (\backslash \; mathbf\; \{r\},\; \backslash ,\; т)\; =\; \{\backslash \; гидроразрыва\; \{\backslash \; partial\; \backslash \; delta\}\; \{\backslash \; partial\; t\}\}\; (\backslash \; mathbf\; \{r\},\; \backslash ,\; t)\; =\; -\; c\; \{\backslash \; big\; [\}\; f\; \text{'}(x-ct)\; -g\text{'}\; (x\; +\; ct)\; \{\backslash \; big]\},\}$

$p\; (r\; ,\; t)\; =\; -\; \rho \; c\; 2\; \partial \; \delta \; \partial \; x\; (r,\; t)\; =\; -\; \rho \; c\; 2\; [f\; \prime \; (x\; -\; ct)\; +\; g\; \prime \; (x\; +\; ct)].\; \{\backslash \; Displaystyle\; р\; (\backslash \; mathbf\; \{r\},\; \backslash ,\; t)\; =\; -\; \backslash \; rho\; c\; ^\; \{2\}\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; \backslash \; delta\}\; \{\backslash \; partial\; x\}\}\; (\backslash \; mathbf\; \{r\},\; \backslash ,\; t)\; =\; -\; \backslash \; rho\; c\; ^\; \{2\}\; \{\backslash \; big\; [\}\; f\; \text{'}(x-ct)\; +\; g\text{'}\; (x\; +\; ct)\; \{\backslash \; big]\}.\}$

Для прогрессивных плоских волн:

$\{p\; (\; р,\; T)\; знак\; равно\; -\; \rho \; с\; 2\; е\; \text{'}(Икс\; -\; CT)\; v\; (г,\; T)\; =\; -\; cf\; \prime \; (X\; -\; CT)\; \{\backslash \; Displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{cases\}\; р\; (\backslash \; mathbf\; \{r\},\; \backslash ,\; t)\; =\; -\; \backslash \; rho\; c\; ^\; \{2\}\; \backslash ,\; f\; \text{'}(x-ct)\; \backslash \backslash \; v\; (\backslash \; mathbf\; \{r\},\; \backslash ,\; t)\; =\; -\; c\; \backslash ,\; f\text{'}\; (x-ct)\; \backslash \; end\; \{случаях\; \}\}\}$

или

$\{p\; (r,\; t)\; =\; -\; \rho \; c\; 2\; g\; \prime \; (x\; +\; ct)\; v\; (r,\; t)\; =\; cg\; \prime \; (x\; +\; ct).\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{case\}\; p\; (\backslash \; mathbf\; \{r\},\; \backslash ,\; t)\; =\; -\; \backslash \; rho\; c\; ^\; \{2\}\; \backslash ,\; g\; \text{'}(x\; +\; ct)\; \backslash \backslash \; v\; (\backslash \; mathbf\; \{r\},\; \backslash \; ,\; t)\; =\; c\; \backslash ,\; g\; \text{'}(x\; +\; ct).\; \backslash \; end\; \{ases\}\}\}$

Наконец, удельный акустический импеданс z равен

$z\; (r,\; s)\; =\; L\; [p]\; (r,\; s)\; L\; [v]\; (r,\; s)\; =\; \pm \; \rho \; c,\; \{\backslash \; displaystyle\; z\; (\backslash \; mathbf\; \{r\},\; \backslash ,\; s)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\{\backslash \; mathcal\; \{L\}\}\; [p]\; (\backslash \; mathbf\; \{\; r\},\; \backslash ,\; s)\}\; \{\{\backslash \; mathcal\; \{L\}\}\; [v]\; (\backslash \; mathbf\; \{r\},\; \backslash ,\; s)\}\}\; =\; \backslash \; pm\; \backslash \; rho\; c,\}$

$z\; (r,\; \omega )\; =\; F\; [п]\; (г,\; \omega )\; F\; [v]\; (г,\; \omega )\; =\; \pm \; \rho \; с,\; \{\backslash \; Displaystyle\; Z\; (\backslash \; mathbf\; \{r\},\; \backslash ,\; \backslash \; omega)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\{\backslash \; mathcal\; \{F\}\; \}\; [p]\; (\backslash \; mathbf\; \{r\},\; \backslash ,\; \backslash \; omega)\}\; \{\{\backslash \; mathcal\; \{F\}\}\; [v]\; (\backslash \; mathbf\; \{r\},\; \backslash ,\; \backslash \; omega)\}\}\; =\; \backslash \; pm\; \backslash \; rho\; c,\}$

$z\; (r,\; t)\; =\; 1\; 2\; [pa\; \ast \; (v\; -\; 1)\; a]\; (r,\; t)\; =\; \pm \; \rho \; c.\; \{\backslash \; displaystyle\; z\; (\backslash \; mathbf\; \{r\},\; \backslash ,\; t)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\; \backslash !\; \backslash \; left\; [p\; \_\; \{\backslash \; mathrm\; \{a\}\}\; *\; \backslash \; left\; (v\; ^\; \{-\; 1\}\; \backslash \; right)\; \_\; \{\backslash \; mathrm\; \{a\}\}\; \backslash \; right]\; \backslash !\; (\backslash \; mathbf\; \{r\},\; \backslash ,\; t)\; =\; \backslash \; pm\; \backslash \; rho\; c.\}$

абсолютное значение этого конкретного акустического Импеданс часто называют характеристическим удельным акустическим сопротивлениеми обозначают z 0:

$z\; 0\; =\; \rho \; c.\; \{\backslash \; displaystyle\; z\_\; \{0\}\; =\; \backslash \; rho\; c.\}$

Уравнения также показывают, что

$p\; (r,\; t)\; v\; (r,\; t)\; =\; \pm \; \rho \; c\; =\; \pm \; z\; 0.\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{p\; (\backslash \; mathbf\; \{r\},\; \backslash ,\; t)\}\; \{v\; (\backslash \; mathbf\; \{r\},\; \backslash ,\; t)\}\}\; =\; \backslash \; pm\; \backslash \; rho\; c\; =\; \backslash \; pm\; z\_\; \{0\}.\}$

Влияние температуры

Температура влияет на скорость звука и массовую плотность и, следовательно, на удельное акустическое сопротивление.

Характеристический акустический импеданс

Для одномерной волны, проходящей через отверстие с площадью A, Z = z / A, поэтому, если волна прогрессивная плоская волна, то:

$Z\; (r,\; s)\; =\; \pm \; \rho \; c\; A,\; \{\backslash \; displaysty\; ле\; Z\; (\backslash \; mathbf\; \{r\},\; \backslash ,\; s)\; =\; \backslash \; pm\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; rho\; c\}\; \{A\}\},\}$

$Z\; (r,\; \omega )\; =\; \pm \; \rho \; c\; A,\; \{\backslash \; displaystyle\; Z\; (\; \backslash \; mathbf\; \{r\},\; \backslash ,\; \backslash \; omega)\; =\; \backslash \; pm\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; rho\; c\}\; \{A\}\},\}$

$Z\; (r,\; t)\; =\; \pm \; \rho \; c\; A.\; \{\backslash \; displaystyle\; Z\; (\backslash \; mathbf\; \{r\},\; \backslash ,\; t)\; =\; \backslash \; pm\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; rho\; c\}\; \{A\}\}.\}$

абсолютное значение этого акустического импеданса часто называется характеристическим акустическим импедансоми обозначается Z 0:

$Z\; 0\; =\; \rho \; c\; A.\; \{\backslash \; displaystyle\; Z\_\; \{0\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; rho\; c\}\; \{A\}\}.\}$

, а характеристический удельный акустический импеданс равен

$p\; (r,\; t)\; Q\; (r,\; t)\; =\; \pm \; \rho \; с\; А\; =\; \pm \; Z\; 0.\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{p\; (\backslash \; mathbf\; \{r\},\; \backslash ,\; t)\}\; \{Q\; (\backslash \; mathbf\; \{r\},\; \backslash ,\; t)\}\}\; =\; \backslash \; pm\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; rho\; c\}\; \{A\}\}\; =\; \backslash \; pm\; Z\_\; \{0\}.\}$

Если отверстие с площадью A является началом трубы, и в трубу направлена ​​плоская волна, волна, проходящая через отверстие, будет прогрессивной плоской волной в отсутствие отражений , и обычно отражения от другого конца трубы, открытого или закрытого, представляют собой сумму волн, проходящих от одного конца к другому. (Возможно отсутствие отражений, когда труба очень длинная, из-за длительного времени, необходимого для возврата отраженных волн, и их затухания за счет потерь на стенке трубы.) Такие отражения и возникающие стоячие волны очень важны для конструкция и работа музыкальных духовых инструментов.

• Акустическое затухание
• Аналогия импеданса
• Акустический ом
• Землетрясение бомба

• Что такое акустический импеданс и почему он важен?
• Волновое уравнение для звука