Формализм дифракции

редактировать

Дифракционные процессы, влияющие на волны, поддаются количественному описанию и анализу. Такая обработка применяется к волне, проходящей через одну или несколько щелей, ширина которых указана как пропорция от длины волны. Могут использоваться численные приближения, включая приближения Френеля и Фраунгофера.

Дифракция скалярной волны, проходящей через щель шириной в 1 длину волны Дифракция скалярная волна, проходящая через щель шириной 4 длины волны

Содержание

  • 1 Общая дифракция
  • 2 Приближения
  • 3 Дифракция от множества узких щелей
    • 3.1 Простое количественное описание
    • 3.2 Математическое описание
  • 4 Количественный анализ дифракции на одной щели
  • 5 Количественный анализ дифракции на N-щели
  • 6 Общий случай для дальнего поля
  • 7 См. также
  • 8 Ссылки

Общая дифракция

Поскольку дифракция является результатом сложения всех волн (с заданной длиной волны) на всех беспрепятственных путях, обычная процедура заключается в рассмотрении вклада бесконечно малой окрестности вокруг определенного пути (этот вклад обычно называют вейвлет ), а затем интегрировать по всем путям (= добавить все вейвлеты) от кислого к детектору (или заданной точке на экране).

Таким образом, для определения структуры, полученной при дифракции, вычисляются фаза и амплитуда каждого из вейвлетов. То есть в каждой точке пространства мы должны определить расстояние до каждого из простых источников на набегающем волновом фронте. Если расстояние до каждого из простых источников отличается на целое число длин волн, все вейвлеты будут синфазными, что приведет к конструктивной интерференции. Если расстояние до каждого источника равно целому числу плюс половина длины волны, будет полная деструктивная интерференция. Обычно для объяснения наблюдаемых дифракционных эффектов достаточно определить эти минимумы и максимумы.

Простейшими описаниями дифракции являются такие, при которых ситуация может быть сведена к двумерной задаче. В случае волн на воде это уже так, поскольку волны на воде распространяются только по поверхности воды. Что касается света, мы часто можем пренебречь одним измерением, если дифрагирующий объект простирается в этом направлении на расстояние, намного превышающее длину волны. В случае света, проходящего через маленькие круглые отверстия, мы должны учитывать всю трехмерную природу проблемы.

В целом можно сделать несколько качественных наблюдений за дифракцией:

  • Угловой интервал между элементами дифракционной картины обратно пропорционален размерам объекта, вызывающего дифракцию. Другими словами: чем меньше размер дифрагирующего объекта, тем шире получается дифракционная картина, и наоборот. (Точнее, это верно для синусов углов.)
  • Углы дифракции неизменны при масштабировании; то есть они зависят только от отношения длины волны к размеру дифрагирующего объекта.
  • Когда дифрагирующий объект имеет периодическую структуру, например, в дифракционной решетке, детали обычно становятся более резкими. На четвертом рисунке, например, показано сравнение шаблона с двумя прорезями с шаблоном, образованным пятью прорезями, причем оба набора прорезей имеют одинаковое расстояние между центром одной прорези и следующей.

Приближения

Проблема вычисления того, как выглядит дифрагированная волна, - это проблема определения фазы каждого из простых источников на фронте приходящей волны. Математически проще рассмотреть случай дальнего поля или дифракции фраунгофера, когда точка наблюдения находится далеко от точки наблюдения дифрагирующего препятствия, и, как следствие, требует менее сложной математики, чем более общий случай ближнего поля или дифракции Френеля. Чтобы сделать это утверждение более количественным, рассмотрим дифрагирующий объект в начале координат, размер которого a {\ displaystyle \ a}\ a . Для определенности предположим, что мы рассеиваем свет, и нас интересует, как выглядит интенсивность на экране на расстоянии L {\ displaystyle \ L}\ L от объекта. В какой-то момент на экране длина пути до одной стороны объекта определяется теоремой Пифагора

S = L 2 + (x + a / 2) 2 {\ displaystyle S = {\ sqrt {L ^ {2 } + (x + a / 2) ^ {2}}}}S = {\ sqrt {L ^ {2} + (x + a / 2) ^ {2}}}

Теперь рассмотрим ситуацию, когда L>>(x + a / 2) {\ displaystyle \ L>>(x + a / 2)}\ L>>(x + a / 2) , длина пути станет

S ≈ (L + (x + a / 2) 2 2 L) = L + x 2 2 L + xa 2 L + a 2 8 L { \ Displaystyle S \ приблизительно \ слева (L + {\ frac {(x + a / 2) ^ {2}} {2L}} \ right) = L + {\ frac {x ^ {2}} {2L}} + { \ frac {xa} {2L}} + {\ frac {a ^ {2}} {8L}}}S \ приблизительно \ влево (L + {\ frac {(x + a / 2) ^ {2}} {2L}} \ right) = L + {\ frac {x ^ {2}} {2L}} + {\ frac {xa} {2L}} + {\ frac {a ^ {2}} {8L}}

Это приближение Френеля. Для дальнейшего упрощения: если дифрагирующий объект намного меньше, чем расстояние L {\ displaystyle \ L}\ L , последний член будет вносить гораздо меньший вклад, чем длина волны в длину пути, и тогда не будет заметно изменять фазу. То есть a 2 L << λ {\displaystyle {\frac {a^{2}}{L}}<<\lambda }{\ frac {a ^ {2}} {L}} <<\ lambda . Результатом является Приближение Фраунгофера, которое действует только очень далеко от объекта

S ≈ L + x 2 2 L + xa 2 L {\ displaystyle S \ приблизительно L + {\ frac {x ^ {2}} {2L}} + {\ frac {xa} {2L}}}S \ приблизительно L + {\ frac {x ^ {2}} {2L}} + {\ frac {xa} {2L}}

В зависимости от размера дифракционного объекта, расстояния до объекта и длины волны приближение Френеля, приближение Фраунгофера или никакое другое приближение могут быть неприменимы. По мере того как расстояние между измеренной точкой дифракции и точкой препятствия увеличивается, дифракционные картины или предсказанные результаты сходятся к дифракционным картинам Фраунгофера, которые чаще наблюдаются в природе из-за чрезвычайно малой длины волны видимого света.

Дифракция на массиве узких щелей

Простое количественное описание

Диаграмма задачи дифракции на двух щелях, показывающая угол до первого минимума, где разница в длине пути составляет половину длина волны вызывает деструктивную интерференцию.

Множественные щели могут математически рассматриваться как множественные простые источники волн, если щели достаточно узкие. Для света щель - это отверстие, которое бесконечно расширяется в одном измерении, и это дает эффект сведения волновой проблемы в трехмерном пространстве к более простой задаче в двумерном пространстве. Самый простой случай - это две узкие щели, расположенные на расстоянии a {\ displaystyle \ a}\ a друг от друга. Чтобы определить максимумы и минимумы амплитуды, мы должны определить разность хода до первой щели и до второй. В приближении Фраунгофера, когда наблюдатель находится далеко от щелей, разница в длине пути до двух щелей, как видно из изображения, составляет

Δ S = грех ⁡ θ {\ displaystyle \ \ Delta S = { a} \ sin \ theta}\ \ Delta S = {a} \ sin \ theta

Максимум интенсивности возникает, если эта разница в длине пути представляет собой целое число длин волн.

грех ⁡ θ = N λ {\ displaystyle \ {a} \ sin \ theta = n \ lambda}\ {a} \ sin \ theta = n \ lambda
, где
n {\ displaystyle \ n}\ n - целое число, обозначающее порядок каждого максимума,
λ {\ displaystyle \ \ lambda}\ \ lambda - длина волны,
a {\ displaystyle \ a}\ a - расстояние между прорезями.
и θ {\ displaystyle \ \ theta}\ theta - угол, под которым возникает конструктивная интерференция.

Соответствующие минимумы находятся на разнице хода целое число плюс половина длины волны:

грех ⁡ θ = λ (n + 1/2) {\ displaystyle {a} \ sin \ theta = \ lambda (n + 1/2) \,}{a} \ sin \ theta = \ lambda (n + 1/2) \, .

Для массива щелей положения минимумов и максимумов не меняются, однако полосы, видимые на экране, становятся более резкими, как это видно на изображении.

Дифракция красного лазерного света с двумя и пятью щелями

Математическое описание

Чтобы вычислить этот образец интенсивности, необходимо ввести несколько более сложных методов. Математическое представление радиальной волны дается формулой

E (r) = A cos ⁡ (kr - ω t + ϕ) / r {\ displaystyle \ E (r) = A \ cos (kr- \ omega t + \ phi) / r}\ E (r) = A \ cos (kr- \ omega t + \ phi) / r

где k = 2 π λ {\ displaystyle \ k = {\ frac {2 \ pi} {\ lambda}}}\ k = {\ frac {2 \ pi} {\ lambda}} , λ {\ displaystyle \ \ lambda}\ \ lambda - длина волны, ω {\ displaystyle \ \ omega}\ \ omega - частота волны, а ϕ {\ displaystyle \ \ phi}\ \ phi - это фаза волны на щелях в момент времени t = 0. Волна на экране на некотором расстоянии от плоскости щелей задается суммой волн, исходящих от каждой щели. Чтобы немного упростить эту задачу, мы вводим сложную волну Ψ {\ displaystyle \ \ Psi}\ \ Psi , действительная часть которой равна E {\ displaystyle \ E}\ E

Ψ (г) знак равно A ei (kr - ω T + ϕ) / r {\ displaystyle \ \ Psi (r) = Ae ^ {i (kr- \ omega t + \ phi)} / r}\ \ Psi (r) = Ae ^ {{i (kr- \ omega t + \ phi)}} / r
E (r) = R e (Ψ (r)) {\ displaystyle \ E (r) = Re (\ Psi (r))}\ E (r) = Re (\ Psi (r))

Абсолютное значение этой функции дает амплитуду волны и комплексную фазу функция соответствует фазе волны. Ψ {\ displaystyle \ \ Psi}\ \ Psi называется комплексной амплитудой. С прорезями N {\ displaystyle \ N}\ N общая волна в точке x {\ displaystyle \ x}\ x на экране будет

Ψ total = A ei (- ω T + ϕ) ∑ N знак равно 0 N - 1 eik (x - na) 2 + L 2 (x - na) 2 + L 2 {\ displaystyle \ Psi _ {total} = Ae ^ {i ( - \ omega t + \ phi)} \ sum _ {n = 0} ^ {N-1} {\ frac {e ^ {ik {\ sqrt {(x-na) ^ {2} + L ^ {2}} }}} {\ sqrt {(x-na) ^ {2} + L ^ {2}}}}}\ Psi _ {{total}} = Ae ^ {{i (- \ omega t + \ phi)}} \ sum _ {{n = 0}} ^ {{N-1}} {\ frac {е ^ {{ik {\ sqrt {(x-na) ^ {2} + L ^ {2}}}}}} {{\ sqrt {(x-na) ^ {2} + L ^ {2} }}}} .

Поскольку на данный момент нас интересуют только амплитуда и относительная фаза, мы можем игнорировать любую общую фазу коэффициенты, которые не зависят от x {\ displaystyle \ x}\ x или n {\ displaystyle \ n}\ n . Мы приближаем (x - na) 2 + L 2 ≈ L + (x - na) 2/2 L {\ displaystyle {\ sqrt {(x-na) ^ {2} + L ^ {2}}} \ приблизительно L + (x-na) ^ {2} / 2L}{\ sqrt {(x-na) ^ {2} + L ^ {2}}} \ приблизительно L + (x -na) ^ {2} / 2L . В пределе Фраунгофера мы можем пренебречь условиями порядка: a 2 2 L {\ displaystyle {\ frac {a ^ {2}} {2L}}}{\ frac {a ^ {2}} {2L}} в экспоненциальная, и любые члены, содержащие a / L {\ displaystyle \ a / L}\ a / L или x / L {\ displaystyle \ x / L}\ x / L в знаменателе. Сумма становится

Ψ = A ei (k (x 2 2 L + L) - ω t + ϕ) L ∑ n = 0 N - 1 e - ikxna L {\ displaystyle \ Psi = A {\ frac {e ^ {i \ left (k ({\ frac {x ^ {2}} {2L}} + L) - \ omega t + \ phi \ right)}} {L}} \ sum _ {n = 0} ^ { N-1} e ^ {- ik {\ frac {xna} {L}}}}\ Psi = A {\ frac {e ^ {{i \ left (k ({\ гидроразрыв {x ^ {2}} {2L}} + L) - \ omega t + \ phi \ right)}}} {L}} \ sum _ {{n = 0}} ^ {{N-1}} e ^ {{- ik {\ frac {xna} {L}}}}

Сумма имеет форму геометрической суммы и может быть вычислена для получения

Ψ = A ei (К (Икс 2 - (N - 1) акс 2 L + L) - ω T + ϕ) L грех ⁡ (N kax 2 L) грех ⁡ (kax 2 L) {\ Displaystyle \ Psi = A {\ гидроразрыв {e ^ {i \ left (k ({\ frac {x ^ {2} - (N-1) ax} {2L}} + L) - \ omega t + \ phi \ right)}} {L}} {\ frac {\ sin \ left ({\ frac {Nkax} {2L}} \ right)} {\ sin \ left ({\ frac {kax} {2L}} \ right)}}}\ Psi = A {\ frac {e ^ {{i \ left (k ({\ frac {x ^ {2} - (N-1) ax} {2L}} + L) - \ omega t + \ phi \ right)}}} {L}} {\ frac {\ sin \ left ({\ frac {Nkax} {2L}} \ right)} {\ sin \ left ({\ frac {kax} {2L}} \ right)}}

Интенсивность дается модулем квадрата комплексной амплитуды

I (x) = Ψ Ψ ∗ = | Ψ | 2 знак равно I 0 (грех ⁡ (N kax 2 L) грех ⁡ (kax 2 L)) 2 {\ Displaystyle I (x) = \ Psi \ Psi ^ {*} = | \ Psi | ^ {2} = I_ { 0} \ left ({\ frac {\ sin \ left ({\ frac {Nkax} {2L}} \ right)} {\ sin \ left ({\ frac {kax} {2L}} \ right)}} \ справа) ^ {2}}I (x) = \ Psi \ Psi ^ {*} = | \ Psi | ^ {2} = I_ {0} \ left ({\ frac {\ sin \ left ({\ frac {Nkax} {2L}} \ right)} {\ sin \ left ({\ frac {kax} {2L} } \ right)}} \ right) ^ {2}

где Ψ ∗ {\ displaystyle \ Psi ^ {*}}\ Psi ^ {*} обозначает комплексное сопряжение элемента Ψ {\ displaystyle \ Psi}\ Psi .

Количественный анализ дифракции на одной щели

Численная аппроксимация дифракционной картины от щели шириной, равной длине волны падающей плоской волны в трехмерной синей визуализации Численная аппроксимация дифракционной картины от щели шириной четыре длины волны с падающей плоской волной. Главный центральный луч, нули и инверсии фазы видны. График и изображение дифракции на одной щели

В качестве примера теперь можно вывести точное уравнение для интенсивности дифракционной картины как функции угла в случае дифракции на одной щели.

Математическое представление принципа Гюйгенса может использоваться для начала уравнения.

Рассмотрим монохроматическую комплексную плоскую волну Ψ ′ {\ displaystyle \ Psi ^ {\ prime}}\ Psi ^ {\ prime} с длиной волны λ, падающую на щель шириной a.

Если прорезь лежит в плоскости x′-y ′ с центром в начале координат, то можно предположить, что дифракция порождает сложную волну ψ, распространяющуюся радиально в направлении r от щели, и это дается следующим образом:

Ψ = ∫ slitir λ Ψ ′ e - ikrdslit {\ displaystyle \ Psi = \ int _ {\ mathrm {slit}} {\ frac {i} {r \ lambda}} \ Psi ^ {\ prime} e ^ {- ikr} \, d \ mathrm {slit}}\ Psi = \ int _ {{{\ mathrm {slit}}}} {\ frac {i} {r \ lambda}} \ Psi ^ {\ prime} e ^ {{- ikr}} \, d {\ mathrm {slit}}

Пусть (x ′, y ′, 0) будет точкой внутри щели, по которой она интегрируется. Если (x, 0, z) - это место, в котором вычисляется интенсивность дифракционной картины, щель простирается от x ′ = - a / 2 {\ displaystyle x ^ {\ prime} = - a / 2}x ^ {\ prime} = - a / 2 до + a / 2 {\ displaystyle + a / 2 \,}+ a / 2 \, и от y ′ = - ∞ {\ displaystyle y '= - \ infty}y'=-\infty до ∞ {\ displaystyle \ infty}\ infty .

Расстояние r от слота:

r = (x - x ′) 2 + y ′ 2 + z 2 {\ displaystyle r = {\ sqrt {\ left (xx ^ {\ prime} \ right) ^ {2} + y ^ {\ prime 2} + z ^ {2}}}}r = {\ sqrt {\ left (xx ^ {\ prime} \ right) ^ {2} + y ^ {{\ prime 2}} + z ^ {2}} }
r = z (1 + (Икс - Икс ') 2 + Y' 2 Z 2) 1 2 {\ Displaystyle r = Z \ left (1 + {\ frac {\ left (xx ^ {\ prime} \ right) ^ {2} + y ^ {\ prime 2}} {z ^ {2}}} \ right) ^ {\ frac {1} {2}}}r = z \ left (1 + {\ frac {\ left ( xx ^ {\ prime} \ right) ^ {2} + y ^ {{\ prime 2}}} {z ^ {2}}} \ right) ^ {{\ frac {1} {2}}}

Предполагая, что дифракция Фраунгофера приведет к заключению z ≫ | (x - x ′) | {\ displaystyle z \ gg {\ big |} \ left (x-x ^ {\ prime} \ right) {\ big |}}z \ gg {\ big |} \ осталось (xx ^ {\ prime} \ right) {\ big |} . Другими словами, расстояние до цели намного больше дифракционной ширины на мишени. По правилу биномиального разложения, игнорируя квадратичные и более высокие члены, величина справа может быть оценена как:

r ≈ z (1 + 1 2 (x - x ′) 2 + y ′ 2 z 2) {\ displaystyle r \ приблизительно z \ left (1 + {\ frac {1} {2}} {\ frac {\ left (xx ^ {\ prime} \ right) ^ {2} + y ^ { \ prime 2}} {z ^ {2}}} \ right)}r \ приблизительно z \ left (1 + {\ frac {1} {2}} {\ frac {\ left ( xx ^ {\ prime} \ right) ^ {2} + y ^ {{\ prime 2}}} {z ^ {2}}} \ right)
r ≈ z + (x - x ′) 2 + y ′ 2 2 z {\ displaystyle r \ приблизительно z + {\ frac {\ left (xx ^ {\ prime} \ right) ^ {2} + y ^ {\ prime 2}} {2z}}}r \ приблизительно z + {\ frac {\ left (xx ^ {\ prime} \ right) ^ {2} + y ^ {{\ prime 2}}} {2z}}

Видно, что 1 / r перед уравнением не является колебательным, т. е. его вклад в величину интенсивности мал по сравнению с нашими экспоненциальными множителями. Следовательно, мы немного потеряем точность, аппроксимируя ее как 1 / z.

Ψ {\ Displaystyle \ Psi \,}\ Psi \, = я Ψ ′ z λ ∫ - a 2 a 2 ∫ - ∞ ∞ e - ik [z + (x - x ′) 2 + y ′ 2 2 z ] dy ′ dx ′ {\ displaystyle = {\ frac {i \ Psi ^ {\ prime}} {z \ lambda}} \ int _ {- {\ frac {a} {2}}} ^ {\ frac {a } {2}} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} e ^ {- ik \ left [z + {\ frac {\ left (xx ^ {\ prime} \ right) ^ {2} + y ^ {\ prime 2}} {2z}} \ right]} \, dy ^ {\ prime} \, dx ^ {\ prime}}= {\ frac {i \ Psi ^ {\ prime}} {z \ lambda}} \ int _ {{- {\ frac {a} {2}}}} ^ {{{{\ frac {a} {2 }}}} \ int _ {{- \ infty}} ^ {{\ infty}} e ^ {{- ik \ left [z + {\ frac {\ left (xx ^ {\ prime} \ right) ^ {2 } + y ^ {{\ prime 2}}} {2z}} \ right]}} \, dy ^ {\ prime} \, dx ^ {\ prime}
= i Ψ ′ z λ e - ikz ∫ - a 2 a 2 e - ik [(x - x ′) 2 2 z] dx ′ ′ - ∞ ∞ e - ik [y ′ 2 2 z] dy ′ {\ displaystyle = {\ frac {i \ Psi ^ {\ prime}} {z \ lambda}} e ^ {- ikz} \ int _ {- {\ frac {a} {2}}} ^ {\ frac {a} {2}} e ^ {- ik \ left [{\ frac {\ left (xx ^ {\ prime} \ right) ^ {2}} {2z}} \ right]} \, dx ^ {\ prime} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} e ^ {- ik \ left [{\ frac {y ^ {\ prime 2}} {2z}} \ right]} \, dy ^ {\ prime}}= {\ frac {i \ Psi ^ {\ prime}} {z \ lambda}} e ^ {{- ikz}} \ int _ {{- {\ frac {a} {2}}}} ^ {{{\ frac {a} {2}}}} e ^ {{- ik \ left [{\ frac {\ left (xx ^ {\ prime} \ right) ^ {2}} {2z}} \ right]}} \, dx ^ {\ prime} \ int _ {{- \ infty}} ^ {{\ infty}} e ^ {{- ik \ left [{\ frac {y ^ {{\ prime 2}}} {2z}} \ right]}} \, dy ^ {\ prime}
= Ψ ′ iz λ e - ikx 2 2 z ∫ - a 2 a 2 eikxx ′ ze - ikx ′ 2 2 zdx ′ {\ displaystyle = \ Psi ^ {\ prime} {\ sqrt {\ frac {i} {z \ lambda}}} e ^ {\ frac {-ikx ^ {2 }} {2z}} \ int _ {- {\ frac {a} {2}}} ^ {\ frac {a} {2}} e ^ {\ frac {ikxx ^ {\ prime}} {z}} e ^ {\ frac {-ikx ^ {\ prime 2}} {2z}} \, dx ^ {\ pri me}}= \ Psi ^ {\ prime} {\ sqrt {{\ frac {i} {z \ lambda}}}} е ^ {{\ frac {-ikx ^ {2}} {2z}}} \ int _ {{- {\ frac {a} {2}}}} ^ {{{\ frac {a} {2}}} } e ^ {{\ frac {ikxx ^ {\ prime}} {z}}} e ^ {{\ frac {-ikx ^ {{\ prime 2}}} {2z}}} \, dx ^ {\ prime }

Для наглядности используется заполнитель «C» для обозначения констант в уравнении. Важно помнить, что C может содержать мнимые числа, поэтому волновая функция будет комплексной. Однако в конце ψ будет заключен в квадратные скобки, что устранит любые мнимые компоненты.

Итак, в дифракции Фраунгофера kx ′ 2 / z {\ displaystyle kx ^ {\ prime 2} / z}kx ^ {{\ prime 2}} / z мало, поэтому e - ikx ′ 2 2 z ≈ 1 {\ displaystyle e ^ {\ frac {-ikx ^ {\ prime 2}} {2z}} \ приблизительно 1}e ^ {{\ frac {-ikx ^ {{\ prime 2}}} {2z}}} \ приблизительно 1 (обратите внимание, что x ′ {\ displaystyle x ^ {\ prime}}x ^ {\ prime} участвует в этой экспоненте, и она интегрируется).

Напротив, термин e - ikx 2 2 z {\ displaystyle e ^ {\ frac {-ikx ^ {2}} {2z}}}e ^ {{\ frac {-ikx ^ {2}} {2z}}} может быть исключен из уравнение, поскольку в скобках оно дает 1.

⟨e - ikx 2 2 z | е - ikx 2 2 z⟩ знак равно е - ikx 2 2 z (е - ikx 2 2 z) ∗ = e - ikx 2 2 ze + ikx 2 2 z = e 0 = 1 {\ displaystyle \ langle e ^ {\ frac {-ikx ^ {2}} {2z}} | e ^ {\ frac {-ikx ^ {2}} {2z}} \ rangle = e ^ {\ frac {-ikx ^ {2}} {2z}} (e ^ {\ frac {-ikx ^ {2}} {2z}}) ^ {*} = e ^ {\ frac {-ikx ^ {2}} {2z}} e ^ {\ frac {+ ikx ^ {2}} {2z}} = e ^ {0} = 1}\ langle e ^ {{\ frac {-ikx ^ {2}} {2z}}} | e ^ {{\ frac {-ikx ^ {2 }} {2z}}} \ rangle = e ^ {{\ frac {-ikx ^ {2}} {2z}}} (e ^ {{\ frac {-ikx ^ {2}} {2z}}}) ^ {*} = e ^ {{\ frac {-ikx ^ {2}} {2z}}} e ^ {{\ frac {+ ikx ^ {2}} {2z}}} = e ^ {0} = 1

(По той же причине мы также исключили термин e - ikz {\ displaystyle e ^ {- ikz}}e ^ {- ikz} )

Если взять C = Ψ ′ iz λ {\ displaystyle C = \ Psi ^ {\ prime} {\ sqrt {\ frac {i} {z \ lambda}}}}C = \ Psi ^ {\ prime} {\ sqrt {{\ frac {i} {z \ lambda}}}} , получим:

Ψ {\ displaystyle \ Psi \,}\ Psi \, = C ∫ - a 2 a 2 eikxx ′ zdx ′ {\ displaystyle = C \ int _ {- {\ frac {a} {2}}} ^ {\ frac {a} {2}} e ^ {\ frac {ikxx ^ {\ prime}} {z}} \, dx ^ {\ prime}}= C \ int _ {{- {\ frac {a} {2}}}} ^ {{{{\ frac {a} {2}}}} e ^ {{\ frac {ikxx ^ {\ prime}} {z}}} \, dx ^ {\ prime}
= C (eikax 2 z - e - ikax 2 z) ikxz {\ displaystyle = C {\ frac {\ left (e ^ {\ frac {ikax} {2z}} - e ^ {\ frac {-ikax} {2z}} \ right)} {\ frac {ikx} {z }}}}= C {\ frac {\ left (e ^ {{\ frac {ikax} {2z} }} - e ^ {{\ frac {-ikax} {2z}}} \ right)} {{\ frac {ikx} {z}}}}

С помощью формулы Эйлера и ее производных можно заметить, что sin ⁡ x = eix - e - ix 2 i {\ displaystyle \ sin x = {\ frac {e ^ {ix} -e ^ {- ix}} {2i} }}\ sin x = {\ frac {e ^ {{ix}} - e ^ {{- ix}}} {2i}} и грех ⁡ θ = xz {\ displaystyle \ sin \ theta = {\ frac {x} {z}}}\ sin \ theta = {\ frac {x} {z}} .

Ψ = a C sin ⁡ ka sin ⁡ θ 2 ка грех ⁡ θ 2 знак равно a С [грех ⁡ (ка грех ⁡ θ 2)] {\ displaystyle \ Psi = aC {\ frac {\ sin {\ frac {ka \ sin \ theta} {2}}} {\ frac {ka \ sin \ theta} {2}}} = aC \ left [\ operatorname {sinc} \ left ({\ frac {ka \ sin \ theta} {2}} \ right) \ right]}\ Psi = aC {\ frac {\ sin {\ frac {ka \ sin \ theta} {2}}} {{\ frac {ka \ sin \ theta} {2}}}} = aC \ left [\ operatorname {sinc} \ left ({\ frac {ka \ sin \ theta} {2}} \ right) \ right]

где (ненормализованная) функция sinc определяется как sinc ⁡ (x) = def sin ⁡ (x) x {\ displaystyle \ operatorname {sinc} (x) \ {\ stackrel {\ mathrm { def}} {=}} \ {\ frac {\ operatorname {sin} (x)} {x}}}\ operatorname { sinc} (x) \ {\ stackrel {{\ mathrm {def}}} {=}} \ {\ frac {\ operatorname {sin} (x)} {x}} .

Теперь, подставив в 2 π λ = k {\ displaystyle {\ frac {2 \ pi} {\ lambda}} = k}{\ frac {2 \ pi} {\ lambda}} = k , интенсивность (квадрат амплитуды) I {\ displaystyle I}I дифрагированных волн под углом θ определяется как:

я (θ) {\ displaystyle I (\ theta) \,}I (\ theta) \, = I 0 [sinc ⁡ (π a λ sin ⁡ θ)] 2 {\ displaystyle = I_ {0} {\ left [\ operatorname {sinc} \ left ({\ frac {\ pi a} {\ lambda}} \ sin \ theta \ right) \ right]} ^ {2}}= I_ {0} {\ left [\ operatorname {sinc} \ left ({\ frac {\ pi a} {\ lambda}} \ sin \ theta \ right) \ right]} ^ { 2}

Количественный анализ N-sl it дифракция

Двойная дифракция красного лазерного света 2-ти и 5-ти щелевая дифракция

Давайте снова начнем с математического представления принципа Гюйгенса.

Ψ = ∫ slitir λ Ψ ′ е - ikrdslit {\ displaystyle \ Psi = \ int _ {\ mathrm {slit}} {\ frac {i} {r \ lambda}} \ Psi ^ {\ prime} e ^ {- ikr} \, d \ mathrm {slit}}\ Psi = \ int _ {{{\ mathrm {slit}}}} {\ frac {i} {r \ lambda}} \ Psi ^ {\ prime} e ^ {{- ikr}} \, d {\ mathrm {slit}}

Рассмотрим N {\ displaystyle N}N прорези в основной плоскости равного размера a {\ displaystyle a}a с интервалом d {\ displaystyle d}d распространение по оси x ′ {\ displaystyle x ^ {\ prime}}x ^ {\ prime} . Как и выше, расстояние r {\ displaystyle r}r от щели 1 равно:

r = z (1 + (x - x ′) 2 + y ′ 2 z 2) 1 2 {\ displaystyle r = z \ left (1 + {\ frac {\ left (xx ^ {\ prime} \ right) ^ {2} + y ^ {\ prime 2}} {z ^ {2}}} \ right)) ^ {\ frac {1} {2}}}r = z \ left (1 + {\ frac {\ left ( xx ^ {\ prime} \ right) ^ {2} + y ^ {{\ prime 2}}} {z ^ {2}}} \ right) ^ {{\ frac {1} {2}}}

Чтобы обобщить это на N {\ displaystyle N}N щелей, мы делаем наблюдение, что хотя z {\ displaystyle z}z и y {\ displaystyle y}y остаются постоянными, x ′ {\ displaystyle x ^ {\ prime}}x ^ {\ prime} сдвигается на

xj = 0 ⋯ N - 1 ′ = x 0 ′ - jd {\ displaystyle x_ {j = 0 \ cdots n-1} ^ {\ prime} = x_ {0} ^ {\ prime} -jd}x _ {{j = 0 \ cdots n-1}} ^ {{\ prime}} = x_ {0} ^ {\ prime} -jd

Таким образом,

rj = z (1 + (x - x ′ - jd) 2 + y ′ 2 z 2) 1 2 {\ displaystyle r_ {j} = z \ left (1 + {\ frac {\ left (xx ^ {\ prime} -jd \ right) ^ {2} + y ^ {\ prime 2}} {z ^ {2}}} \ right) ^ {\ frac {1} {2}}}r_ {j} = z \ left (1 + {\ frac {\ left (xx ^ {\ prime} -jd \ right) ^ {2} + y ^ {{\ простое число 2}}} {z ^ {2}}} \ right) ^ {{ \ frac {1} {2}}}

и сумма всех вкладов N {\ displaystyle N}N в волновую функцию составляет:

Ψ = ∑ j = 0 N - 1 C ∫ - a 2 a 2 eikx (x ′ - jd) ze - ik (x ′ - jd) 2 2 zdx ′ {\ displaystyle \ Psi = \ sum _ {j = 0} ^ {N-1} C \ int _ {- {\ frac {a} {2}}} ^ {\ frac {a} {2}} e ^ {\ frac {ikx \ left (x ^ {\ prime} -jd \ right)} {z}} e ^ {\ frac {-ik \ left (x ^ {\ prime} -jd \ right) ^ {2}} {2z}} \, dx ^ {\ prime}}\ Psi = \ sum _ {{j = 0}} ^ {{N-1}} C \ int _ {{- {\ frac {a} {2}}}} ^ {{{\ frac {a} {2}}}} e ^ {{\ frac {ikx \ left (x ^ {\ prime} -jd \ right)} {z}}} e ^ {{\ frac {-ik \ left (x ^ {\ prime} -jd \ right)) ^ {2}} {2z}}} \, dx ^ {\ prime}

Снова отмечая, что к (х '- jd) 2 z {\ displaystyle {\ frac {k \ left (x ^ {\ prime} -jd \ right) ^ {2}} {z}}}{\ frac {k \ left (x ^ {\ prime} -jd \ right) ^ {2}} {z }} мало, поэтому e - ik (x ′ - jd) 2 2 z ≈ 1 {\ displaystyle e ^ {\ frac {-ik \ left (x ^ {\ prime} -jd \ right) ^ {2} } {2z}} \ приблизительно 1}e ^ {{\ frac {-ik \ left (x ^ {\ prime} -jd \ right) ^ {2}} { 2z}}} \ приблизительно 1 , имеем:

Ψ {\ displaystyle \ Psi \,}\ Psi \, = C ∑ j = 0 N - 1 ∫ - a 2 a 2 eikx (Икс '- JD) zdx' {\ Displaystyle = C \ sum _ {j = 0} ^ {N-1} \ int _ {- {\ frac {a} {2}}} ^ {\ frac {a} {2}} e ^ {\ frac {ikx \ left (x ^ {\ prime} -jd \ right)} {z}} \, dx ^ {\ prime}}= C \ sum _ {{j = 0}} ^ {{N-1}} \ int _ {{- {\ frac {a} {2}}}} ^ {{{\ frac {a} {2}}}} e ^ {{\ frac {ikx \ left (x ^ {\ prime} -jd \ right)} {z }}} \, dx ^ {\ prime}
= a C ∑ j = 0 N - 1 (eikax 2 z - ijkxdz - e - ikax 2 z - ijkxdz) 2 ikax 2 z {\ displaystyle = aC \ sum _ {j = 0} ^ {N-1} {\ frac {\ left (e ^ { {\ frac {ikax} {2z}} - {\ frac {ijkxd} {z}}} - e ^ {{\ frac {-ikax} {2z}} - {\ frac {ijkxd} {z}}} \ справа)} {\ frac {2ikax} {2z}}}}= aC \ sum _ {{j = 0}} ^ {{N-1}} {\ frac {\ left (e ^ {{{ \ frac {ikax} {2z}} - {\ frac {ijkxd} {z}}}} - e ^ {{{\ frac {-ikax} {2z}} - {\ frac {ijkxd} {z}}} } \ right)} {{\ frac {2ikax} {2z}}}}
= a C ∑ j = 0 N - 1 eijkxdz (eikax 2 z - e - ikax 2 z) 2 ikax 2 z {\ displaystyle = aC \ sum _ {j = 0} ^ {N-1} e ^ {\ frac {ijkxd} {z}} {\ frac {\ left (e ^ {\ frac {ikax} {2z}}) -e ^ {\ frac {-ikax} {2z}} \ right)} {\ frac {2ikax} {2z}}}}= aC \ sum _ {{j = 0}} ^ { {N-1}} e ^ {{\ frac {ijkxd} {z}}} {\ frac {\ left (e ^ {{\ frac {ikax} {2z}}} - e ^ {{\ frac {- ikax} {2z}}} \ right)} {{\ frac {2ikax} {2z}}}}
= a C sin ⁡ ka sin ⁡ θ 2 ka sin ⁡ θ 2 ∑ j Знак равно 0 N - 1 eijkd грех ⁡ θ {\ displaystyle = aC {\ frac {\ sin {\ frac {ka \ sin \ theta} {2}}} {\ frac {ka \ sin \ theta} {2}}} \ sum _ {j = 0} ^ {N-1} e ^ {ijkd \ sin \ theta}}{\ displaystyle = aC {\ frac {\ sin {\ frac {ka \ sin \ theta} {2}}} {\ frac {ka \ sin \ theta} {2}}} \ sum _ {j = 0} ^ {N-1} e ^ {ijkd \ sin \ theta}}

Теперь мы можем использовать следующее тождество

∑ j = 0 N - 1 exj = 1 - e N x 1 - отл. {\ displaystyle \ sum _ {j = 0} ^ {N-1} e ^ {xj} = {\ frac {1-e ^ {Nx}} {1-e ^ {x}}}.}\ sum _ {{j = 0}} ^ {{N-1}} e ^ {{xj}} = {\ frac {1- e ^ {{Nx}}} {1-e ^ {x}}}.

Подставляя в наше уравнение, мы находим:

Ψ {\ displaystyle \ Psi \,}\ Psi \, = a C sin ⁡ ka sin ⁡ θ 2 ka sin ⁡ θ 2 (1 - ei N kd sin ⁡ θ 1 - eikd грех ⁡ θ) {\ displaystyle = aC {\ frac {\ sin {\ frac {ka \ sin \ theta} {2}}} {\ frac {ka \ sin \ theta} {2}}} \ left ({\ frac {1-e ^ {iNkd \ sin \ theta}} {1-e ^ {ikd \ sin \ theta}}} \ right)}= aC {\ frac {\ sin {\ frac {ka \ sin \ theta} { 2}}} {{\ frac {ka \ sin \ theta} {2}}}} \ left ({\ frac {1-e ^ {{iNkd \ sin \ theta}}}} {1-e ^ {{ikd \ s in \ theta}}}} \ right)
= a C sin ⁡ ka sin ⁡ θ 2 ka sin ⁡ θ 2 (е - я N kd грех ⁡ θ 2 - ei N kd sin ⁡ θ 2 e - ikd sin ⁡ θ 2 - eikd sin ⁡ θ 2) (ei N kd sin ⁡ θ 2 eikd sin ⁡ θ 2) {\ displaystyle = aC {\ frac {\ sin {\ frac {ka \ sin \ theta} {2}}} {\ frac {ka \ sin \ theta} {2}}} \ left ({\ frac {e ^ {- iNkd { \ frac {\ sin \ theta} {2}}} - e ^ {iNkd {\ frac {\ sin \ theta} {2}}}} {e ^ {- ikd {\ frac {\ sin \ theta} {2 }}} - e ^ {ikd {\ frac {\ sin \ theta} {2}}}}} \ right) \ left ({\ frac {e ^ {iNkd {\ frac {\ sin \ theta} {2} }}} {e ^ {ikd {\ frac {\ sin \ theta} {2}}}}} \ right)}= aC {\ frac {\ sin {\ frac {ka \ sin \ theta} {2}}} {{\ frac {ka \ sin \ theta} } {2}}}} \ left ({\ frac {e ^ {{- iNkd {\ frac {\ sin \ theta} {2}}}} - e ^ {{iNkd {\ frac {\ sin \ theta}) {2}}}}} {e ^ {{- ikd {\ frac {\ sin \ theta} {2}}}} - e ^ {{ikd {\ frac {\ sin \ theta} {2}}}} }} \ right) \ left ({\ frac {e ^ {{iNkd {\ frac {\ sin \ theta} {2}}}}} {e ^ {{ikd {\ frac {\ sin \ theta} {2 }}}}}} \ right)
= a C sin ⁡ ka sin ⁡ θ 2 ka sin ⁡ θ 2 e - i N kd sin ⁡ θ 2 - ei N kd sin ⁡ θ 2 2 i е - ikd sin ⁡ θ 2 - eikd sin ⁡ θ 2 2 i (ei (N - 1) kd sin ⁡ θ 2) {\ displaystyle = aC {\ frac {\ sin {\ frac {ka \ sin \ theta} { 2}}} {\ frac {ka \ sin \ theta} {2}}} {\ frac {\ frac {e ^ {- iNkd {\ frac {\ sin \ theta} {2}}} - e ^ {iNkd {\ frac {\ sin \ theta} {2}}}} {2i}} {\ frac {e ^ {- ikd {\ frac {\ sin \ theta} {2}}} - e ^ {ikd {\ frac {\ sin \ theta} {2}}}} {2i}}} \ left (e ^ {i (N-1) kd {\ frac {\ sin \ theta} {2}}} \ right)}= aC {\ frac {\ sin {\ frac {ka \ sin \ theta} {2}}} {{\ frac {ka \ sin \ theta} } {2}}}} {\ frac {{\ frac {e ^ {{- iNkd {\ frac {\ sin \ theta} {2}}}}} - e ^ {{iNkd {\ frac {\ sin \ theta} } {2}}}}} {2i}}} {{\ frac {e ^ {{- ikd {\ frac {\ sin \ theta} {2}}}} - e ^ {{ikd {\ frac {\ sin \ theta} {2}}}}} {2i}}}} \ left (e ^ {{i (N-1) kd {\ frac {\ sin \ theta} {2}}}} \ right)
= a C sin ⁡ (ka sin ⁡ θ 2) ka sin ⁡ θ 2 sin ⁡ (N kd sin ⁡ θ 2) sin ⁡ (kd sin ⁡ θ 2) ei (N - 1) kd sin ⁡ θ 2 {\ displaystyle = aC {\ frac {\ sin \ left ({\ frac {ka \ sin \ theta} {2}} \ right)} {\ frac {ka \ sin \ theta} {2}}} {\ frac {\ sin \ left ({\ frac {Nkd \ sin \ theta} {2}} \ right)} {\ sin \ left ({\ frac {kd \ sin \ theta} {2}} \ right)}} e ^ { i \ left (N-1 \ right) kd {\ frac {\ sin \ theta} {2}}}}= aC {\ frac {\ sin \ left ({\ frac {ka \ sin \ theta} {2}} \ right)} {{\ frac {ka \ sin \ theta} {2}}}} {\ frac {\ sin \ left ({\ frac {Nkd \ sin \ theta} {2}} \ right)} {\ sin \ left ({\ frac {kd \ sin \ theta} {2}} \ right)}} e ^ {{ i \ left (N-1 \ right) kd {\ frac {\ sin \ theta} {2}}}}

Теперь сделаем нашу замену k {\ displaystyle k}kкак перед и представьте все неосциллирующие константы переменной I 0 {\ displaystyle I_ {0}}I_ {0} , как в дифракции на 1 щель, и заключите результат в скобки. Помните, что

⟨e i x | eix⟩ = e 0 = 1 {\ displaystyle \ langle e ^ {ix} {\ Big |} e ^ {ix} \ rangle \ = e ^ {0} = 1}\ langle e ^ {{ix}} {\ Big |} e ^ {{ix}} \ rangle \ = e ^ {0} = 1

Это позволяет нам отбросить экспоненту хвоста и у нас есть наш ответ:

I (θ) = I 0 [sinc ⁡ (π a λ sin ⁡ θ)] 2 ⋅ [sin ⁡ (N π d λ sin ⁡ θ) sin ⁡ (π d λ sin θ)] 2 {\ displaystyle I \ left (\ theta \ right) = I_ {0} \ left [\ operatorname {sinc} \ left ({\ frac {\ pi a} {\ lambda}} \ sin \ theta \ right) \ right] ^ {2} \ cdot \ left [{\ frac {\ sin \ left ({\ frac {N \ pi d} {\ lambda}} \ sin \ theta \ right)} {\ sin \ left ({\ frac {\ pi d} {\ lambda}} \ sin \ theta \ right)}} \ right] ^ {2}}I \ left (\ theta \ right) = I_ {0} \ left [\ operatorname {sinc} \ left ({\ frac {\ pi a} {\ lambda}} \ sin \ theta \ right) \ right] ^ {2} \ cdot \ left [{\ frac {\ sin \ left ({\ frac {N \ pi d} {\ lambda}} \ sin \ theta \ right)} {\ sin \ left ({\ frac {\ pi d} {\ lambda}} \ sin \ theta \ right)}} \ right] ^ {2}

Общий случай для дальнего поля

В дальнем поле где r по существу постоянное, тогда уравнение:

Ψ = ∫ slitir λ Ψ ′ e - ikrdslit {\ displaystyle \ Psi = \ int _ {\ mathrm {slit}} {\ frac {i} {r \ lambda} } \ Psi ^ {\ prime} e ^ {- ikr} \, d \ mathrm {slit}}\ Psi = \ int _ {{{\ mathrm {slit}}}} {\ frac {i} {r \ lambda}} \ Psi ^ {\ prime} e ^ {{- ikr}} \, d {\ mathrm {slit}}

эквивалентно выполнению преобразования Фурье на промежутках в барьере.

См. Также

Ссылки

Последняя правка сделана 2021-05-17 05:45:43
Содержание доступно по лицензии CC BY-SA 3.0 (если не указано иное).
Обратная связь: support@alphapedia.ru
Соглашение
О проекте