Тригонометрический ряд

В математике тригонометрический ряд - это ряд имеет вид:

$A\; 0\; 2\; +\; \sum \; n\; =\; 1\; \infty \; (A\; n\; cos\; \; nx\; +\; B\; n\; sin\; \; nx).\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{A\_\; \{0\}\}\; \{2\}\}\; +\; \backslash \; displaystyle\; \backslash \; sum\; \_\; \{n\; =\; 1\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; (A\_\; \{n\}\; \backslash \; cos\; \{nx\}\; +\; B\_\; \{n\}\; \backslash \; sin\; \{\; nx\}).\}$

Он называется рядом Фурье, если члены $A\; n\; \{\backslash \; displaystyle\; A\_\; \{n\}\}$и $B\; n\; \{\backslash \; displaystyle\; B\_\; \{n\}\}$имеют вид:

$A\; n\; =\; 1\; \pi \; \int \; 0\; 2\; \pi \; f\; (x)\; cos\; \; nxdx\; (n\; =\; 0,\; 1,\; 2,\; 3\dots )\; \{\backslash \; displaystyle\; A\_\; \{n\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{\backslash \; pi\}\}\; \backslash \; displaystyle\; \backslash \; int\; \_\; \{0\}\; ^\; \{2\; \backslash \; pi\}\; \backslash !\; F\; (x)\; \backslash \; cos\; \{nx\}\; \backslash ,\; dx\; \backslash \; qquad\; (n\; =\; 0,\; 1,2,3\; \backslash \; точки)\}$

$В\; n\; =\; 1\; \pi \; \int \; 0\; 2\; \pi \; е\; (х)\; грех\; \; nxdx\; (n\; =\; 1,\; 2,\; 3,\dots )\; \{\backslash \; displaystyle\; B\_\; \{n\}\; =\; \{\backslash \; гидроразрыв\; \{1\}\; \{\backslash \; pi\}\}\; \backslash \; displaystyle\; \backslash \; int\; \_\; \{0\}\; ^\; \{2\; \backslash \; pi\}\; \backslash !\; f\; (x)\; \backslash \; sin\; \{nx\}\; \backslash ,\; dx\; \backslash \; qquad\; (n\; =\; 1,2,3,\; \backslash \; dots)\}$

где $f\; \{\backslash \; displaystyle\; f\}$- интегрируемая функция.

Нули тригонометрического ряда

Уникальность и нули тригонометрических серия была активной областью исследований в Европе 19 века. Во-первых, Георг Кантор доказал, что если тригонометрический ряд сходится к функции $f\; (x)\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; (x)\}$на интервале $[0,\; 2\; \pi ]\; \{\backslash \; displaystyle\; [0,2\; \backslash \; pi]\}$, который тождественно равен нулю или, в более общем смысле, отличен от нуля не более чем в конечном числе точек, тогда все коэффициенты ряда равны нулю.

Позже Кантор доказал, что даже если множество S, на котором $f\; \{\backslash \; displaystyle\; f\}$отлично от нуля, бесконечно, но производное множество S ' S конечно, то все коэффициенты равны нулю. Фактически, он доказал более общий результат. Пусть S 0 = S и пусть S k + 1 будет производным набором для S k. Если существует конечное число n, для которого S n конечно, то все коэффициенты равны нулю. Позже Лебег доказал, что если существует счетно бесконечный ординал α такой, что S α конечно, то все коэффициенты ряда равны нулю. Известно, что работа Кантора над проблемой уникальности привела к тому, что он изобрел трансфинитные порядковые числа, которые появились как индексы α в S α.

Ссылки