Интеграл Хенштока – Курцвейла

редактировать

Обобщение интеграла Римана

В математике, интеграл Хенстока – Курцвейла или обобщенный интеграл Римана или калибровочный интеграл - также известный как (узкий) интеграл Данжуа (произносится ), интеграл Лузина или интеграл Перрона, но не путать с более общим интегралом Данжуа - это одно из множества определений интеграла для функция. Это обобщение интеграла Римана, а в некоторых случаях является более общим, чем интеграл Лебега. В частности, функция является интегрируемой по Лебегу тогда и только тогда, когда функция и ее модуль интегрируемы по Хенстоку – Курцвейлю.

Этот интеграл впервые был определен Арно Данжуа (1912). Данжуа интересовало определение, которое позволило бы интегрировать функции типа

f (x) = 1 x sin ⁡ (1 x 3). {\ displaystyle f (x) = {\ frac {1} {x}} \ sin \ left ({\ frac {1} {x ^ {3}}} \ right).}

f (x) = {\ frac {1} {x}} \ sin \ left ({\ frac {1} {x ^ {3}}} \ right).

Эта функция имеет особенность в точке 0 и не интегрируема по Лебегу. Однако кажется естественным вычислить его интеграл за исключением интервала [−ε, δ], а затем позволить ε, δ → 0.

Пытаясь создать общую теорию, Данжуа использовал трансфинитную индукцию по возможным типам особенностей, что усложняет определение. Другие определения были даны Николаем Лузиным (с использованием вариаций понятий абсолютной непрерывности ) и Оскаром Перроном, который интересовался непрерывными главными и второстепенными функциями.. Потребовалось время, чтобы понять, что интегралы Перрона и Данжуа на самом деле идентичны.

Позже, в 1957 году, чешский математик Ярослав Курцвейл открыл новое определение этого интеграла, элегантно похожее по природе на исходное определение Римана, которое он назвал датчик интегральный ; теория была разработана Ральфом Хенстоком. Благодаря этим двум важным вкладам он теперь широко известен как интеграл Хенстока – Курцвейла . Простота определения Курцвейла заставила некоторых преподавателей выступить за то, чтобы этот интеграл заменил интеграл Римана во вводных курсах по исчислению.

Содержание

1 Определение
2 Свойства
3 Интеграл МакШейна
4 См. Также
5 Ссылки
- 5.1 Сноски
- 5.2 Общие
6 Внешние ссылки

Определение

Для данного раздела с тегами P [a, b], то есть

a = u 0 < u 1 < ⋯ < u n = b {\displaystyle a=u_{0}

{\ displaystyle a = u_ {0} <u_ {1} <\ cdots <u_ {n} = b}

вместе с

ti ∈ [ui - 1, ui], {\ displaystyle t_ {i} \ in [u_ {i-1}, u_ {i}],}

{\ displaystyle t_ {i} \ in [u_ {i-1}, u_ {i}],}

мы определяем сумму Римана для функции

f: [a, b] → R {\ displaystyle f \ двоеточие [a, b] \ to \ mathbb {R}}

f \ двоеточие [a, b] \ to {\ mathbb {R}}

как

∑ P f = ∑ i = 1 nf (ti) Δ ui. {\ displaystyle \ sum _ {P} f = \ sum _ {i = 1} ^ {n} f (t_ {i}) \ Delta u_ {i}.}

{\ displaystyle \ sum _ {P} f = \ sum _ {i = 1} ^ {n} f (t_ {i}) \ Delta u_ {i }.}

где

Δ ui: = ui - ui - 1. {\ displaystyle \ Delta u_ {i}: = u_ {i} -u_ {i-1}.}

{\ displaystyle \ Delta u_ {i}: = u_ {i} -u_ {i-1}.}

Для положительной функции

δ: [a, b] → (0, ∞), {\ displaystyle \ delta \ двоеточие [a, b] \ to (0, \ infty), \,}

\ delta \ colon [a, b] \ to (0, \ infty), \,

, который мы называем датчиком, мы говорим, что тегированный раздел P равен $δ {\ displaystyle \ delta}$ $\ delta$ -тонкое, если

∀ i [ui - 1, ui] ⊂ [ti - δ (ti), ti + δ (ti)]. {\ displaystyle \ forall i \ \ [u_ {i-1}, u_ {i}] \ subset [t_ {i} - \ delta (t_ {i}), t_ {i} + \ delta (t_ {i}))].}

\ forall i \ \ [u_ {i-1}, u_i] \ subset [t_i- \ delta (t_i), t_i + \ delta (t_i)].

Теперь определим число I как интеграл Хенстока – Курцвейла от f, если для каждого ε>0 существует калибровка $δ {\ displaystyle \ delta}$ $\ delta$ такая, что всякий раз, когда P равно $δ {\ displaystyle \ delta}$ $\ delta$ -fine, мы имеем

| ∑ P f - I | < ε. {\displaystyle {\Big \vert }\sum _{P}f-I{\Big \vert }<\varepsilon.}

{{\ Big \ vert}} \ sum _ {P } fI {{\ Big \ vert}} <\ varepsilon.

Если такое I существует, мы говорим, что f интегрируема по Хенстоку – Курцвейлу на [a, b].

Теорема Кузена утверждает, что для каждого калибра $δ {\ displaystyle \ delta}$ $\ delta$ такое $δ {\ displaystyle \ delta}$ $\ delta$ -fine раздел P действительно существует, поэтому это условие не может быть удовлетворено вакуумно. Интеграл Римана можно рассматривать как частный случай, когда мы допускаем только постоянные калибровки.

Свойства

Пусть f: [a, b] → ℝ - любая функция.

Дано a < c < b, f is Henstock–Kurzweil integrable on [a, b] if and only if it is Henstock–Kurzweil integrable on both [a, c] and [c, b]; in which case,

b a b f (x) d x = ∫ a c f (x) d x + ∫ c b f (x) d x. {\ displaystyle \ int _ {a} ^ {b} f (x) \, dx = \ int _ {a} ^ {c} f (x) \, dx + \ int _ {c} ^ {b} f ( x) \, dx.}

\ int _ {a} ^ {b } f (x) \, dx = \ int _ {a} ^ {c} f (x) \, dx + \ int _ {c} ^ {b} f (x) \, dx.

Интегралы Хенстока – Курцвейла линейны. Для интегрируемых функций f, g и действительных чисел α, β выражение αf + βg интегрируемо; например,

∫ a b α f (x) + β g (x) d x = α ∫ a b f (x) d x + β ∫ a b g (x) d x. {\ Displaystyle \ int _ {a} ^ {b} \ альфа f (x) + \ beta g (x) \, dx = \ alpha \ int _ {a} ^ {b} f (x) \, dx + \ beta \ int _ {a} ^ {b} g (x) \, dx.}

\ int _ {a} ^ {b} \ альфа f (x) + \ beta g (x) \, dx = \ alpha \ int _ {a} ^ {b} f (x) \, dx + \ beta \ int _ {a} ^ {b} g (x) \, dx.

Если f интегрируема по Риману или Лебегу, то она также интегрируема по Хенстоку – Курцвейлу, и вычисление этого интеграла дает одинаковый результат для всех три состава. Важное положение:

∫ abf (x) dx = lim c → b - ∫ acf (x) dx {\ displaystyle \ int _ {a} ^ {b} f (x) \, dx = \ lim _ { c \ to b ^ {-}} \ int _ {a} ^ {c} f (x) \, dx}

\ int _ {a} ^ {b} f (x) \, dx = \ lim _ {{c \ to b ^ {-}}} \ int _ {a} ^ { c} f (x) \, dx

всякий раз, когда существует какая-либо часть уравнения, а также симметрично для нижней границы интегрирования. Это означает, что если f «неправильно интегрируем по Хенстоку – Курцвейлу», то оно собственно интегрируемо по Хенстоку – Курцвейлу; в частности, несобственные интегралы Римана или Лебега таких типов, как

∫ 0 1 sin ⁡ (1 / x) xdx {\ displaystyle \ int _ {0} ^ {1} {\ frac {\ sin (1 / x) } {x}} \, dx}

\ int _ {0} ^ {1} {\ frac {\ sin (1 / x)} x} \, dx

также являются собственными интегралами Хенстока – Курцвейла. Изучение «несобственного интеграла Хенстока – Курцвейла» с конечными оценками не имело бы смысла. Однако имеет смысл рассматривать несобственные интегралы Хенстока – Курцвейла с бесконечными границами, такими как

∫ a ∞ f (x) d x: = lim b → ∞ ∫ a b f (x) d x. {\ Displaystyle \ int _ {a} ^ {\ infty} е (х) \, dx: = \ lim _ {b \ to \ infty} \ int _ {a} ^ {b} f (x) \, dx.}

\ int _ {a} ^ {{\ infty}} f (x) \, dx: = \ lim _ {{b \ to \ infty}} \ int _ {a} ^ {b} f (x) \, dx.

Для многих типов функций интеграл Хенстока – Курцвейла не более общий, чем интеграл Лебега. Например, если f ограничено с компактным носителем, следующие условия эквивалентны:

f интегрируем по Хенстоку – Курцвейлю,
f интегрируем по Лебегу,
f измеримо по Лебегу..

В общем случае каждая интегрируемая функция Хенстока – Курцвейла измерима, а функция f интегрируема по Лебегу тогда и только тогда, когда и f, и | f | интегрируемы по Хенстоку – Курцвейлю. Это означает, что интеграл Хенстока – Курцвейла можно рассматривать как «неабсолютно сходящуюся версию интеграла Лебега». Из этого также следует, что интеграл Хенстока – Курцвейла удовлетворяет соответствующим версиям теоремы о монотонной сходимости (без требования неотрицательности функций) и теоремы о доминирующей сходимости (где условие доминирования ослаблено. к g (x) ≤ f n (x) ≤ h (x) для некоторых интегрируемых g, h).

Если F всюду дифференцируема (или со счетным числом исключений), производная F ′ интегрируема по Хенстоку – Курцвейлу, а ее неопределенный интеграл Хенстока – Курцвейла равен F. (Обратите внимание, что F ′ не обязательно может быть интегрируемым по Лебегу. Другими словами, мы получаем более простую и более удовлетворительную версию второй фундаментальной теоремы исчисления : каждая дифференцируемая функция является с точностью до константы интегралом от своей производной:

F (x) - F (a) = ∫ ax F ′ (t) dt. {\ displaystyle F (x) -F (a) = \ int _ {a} ^ {x} F '(t) \, dt.}

F(x)-F(a)=\int _{a}^{x}F'(t)\,dt.

И наоборот, теорема Лебега о дифференцировании продолжает справедливы для интеграла Хенстока – Курцвейла: если f интегрируема по Хенстоку – Курцвейлу на [a, b] и

F (x) = ∫ axf (t) dt, {\ displaystyle F (x) = \ int _ { a} ^ {x} f (t) \, dt,}

F (x) = \ int _ {a} ^ {x} е (t) \, dt,

, то F ′ (x) = f (x) почти всюду в [a, b] (в частности, F почти всюду дифференцируема).

Пространство всех интегрируемых функций Хенстока – Курцвейля часто наделено нормой Алексевича, по отношению к которой оно цилиндрическое, но неполное.

Интеграл МакШейна

Интеграл Лебега на прямой также может быть представлен аналогичным образом.

Если мы возьмем определение интеграла Хенстока – Курцвейла сверху и отбросим условие

ti ∈ [ui - 1, ui], {\ displaystyle t_ {i} \ in [u_ { i-1}, u_ {i}],}

{\ displaystyle t_ {i} \ in [u_ {i-1}, u_ {i}],}

то мы получаем определение, которое эквивалентно интегралу Лебега. Обратите внимание, что условие

∀ i [ui - 1, ui] ⊂ [ti - δ (ti), ti + δ (ti)] {\ displaystyle \ forall i \ \ [u_ {i-1}, u_ { i}] \ subset [t_ {i} - \ delta (t_ {i}), t_ {i} + \ delta (t_ {i})]}

{\ displaystyle \ forall i \ [u_ {i -1}, u_ {i}] \ subset [t_ {i} - \ delta (t_ {i}), t_ {i} + \ delta (t_ {i})]}

по-прежнему применяется, и мы технически также требуем $ti ∈ [a, b] {\ textstyle t_ {i} \ in [a, b]}$ ${\ textstyle t_ {i} \ in [a, b]}$ для $f (ti) {\ textstyle f (t_ {i})}$ ${\ textstyle f (t_ {i})}$ подлежит определению.

См. Также

Ссылки

Сноски

Общее

Бартл, Роберт Г. (2001). Современная теория интеграции. Аспирантура по математике. 32. Американское математическое общество. ISBN 978-0-8218-0845-0.
Современная теория интеграции в 21 веке
Бартл, Роберт Г. ; Шерберт, Дональд Р. (1999). Введение в реальный анализ (3-е изд.). Вайли. ISBN 978-0-471-32148-4.
Челидзе В.Г.; Джваршеньшвили, А.Г. (1989). Теория интеграла Данжуа и некоторые приложения. Серии в реальном анализе. 3 . Всемирная научная издательская компания. ISBN 978-981-02-0021-3.
Дас, А.Г. (2008). Римана, Лебега и обобщенных интегралов Римана. Издательство Нароса. ISBN 978-81-7319-933-2.
Гордон, Рассел А. (1994). Интегралы Лебега, Данжуа, Перрона и Хенстока. Аспирантура по математике. 4 . Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество. ISBN 978-0-8218-3805-1.
Хенсток, Ральф (1988). Лекции по теории интеграции. Серии в реальном анализе. 1 . Всемирная научная издательская компания. ISBN 978-9971-5-0450-2.
Курцвейл, Ярослав (2000). Интеграция Хенстока – Курцвейла: ее связь с топологическими векторными пространствами. Серии в реальном анализе. 7 . Всемирная научная издательская компания. ISBN 978-981-02-4207-7.
Курцвейл, Ярослав (2002). Интегрирование между интегралом Лебега и интегралом Хенстока – Курцвейла: его связь с локально выпуклыми векторными пространствами. Серии в реальном анализе. 8 . Всемирная научная издательская компания. ISBN 978-981-238-046-3.
Лидер, Соломон (2001). Интеграл Курцвейла – Хенстока и его дифференциалы. Серия «Чистая и прикладная математика». CRC. ISBN 978-0-8247-0535-0.
Ли, Пэн-Йи (1989). Ланьчжоуские лекции по интеграции Henstock. Серии в реальном анализе. 2 . Всемирная научная издательская компания. ISBN 978-9971-5-0891-3.
Ли, Пэн-Йи; Выборны, Рудольф (2000). Интеграл: легкий подход после Курцвейла и Хенстока. Серия лекций Австралийского математического общества. Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-77968-5.
Маклеод, Роберт М. (1980). Обобщенный интеграл Римана. Математические монографии Каруса. 20 . Вашингтон, округ Колумбия: Математическая ассоциация Америки. ISBN 978-0-88385-021-3.
Swartz, Charles W. (2001). Введение в калибровочные интегралы. Всемирная научная издательская компания. ISBN 978-981-02-4239-8.
Swartz, Charles W.; Курц, Дуглас С. (2004). Теории интеграции: интегралы Римана, Лебега, Хенстока – Курцвейла и МакШейна. Серии в реальном анализе. 9 . Всемирная научная издательская компания. ISBN 978-981-256-611-9.

Внешние ссылки

Следующие дополнительные ресурсы в Интернете для получения дополнительной информации:

, Энциклопедия математики, EMS Press, 2001 [1994]
Введение в калибровочный интеграл
Открытое предложение: заменить интеграл Римана калибровочным интегралом в учебниках по математике с подписью Бартла, Хеншток, Курцвейл, Шехтер, Швабик и Выборорный