Абсолютная непрерывность

редактировать

В исчислении, абсолютная непрерывность- это свойство плавности функций , что сильнее, чем непрерывность и однородная непрерывность. Понятие абсолютной непрерывности позволяет получить обобщение взаимосвязи между двумя центральными операциями исчисления - дифференцирования и интегрирования. Это соотношение обычно характеризуется (фундаментальной теоремой исчисления ) в рамках интегрирования Римана, но с абсолютной непрерывностью оно может быть сформулировано в терминах интегрирования Лебега. Для вещественных функций на вещественной строке появляются два взаимосвязанных понятия: абсолютная непрерывность функций и абсолютная непрерывность мер. Эти два понятия обобщаются в разных направлениях. Обычная производная функции связана с производной Радона – Никодима, или плотностью меры.

У нас есть следующие цепочки включений для функций над компактным подмножеством вещественной прямой:

абсолютно непрерывно ⊆ равномерно непрерывно ⊆ непрерывно

и для компактный интервал

непрерывно дифференцируемый ⊆ непрерывный липшицев ⊆ абсолютно непрерывный ⊆ ограниченная вариация ⊆ дифференцируемый почти всюду

Содержание

1 Абсолютная непрерывность функций
- 1.1 Определение
- 1.2 Эквивалентные определения
- 1.3 Свойства
- 1.4 Примеры
- 1.5 Обобщения
- 1.6 Свойства этих обобщений
2 Абсолютная непрерывность мер
- 2.1 Определение
- 2.2 Эквивалент определения
- 2.3 Обобщения
- 2.4 Сингулярные меры
3 Связь между двумя понятиями абсолютной непрерывности
4 Примечания
5 Ссылки
6 Внешние ссылки

Абсолютная непрерывность функций

Непрерывная функция не может быть абсолютно непрерывной, если она не может быть равномерно непрерывной, что может произойти, если Функция main не компактна - примерами являются tan (x) над [0, π / 2), x по всей вещественной прямой и sin (1 / x) над (0, 1]. Но непрерывная функция f может не быть абсолютно непрерывной даже на компактном интервале. Она не может быть «дифференцируемой почти всюду» (например, функция Вейерштрасса, которая нигде не дифференцируема). Или он может быть дифференцируемым почти всюду, а его производная f ′ может быть интегрируемой по Лебегу, но интеграл от f ′ отличается от приращения f (насколько f изменяется на интервале). Это происходит, например, с функцией Кантора.

Определение

Пусть $I {\ displaystyle I}$ $I$ будет интервалом в вещественная строка $R {\ displaystyle \ mathbb {R}}$ $\ mathbb {R}$ . Функция $f: I → R {\ displaystyle f \ двоеточие I \ to \ mathbb {R}}$ $f \ двоеточие I \ к \ R$ является абсолютно непрерывнойна $I {\ displaystyle I}$ $I$ если для каждого положительного числа $ε {\ displaystyle \ varepsilon}$ $\ varepsilon$ существует положительное число $δ {\ displaystyle \ delta}$ $\ delta$ такое что всякий раз, когда конечная последовательность попарно непересекающихся подинтервалов $(xk, yk) {\ displaystyle (x_ {k}, y_ {k})}$ $(x_ {k}, y_ {k})$ из $I {\ displaystyle I}$ $I$ с $xk, yk ∈ I {\ displaystyle x_ {k}, y_ {k} \ in I}$ ${\ displaystyle x_ {k}, y_ {k} \ in I}$ удовлетворяет

∑ k ( yk - xk) < δ {\displaystyle \sum _{k}(y_{k}-x_{k})<\delta }

{\ displaystyle \ sum _ {k} ( y_ {k} -x_ {k}) <\ delta}

, тогда

∑ k | f (y k) - f (x k) | < ε. {\displaystyle \sum _{k}|f(y_{k})-f(x_{k})|<\varepsilon.}

{\ displaystyle \ sum _ {k} | f (y_ {k}) - е (x_ {k}) | <\ varepsilon.}

Совокупность всех абсолютно непрерывных функций на $I {\ displaystyle I}$ $I$ обозначается $AC ⁡ (I) {\ displaystyle \ operatorname {AC} (I)}$ $\operatorname{AC}(I)$ .

Эквивалентные определения

Следующие условия на вещественнозначную функцию f на компактном интервале [a, b] эквивалентны:

(1) f абсолютно непрерывен;

(2) f имеет производная f ′ почти всюду, производная интегрируема по Лебегу и

f (x) = f (a) + ∫ axf ′ (t) dt {\ displaystyle f (x) = f ( a) + \ int _ {a} ^ {x} f '(t) \, dt}

f(x)=f(a)+\int _{a}^{x}f'(t)\,dt

для всех x на [a, b];

(3) существует интегрируемая по Лебегу функция g на [ a, b] такое, что

f (x) = f (a) + ∫ axg (t) dt {\ displaystyle f (x) = f (a) + \ int _ {a} ^ {x} g ( t) \, dt}

f (x) = f (a) + \ int _ {a} ^ {x} g (t ) \, dt

для всех x в [a, b].

Если эти эквивалентные условия выполнены, то обязательно g = f ′ почти всюду.

Эквивалентность между (1) и (3) известна как основная теорема интегрального исчисления Лебегаиз-за Лебега.

Эквивалентное определение в терминах мер см. раздел Связь между двумя понятиями абсолютной непрерывности.

Свойства

Сумма и разность двух абсолютно непрерывных функций также абсолютно непрерывны. Если две функции определены на ограниченном отрезке, то их произведение также абсолютно непрерывно.
Если абсолютно непрерывная функция определена на ограниченном отрезке и нигде не равна нулю, то ее обратное значение абсолютно непрерывно.
Каждая абсолютно непрерывная функция является равномерно непрерывной и, следовательно, непрерывной. Каждая липшицево-непрерывная функция абсолютно непрерывна.
Если f: [a, b] → Rабсолютно непрерывна, то она ограниченной вариации на [a, b].
Если f: [a, b] → Rабсолютно непрерывно, то его можно записать как разность двух монотонных неубывающих абсолютно непрерывных функций на [a, b].
Если f: [a, b] → Rабсолютно непрерывно, то оно обладает свойством Luzin N (то есть для любого $L ⊆ [a, b] {\ displaystyle L \ substeq [a, b]}$ $L \ substeq [a, b]$ такого, что $λ (L) = 0 {\ displaystyle \ lambda (L) = 0}$ $\ lambda (L) = 0$ , он утверждает, что $λ (f (L)) = 0 {\ displaystyle \ lambda (f (L)) = 0}$ $\ lambda (f (L)) = 0$ , где $λ {\ displaystyle \ lambda}$ $\ lambda$ обозначает меру Лебега на R).
f: I → Rабсолютно непрерывно, если и только если он непрерывен, имеет ограниченную вариацию и обладает свойством Лузина N.

Примеры

Следующие функции равномерно непрерывны, но неa b абсолютно непрерывный:

функция Кантора на [0, 1] (это ограниченная вариация, но не абсолютно непрерывная);
функция

f (x) = {0 , если x = 0 x sin ⁡ (1 / x), если x ≠ 0 {\ displaystyle f (x) = {\ begin {cases} 0, & {\ text {if}} x = 0 \\ x \ sin (1 / x), & {\ text {if}} x \ neq 0 \ end {ases}}}

{\ displaystyle f (x) = {\ begin {cases} 0, & { \ text {if}} x = 0 \\ x \ sin (1 / x), & {\ text {if}} x \ neq 0 \ end {cases}}}

на конечном интервале, содержащем начало координат.

Следующие функции являются абсолютно непрерывными, но не α-Гёльдером непрерывный:

функция f (x) = x на [0, c], для любого 0 < β < α < 1

Следующие функции являются абсолютно непрерывными и непрерывными по α-Гёльдеру, но не непрерывными по Липшицу :

функция f (x) = √x на [0, c] для α ≤ 1/2.

Обобщения

Пусть (X, d) будет метрическим пространством и пусть I будет интервалом в вещественной строке R. Функция f: I → X является абсолютно непрерывнойна I, если для каждого положительного числа $ϵ {\ displaystyle \ epsilon}$ $\ epsilon$ существует положительное число $δ { \ displaystyle \ delta}$ $\ delta$ такая, что всякий раз, когда конечная последовательность попарно непересекающихся подинтервалов [x k , y k ] из I удовлетворяет

∑ k | у к - х к | < δ {\displaystyle \sum _{k}\left|y_{k}-x_{k}\right|<\delta }

\ sum _ {k} \ left | y_ {k} -x_ {k} \ right | <\ delta

затем

∑ k d (f (y k), f (x k)) < ϵ. {\displaystyle \sum _{k}d\left(f(y_{k}),f(x_{k})\right)<\epsilon.}

\ sum_ {k} d \ left (f (y_k), f (x_k) \ right) <\ epsilon.

Совокупность всех абсолютно непрерывных функций из I в X обозначается AC (I; X).

Дальнейшим обобщением является пространство AC (I; X) кривых f: I → X таких, что

d (f (s), f (t)) ≤ ∫ stm (τ) d τ для всех [s, t] ⊆ I {\ displaystyle d \ left (f (s), f (t) \ right) \ leq \ int _ {s} ^ {t} m (\ tau) \, d \ tau {\ text {для всех}} [s, t] \ substeq I}

{\ displaystyle d \ left (f (s), f (t) \ right) \ leq \ int _ {s} ^ {t} m (\ tau) \, d \ tau {\ text {для всех}} [s, t] \ подстекла I}

для некоторого m в пространстве L L (I).

Свойства этих обобщений

Каждая абсолютно непрерывная функция равномерно непрерывна и, следовательно, непрерывна. Каждая липшицево-непрерывная функция абсолютно непрерывна.
Если f: [a, b] → X абсолютно непрерывно, то она имеет ограниченную вариацию на [a, b].
Для f ∈ AC (I; X) метрическая производная функции f существует для λ- почти все раз в I, а метрическая производная - это наименьшее m ∈ L (I; R) такое, что

d (f (s), f (t)) ≤ ∫ stm (τ) d τ для все [s, t] ⊆ I. {\ displaystyle d \ left (е (s), f (t) \ right) \ leq \ int _ {s} ^ {t} m (\ tau) \, d \ tau {\ text {для всех}} [ s, t] \ substeq I.}

{\ displaystyle d \ left (f (s), f (t) \ right) \ leq \ int _ {s} ^ {t} m (\ tau) \, d \ tau {\ text {для всех}} [s, t] \ substeq I.}

Абсолютная непрерывность мер

Определение

A measure $μ {\ displaystyle \ mu}$ $\ му$ на Борелевское подмножество вещественной прямой абсолютно непрерывно относительно меры Лебега $λ {\ displaystyle \ lambda}$ $\ lambda$ (другими словами, с преобладанием $λ {\ displaystyle \ lambda}$ $\ lambda$ ), если для каждого измеримого набора $A {\ displaystyle A}$ $A$ , $λ (A) = 0 {\ displaystyle \ lambda (A) = 0}$ $\ lambda (A) = 0$ подразумевает $μ (A) = 0 {\ displaystyle \ mu (A) = 0}$ $\ mu (A) = 0$ . Это записывается как $μ ≪ λ {\ displaystyle \ mu \ ll \ lambda}$ $\ mu \ ll \ lambda$ .

В большинстве приложений, если мера на действительной прямой просто называется абсолютно непрерывной - без указания относительно какой другой меры она абсолютно непрерывна - тогда имеется в виду абсолютная непрерывность относительно меры Лебега.

Тот же принцип действует для мер на борелевских подмножествах $R n, n ≥ 2 {\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}, n \ geq 2}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}, п \ geq 2}$ .

Эквивалентные определения

Следующие условия на конечную меру μ на борелевских подмножествах вещественной прямой эквивалентны:

(1) μ абсолютно непрерывна;

(2) для любого положительного числа ε существует положительное число δ такая, что μ (A) < ε for all Borel sets A of Lebesgue measure less than δ;

(3) существует интегрируемая по Лебегу функция g на вещественной прямой такая, что

μ (A) = ∫ A gd λ {\ displaystyle \ mu (A) = \ int _ { A} g \, d \ lambda}

{\ displaystyle \ mu (A) = \ int _ {A} g \, d \ lambda}

для всех борелевских подмножеств A вещественной прямой.

Эквивалентное определение в терминах функций см. В разделе Связь между двумя понятиями абсолютной непрерывности.

Любая другая функция, удовлетворяющая (3), почти всюду равна g. Такая функция называется производной Радона – Никодима, или плотностью, абсолютно непрерывной меры μ.

Эквивалентность между (1), (2) и (3) сохраняется также в Rдля всех n = 1, 2, 3,...

Таким образом, абсолютно непрерывные меры на R- это в точности те, которые имеют плотности; как частный случай, абсолютно непрерывные вероятностные меры - это в точности те, которые имеют функции плотности вероятности.

Обобщения

Если μ и ν - две меры на одном и том же измеримое пространство $(X, A) {\ displaystyle (X, {\ mathcal {A}})}$ ${\ displaystyle (X, {\ mathcal {A}})}$ , μ называется абсолютно непрерывной относительно ν, если μ (A) = 0 для каждого набора A, для которого ν (A) = 0. Это записывается как «μ $≪ {\ displaystyle \ ll}$ $\ ll$ ν». То есть:

μ ≪ ν ⟺ ∀ A ∈ A (ν (A) = 0 ⇒ μ (A) = 0). {\ displaystyle \ mu \ ll \ nu \ qquad \ iff \ qquad \ forall A \ in {\ mathcal {A}} \ quad (\ nu (A) = 0 \ \ Rightarrow \ \ mu (A) = 0). }

{\ displaystyle \ mu \ ll \ nu \ qquad \ iff \ qquad \ forall A \ in {\ mathcal {A}} \ quad (\ nu (A) = 0 \ \ Rightarrow \ \ mu (A) = 0).}

Абсолютная непрерывность мер является рефлексивной и транзитивной, но не антисимметричной, поэтому это предварительный заказ, а не частичный заказ. Вместо этого, если μ $≪ {\ displaystyle \ ll}$ $\ ll$ ν и ν $≪ {\ displaystyle \ ll}$ $\ ll$ μ, меры μ и ν называются эквивалент. Таким образом, абсолютная непрерывность индуцирует частичное упорядочение таких классов эквивалентности.

. Если μ является подписанной или комплексной мерой, говорят, что μ абсолютно непрерывна относительно ν если его вариация | μ | удовлетворяет | μ | ≪ ν; эквивалентно, если каждое множество A, для которого ν (A) = 0, является μ- нулевым.

Теорема Радона – Никодима утверждает, что если μ абсолютно непрерывен относительно ν, и обе меры σ-конечны, то μ имеет плотность или "производную Радона-Никодима" относительно ν, что означает, что существует ν-измеримая функция f, принимающая значения в [0, + ∞) , обозначаемый f = dμ / dν, такой, что для любого ν-измеримого множества A выполняется

μ (A) = ∫ A fd ν. {\ displaystyle \ mu (A) = \ int _ {A} f \, d \ nu.}

{\ displaystyle \ mu (A) = \ int _ {A} f \, d \ nu.}

Особые меры

С помощью теоремы Лебега о разложении каждая мера может быть разложена в сумму абсолютно непрерывной меры и особой меры. См. особая мера для примеров мер, которые не являются абсолютно непрерывными.

Связь между двумя понятиями абсолютной непрерывности

Конечная мера μ на борелевских подмножествах вещественной прямой абсолютно непрерывна относительно меры Лебега тогда и только тогда, когда точечная функция

F (x) = μ ((- ∞, x]) {\ displaystyle F (x) = \ mu ((- \ infty, x])}

F (x ) = \ mu ((- \ infty, x])

является абсолютно непрерывная вещественная функция. В более общем смысле, функция является локально (то есть на каждом ограниченном интервале) абсолютно непрерывной тогда и только тогда, когда ее распределительная производная является мерой, абсолютно непрерывной относительно меры Лебега.

Если имеет место абсолютная непрерывность, то производная Радона – Никодима от μ почти всюду равна производной от F.

В общем случае мера μ считается локально конечной (а не конечной) и F (x) определяется как μ ((0, x]) для x>0, 0 для x = 0 и −μ ((x, 0]) для x < 0. In this case μ is the мера Лебега – Стилтьеса, порожденная F. Отношение между двумя понятиями абсолютной непрерывности все еще

Примечания

Ссылки

Амбросио, Луиджи; Джильи, Никола; Саваре, Джузеппе (2005), Градиентные потоки в метрических пространствах и в пространстве вероятностных мер, ETH Zürich, Birkhäuser Verlag, Базель, ISBN 3-7643-2428-7
Athreya, Кришна Б.; Лахири, Соумендра Н. (2006), Теория меры и теория вероятностей, Springer, ISBN 0-387-32903-X
Леони, Джованни (2009), Первый курс in Sobolev Spaces, Graduate Studies in Mathematics, American Mathematical Society, pp. xvi + 607 ISBN 978-0-8218-4768-8, MR 2527916, Zbl 1180.46001, MAA
Нильсен, Оле А. (1997), Введение в теорию интеграции и измерения, Wiley-Interscience, ISBN 0-471-59518-7
Royden, HL (1988), Real Analysis (третье изд.), Collier Macmillan, ISBN 0-02-404151-3

Внешние ссылки

Абсолютная непрерывность в Энциклопедия математики
Темы в реальном и функциональном анализе от Джеральд Тешл