В математике, главное значение Коши, названное в честь Августина Луи Коши - это метод присвоения значений некоторым несобственным интегралам, которые в противном случае не были бы определены.
Содержание
- 1 Формулировка
- 2 Теория распределения
- 2.1 Четкая определенность как распределение
- 2.2 Более общие определения
- 3 Примеры
- 4 Обозначения
- 5 См. Также
- 6 Ссылки
Формулировка
В зависимости от типа особенности в подынтегральном выражении f главное значение Коши определяется в соответствии со следующими правилами:
- (1) Для сингулярность в конечном числе b:
- с a < b < c and where b is the difficult point, at which the behavior of the function f is such that
- для любого a < b and
- для любого c>b.
- (см. плюс или минус для точного использования обозначений ± и.)
.
- (2) Для особенности в точке в конечность:
- где
- и
В некоторых случаях необходимо одновременно иметь дело с особенностями обоих при конечном числе b и на бесконечности. Обычно это делается с помощью предела вида
В тех случаях, когда интеграл может быть разбит на два независимых конечных предела,
- и
конечный результат тот же, но больше не соответствует определению и технически не называется «основным значением».
Главное значение Коши также можно определить в терминах контурных интегралов комплекснозначной функции f (z): z = x + iy, x, y ∈ ℝ, с полюс по контуру C. Определим C (ε) как тот же контур, из которого удалена часть внутри диска радиуса ε вокруг полюса. Если функция f (z) интегрируема по C (ε) независимо от того, насколько малым становится ε, то главное значение Коши является пределом:
В случае интегрируемых по Лебегу функций, то есть функций, которые интегрируются по абсолютному значению эти определения совпадают со стандартным определением интеграла.
Если функция f (z) мероморфна, теорема Сохоцкого – Племеля связывает главное значение интеграла по C со средним значением интегралов с контуром, немного смещенным вверх и вниз, так что теорема вычетов может быть применена к этим интегралам.
Интегралы главного значения играют центральную роль в обсуждении преобразований Гильберта.
Теория распределения
Пусть - набор функций выдавливания, то есть пространство гладких функций с компактная опора на вещественной линии . Тогда карта
, определенное через главное значение Коши как
- это распределение. Сама карта иногда может называться основным значением (отсюда и обозначение p.v. ). Это распределение появляется, например, в преобразовании Фурье функции Знака и ступенчатой функции Хевисайда.
Четкая определенность как распределение
Чтобы доказать существование предел
для функции Шварца , сначала заметьте, что непрерывно на , поскольку
- и, следовательно,
поскольку непрерывно и правило L'Hospital ap слои.
Следовательно, существует и, применяя теорему о среднем значении к , получаем, что
Как и
заметим, что отображение ограничено обычными полунормами для функций Шварца . Следовательно, эта карта, поскольку она очевидно линейна, определяет непрерывный функционал в пространстве Шварца и, следовательно, умеренное распределение.
. Обратите внимание, что для доказательства требуется просто для непрерывной дифференциации в окрестности и для ограничения по направлению бесконечность. Следовательно, главное значение определяется на основе еще более слабых предположений, таких как , интегрируемое с компактной опорой и дифференцируемое в 0.
Более общие определения
Главное значение - это обратное распределение функции и почти единственное распределение с этим свойством:
где - константа, а распределение Дирака.
В более широком смысле главное значение может быть определено для широкого класса сингулярного интеграла ядер в евклидовом пространстве . Если имеет изолированную особенность в начале координат, но в остальном является "хорошей" функцией, то распределение главного значения определяется на гладких функциях с компактным носителем как
Такой предел может быть некорректно определен или, будучи хорошо определенным, он может не обязательно определять распределение. Однако он хорошо определен, если является непрерывной однородной функцией степени , интеграл которого по любой сфере с центром в нуле равен нулю. Так обстоит дело, например, с преобразованием Рисса.
Примеры
Рассмотрим значения двух пределов:
Это главное значение Коши для иначе неопределенного выражения
Также:
Аналогично,
Это главное значение иначе некорректно определенного выражения
но
Обозначение
Разные авторы используют разные обозначения для главного значения Коши функции , среди прочего:
- , а также PV, и VP
См. Также
Ссылки
- ^Канвал, Рам П. (1996). Линейные интегральные уравнения: теория и техника (2-е изд.). Бостон, Массачусетс: Birkhäuser. п. 191. ISBN 0-8176-3940-3 - через Google Книги.
- ^King, Frederick W. (2009). Преобразования Гильберта. Кембридж, Великобритания: Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-88762-5.